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    LE DEVELOPPEMENT CONTINU

     DE LA TETRACTYS

      

      

    par Guillaume DENOM

      

     

     

      

     

     

     I.    LA LOI DU GNOMON

     

    "L'ensemble des gnomons du carré, est égal à l'ensemble des gnomons du triangle équilatéral, est égal à l'ensemble des nombres entiers Impairs."

     

                                      

     

    La loi du gnomon : G(c) = G(t.e) = I,  exposée, sur notre premier blog, dans les trois premiers articles de la deuxième section, est une loi importante de la mathématique. Son ancienneté, dans les termes où elle formulée ici, est attestée par divers témoignages, comme celui de Jean Philopon, selon qui les anciens appelaient "gnomons" les nombres impairs. S’il peut paraître étonnant qu'elle ne soit pas reconnue à sa juste valeur, et plus encore que, sous sa forme rigoureuse, elle semble même inconnue de la littérature mathématique contemporaine, il y a en réalité à cela des raisons précises et pour ainsi dire "naturelles".

    La loi du gnomon est une loi synthétique, dont les applications se répartissent entre trois domaines de la mathématique : arithmétique, géométrie, logique. Pourtant, ce n’est pas une loi générale, c'est-à-dire qu’elle ne surplombe pas ces différents domaines à partir d’une position extérieure et dominante, mais, bien au contraire, elle agit à l’intérieur de chacun d’eux d’une manière spécifique.

    La mathématique moderne n'est guère synthétique. Son geste le plus caractéristique est la généralisation, geste qui est bien différent de la synthèse, et en quelque manière opposé; puisque, si la synthèse est une action qui consiste à abstraire les propriétés intrinsèques que différents objets détiennent en commun, la généralisation consiste, elle, à partir d'une forme d'objet particulière (telle que la fraction, le nombre décimal, etc.), à définir une extension de cette forme ou formule particulière à l'ensemble du domaine d’objets dont elle dépend, par une action qui se qualifie elle-même de "conventionnelle". Par exemple : « tous les entiers peuvent être considérés comme des nombres décimaux »; ou encore : « les entiers peuvent être considérés comme des fractions. » 

    En résumé, si la synthèse consiste en une connaissance sur des objets, la généralisation, elle, consiste en l'exploitation intensive d'une forme d'objet, - forme tenue en définitive pour l'"objet" le plus essentiel, alors même que, par sa nature, elle ne représente pour l'objet authentique dont elle est le moule ou la matrice - dans notre exemple : le nombre - qu'une possibilité de formulation parmi une indéfinité d'autres.

    La généralisation, lorsqu'elle est pratiquée, comme elle l'est dans la mathématique moderne, de façon pour ainsi dire machinale, entraîne une double tendance de l'esprit mathématique, d'une part, à considérer comme "première", au sens de plus ontologique, la forme d'objet qui est la plus tard venue, ou la plus récemment définie, telle que le nombre réel ou le nombre complexe, d'autre part, à considérer qu'il n’existe pas de naturalité mathématique, mais que la mathématique est une façon de définir les choses qui est "conventionnelle" par essence, qui peut être "librement choisie".

     

    Mais sans plus attendre, commençons par détailler les trois premiers domaines d’application de la loi du gnomon.

    1. En arithmétique, la structure du gnomon est la triple articulation, intégralement coordonnée, du nombre impair (gnomon), du nombre entier (côté du polygone), et du nombre carré  (polygone gnomonique).

     

    Le développement continu de la tétractys

     

