La dyade indéterminée

V. LA DYADE INDETERMINEE ET SES DIFFERENTS ASPECTS

La dualité Objet/Opération revêt, dans l'idée de Granger, la fonction d'"archè", ou de principe irréductible, correspondant à "ce qui reste, une fois qu'on a tout enlevé", une fois qu'on a fait abstraction, ou soustraction, de toutes les opérations et tous les objets particuliers. Cette notion n'est donc pas elle-même d'ordre mathématique, mais métamathématique.

La tradition pythagoricienne connaît une notion qui assume, à l'égard de la mathématique et de la science, une prééminence du même genre, notion qu'il est d'usage de traduire  en français par l'expression : "dyade indéfinie", mais que l'on choisit ici de nommer "dyade indéterminée", pour éviter de la confondre avec une notion de niveau inférieur. Cette notion a, en effet, dès l'antiquité, et plus gravement encore de nos jours, donné lieu à diverses méprises, du fait que chacun des termes qui la composent peut être interprété dans un sens moins universel que celui, métamathématique, et d'ordre vraiment primordial, qui est le sien en réalité. Ainsi, le terme "indéterminé" peut être confondu avec une notion de niveau inférieur, qui est le second terme, négatif, d'un cas précisément déterminé de la "dyade indéterminée" : la dyade "Défini - Indéfini". De même le terme "dyade" a pu, dans cette même expression, être compris à tort comme désignant "l'idée du nombre 2", c'est-à-dire comme un opérateur intervenant dans la construction de l'arithmétique, ce qu'il ne signifie en aucune manière dans cette expression, où sa portée est plus universelle, puisqu'antérieure à la définition même du nombre, comme de l'arithmétique. Dans les deux cas, l'erreur provient, comme on le voit, de la confusion du mathématique et du métamathématique.

La langue française s'est elle-même montrée hésitante, pour trouver un équivalent à la paire de concepts qui est, de l'avis général, le représentant historique le plus décisif de cette doctrine, la dyade "Peras-Apeiron", objet de fragments inestimables de deux autorités pythagoriciennes : Alcméon et Philolaos, tous deux crotoniates. Trois solutions ont été adoptées. Fini - Infini, Limite (ou "Limitant") - Illimité, Défini - Indéfini. Tous ces termes ont reçu, en mathématique moderne, des applications précises, entre lesquelles existe un écart de signification important. Pourtant, seule la première de ces traductions, qui était celle en usage au XIXe siècle, peut être considérée comme impossible, la notion de l'infini ne pouvant relever, en pythagorisme comme dans toute doctrine au sein de laquelle on se refuse à mélanger les genres, que du domaine exclusif de la connaissance métaphysique, et n'ayant pas sa place en mathématique; n'en déplaise à l'habitude hyperbolique contractée par les modernes, - habitude qui n'a pas de justification plus profonde, que le fait que la véritable notion de l'infini leur soit, en règle générale, inconnue, ou étrangère, aussi bien que toute autre notion de métaphysique véritable.

^{Peras - Apeiron}

^{Limite - Illimité}

^{Défini - Indéfini}

A ce premier noyau d'idées mathématiques, on peut d'abord relier la dyade logique du  Même et de l'Autre du Timée de Platon (Identité - Différence), dans la mesure où la partie centrale du Timée peut, selon toute vraisemblance, être considérée comme un ouvrage de l'école de Philolaos-Timée, dont Platon n'est que l'éditeur. On peut, de même, remarquer que la dualité du Discret et du Continu, bien qu'elle coure le risque de se voir taxer d'anachronisme ⁽¹⁾, constitue, pour le sens, qui seul importe ici, une traduction également légitime, et peut-être la plus éclairante, de la dyade de Philolaos. Enfin, à toutes ces dyades, on peut encore associer une variété de notions qui se rapportent, elles, à la polarisation caractéristique de la structure géométrique du gnomon; ainsi, le gnomon présente un côté Fermé et un côté Ouvert; un côté qui est l'Origine, ou l'Ombilic, et un côté auquel sont liées les idées de Croissance ou d'Augmentation.

