TROISIEME PARTIE : LA NEF

 

TRIANGLE ISIAQUE ET TRIANGLE AURIGENE. NOMBRE 9 ET NOMBRES PALINDROMES;

 

 

 

 

 

 

Prologue

 

 

 

 La nef est une structure qui réunit le triangle isiaque (3,4,5), prototype de l'ensemble des triplets pythagoriciens, solutions entières du théorème de Pythagore, avec le triangle (1, 2, racine 5), générateur du nombre d'or.

 

 

La partie extérieure de la structure, en forme de U, est appelée carène. C'est une tétractys, mais elle est composée de 10 segments, au lieu de dix points. On voit bien que, si l'on s'arrêtait là, notre tétractys ne serait pas terminée, au sens mathématique le plus propre, puisque, si les séparations entre les nombres 1 et 2, d'une part, et 3 et 4, d'autre part, sont bien marquées par la forme même de la structure, la division entre les nombres 2 et 3, elle, n'est pas encore précisée. Pour pallier ce manque, la carène est donc dotée d'une structure en V appelée voilure.

 

Dans cette représentation, les axes verticaux soutenant les nombres 1 et 4 correspondent à des états de plénitude ; tandis que l'axe horizontal correspond lui, davantage même qu'à la notion d'état, aux idées de d'opération et de « médiation » entre deux états.

 

Si on associe les nombres 1 à 4 aux objets monadiques qui leur correspondent – point, segment, disque, boule - ces distinctions s'explicitent très bien. Le point et la boule correspondent bien en effet à deux états analogues de plénitude, le premier, à la plénitude « infinie » ou « puissancielle », et la seconde, à une plénitude partiellement « reconstituée » , relativement en tous cas à ces formes « intermédiaires » que sont le segment et le disque.

 

 

Comme il est naturel, le passage du nombre 1 au nombre 2, qui correspond à une perte de plénitude, s'effectue par une « descente », tandis que le passage de 3 à 4, qui correspond au recouvrement de la plénitude, s'effectue par une « remontée ».

Dans son ouvrage La grande Triade, qui peut être lu comme une vaste méditation pythagoricienne sur le losange "vesica piscis", René Guénon assigne, de la même manière, les nombres 1 et 4 à l'axe vertical, et les nombres 2 et 3 à l'axe horizontal.

 

 

On voit que, dans la nef,  la zone intermédiaire entre les nombres 1 et 4 est toute entière gouvernée par le nombre 5. La médiation entre ces deux nombres se présente donc ici comme une « quinte essence », venant « couronner » les 4 essences premières portées par la tétractys.

 

Les deux branches de la structure en V jouent l'une pour l'autre le rôle de miroir. A gauche, le nombre 5 à l'état de « puissanciation », à droite, à l'état d'entier « réalisé », tandis que la partie horizontale inférieure peut être envisagée comme exprimant ce même nombre 5 en tant que processus, en cours de réalisation.

 

Notons que la disposition tétractyque de la nef fait que les angles sous le V sont dans le rapport d'octave, puisque : arctan (4/3) = 2 fois arctan (½).

 

 

 

 

L'hypoténuse comme médiété

 

Avant d'aller plus loin, il faut dire quelque mot des propriétés symboliques du triangle rectangle, qui ne sont qu'un décalque immédiat de ses propriétés mathématiques. En premier lieu, on remarque que l'hypoténuse joue dans ce triangle un rôle semblable à celui d'une médiété, ou d'une harmonisation, puisqu'il consiste à établir une moyenne, une « commune mesure » entre les deux termes qui correspondent à l'angle droit. Ainsi dans le triangle 3-4-5, remarque Charpentier, « l'hypoténuse 5 représente bien, dans l'ordre géométrique, une moyenne entre 3 et 4. »

 

 

Dans cette structure, les segments de valeur 1, 2, 3, 4, qui constituent la carène, sont l'image de la complétude de la décade et de la tétractys ; tandis que les nombres racine 5 et 5 qui viennent les couronner symbolisent la « quinte essence », le passage de la puissance à l'acte.

 

Les 2 parties, inférieure et supérieure, de la structure, symbolisent ensemble une situation de parfait équilibre, en ce que l'addition des chiffres qui entrent dans leur composition donne le même résultat :

 

1+2+3+4 = 10

 

5+5 = 10

 

Nous aurons à nous souvenir de cela lorsque nous aurons à évoquer le symbolisme du nombre 55, dixième nombre triangulaire et valeur secrète de la tétractys, ainsi que celui du nombre 515, dans lequel la décade 10 a pris la place de « pivot » ou de moyen terme entre le macrocosme (500) et le microcosme (5).

 

Du point de vue cosmologique, le triangle 1,2, racine 5 représente le principe « fécondant », le principe « activateur » qui permet à l'Un d'engendrer le Multiple sans sortir de lui même, par un simple « contact » interne, une électrisation. Tandis que le triangle isiaque 3,4,5 représente le champ, ou le plan récepteur de cette action électrisante (le principe « passif » de la manifestation universelle), qui n'est autre que sa condition, ou sa constitution spatio-temporelle.

 

Ces deux principes pourraient, au premier abord, être assimilés aux principes « Masculin » et « Féminin » que l'on a déjà vus, chez maints commentateurs, associés au jambes du lambda de Platon ; mais il convient surtout de considérer qu'on est ici au cœur d'une hiérogamie, et d'une androgynie universelle, dans laquelle le féminin et le masculin circulent partout, libérés de leurs « chaines » par la perfection de leur composition, par l'harmonie qui les enroule autour de l'Un, dont ils procèdent.

 

Le triangle d'Isis, symbole de la condition spatio temporelle

 

Par une transformation convenable, les trois côtés du triangle isiaque se changent en trois polygones : le triangle, le carré et le pentagone, qui sont les trois premiers membres de la série indéfinie des polygones réguliers, et qui, à eux trois, fournissent tout le matériel nécessaire à la construction des polyèdres réguliers.

 

Si ces polyèdres, au nombre de 5, constituaient pour les anciens un symbole légitime de la condition spatiale, c'est parce qu'ils réalisent de multiples façons, les idées de saturation, de complétude, de clôture d'un ensemble de possibilités mathématiques pures, définies par les prémisses qui sont leurs objets constituants : points, segments, polygones.

 

Mais le problème est de comprendre comment les réalités géométriques exprimant, si l'on peut dire, « naturellement » la condition spatiale, ont pu, par une certaine transformation, devenir aussi les principes, les symboles constituants et élémentaires de la condition temporelle.

 

Dans cette formulation, on a déjà tout l'énoncé du problème qui a donné naissance au système sexagésimal et qui est : projeter le temps sur un objet géométrique quelconque, de préférence très simple... tel que le cercle.

 

Les travaux de Torres Heredia Julca ont labouré les innombrables manières dont peut être illustrée la « naturalité » du système sexagésimal ; mais il semble bien, sur ce sujet, la remarque la plus décisive soit due à Dom Néroman.

 

Il fallait bien que le cercle fut divisible par 60, pour pouvoir être simultanément divisé par 3, par 4 et par 5, et donc pour pouvoir accueillir et inscrire au sein d'un même système de division angulaire : le triangle, le carré et le pentagone !

 

En effet :

 

3 x 4 x 5 = 60

 

Sur cette base, le fameux théorème de pythagore, qui veut que le carré de côté 5 soit égal à la SOMME des carrés de côtés 3 et 4, se retrouve en parallélisme parfait avec une équation angulaire, qui veut que la somme des angles d'un pentagone (540°) soit égale à la somme des angles d'un triangle (180°) + la somme des angles d'un carré (360°)

 

Dans ce contexte, il est possible de considérer la somme des angles du triangle (180) comme une « unité », dont le carré (360) et le pentagone (540) représenteraient respectivement les valeurs « double » et « triple » : selon un schéma qui reproduit ainsi scrupuleusement la structure du lambda de Platon.

 

1 +

 

2 = 3

 

180 +

 

360 = 540

 

Ce point est d'autant plus à remarquer, que le Lambda se rappelle ici à nous par d'autres aspects. Ainsi le nombre 540 qui mesure les deux parties de l'équation, rappelle le nombre 54, qui est la somme des nombres du Lambda, tandis que le nombre 1080, qui correspond à la somme totale des angles des trois polygones, rappelle le nombre 108 qui, dans le Timée, est celui de l'Ame du Monde, obtenue par une division longitudinale de la bande du Lambda (54 x 2 = 108).

 

Mais le système possède d'autres propriétés encore, qui incitent plutôt à considérer comme « unité » de référence l'angle droit, égal à 90 degrés.

 

Retenons avant tout que le système sexagésimal RESULTE de cette simple nécessité, de transformer le théorème de pythagore en théorème angulaire, en un théorème sur les angles des différents polygones coordonnés à un même cercle. Nous devons admettre que, sur ce point, l'intuition de Dom Neroman nous semble extraordinairement puissante, et difficilement contestable.