Dans toutes ces situations, le terme "dyade indéterminée" se rapporte donc à la paire d'universaux irréductibles qui reste au fond de la pensée mathématique, une fois qu'on l'a délestée de ce qu'elle contenait. Plus précisément, la doctrine pythagoricienne suppose que, par delà la variété d'aspects sous lesquels cette dyade se présente, il existe une forme ou un moule absolument universel, absolument vide et inconditionné, qui, comme tout ce qui est vraiment premier dans l'ordre intellectuel, demeure en lui-même insaisissable. L'essentiel demeurant toutefois que, si l'on s'attache avec sincérité à l'un de ses aspects, on est contraint, par un chemin ou un autre, de récupérer les autres.

La dualité grangérienne Objet/Opération peut donc apparaître comme un aspect particulier de la dyade indéterminée, adéquat à un certain moment de la pensée, ou de la réalisation mathématique particulière qui est celle de la mathématique moderne, sans qu'on doive estimer pour cela qu'elle l'emporte sur les autres de manière absolue ou catégorique, en terme de primauté, ou de fondamentalité. On peut d'ailleurs remarquer que, chez Granger lui-même, la dyade Contenu - Forme apparaît plusieurs fois comme une dyade concurrente et complémentaire de la dyade Objet - Opération.

Les différents aspects de la dyade indéterminée ne sauraient donc donner lieu à une "table des catégories" prétendant à la complétude; et la fameuse "table des opposés" transmise par la tradition pythagoricienne sous le nom d'Alcméon de Crotone, que nous rappelons plus loin pour mémoire, ne fait, à cet égard, pas plus autorité que celle que nous proposons ici, en guise de récapitulation de ce chapitre. Les notions qui suivent n'ont été choisies que parce qu'elles nous paraissent avoir un sens bien établi dans un contexte déterminé, qui est, pour nous, celui de la mathématique moderne et de son expression métamathématique. Les aspects de la dyade indéterminée sont par essence "indéterminés" dans leur nombre même, parce qu'ils relèvent de la nature, de la déterminité même de l'homme, déterminité qui est d'ordre spatio-temporel, historico-géographique, mais aussi, s'agissant d'une table de ce genre, linguistique. La doctrine pythagoricienne est, du reste, la seule que nous connaissions à formuler dans les termes les plus clairs ce principe de la contingence, notamment linguistique, du commencement de la science - au contraire de la science moderne qui s'imagine toujours pouvoir disposer d'un fondement, ou même d'un objet absolu.

"Le plus sage est le Nombre, et après lui vient celui qui donne leur nom aux choses", énonce un acousmate pythagoricien. Le nombre n'est principe de connaissance, que pour autant qu'il s'applique originairement à quelque chose d'autre; quelque chose qui n'est pas de la nature du nombre, mais qui est de la nature "exemplaire" et "permutante" (ou encore : paradigmatique), des choses nommées, des choses qui reçoivent de l'homme leur nom.

Même la tétractys n'a pas, en pythagorisme,  le statut de commencement absolu, mais seulement celui de commencement excellent.  ⁽²⁾

Cette contingence du commencement n'implique, bien évidemment, aucune espèce de "relativisme" concernant la connaissance qui en est le résultat. Ce qui distingue les pythagoriciens des autres philosophes ou scientifiques, réside, principalement, dans la possession d'une certitude inébranlable, certitude qui n'est autre que la foi scientifique, et qui est par nature incommunicable, puisqu'elle ne consiste qu'en la pure intellection de ce que l'on a dans la pensée.