 

Dans ce système, la position médiane est occupée par le carré, dont la somme des angles est égale à celle du cercle de 360° ; les deux figures se trouvant au sens propre ajustées ; et dont l'angle de référence, égal à 90°, peut justement être considéré comme le quadrant, ou comme la coordonnée principale du système, puisqu'il est le diviseur des sommes angulaires des trois polygones. D'un point de vue mathématique, il n'est en rien exagéré de soutenir que la plus profonde des « quadratures du cercle », c'est le cercle 360.

 

Nous pouvons ici donner une extension à la remarque de Dom Neroman. Non seulement le cercle devait avoir 60 divisions pour accueillir triangle, carré et pentagone, et par leur truchement les solides réguliers, mais en outre, la division du cercle devait intégrer des multiples supérieurs du nombre 60, comme le demi-cercle 180 et le cercle 360, pour intégrer, essentiellement le nombre 9.

 

On doit en effet prendre acte du fait que le nombre 9 intervient, dans le système sexagésimal, de façon tout aussi essentielle que le nombre 60, en tant que diviseur commun des nombres 18, 36 et 54, associés aux sommes angulaires des trois polygones (le zéro qui multiplie toutes ces valeurs par 10 pouvant dans ce contexte être négligé) ; et il peut même apparaître comme le véritable « décodeur » du système, grâce auquel le théorème de pythagore finit de se transformer, pour se résoudre en une pure tautologie arithmétique :

 

2x9 + 4x9 = 6x9

 

Le nombre 9 n'est rien d'autre que l'unité secrète, le MODULE grâce auquel se déploie, à travers le système sexagésimal, la grande équation du théorème de Pythagore, sa version « généralisée », qui associe à l'équation sur les carrés des côtés, une équation sur les sommes angulaires des polygones correspondant à ces côtés.

 

Par extension, on peut estimer que c'est la division du cercle en quarts de 90% qui est le principe essentiel de la « quadrature », en ce qu'il assimile le cercle au carré gnomonique.

 

En s'avançant un peu, on pourra hasarder que le nombre 9 est le module qui aura permis de transformer le temps en espace. Car telle est bien en dernier ressort la finalité du système : intégrer dans un même cadre de référence les conditions de l'espace, et celles qui affèrent au Temps : les secondes, les minutes, les heures, les années.

 

De ces propriétés essentielles du nombre 9, les poètes pythagoriciens de la branche Italique, Virgile et Dante étaient parfaitement instruits, comme l'ont abondamment montré les travaux de Maury, Guénon et Charpentier.

 

Pour ces poètes, il ne fait pas de mystère que ce « décodeur » du système sexagésimal est bien véritablement le nombre d'Isis, autrement appelée la « Dame du domaine » ou la « Dame du champ », en tant qu'elle régit le principe de la condition spatio-temporelle, divinité dont les traits sont aisément reconnaissables sous les avatars de Didon et de Béatrice, et à laquelle il est permis, en pythagorisme, de prêter le nom de Dame Nature.

 

Au chapitre historique, on peut aussi relever que l'oeuvre de Plotin, éditée par Proclus, se compose de 54 traités, divisés en 6 neuvaines, les Ennéades, selon un plan qui reproduit la solution de notre dernière équation, mais qui surtout perpétue, selon toute vraisemblance, une exegèse traditionnelle du Timée, qui ne devait pas différer grandement de celle que l'on s'efforce de reconstituer ici à partir des principes mathématiques.

 

 

 

Les propriétés du nombre 9

 

Les propriétés spéciales du nombre 9 sont trivialement connues ; toutefois, pour mettre en lumière leur signification symbolique véritable, il semble que l'important ne soit pas tant de les connaître, que de les disposer dans le bon ordre.

 

La conservation de l'unité dans les multiples. L'ensemble des multiples du nombre neuf est soumis à une loi de composition qui est une loi de genre, une loi d' « hérédité ».

 

Demandons nous maintenant comment se conserve cette unité dans les multiples. Les fonctions anagramme, « miroir », ou « palindrome ». On voit que chacune de ces relations est plus forte que la précédente. La fonction anagramme relie un multiple de 9 à l'ensemble défini par son paradigme combinatoire. La fonction « miroir », qui est une subdivision de la précédente, associe chaque nombre à un seul autre nombre, dans une sorte de relation de gemellité (les deux nombres formant les deux moitiés d'un palindrome). Enfin, la fonction palindrome, qui peut encore être regardée une subdivision de celle qui la précède, ne concerne que ceux, parmi ces nombres, qui sont les miroirs d'eux mêmes.

 

Les palindromes font donc office de nœuds centraux ; si on les aligne sur un axe imaginaire, ils forment une colonne vertébrale autour de laquelle les autres nombres se développent par un mouvement tournant, un mouvement spiralé.

 

Sur le plan mathématique, la fonction palindrome qui est à l'oeuvre dans les propriétés de permutation des nombres, peut apparaître comme un cas particulier d'un principe plus général, une fonction miroir pouvant, par extension, s'appliquer à « toute formule qui demeure inchangée par une rotation quelconque sur elle-même. » De cette manière, la fonction palindrome en vient à absorber bien d'autres opérations arithmétiques, que les seules permutations sur les nombres naturels en base 10. En tout premier lieu, peuvent être regardées comme des modalités de la fonction palindrome les puissances, telles que 6 x 6 x 6, les fractions telles que 6/6, ou encore les formules additives 6 + 6 + 6...

 

Du nombre 9 premier « palindrome », au nombre 99, qui marque le retour de la fonction « palindrome », on voit qu'un cycle est accompli. Ce cycle comporte exactement 11 marches. 11 est lui même le plus simple des palindromes à plus d'un chiffre. En outre, il est au nombre 1 ce que le nombre 99 est au nombre 9.

 

Les travaux de Charpentier sur Virgile et Dante ont montré que le nombre 99 représentait, pour ces deux auteurs, le « moteur immobile » de la nature. L'énéide compte 9900 vers, la divine comédie 99 chants (précédés d'un prologue) ; dans cette dernière œuvre les « modules » 11 et 33, qui sont les deux palindromes diviseurs de 99, jouent également un rôle déterminant.

 

Charpentier évoque une tradition pythagoricienne dans laquelle l'année dure 99 mois ; nous n'avons pu en retrouver la trace.

 

A présent, nous allons voir qu'il est particulièrement instructif de représenter le nombre 99 comme le sommet d'un lambda, où se rencontrent la série des multiples de 9 qui compte 11 marches, et celle des palindromes multiples de 11, qui en compte 9.

 

A première vue, on n'a là qu'une illustration détaillée de la commutativité de la multiplication (9x11=11x9), mais une remarquable construction de Charpentier a montré qu'il existait, entre ces deux séries de nombres, une relation beaucoup plus profonde.

 

On utilise le triangle « aurigène » 1-2-racine 5, que l'on affecte d'un facteur 33.

 

On obtient un triangle de cathètes 33 et 66, dont l'hypothénuse est égale à racine de 5445. On remarque que les deux premiers nombres appartiennent à la série des palindromes multiples de 11, et équivalent à diviser le nombre 99 en trois parties égales, tandis que le troisième est un également un nombre palindrome, mais dont les composants se situent, quant à eux, « au milieu » de la série des multiples de neuf.

 

Or on constate que

 

33+66 = 45 + 54 = 99

 

De sorte qu'on se trouve devant une illustration purement symbolique, numérologique, du théorème de Pythagore, où le rapport traditionnel entre les carrés adjacents aux côtés du triangle, se reflète dans le rapport entre l'addition des côtés de l'angle droit, et l'addition des parties du palindrome correspondant à l'hypoténuse.

 

L'analogie avec le théorème de Pythagore est bien réelle ; mais alors que la version polygonale de ce théorème soumet le triangle rectangle à une loi de « développement » ou de déploiement, l'équation ci dessus l'assujettit plutôt à une contrainte de « résorption » ou d'involution.

 

C'est sûrement là une explication très forte de la vénération que les pythagoriciens portaient au nombre 99. En le décomposant en 2 sommes : on retrouvait non seulement, sous une forme symboliquement frappante, le théorème de Pythagore, mais dans une version « paradigmatique » qui est celle du triangle « aurigène » (dont l'importance théorique n'est pas moindre que celle du triangle isiaque).

 

Car en effet : racine 5445 n'est autre que 33 x racine 5, de sorte que :

 

(racine 5445 + 33) / 66 = phi

 

On obtient ainsi une définition du nombre d'or qui n'utilise que des parties du nombre 99.

 

Conclusion, le nombre 9 joue un rôle assez analogue de décodeur, ou de développeur, pour chacun des deux triangles rectangles qui composent la nef ; et c'est pour cette raison qu'il peut apparaître comme le centre caché, ou comme l'interface entre ces deux structures.

 

Si nous reprenons le triangle aurigène 33, 66, racine 5445, nous observons une relation symbolique, non seulement avec le triangle 1-2-racine 5 dont il est un développement, mais avec la nef dans son ensemble.

 

En effet, il semble exister une relation entre le fait que dans le triangle aurigène, on a

 

33 + 66 = 54+45

 

et le fait que dans la nef on a

 

1+2+3+4 = 5 + 5

 

A gauche des équations on a les valeurs des cathètes, et à droite, celles des hypoténuses, dans lesquelles s'exprime, dans chaque cas, une fonction palindrome.

 

Il est possible d'aller un peu plus loin dans l'examen des rapports naturels qui existent entre le triangle isiaque, le nombre 9, et la fonction palindrome.

 

Si l'on développe, sur chaque côté du triangle isiaque, le cube gnomonique correspondant, on obtient pour ces trois cubes les valeurs 27, 64 et 125.

 

Or :

 

27 + 64 +125 = 216

 

Le nombre 216 est lui-même un cube, puisqu'il n'est autre que le cube de 6, autrement dit le successeur naturel des trois qui le précèdent dans l'équation. On a donc le sentiment d'être en présence d'une extension du théorème de Pythagore, d'un prolongement hors de lui-même, qui ressaisit ensemble les trois côtés du triangle, pour les rapporter à un principe qui les « enveloppe ».

 

Il ne semble pas illégitime de regarder la fonction « puissance » comme une modalité de la fonction palindrome. On se trouve alors devant une expression qui est celle-ci :

 

(3x3x3) + (4x4x4) + (5x5x5) = (6x6x6)

 

Et si l'on considère les 4 parties de l'expression comme formant un intervalle complet dans une progression continue, alors, on remarque que le « centre caché » de l'expression est le nombre 9, puisque ce nombre est à la fois la somme des extrêmes, et celle des nombres intermédiaires.

 

3 + …......... + 6 = 9

 

….4 + 5...... = 9

 

Lecture dans laquelle on peut trouver une sorte de résurgence du module 99.

 

En vertu de cette parenté avec le nombre neuf, la formule, bien qu'elle soit dérivée du triangle isiaque, contient tout le matériel nécessaire à la composition d'une formule déjà connue, qui est celle du grand triangle aurigène.

 

33+66 = 54+45

 

Les mêmes éléments entrent en composition dans les deux formules, en fonction d'un point d'équilibre qui est toujours le nombre 9.

 

Ce nombre joue donc, là encore, le rôle d'interface entre les deux triangles de la nef ; avec cette précision que, pour chacun de ces triangles, il représente, précisément, le nombre correspondant au point d'équilibre, ou encore, au centre caché de la structure.

 

 

Le pentagramme modulo 9 et son centre 99. Le rayon céleste.

 

Dans notre brève étude sur le solide de Dürer, et dans le prolongement des remarques d'André Charpentier, nous avons montré que les propriétés arithmétiques des multiples de 9 pouvaient être fusionnées avec celles, géométriques, du pentagramme, pour former une représentation synthétique, particulièrement riche.

 

 

(résumer)

 

 

 

 

 

L'équation de Charpentier sur le triangle aurigène. Ses variantes palindromiques. Sa réduction tétractyque.

 

 

Les travaux d'André Charpentier ont montré le caractère fondamental du triangle aurigène (1, 2, rac5) – pour une compréhension pleinement pythagoricienne de la « doctrine » du nombre d'or.

 

Charpentier observe qu'en affectant les côtés du triangle d'un facteur emprunté à la famille des nombres palindromes (en l'occurrence, le facteur 33), on fait ressortir entre ces trois côtés un principe de symétrie similaire à celui du théorème de Pythagore.

 

 

 

 

Φ = (√ 5445 + 33) / 66

On observe en effet que

33 + 66 = 99

et

54 + 45 = 99

On a donc une définition du nombre d'or qui n'utilise que des « divisions bipartites » du nombre 99

Et dans la formule 33+66 = 54+45, l'on pourrait en extrapoler une sorte de « formulation molle » du théorème de pythagore qui serait  « les côtés de l'angle droit  se reflètent dans l'hypothénuse »... mais au lieu que le théorème classique est un théorème de "développement" (construction de carrés sur les côtés du triangle rectangle) celui ci est un théorème de "résorption" ou d'involution.

 

L'équation de Charpentier met en jeu 3 différentes propriétés des nombres.

A. La fonction "palindrome" à l'oeuvre dans les nombres 33, 66, 5445

B. Les propriétés auto-additives des multiples de 9

C. La fonction synthétique "C" qui dans le cas 5445 réunit les fonctions A et B

Précisons que ces 3 fonctions correspondent à des propriétés naturelles du nombre.

En les actionnant charpentier ne fait répondre à l'appel de la symétrie.

Ce sont là en tous cas des manipulations moins "équivoques" a priori que maintes opérations guématriques lettres-nombres, à notre escient. Et pythagoriquement plus orthodoxes.

…

Observons les propriétés formelles sur lesquelles s'appuie l'équation de Charpentier :

Côtés du triangle                       Carrés adjacents aux côtés                       Division des carrés par 99              

33                                                1089                                                              1089/99   =   11                                                         

66                                                4356                                                              4356/99    =   44

racine 5445                                5445                                                               5445/99   =   55

On en déduit au passage une première transformation de l'équation, dans laquelle l'unité commune aux trois côtés n'est pas le nombre 99, mais le nombre 11, principe des nombres palindromes :

Φ = ((√55) + (√11)) / (√44)

 

Mais on observe en outre cette propriété "formelle" des carrés adjacents, bien que seul le troisième soit palindrome.

1089              10+89             = 99

4356              43+56             = 99

5445              54+45             = 99

Propriété qui repose sur leur qualité de multiples de 9, mais qui ici se présente sous la forme d'un "complexe naturel"..

…

Il est possible, du reste, de transformer l'équation de charpentier en faisant sortir partout le 99, et sans avoir à se livrer à des manipulations sur la racine 5445 :

Φ = (√(99 × 55) + (99 ÷ 3)) ÷ ((99 ÷ 3) × 2)

 

En tant qu'application du théorème de pythagore, l'équation est bien sujette à une contrainte d'involution, ou de résorption, puisque les 3 côtés du triangles y sont reconduits à un principe unique. Ou encore, pour chacun des 3 côtés, le nombre 99 joue le rôle de principe unitaire, semblable à l'unité-segment de valeur 1 qui paramètre les côtés d'un triangle rectangle de type (3,4,5).

La fonction "principielle" du nombre 99 peut être assimilée à celle du segment-rayon de valeur 1 qui parcourt les côtés du triangle isiaque.

 

Pour Charpentier, le nombre 99 présentait un intérêt bien particulier, en raison de sa fonction dans l'arithmologie pythagoricienne traditionnelle, où ce nombre représente le « rayon céleste », et « le centre du monde »

En passant, sur les rapports entre pentagramme et nombre 99, se rappeler du pentagramme modulo 9 ou tous les segments se résorbent additivement dans le 'centre' 99.

…...........

 

 

On peut être étonné par la coïncidence qui veut que le nombre 99 soit aussi impliqué dans une célèbre équation relative au nombre Pi, due à Ramanujan

9801 = 99 carré

La définition de PI par ramanujan est donc fondée sur les valeurs : 99 carré (9801) au numérateur, et 99 au dénominateur.

On retiendra, faute de mieux, le caractère géométrique de ces occurrences du nombre 99, qui pointent nettement vers le carré. En effet, en vue pythagoricienne, le numérateur ne désigne absolument pas autre chose qu'un carré gnomonique de 99 de coté, tandis qu'au dénominateur, les opérateur « x4 » et « puissance 4n » renvoient, eux aussi, à une symétrie quadrangulaire.

Et nous assisterons plus loin à un autre croisement entre ces deux nombres vedettes de la mathématique, dans la tradition pythagoricienne.

La doctrine des noms de Dieu

 

Au sujet du nombre 99, nous tenons d'Aliboron cette cogitation gnostique dans « l’Evangile de vérité » où un développement associé à l’image du Pasteur nous parle du chiffre 99 tenu en main gauche, et de l’Un qui, une fois découvert et uni à 99, permet à l’ensemble de passer en main droite. Ce qui laisse supposer la référence à un moyen de comput digital. « Et ainsi le nombre devient 100. C’est le signe de ce qu’il y a dans leurs sons, c’est à dire le Père ». Bref, cet évangile développe une véritable théologie du Nom : « Le Nom du Père est le Fils ». Le caractère improférable du Nom, décliné à l’envie dans cette doctrine gnostique souligne la nature cachée de Dieu. Car par l’épithète d’AMEN (le Fidèle, le Véritable) qui lui est attribué dans l’Apocalypse, le Christ, selon les spéculations sur la valeur numérique des lettres grecques, s’apparente au nombre 99 (A+M+H+N = 1+40+8+50 = 99), peut être « enfermé » dans les cinq doigts de la main gauche. Pentagramme le mettant en relation avec Sirius, donc médiateur de vérité, nécessaire voie d’accès vers le 100eme nom, celui du « Caché », Amon... Car nul ne vient au Père que par moi » affirme Jésus (Jean, 14,6).

 

….