Limite - Illimité

Défini - Indéfini

Discret - Continu

Nombre - Figure

Identité - Différence

Objet - Opération

Contenu - Forme (Contenant)

Graine - Gnomon

Fermé - Ouvert

Origine - Croissance

Un - Multiple

Impair - Pair

La table d'Alcméon

Ce qui se montre avec évidence dans cette image ancienne de la doctrine, c'est que la dyade indéterminée a beaucoup moins de rapport avec le nombre 2 qu'avec le principe universel de l'ordinalité, en tant qu'il s'oppose à la cardinalité de la monade. L'appellation "table des opposés" semble  donc fâcheusement insuffisante, en ce qu'elle néglige le fait que ces opposés se présentent, dans la table d'Alcméon comme dans celle ci-dessus, d'une façon qui est toujours la même, selon une règle de polarisation constante, ou encore, comme une suite ordonnée dans laquelle chaque terme se voit attribuer une position d'ordre : 1 ou 2. 

Ce qui, en outre, distingue ces deux tables, aussi bien de celle d'Aristote, que de celle de Kant - malgré le mérite éminent de ces dernières - est leur absence de prétention à la complétude, prétention qui serait illusoire, étant donné le caractère d'exemplarité non close que revêt, dans sa nature même, tout paradigme linguistique.

Limite - Illimité

Impair - Pair

Un - Multiple

Droite - Gauche

Mâle - Femelle

Non mû - Mû

Droit - Courbe

Clarté - Obscurité

Bien - Mal

Carré - Rectangle ⁽³⁾ 

    Parmi les représentations symboliques les plus éloquentes de la dyade indéterminée figurent, outre le prétendu symbole du soleil, (qui ne l'est en réalité que dans la mesure où le soleil peut lui-même être considéré comme un symbole de ce dont il s'agit), et qui est plus originairement le symbole du centre du monde, de l'ombilic, ou du pôle, - le cône, ainsi que divers objets dérivés de cette forme mathématique, tels que l'entonnoir ou le sablier, ou encore, tout naturellement, la lettre V de notre alphabet, ou l'accent circonflexe français ^, analogue au lambda grec.       

Autologie et consistance de la dyade

Pour conclure, on peut remarquer qu'en raison de son extrême universalité, mais aussi de sa vacuité essentielle et positive, la dyade indéterminée recèle la capacité de se comprendre elle-même de façon autologique, en tant que cas particulier, sans entraîner de paradoxe, ni de "régression infinie", de sorte qu'on peut sans doute admettre comme cas ultime de la dyade indéterminée le couple "monade-dyade", ou encore le couple "cardinalité-ordinalité", à nos yeux équivalent, ou de sens très voisin.

De fait, la proposition : "La paire  orientée - dans laquelle un concept, et non uniquement un mot, en précède un autre, - est un exemple, un cas particulier d'ordinalité", est une proposition vraie et consistante, qui ne renferme ni paradoxe, ni régression. Cette capacité autologique est une des raisons qui expliquent les confusions, dont certaines sont anciennes, que cette doctrine a suscitées; comme le fait qu'on ait cherché à voir dans la dyade un opérateur exclusivement arithmétique, alors qu'elle ne l'est que secondairement, dans la mesure où le nombre naturel est un cas particulier d'ordinalité, tandis que le domaine complet dans lequel opère la notion d'ordinalité est, quant à lui, d'un degré plus profond et plus universel à la mathématique, et tel qu'on ne peut le qualifier que de métamathématique, puisqu'il est antérieur au nombre lui-même. ⁽⁴⁾

⁽¹⁾ Sauf par quelques mathématiciens avisés : "Le problème du continu, qui mériterait le nom de problème de Pythagore..." Hermann Weyl, Le continu et autres écrits, Vrin, 1994.