 

Souvenons qu'entre ces deux formulations de l'équation de Charpentier, mettant en évidence le nombre 99

Φ = (√ 5445 + 33) / 66

Φ = (√(99 × 55) + (99 ÷ 3)) ÷ ((99 ÷ 3) × 2)

Nous avons rencontré une formulation intermédiaire qui est la suivante :

Φ = ((√11) + (√55)) / (√44)

Cette équation peut à son tour être transformée en deux temps, jusqu'à retrouver une expression pratiquement identique à l'équation-source « phi = (rac 5 +1) / 2 ».

Dans un premier temps, on peut remplacer, dans toutes les parties de l'équation, les multiples de 11 par ce nombre qui est leur commun diviseur. Par cette équation, qui ramène la formule à son principe palindrome, on parcours "à rebours" le chemin accompli par Charpentier.

Φ =     √(11)  + √(11+11+11+11+11)  

                 √(11+11+11+11)

En outre, en répartissant différemment les sommes du second membre de l'équation, on peut déjà obtenir une formulation tétractyque de cette même expression :

Φ =       √(11) + √((11+11) + (11+11+11))
                 √(11+11+11+11)

 

 

Il ne reste qu'un dernier pas à faire pour retrouver l'équation-source du nombre d'or : remplacer partout le nombre 11, principe des palindromes, par l'unité.

 

 

Φ =       √(1) + √((1+1) + (1+1+1))
                 √(1+1+1+1)

 

ou

 

Φ = ( √1 )+ √(2+3 ) 

               √4

A partir de ces expressions, on pourrait imaginer un langage mathématique simplifié, dans lequel les unités seraient représentés par des petits cercles, analogues aux points de la tétractys, et où l'opération « racine carrée » serait symbolisée par des parenthèses. On obtient alors l'expression :

Φ = (o) + (oo+ooo)     

            (oooo)      

dans laquelle les unités points de la tétractys se répartissent, de part en d'autre de la fraction principale, selon un rapport 6/4

 

Ou encore cette formule en image, que nous ne mentionnons que pour le plaisir des pythagoriciens, mais dans laquelle on pourra trouver assez parlant d'associer les parties de la tétractys aux côtés du triangle aurigène qui, du coup, leur correspondent. Le sommet et la 4ème ligne correspondent aux côtés de l'angle droit (1 et 2) et la partie médiane à l'hypoténuse... ce qui est ajusté à la fonction "médiante", "moyennante" que Charpentier prête à l'hypoténuse.

 

 

le Rapport du nombre d'Or peut alors apparaître comme une modalité du rapport "cosmologique"  3/2  qui correspond à

la quinte

aux nombres principes des "jambes" du Lambda

au rapport des trois premiers étages (6) avec le quatrième (4) de la tétractys ; ou bien encore, dans cette même tétractys, au rapport de l'hexagone au trépied

Et enfin au pentagone, qui est virtuellement engendré par la division d'un cercle selon ce rapport   3/2.

 

 

Bref, il y a une convergence assez satisfaisante avec l'ensemble de ces "logoï" pythagoriciens

Toutes ces dernières expressions sont très voisines de l'équation source phi = 1+ rac 5 / 2 et n'en distinguent pour ainsi dire que par un jeu d'écriture. Elles n'en exhibent pas moins en propre les caractères suivants.

1. A la différence de l'équation-type, les éléments sont « homogénéisés », puisque l'expression ne contient plus que des racines carrées.

2. En l'assimilant à la tétractys, ces équations font apparaître une homologie entre le triangle aurigène et l'ensemble de la nef (dont ce même triangle aurigène est une partie). Le triangle aurigène se présente dès lors comme une mini-nef qui développe, en mode puissanciel, les mêmes nombres que la nef développe en mode entier.

En réalité, le fait de modifier "l'écriture" du triangle aurigène (1,2, racine 5), en exprimant tout en racines, (racine 1, racine 4, racine 5) permet de montrer que les trois côtés du triangle aurigène sont simplement les racines des trois côtés qui forment la carène de la nef.

Autrement dit : la partie (mini-nef aurigène) contient le tout (nef) en mode puissanciel. 

Noter : l'inversion du sens de lecture : anti horaire pour la nef, horaire pour la mini-nef... cette inversion entre micro et macrocosme est caractéristique de pas mal de structures pyth.

Le triangle aurigène pourra donc être paramétré de deux manières différentes. Un paramétrage « interne » sous forme de racines carrées, et un paramètrage externe sous la forme de l'entier, qui marque son appartenance comme partie, à la structure générale entière de la nef.

 

 

 

Il y a une relation certaine entre la relation min-nef/nef, et la relation graine/gnomon

mini-nef peut apparaître comme un élargissement de l' endomorphisme du gnomon, dans une perspective inter-arithmétique plus large qui inclue les relations racines/entier.

Noter qu'à l'état de "graine" (mini-nef), la nef est "repliée", ce qui semble bien naturel.

On pourrait en gros voir dans la Nef, avec sa carène bien carrée, le monde du gnomon (au sens usuel), caractérisé par le segment-unité de valeur 1 qui paramètre sa structure : l'entier.

Et dans la mininef le monde "théodorien", le monde puissanciel...

 

 

En tant que QUATRIEME triangle de la spirale de Théodore, où il apparaît déjà dans sa forme "décadique" (1, racine 4, racine 5), le triangle aurigène correspond à la première clôture gnomonique, et donc il résonne avec le 16 eme triangle, le triangle (1, 4, racine 17) qui correspond à la seconde clôture. Ou le 5 répond bien nettement au 17.

 

Relation d'octave entre le triangle aurigène (Théodore 4) et le triangle (1,4, rac 17) (Théodore 16)

 

 

 

Les hypoténuses 5 et 17 correspondant aux "bords" de ces clôtures entretiennent une relation tout à fait signifiante.

 

Aurigène a pour octave "Isiaque" pour les angles, et Théodore 16 pour l'aire (situation d'intersection – ou de nouage – "labdaïque").

Importante remarque :

 

Au sein du système géométrique de la nef, comme au sein du système gnomonique du rectangle de fibonacci, l'aire du triangle aurigène est égale à 1 ; c'est à dire qu'elle est égale au petit carré insécable de surface 1 qui est l'unité atomique du système.

 

L'aire du triangle aurigène est égale à 1

 

Il y a un rapport entre phi et 1, c'est bien connu, et qui n'est pas seulement ésotérique et secret, mais sans doute aussi mathématique.

Cette "monalité" du nombre d'or apparaît même, à mes yeux, dans la simplicité du principe de la division du segment par "un certain rapport à lui-même".

Le nombre 5 faisant aussi partie de ce procès "métamathématique" de l'unité. J'emploie ici ce mot de métamathématique au sens de math "profonde", pythagoricienne

Au sein de la nef, aurigène et isiaque ont respectivement pour surface 1 et 6. la surface totale de la nef étant de 7. Cette relation évoque évidemment les pavages hexagonaux, où aurigène apparaît une nouvelle fois comme "intérieur", par rapport à isiaque "extérieur". En outre, le triangle aurigène a pour surface l'entier 1, c'est à dire que sa surface est égale à celle du carré atomique 1 (du système gnomonique dans lequel la nef s'inscrit). Unarité qui, liée à sa "décadité" interne (rac 1, rac 4, rac5), et sa 4ème place dans la spirale, ne laisse pas de faire réfléchir.

 

 

 

Un passage du site harpakeredblog montre

le rapport entre la coudée égyptienne, périmètre du triangle aurigène, avec π et le nombre 6. DONC, géométriquement, on peut "polygoner" un cercle de rayon de 5 en dépliant 6 triangles aurigènes

 

 

L'extrait en question :

 

L’Unité Pythagoricienne étant de 1, nous allons l’utiliser dans un rectangle, ce dernier aura pour largeur 1 et pour longueur la Dyade Pythagoricienne 2 . Selon Pythagore, le carré de l’hypoténuse (gr ὑποτείνουσα : sous-tend, soutenir) est égal à la somme des carrés des côtés, soit notre hypoténuse dans ce cas-ci, est la racine carrée de 5 = 2,23606797. Si nous additionnons les côtés de notre triangle, 1+2+ 2,23606797 = 5,23606797 nous obtenons un nombre irrationnel qui correspond à la coudée égyptienne.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il ne faut pas du tout hésiter, je pense, à multiplier la coudée égyptienne par 6/10   puisqu'en en effet ce ratio a un sens tétractyque.

De la sorte on obtient réellement "pi" :

(1 + 2 + √(5)) × (6 ÷ 10) = 3,1416407865

 

 

Ce ratio a un sens tétractyque, mais en fait 3 sens en 1. Savoir :

Il exprime :

1.  le poids relatif de l'hexagone (approx : du "cercle") par rapport au tout-10.

2. Le poids des 3 premières lignes, par rapport au tout-10

3.  Une troisième chose, (distincte des 2 premières puisqu'elle est leur conjonction) qui est précisément la relation d'égalité entre 1. et 2. au sein de la tétractys. Il semble donc intéressant que l'équation pi = f(phi) "passe" par la tétractys... avec en plus l'avantage de l'exactitude.

 

 

Sur l'hypoténuse du triangle aurigène (racine 5).

Pour charpentier l'hypoténuse est une moyenne entre les côtés de l'angle droit. Racine 5 correspond donc à la moyenne entre 1 et 2. Et en même temps racine 5 est "l'addition de phi et de son inverse". D'où en zappant la copule intermédiaire "rac 5"

La moyenne entre 1 et 2

est l'addition de phi et de son inverse

Autre formulation :

 

√(5) = 1 + (2 × (1 /ϕ))

…................................

Lorsqu'on considère le carré long (formé de deux triangles aurigène) comme la matrice du rectangle de Fibonacci

Ce qui est beau à remarquer est que le rapport doré exact, que tend vainement de rejoindre le rectangle dans sa croissance folle, se trouve enfermé sous forme parfaitement pure, calmement replié, dans sa "demi-graine".

 

 

 

 

 

Le nombre 216

 

Relativement au développement gnomonique tridimensionnel du triangle isiaque 3-4-5, le nombre 216 (=6x6x6) joue le rôle de principe englobant, ou enveloppant.

 

Par sa fonction géométrique, comme par sa forme hexagonale, ce nombre exprime la cyclicité, la complétude, le retour du Même.

 

Ce nombre est bien connu de la tradition ésotérique pythagoricienne, puisqu'il correspond au cycle des réincarnations de Pythagore, ou du moins au demi-cycle.

 

La situation exceptionnelle de ce nombre s'explique par le fait qu'il est l'aboutissement de deux processus, d'une égale importance théorique, - situation que l'on peut à nouveau représenter à l'aide d'un Lambda.

 

                            216 (3³+4³+5³)

 

            108                            50 (3² + 4² + 5²)

 

54                                                     12 (3 + 4 + 5)

 

Jambe gauche, le nombre 216 prolonge la série des nombres vitaux impliqués dans l'harmonie musicale et dans la construction de l'âme du monde ; jambe droite, il correspond au développement complet du triangle isiaque, du segment à la surface, et de la surface au volume.

 

La jambe gauche correspond au principe de l'animation, de la vie, du souffle, de l'harmonie vibratoire et de la durée. La jambe droite, au principe de la condition spatio-temporelle, au sens du développement complet, pour une réalité quelconque, d'un nombre limité de possibilités, défini par les « constituants » ou les prémisses qui la fondent.

 

De cette manière, il semble envelopper dans un même tout le principe de la vie et celui des conditions qui la gouvernent.

 

Du point de vue astronomique, les nombres de la jambe gauche sont impliqués dans le cycle de la précession des équinoxes, qui joue un rôle central dans de nombreux calendriers traditionnels, babyloniens, indiens ou chinois, et intervient souvent dans le calcul de la « grande année ».

 

Relativement à un tel cycle, le nombre 216, associé à la manifestation de l'âme et de la vie humaine, correspond à une division inférieure, qu'on pourrait qualifier de « moyenne année », et qu'on pourrait assimiler analogiquement à un « mois » ou une « semaine » de la grande année.

 

En tant que nombre de Pythagore, multiple de 6 et de 12, et donc, nombre cyclique ou circulaire, ce nombre a un aspect nettement « solaire ».

 

Néanmoins, c'est bien le nombre 9 qui joue le rôle le plus important dans l'exégèse symbolique de ce nombre, puisqu'il est déterminant de part et d'autre de la procession figurée par notre lambda.

 

Jambe gauche, le nombre 216 illustre la loi de genre, la loi de famille des multiples de 9, qui exige que l'unité principielle soit conservée dans tous les multiples, - loi dont on sent qu'elle est déjà dans son principe une loi d'enveloppement. Du côté de la jambe droite, on se rappelle que le nombre 9 correspond au « centre caché », au principe d'équilibre qui régit, non seulement le développement du triangle isiaque, mais aussi celui du triangle aurigène, dans lequel les mêmes nombres interviennent dans une composition différente.

 

Enfin, la division de 216 par 9 donne 24, ce qui suggère la possibilité d'une projection analogique, endomorphique, entre la « moyenne année » régissant les vies de Pythagore, et le cycle de la journée terrestre.

 

Un dernier prolongement des équations de Pythagore.

 

On a vu qu'il existait une relation de parallélisme entre l'équation de Pythagore qui régit le triangle isiaque :

 

3² + 4² = 5²

 

Et l'équation régissant les sommes angulaires respectives des polygones de 3, 4 et 5 côtés.

 

180 + 360 = 540

 

On a vu en outre que la grande équation relative aux cubes adjacents aux côtés du triangle isiaque :

 

3x3x3 + 4x4x4 + 5x5x5 = 6x6x6

 

pouvait être considérée comme un développement « externe » de l'équation de Pythagore, un prolongement hors d'elle même, dans laquelle les trois côtés du triangle isiaque sont ressaisis tous ensemble, pour être coordonnés à un principe qui les « enveloppe ».

 

La question sera : existe-t-il une version « angulaire » de cette extension ; existe-t-il un équivalent, pour les sommes angulaires des polygones, qui ressaisit les 3 termes de l'équation angulaire primitive, pour les coordonner ensemble à un quatrième. La réponse est oui.

 

180 + 360 + 540 = 1080

 

1080 correspond bien à la somme angulaire d'un polygone existant : l'octogone. L'octogone compte 8 angles de 135 degrés, dont le total donne 1080 degrés. La version étendue de l'équation se lit donc :

 

somme des angles du triangle + somme des angles du carré + somme des angles du pentagone = somme des angles de l'octogone.

 

 

Le nombre 1080, le helek et le nouage luni-solaire de la Terre

 

Ce nombre 1080, qui correspond à la somme angulaire des trois polygones, offre une dernière confirmation, et sans doute la plus éclatante, de l'intuition de Dom Neroman selon laquelle la division du cercle et le système sexagésimal avaient leur source dans la nécessité d'intégrer dans le cercle une mesure commune pour ces trois polygones.

 

En effet ce nombre occupe une place très significative dans la spéculation calendaire mésopotamienne, puisque le helek hébreu, emprunté au she babylonien, était une division de temps égale à 3 secondes 1/3, telle que :

1 heure = 1080 halakim

ou encore :

1 minute = 18 halakim

Relativement à la seconde, on voit que le helek favorise la division par 9.

Le nombre 1080, à l'image du nombre 60, possède un nombre impressionnant de diviseurs, puisque, dans les petits nombres, il est divisible par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 et 10.

 

Les hébreux utilisaient en particulier le helek pour la mesure des phases lunaires; et ils estimaient la durée d'une lunaison à 29 jours, 12 heures et 793 halakim, avec une précision de l'ordre de la demi-seconde.

 

On ne sera pas surpris de voir associés, sur le plan symbolique, le problème des phases de lune à celui, arithmétique, de la division par 9, tant la nature féminine, isiaque et lunaire de ce nombre est bien attestée par la tradition.

 

Cependant, chez les babyloniens, c'est bien la journée terrestre qui est le cadre de la définition du she, puisque celui correspond au 72 ème d'un degré du cercle journalier, qui assimile la durée d'une journée à une révolution du cercle 360.

Du fait de cette double pertinence, à la fois lunaire et terri-solaire, on peut estimer que le helek était investi d'une valeur très particulière, et pouvait prétendre à être quelque chose comme "un quantum naturel de temps".

La coïncidence des cycles lunaire et terri-solaire a toujours représenté un horizon - en même temps qu'un "vortex" - de la spéculation calendaire, dans toutes les civilisations existantes, parce qu'elle consiste à placer la Terre dans une position intermédiaire entre le "macrocosme" solaire dont la Terre est dépendante, et le "microcosme" lunaire qui dépend immédiatement d'elle : la Terre étant, gravitationnellement à la lune, ce que le soleil est à la terre. Lune et soleil équivalent à définir la terre comme intermédiaire, comme un être de transition de doté deux "côtés" principaux, l'un vers le microcosme, l'autre vers le macrocosme.

 

Cette forme de "nouage cosmologique de proximité" qui définit le "temps de la terre" comme le produit naturel (la solution commune) entre le temps solaire et le temps lunaire, présente une analogie évidente avec les "nouages" pythagoriciens typiques dont on a vu, ici, se déployer les formes variées, à partir du lambda de Platon.

Nous ignorons si les pythagoriciens faisaient usage du she babylonien, mais, dans un registre apparenté, on peut se rappeler que Charpentier se réfère à plusieurs reprises, sans citer ses sources, à une tradition selon laquelle l'année pythagoricienne durerait 99 mois.

Il s'agit très probablement, là aussi, d'un calendrier luni-solaire, selon ce que nous suggère Rémy Bayoud :

avec une lunaison de 29,5 jours et une année de 365,25 jours,  On a 12 lunaisons = 354 jours, et 1 année = 12 lunaisons + 1 reste de 11,25 jours En regroupant 8 années solaires, on monte à 96 lunaisons + 1 reste de 88,75 jours Ce reste est très proche de 3 lunaisons. Autrement dit 8 années = 99 lunes
Mais je ne fais finalement que retrouver le cycle dit octaétérique du calendrier attique.