⁽²⁾ Car la tétractys n'est que cela : une forme logique consistante, parce que dotée d'un contenu mathématique; ce qui veut bien dire une forme particulière, parmi d'autres possibles. Si, sur le plan du développement historique et contingent de la science, la tétractys a pu ou peut encore revendiquer le statut de forme idéale ou parfaite, (en tant qu'elle serait, en particulier, la Pensée et l'Outil permettant d'entrer dans le secret des lois de la Nature), c'est donc à titre de rivale d'autres formes concurrentes, auxquelles elle propose un défi que l'on pourrait formuler ainsi. Toute science, toute connaissance vraie, devant consister dans une pensée, et donc dans le rapport d'un Contenant, d'une représentation ou d'une forme, à son Contenu, à l'idée même qu'il contient, la meilleure science, la meilleure connaissance, peut dès lors être caractérisée comme la plus synthétique, c'est à dire comme la pensée qui recèle le contenu le plus riche, le plus universel, sous le contenant le plus maigre, la forme la plus dépouillée.

⁽³⁾ Au sens gnomonique, où ces notions signifient : "égalité - inégalité" des côtés du quadrilatère, et ne sont donc qu'une variante géométrique de la dyade logique "Identité - Différence" ou "Même - Autre". En remarquant que ces notions, ici, peuvent également être dérivées des catégories arithmétiques "Impair - Pair" et "Un - Multiple".

⁽⁴⁾ Sur la dyade en général, on peut consulter l'étude de Philippe Soulier (La dyade platonicienne du Grand et du Petit, principe formel ou matière informe? - à voir ici), qui fournit une abondante documentation. Il convient, pour la lire, de ne pas se laisser impressionner par l'habitude ou la manie universitaire qui consiste à attribuer à Platon des idées qui ne lui appartiennent en aucune manière, et sur lesquelles son point de vue particulier ne présente, d'ailleurs, qu'un intérêt très relatif; puisque l'essentiel du dossier réuni par Soulier est bien de tradition pythagoricienne, - hormis évidemment pour ceux qui nient la permanence historique de cette tradition, permanence qui est indépendante et à vrai dire incommensurable à la tradition philosophique issue de Socrate et Platon, et dont la réalité n'a pu être ignorée, ou mise en doute, qu'en raison de sa nature purement intellectuelle : parce qu'elle ne peut se vérifier qu'à un niveau intellectuel auquel une certaine catégorie d'esprits "sceptiques" n'a tout simplement pas accès. L'oeuvre de Platon a, indubitablement, le caractère d'une encyclopédie du savoir grec, dans laquelle maintes doctrines présocratiques sont évoquées, ou mises en scène de manière quelque peu anarchique, sous des formes souvent dénaturées. Aussi, l'habitude qui consiste à attribuer à Platon l'ensemble des idées que son oeuvre renferme, n'a, bien souvent, pas plus de sens que n'en aurait, par exemple, la convention d'attribuer à "Larousse" ou à "Bordas" les doctrines de penseurs dont la trace aurait été conservée par hasard dans des encyclopédies de ces éditeurs, sous prétexte qu'un quelconque accident de l'histoire aurait fait disparaître les noms ou les oeuvres originales de ces penseurs. 