 

Les 99 mois lunaires se rangeraient alors dans une "grande année" solaire de forme octogonale.

Et l'on peut se souvenir que la somme des angles de l'octogone est de 1080 degrés, qu'elle correspond à la somme des angles des 3 premiers polygones, mais aussi au développement "externe" des équations de Pythagore relatives au triangle isiaque.

 

 

 

 

SOLIDE DE DÜRER ET PAVAGES GNOMONIQUES

 

 

 

par Guillaume DENOM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Chapitre 1

 

SOLIDE DE DÜRER ET RHOMBOEDRE ASSOCIE

 

 

 

 

 

Le solide de Dürer (pour les puristes : le trapèzoèdre triangulaire tronqué) est un rhomboèdre tronqué. Un rhomboèdre est un cube étiré sur l'une de ses grandes diagonales.

 

Les faces du rhomboèdre sont simplement des losanges au lieu d'être des carrés, mais le cube lui-même peut parfaitement être considéré comme un cas limite de rhomboèdre.

 

On peut construire un solide de Dürer à partir de n'importe quel rhomboèdre, en tronquant précisément les deux sommets opposés sur lesquels il est étiré. La forme du solide de Dürer dépendra donc de l'angle choisi pour le losange correspondant à la face du rhomboèdre. Certains cas sont particulièrement intéressants, en ce que le rapport des angles du losange s'exprime par de petits entiers. On peut en citer trois.

 

Le cube, pour lequel le rapport des angles du losange est de 90°/90° = 1/1 = 1.

 

Le rhomboèdre gnomonique, dans lequel le rapport des angles est de 60°/120° = ½

 

Le rhomboèdre d'or, dans lequel le rapport des angles est égal à 72°/108° = 2/3. Le solide de Dürer associé à ce rhomboèdre correspond à une situation d'équilibre parfait entre 2 possibilités d'orientation de l'angle du losange, l'une dans le sens obtus, vers le carré 1/1, l'autre dans le sens aigü, vers le losange 1/2, perfection qui se traduit par le fait que ses sommets sont inscriptibles dans une sphère; - le nombre d'or correspondant d'ailleurs généralement, dans l'ordre physique, à une semblable situation d'équilibre entre deux forces ou tendances antagonistes.

 

Les pythagoriciens fidèles à leur nonchaloir auront reconnu, dans ces trois cas particuliers, les trois rapports musicaux que sont l'unisson (1/1), l'octave (2/1) et la quinte (3/2), qui correspondent au développement en procession des trois premiers étages de la tétractys; ce ternaire constituant en l'espèce une structure fermée.

 

 

 

Notons que le solide représenté par Dürer dans sa gravure Melencolia ne se rapproche bien nettement d'aucun de ces trois types, puisque son angle apparent se situe aux environs de 79 ou 80°.

 

 

 

Le rhomboèdre gnomonique

 

On s'intéressera ici principalement au rhomboèdre gnomonique, d'angle 60°/120°, et à son solide de Dürer associé.

 

 

 Solide de Dürer gnomonique

 

 

Le solide ci-dessus se compose de 3 éléments, un octaèdre au centre, et deux tétraèdres tronqués, en haut et en bas. Il est naturellement plus étiré que celui de Dürer, mais on retrouve bien nos 6 faces pentagonales et nos deux faces triangulaires. Pour obtenir une expression gnomonique entière, il suffit de considérer les 3 éléments qui le composent comme des polyèdres gnomoniques de rang 2, semblables à ceux-ci :

 

 

Tétraèdre et octaèdre gnomoniques de rang 2

 

 

Les tétraèdres gnomoniques devront simplement être diminués d'un petit tétraèdre, par exemple le rouge situé ici au sommet.

 

L'octaèdre central du solide de Dürer se décompose alors en 6 petits octaèdres + 8 tétraèdres, et les deux tétraèdres tronqués, pour chacun, en 1 octaèdre + 3 tétraèdres. Le solide de Dürer complet se composera donc de 8 octaèdres + 14 tétraèdres, soit 22 éléments en tout. Pour compléter ensuite le grand rhomboèdre, il faut encore ajouter un tétraèdre à chacun des sommets tronqués, de sorte que ce rhomboèdre présentera lui une composition bien équilibrée de 8 octaèdres pour 16 tétraèdres, soit 24 éléments en tout.

 

A la simple vue des polyèdres gnomoniques dont il se compose, on comprend que le solide de Dürer peut être construit à partir d'un patron composé uniquement de triangles équilatéraux. Chaque face pentagonale se décompose en effet en sept triangles équilatéraux; les six pentagones se subdivisent donc en 6x7=42 triangles équilatéraux, auxquels s'ajoutent 2 triangles pour fermer les troncatures ; soit au total 44 triangles équilatéraux. On remarque que ce nombre est le double de celui des petits solides utilisés pour la construction gnomonique du même polyèdre (22), où l'on découvre donc une nouvelle expression du rapport ½ qui traverse toute la structure.

 

 

La relation du solide de Dürer à son dual : une auto-dualité contractée

 

Le dual du solide de Dürer est un rhomboèdre semblable au grand rhomboèdre de départ, avant sa troncature, bien qu'évidemment d'une échelle différente. Il s'agit là d'une propriété très singulière, car, en raison de la "coplanarité" de certaines de ses faces (c'est à dire de leur appartenance à un même plan), le dual du solide de Dürer a la propriété spéciale de posséder moins de faces que le solide de Dürer n'a de sommets, précisément deux fois moins. En effet, l'ensemble de ces faces, triangulaires, fusionnent deux à deux pour former des losanges.

 

Dans les nomenclatures, le dual du solide de Dürer est référencé sous le nom de bipyramide triangulaire gyroallongée, et, en tant que dual d'un polyèdre à 12 sommets, il est fréquemment présenté comme un dodécaèdre. Toutefois, cette façon de le qualifier tient uniquement à la rigidité des définitions mathématiques, car, en réalité, ce n'est bel et bien qu'un banal rhomboèdre, doté de 6 faces seulement. Et on n'en trouvera sans doute pas de meilleure preuve que le fait qu'il soit exclu de la liste des solides de Johnson (avec ici des explications à l'appui) pour la raison précisément que ses faces - des losanges - ne sont pas des polygones réguliers.

 

 

Solide de Dürer et rhomboèdre dual inscrit

 

Il existe donc une forme d'auto-dualité entre le solide de Dürer et son rhomboèdre dual, mais une auto-dualité très particulière, qu'on pourra qualifier de "contractée". En effet, il existe une homothétie qui projette les sommets du rhomboèdre dual sur ceux du solide de Dürer, mais à l'exclusion de certains points. Autrement dit,  le solide de Dürer peut être vu comme une contraction de son dual, résultant de la projection de ce dual sur une partie de lui-même.

Cette opération de contraction est toutefois justiciable d'une définition mathématique très précise, en géométrie projective notamment, où elle constitue un groupe spécifique de transformations.

 

Le rhomboèdre dual inscrit pourra, naturellement, se décomposer en trois éléments semblables à ceux du grand rhomboèdre : un octaèdre et deux tétraèdres, évidemment non tronqués.

Pour le solide de Dürer gnomonique, la dimension du rhomboèdre inscrit est très facile à déterminer. En effet, pour construire le solide de Dürer, le grand rhomboèdre de départ a été tronqué d'un tiers de sa hauteur, (mesurée sur l'axe d'étirement commun au solide et à son dual, comme dans l'illustration ci-dessus).

Le rhomboèdre dual inscrit aura donc une hauteur égale à 2/3 de ce grand rhomboèdre. Par conséquent, si, par exemple, pour le grand rhomboèdre, on a utilisé un octaèdre et deux tétraèdres de 6 cm d'arête, alors, pour le dual inscrit, on devra utiliser un octaèdre et deux tétraèdres de 4 cm d'arête.

 

 

Une quadruple identité très remarquable

 

On a ici une quadruple identité très remarquable entre :

Le rapport des angles du losange (60°/120°) = la composition gnomonique du polyèdre dual (1 octaèdre / 2 tétraèdres) = la composition gnomonique du grand rhomboèdre détronqué (8 octaèdres / 16 tétraèdres) = enfin le rapport entre la composition du solide, et celle de la surface (22 éléments pour le solide / 44 triangles équilatéraux pour la surface), - ce dernier rapport se conservant d'ailleurs pour le grand rhomboèdre, où l'on a 24 solides pour une surface de 48 triangles. Tous ces rapports sont en effet égaux à 1/2.

 

On saisit par là que le gnomon est un certain rapport d'identité, particulièrement profond, entre nombres et figures. Même si certains, avec quelque raison peut-être, préfèreront n'y voir qu'une vaste tautologie.

 

Cette relation généralisée permet de conjecturer que, pour le rhomboèdre d'or d'angle 72°/108° et son solide de Dürer associé, le rapport 2/3 qui est celui des angles du losange, devra se retrouver dans la composition interne du rhomboèdre, aussi bien que dans la division de ses faces ; et que, selon toute vraisemblance, la solution de ce problème devra revêtir la forme d'un pavage de Penrose en trois dimensions.

 

 

 

 

 

Chapitre 2

NOMBRES GNOMONIQUES ET NOMBRES MIROIRS

 

 

 

On peut remarquer que les nombres 8 et 14, qui apparaissent dans la composition du solide de Dürer, ne sont pas des inconnus, puisqu'on les retrouve dans la nomenclature des polyèdres gnomoniques de rang 2.  Nomenclature où l'on retrouve aussi, par induction, les nombres 27 et 54, intervenant quant à eux dans le lambda de Platon, qui correspondent si l'on peut dire au "centre caché" de cette structure d'objets. En demandant grâces pour la trivialité de ces calculs, qui n'ont d'autre fin que de mettre en lumière cet aspect structurel des rapports arithmétiques.

 

POLYEDRES GNOMONIQUES DE RANG 2

 

Tétraèdre            Cube             Octaèdre                                  Icosaèdre               Total

5                           8                    14                                           81                       108

5               +          8          +        14    =     27

                                                                  27     =    54/2    =    81/3        =          108/4

 

La seconde équation pouvant être vue comme une tétractys, dont les 10 unités-points seraient des cubes gnomoniques de rang 3, de valeur 27.

 

 

On peut encore noter que les propriétés des multiples de 9 - très appréciées de Dante - permettent de développer, à partir du nombre 108, une série continue de rapports proportionnels alternés entre nombres miroirs. Ainsi 18 est à l'égard de 108 dans le rapport 1/6, tandis que son "miroir" 81 est à l'égard de 108 dans le rapport 3/4. 27 est à l'égard de 108 dans le rapport 1/4, tandis que son miroir 72 est à l'égard de 108 dans le rapport 2/3. 36 est à l'égard de 108 dans le rapport 1/3, tandis que son miroir 63 est à l'égard de 108 dans le rapport 7/12. Enfin 45 est à l'égard de 108 dans le rapport 5/12, tandis que son miroir 54 est à l'égard de 108 dans le rapport 1/2. Accolés à leur complément, les nombres miroirs forment des nombres palindromes, eux mêmes dotés de propriétés spéciales. Aux extrémités de ce cycle se trouvent le nombre 9 (108 x 1/12), diviseur de tous les autres, qui, lorsqu'on l'exprime sous la forme 09, est le miroir de 90 (108 x 5/6), et enfin le nombre 99 (108 x 11/12), sous l'égide duquel Virgile et Dante ont tous deux placé leur oeuvre majeure, comme l'a montré André Charpentier. Ce nombre "terminal" est exclu du mouvement tournant qui entraîne tous les précédents, en ce qu'il est miroir de lui-même, et donc déjà palindrome. Sous ce regard, il peut donc apparaître comme le point de "fixation" autour duquel gravitent tous les autres, ce qui explique que ces poètes pythagoriciens aient vu en lui l'image du "moteur immobile" de la manifestation universelle.

Ceci se comprend encore mieux si l'on dispose tous ces nombres autour d'un pentagramme, de la manière indiquée ci-dessous, puisqu'on s'aperçoit alors que tous les segments reliant entre eux deux nombres miroirs convergent naturellement au centre 99, qui correspond à chaque fois à leur somme.

 

Si l'on adopte pour le pentagone intérieur une disposition "horaire", alors le pentagone extérieur se disposera lui-même de façon "anti-horaire". Les nombres correspondent donc ici exactement aux propriétés de la figure, symbole traditionnel de l'analogie inversée du microcosme et du macrocosme, mais aussi de l'alternance universelle des rythmes cosmiques.

Si l'on relie tous ces points par un tracé continu suivant l'ordre croissant des nombres qui leur correspondent, et si l'on joint le dernier (99) au premier (9), on obtient une figure appelée noeud vital, qui s'apparente à plusieurs symboles connus, tels que le symbole de l'infini, le noeud trèfle ou l'éperluette, tout en se distinguant nettement de chacun d'eux.

 

 

Compte tenu de la logique interne du pentagramme, où les milieux des différents segments convergeant vers le centre 99 sont supposés équivaloir à la somme des nombres associés à leurs extrémités - et ceci indéfiniment, - l'action de joindre, par un dernier segment, le nombre 99 au nombre 9, peut être comprise comme équivalant à intégrer dans le pentagramme le nombre 108, en tant que milieu virtuel de ce dernier segment.

Et pour clore ce chapitre de transition, on pourra relever que le rapport de 99 à 108 est identique à celui du solide de Dürer à son rhomboèdre associé (11/12).

 

 

 

 

 

 

 Chapitre 3

 ISOMORPHISME DU PENTAGRAMME ET DU SOLIDE DE DÜRER

 

 

 

Le rapport entre le pentagramme "modulo 9" et le solide de Dürer n'est pas seulement proportionnel, mais d'octave (11 points pour le pentagramme avec son centre / 22 petits solides pour le solide de Dürer) ; et, dans ce dernier chapitre, nous allons voir qu'il existe une application qui projette les 11 points du pentagramme sur les onze segments reliant deux à deux les centres des 22 petits solides du solide de Dürer, (plus exactement, l'application se fait sur les milieux de ces segments), et réciproquement, - application dans laquelle sont conservées toutes les relations de symétrie, mais aussi de polarité du pentagramme, et grâce à laquelle le solide de Dürer s'intègre naturellement dans ce pentagramme.

 

Dans la représentation ci dessous, les boules blanches correspondent donc aux centres des 22 petits solides du solide de Dürer, solides dont la nature, tétraèdre ou octaèdre, est précisée sur la boule. Ces 22 boules blanches sont assemblées par paires et forment 11 segments. Les onze petites boules noires qui sont les centres de ces segments, correspondent aux 11 points du pentagramme (avec son centre 99).

 

La structure se divise en trois parties : inférieure, supérieure et médiane. Dans la partie inférieure, les segments 18, 27 et 36, forment les arêtes verticales d'un prisme à base triangulaire, avec le segment 9 pour axe polaire principal.

Les segments 63, 72 et 81 forment un prisme identique au premier, avec le segment 90 pour axe polaire; ces deux prismes sont disposés l'un au dessus de l'autre en « sceau de Salomon ». 

Ces huit segments verticaux, occupant les parties inférieure et supérieure du solide, ont tous la même composition : un octaèdre et un tétraèdre; tandis que les trois segments occupant la partie médiane sont composés, eux, de 2 tétraèdres chacun.

 

La structure médiane forme également un sceau de Salomon, composé, non de 2 prismes, mais de 2 simples triangles. Ici on a favorisé une présentation permettant de distinguer plus aisément les 3 segments, mais pour que la figure soit géométriquement exacte, il conviendrait que les 2 triangles indiqués en pointillé, inférieur et supérieur, soient positionnés exactement l'un au dessus de l'autre. Les segments 45 et 54 sont tous deux horizontaux, mais situés à des hauteurs différentes, le 45 plus bas, le 54 plus haut. Quant au segment 99, il possède un point sur le même plan horizontal que le segment 45, et l'autre sur le même plan horizontal que le segment 54. Les segments 45 et 54 sont bien parallèles, comme l'indique la figure ; en revanche, le segment 99 est perpendiculaire au plan formé par ces segments. En joignant par deux segments complémentaires les segments 45 et 54, on obtient un parallélogramme (un losange "vesica piscis" d'angle 60/120°) ; le segment 99 traverse ce losange en plein centre, perpendiculairement.

Ces trois segments forment véritablement le coeur de la structure. Le plan formé par les segments 45 et 54 est incliné de 45° par rapport au plan horizontal, et se situe donc à mi distance angulaire entre le plan horizontal et l'axe vertical; tandis que le segment 99, orthogonal à ce plan 45, 54, est - relativement au même axe vertical - incliné de 45° en sens contraire.

 

 

Symétries et polarités 

 

Ce qui est intérieur dans le pentagramme (les points 9, 18, 27 et 36) correspond à ce qui est inférieur dans le solide de Dürer (les segments 9, 18, 27 et 36).

 

Ce qui est extérieur dans le pentagramme (les points 63 à 90), correspond à ce qui est supérieur dans le solide (les segments 63 à 90).

 

Ce qui est intermédiaire dans la séquence du pentagramme (les points 45, 99 et 54), correspond à ce qui est médian dans le solide, (les segments 45, 99 et 54).

Enfin, ce qui est au centre dans le pentagramme, le point 99, correspond à ce qui est au centre dans le solide de Dürer; puisqu'en effet le centre du segment 99 correspond au fameux "point vert" évoqué ailleurs sur ce site, qui est le barycentre du solide de Dürer.

Toutes les relations de polarité entre 2 points opposés du pentagramme par rapport au centre 99, se retrouvent dans le solide de Dürer. Ainsi, dans le solide de Dürer, le segment 18 est, polairement, antagoniste du segment 81, le segment 27 du segment 72, le segment 36 du segment 63, le segment 45 du segment 54, et le segment 9 du segment 90. Tandis que le segment 99, comme il se doit, est antagoniste de lui-même. Et il y a mieux encore : si l'on joint par leurs centres toutes ces paires de segments antagonistes du solide de Dürer, on constate que toutes les droites joignant ces segments par leurs milieux passent par le centre du segment 99.