Philippe Soulier ne se demande même pas si la dyade indéterminée est un concept qui pourrait posséder, a priori, une validité scientifique universelle et absolue, comparable aux concepts : "trois" ou "racine carrée". Dans son système de pensée, tout ce qui figure dans l'oeuvre de Platon ne peut être qu'une création "ex nihilo" du cerveau de ce génie, et ne présente d'intérêt qu'à ce seul titre. D'où la placidité avec laquelle est asséné cet énoncé préliminaire : "Selon une tradition fictive (c'est nous qui soulignons) qui remonte probablement à l’ancienne Académie, Platon aurait hérité des Pythagoriciens une doctrine de la dualité des principes ontologiques suprêmes : l’Un et la Dyade indéfinie". Tant pis si cette affirmation aussi gratuite que délétère (puisqu'elle revient à supposer que tous les auteurs pythagoriciens antérieurs à Platon qui ont disserté sur la dyade indéterminée, tels qu'Alcméon, Empédocle ou Philolaos, pour ne pas citer le cas litigieux de Timée, étaient en quelque sorte "inconscients" de ce dont ils discouraient) est contredite par le premier témoignage qu'il veut invoquer, celui d'Aristote, dans lequel l'opinion de Platon n'est examinée que dans le cadre d'un examen des conceptions scientifiques pythagoriciennes. Car il convient de préciser qu'à l'embarras de M. Soulier, la "tradition fictive" dont il fait état correspond en fait à l'opinion à peu près unanime de l'ensemble des auteurs de l'antiquité. On peut donc admirer l'enfumage de la référence à l'"ancienne académie", expression qui ne désigne rien d'autre que la troupe des disciples et des héritiers directs de Platon. De sorte que la thèse de Soulier se réduit à peu près à ceci : "Il s'est passé quelque chose d'inexplicable entre Platon et une bonne partie de ses disciples (et notamment, pour lâcher des noms : Aristote, Speusippe, Philippe d'Oronte, Xénocrate, Eudoxe de Cnide, l'auteur inconnu de l'Epinomis... bref, une véritable conspiration mythomaniaque au sein même de l'académie platonicienne)  - cette catastrophe ayant virtuellement pu se produire aussi bien du vivant du Maitre qu'après sa mort - qui fait que l'ensemble des témoignages de l'antiquité doivent être rejetés en bloc, du fait que ces gens-là ne pouvaient pas apprécier le génie de Platon avec la même lucidité que nous autres, modernes, le faisons aujourd'hui." Ou encore : "Avant Platon, les philosophes qui spéculaient sur la dyade indéterminée le faisaient dans un état  d'hypnose ou d'auto-suggestion hallucinatoire; tandis que, après Platon (c'est-à-dire pendant une période de huit siècles qui s'étend des disciples de Platon à Proclus), il n'a existé que des philosophes qui calomniaient Platon parce qu'ils ne le comprenaient pas". Tout ceci étant posé en préambule comme un dogme mystérieux et ineffable, sur lequel doit impérativement s'appuyer tout le reste, mais qui ne nécessite en lui-même aucune justification particulière. - Naturellement, il importe peu à M. Soulier que la dyade indéterminée soit une notion indispensable à la mathématique pythagoricienne tout entière, sous-jacente à l'intégralité des concepts que cette doctrine renferme. De ce point de vue, sa position de principe, qu'elle relève d'un réflexe de crispation corporatiste ou, plus innocemment, d'une forme d'automatisme mental, rend, à vrai dire, la discussion quelque peu difficile, puisqu'elle ne manifeste rien d'autre que la récusation a priori de l'existence même de cette mathématique pythagoricienne.

Abstraction faite de ces considérations "préjudicielles", notre principale réserve concernant l'étude de Philippe Soulier est celle-ci : la démarche qui consiste à relever des "contradictions" apparentes dans la doctrine de la dyade n'est pas grandement féconde, car ces contradictions n'existent en réalité que si l'on méconnaît la nature proprement métamathématique de la dyade. Le point de vue métamathématique est un point de vue éminemment universel, puisqu'il est transcendant, aussi bien au point de vue mathématique, qu'au point de vue physique, auxquels Soulier s'efforce, entre autres, de "contraindre" ou de "réduire" successivement la dyade, au prix d'artificielles contradictions. Du point de vue métamathématique, la dyade n'exprime rien d'autre que l'idée très générale de succession ou d'ordinalité, qu'elle puisse être spatiale, temporelle, ou les deux à la fois. Mais cette nature métamathématique de la dyade implique également qu'elle est "insaisissable", qu'elle ne peut être approchée que sous des aspects particuliers et divergents, - en nombre d'ailleurs indéfini, - auxquels son essence propre ne se réduit jamais, et dont aucun n'a, véritablement, d'antériorité, ni de prééminence sur les autres. La dyade est donc irréductible à quelque attribut que ce puisse être. Si, entre les différents aspects de la dyade, il n'existe pas de contradiction, c'est parce que ces aspects ne constituent précisément pas des attributs de la dyade. La dyade est, en effet, rigoureusement vide; donc, sans attribut. Au sens propre : "indéterminée", "inconditionnée"...