 

Ce qui est polaire dans le solide de Dürer, (en considérant comme axe polaire principal, l'axe vertical haut / bas qui est l'axe d'étirement du solide), à savoir les segments 9 et 90, correspond, dans le pentagramme, au « début » et à la « fin » de la séquence; - car dans le pentagramme aussi la séquence naturelle commence à 9 et finit à 90, puisque le point 99 a été installé à son juste « moment », entre les points 45 et 54.

 

Enfin, l'orientation alternée du sens de la construction ; d'abord « horaire » de 9 à 45, puis anti-horaire de 54 à 90, est également respectée. Le segment 99 correspond au plan de symétrie de part et d'autre duquel se divisent, en s'inversant, ces deux mouvements, le premier « dextrogyre », le second « lévogyre ». Les deux structures ont pour squelette commun une double spirale, bidimensionnelle pour le pentagramme, tridimensionnelle pour le solide de Dürer, où elle se développe en double hélice - spirales dont la première est centripète et dextrogyre, et dont la seconde est centrifuge et lévogyre.

La structure sous-jacente aux deux figures peut être schématisée par l'illustration ci dessous :

 

 

 

 

 

Du pentagramme au nid d'abeilles

 

Le solide de Dürer peut donc n'apparaître que comme un développement en trois dimensions de la structure bidimensionnelle qui est celle du pentagramme. Cependant, alors que le pentagramme est une structure de symétrie pentagonale, associée au nombre d'or et aux pavages de Penrose, le solide de Dürer – placé tout entier sous le signe du sceau de Salomon – relève, quant à lui, de la symétrie du "nid d'abeille" tétra-octaédrique, propre à sa constitution gnomonique, symétrie résultant d'un pavage continu de l'espace par des tétraèdres et des octaèdres, comparable à celui que l'on peut obtenir avec des cubes. L'intégration du solide de Dürer dans le pentagramme fait donc apparaître une supersymétrie – ou encore une super dualité – entre ces deux types de symétrie.

 

                                          

                                         pentagramme                   nid d'abeille tétra-octaédrique

 

 

Or, on remarque que dans notre solide de Dürer, la symétrie pentagonale est celle qui régit les « milieux » des objets appartenant à la seconde, à la symétrie du nid d'abeille. La première se présente ainsi comme étant « au coeur » de la seconde, comme son principe de mouvement, ou de développement ; ou encore, la première semble correspondre à l'aspect « intérieur » d'une réalité, dont la seconde représenterait l'aspect « extérieur ».

 

 

 

Remarque ponctuelle

 

On a fait le choix, pour cette étude, de référencer les solides par les points qui sont leurs centres, afin de mettre en évidence ensuite les "milieux" des segments joignant ces centres, mais il convient de préciser que, dans la logique du gnomon, les petits solides, qui ont le statut d'atomes et la valeur discrète de monades, peuvent parfaitement être considérés eux-mêmes comme des points, de sorte que nos boules blanches auraient tout aussi bien pu désigner ces solides eux-mêmes. On aurait alors eu 11 segments composés uniquement de 2 points; à la réserve que, dans ce cas de figure, les lignes joignant ces boules auraient été superflues, puisque, pour tous ces segments, les deux solides sont tangents, soit par une face (pour les segments tétraèdre-octaèdre), soit par un sommet (pour les segments tétraèdre-tétraèdre). Les centres des segments auraient donc coïncidé avec des lieux intersticiels purement virtuel et de valeur nulle, autrement dit avec des points "euclidiens", lesquels, dans leur compréhension juste, ne peuvent représenter que des lieux vides d'objet. De ce point de vue, la symétrie pentagonale peut donc apparaître, tout aussi légitimement, comme la symétrie régissant les vides intersticiels de la structure du nid d'abeille.

 

 

Le symbolisme du pentagramme

 

En laissant de côté toute considération liturgique, il est possible, en conclusion, de toucher ici un mot du symbolisme du pentagramme.

 

Dans sa représentation classique sous forme de noeud à 5 sommets, le pentagramme est un noeud mortel, qui se rapporte au démembrement de "l'homme primordial" et dont les points de référence (situés au centre des 5 petits triangles - branches de l'étoile) sont en réalité des "points de casse", qui correspondent dans le corps humain à : nuque, épaules, et hanches. Ce noeud agit donc de façon "constrictrice", comme mû d'une énergie "auto-serrante".

 

En passant par le point central, on a, comme pendant de ce noeud mortel, le noeud vital... dont la chose la plus importante à remarquer, sans doute, est qu'il n'est pas un noeud. En effet, si on le saisit par un coin, il se délace et se résout en une simple corde circulaire, de sorte que son aspect "nodal" s'avère finalement n'être qu'une illusion.

 

 Le 18.04.2017

 

 

                                                 

 

LA DOCTRINE SECRETE DU DODECAEDRE

 

 

 

 

Le 11.04.2018 par Christophe Mercadier

 

 

Platon sur le dodécadèdre :

traduction site Remacle :

....

Et comme il restait une cinquième combinaison, Dieu s'en servit pour tracer le plan de l'univers.

traduction Léon Robin (en général il est plus dans le "mot à mot") :

Il restait encore une combinaison, la cinquième; c'est à l'Univers que le Dieu en fit application, pour en dessiner l'épure.

....

Tu avoueras que le ton est pour le moins énimgmatique. Surtout que les 4 précédents ont été soigneusement décrits : faces, arêtes, angles; cela revient presque à dire au "lecteur", si tu ne le connais pas (le 5eme) cherche le toi-même!

Il semble y avoir un autre propos sur le dodécaèdre dans le Phédon, où ce solide est associé au "Tout", par opposition aux 4 autres associés aux éléments, mais je n'arrive pas à le retrouver.

 

 

…..

 

Je pense que ce n'est pas extrapolation, mais lecture attentive : la phrase sur le dodécaèdre est bien un TROU ésotérique du Timée.

Je m'explique.

Le Timée est un ouvrage assez centralement consacré à la question précise du "plan de l'Univers"

Où pas une fois on entend parler de ce solide

hormis dans cette phrase, qui énonce "en passant" que le plan de l'univers est un dodécaèdre.

Ce qui est marqué là, c'est bien une limite entre "ce dont on peut parler", et "ce qu'on doit taire"

Il est impossible de ne pas comprendre que cette seconde catégorie relève de "quelque chose de plus élevé"

Et pourquoi le solide n'est-il pas décrit?

plutarque

Pourquoi, entre les différents corps composés les uns de lignes droites et les autres de lignes circulaires, assigne-t-il (Platon) pour principes des corps composés de lignes droites le triangle isocèle et  [1003c] le triangle scalène, dont le premier a formé le cube, qui est l'élément de la terre, et le second la pyramide, l'octaèdre et l'icosaèdre, dont l'une est le principe du feu, l'autre de l'air, et le troisième de l'eau? Pourquoi omet-il absolument les corps circulaires, quoiqu'il ait fait mention du sphéroïde et qu'il ait dit que chacune des figures ci-dessus nommées peut diviser une circonférence en parties égales ?

Est-ce, comme quelques uns l'imaginent, parce qu'il assigne au sphéroïde le dodécaèdre, lorsqu'il dit que Dieu employa cette figure pour la formation de l'univers? Car la multitude des éléments [1003d] du dodécaèdre et la grande ouverture de ses angles font que, s'éloignant beaucoup de la ligne droite, il se courbe facilement, et son périmètre, comme dans les sphères composées de douze pièces réunies, approche davantage de la forme circulaire et contient un très grand espace. Il y a vingt angles solides, dont chacun est renfermé dans trois angles plans et obtus qui contiennent chacun un angle droit et la cinquième partie de cet angle. D'ailleurs le dodécaèdre est formé de douze pentagones, dont les côtés et les angles sont égaux, et composés chacun des trente premiers triangles scalènes. Il semble donc être une image du zodiaque et de l'année, puisque ses divisions sont égales à l'un et à l'autre.

Euh oui je pense qu'on peut gloser la remarque de plutarque assez facilement.

Je te mets le lien vers les questions platoniques de plutarque. Le dodec est l'objet de la question IV.

Ce que je trouve pour le moins surprenant (d'où l'envoi) c'est que la réflexion sur le dodécaèdre s'inscrit dans une réflexion générale sur la courbure.

La ligne est elle plus originaire que le cercle?

Le dodec est-il le solide le plus proche de la sphère? etc

Comme s'il voulait t'insinuer dans l'esprit que l'angle 108 correspondrait en quelque manière à la "courbure" de l'univers.

Je n'extrapole pas je pense, même si le relent "einsteinien" de sa cogitation ne peut raisonnablement être considéré que comme "fortuit", mais l'approche par la courbure me semble néanmois intéressante parce que "peu naturelle" et assez "spéculative" dans ce contexte.

 

(à suivre)