    Dans cette structure, on a, sur l’axe horizontal, (ou plus généralement, sur le côté du polygone), la série indéfinie des nombres entiers ordinaux (1, 2, 3, 4, ...) ; sur la diagonale (ou, pour le triangle, la médiatrice verticale), la série des impairs cardinaux (1, 3, 5, 7, ...) ; enfin, sur l’axe des résolutions, la série des nombres carrés ordinaux : (1, 4, 9, 16,...) ; en précisant que, dans la logique du gnomon, on définit comme cardinaux les nombres qui possèdent une existence individuelle, en ce que chacun d'eux survit à la suppression de tous les autres membres, inférieurs et supérieurs, de la série à laquelle ils appartiennent, et ordinaux, les nombres qui ne subsistent qu'au sein d'une chaîne, ou d'un ensemble, dont chaque élément est une partie constitutive de son successeur. La structure arithmétique du gnomon est donc une application biunivoque qui, à chaque cardinal impair, associe une paire d'ordinaux, respectivement entier et carré  : I → (E, C), cette application permettant de représenter chaque objet gnomonique par un triplet de nombres. Si, par exemple, on assigne à l'impair la position médiane (par analogie avec la fonction qu'il exerce dans l'objet géométrique, où l'axe de symétrie directeur de la structure, qui est celui de la progression des gnomons impairs, est déterminé par son angle d'origine, dont il est la bissectrice), et à l'entier la position initiale, la série indéfinie des objets gnomoniques peut être formulée par une matrice (E, I, C), dont les premiers triplets sont : (1, 1, 1); (2, 3, 4); (3, 5, 9); (4, 7, 16); ... - ce système de coordonnées étant, rappelons-le, consistant et complet aussi bien pour le triangle que pour le carré gnomonique. (1)

      

    2. En géométrie, le polygone gnomonique de rang 2, triangle ou carré, est la formulation minimale (ce qui implique : quantifiée) du principe géométrique qui est recouvert par les notions modernes d’endomorphisme et d’autosimilarité; et qui est, en langage courant, la propriété d'un objet, d'être constitué de parties semblables au tout qu'elles composent. 

     

    a. Le développement continu de la tétractyspolygones gnomoniques de rang 2

     

     3. La théorie du gnomon est la plus fondamentale des théories mathématiques contenant une application biunivoque des notions de nombre entier et de figure entière, et pour cette raison elle est l'interface la plus étroite qui puisse exister entre arithmétique et géométrie. Le gnomon est un objet mathématique dans lequel arithméticité et géométricité sont coproduits : car le gnomon est un nombre; le gnomon est le nombre de figures, que l'on doit ajouter à une figure, pour la reconstituer. En tant qu’interface la plus étroite possible entre nombre et figure, entre arithmétique et géométrie, le polygone gnomonique de rang 2, triangle ou carré, est le plus petit espace logique qui puisse exister : en précisant là encore, que l’on parle d’un espace quantifié, permettant une construction quantifiée de la logique, telle que la logique des tables de vérité. 

     

      4. C’est seulement dans un quatrième temps, après avoir détaillé la liste de ses applications dans chacun des domaines de la mathématique, que la loi du gnomon peut être envisagée synthétiquement, et que peut être évaluée sa place particulière dans l’appareil de la mathématique pythagoricienne.  La théorie du gnomon permet de donner un sens précis à la notion de tétractys : "clôture à quatre", ou si l’on préfère, "clôture quaternaire"; cette clotûre correspondant à la quantité d'espace nécessaire et suffisante pour que puisse se déployer la structure du gnomon, dans laquelle : graine + gnomon = 4.

    La tétractys et le gnomon se déduisent en effet l'un de l'autre de la façon la plus simple, en ce que les étages de la structure triangulaire de la tétractys correspondent, biunivoquement, aux distances qui s'établissent entre les centres des blocs, au fur et à mesure que se remplit le gnomon du carré. Autrement dit, la même action qui, dans le gnomon du carré, se développe sous forme ordinale, est récapitulée, dans la tétractys, sous forme cardinale.

    La loi du gnomon

    Sous cette armature logique, la notion de tétractys devient une notion mathématique utilisable, rendant possible une véritable mise en ordre des concepts mathématiques pythagoriciens. 

    La notion de clôture est indispensable, en réalité, pour comprendre l'unité synthétique de ces différents concepts, et par suite, pour exposer de façon rigoureuse les applications contenues, sur notre premier blog, dans les trois premiers articles de la première section, à savoir : tétractys = base arithmétique (inclues dimensions décimale et négative) ;  tétractys = dimensions de l’espace et objets premiers de la géométrie ; tétractys = accords musicaux = noyau du système des médiétés, (en deux applications).

      

    Par hypothèse, un traité, ou une théorie, de mathématique pythagoricienne, est un traité, ou une théorie, dont tous les axiomes sont déduits ou dérivés des propriétés mathématiques de la tétractys.

      

    La mathématique pythagoricienne n'a a priori besoin d'aucune autre notion mathématique que celles qu'elle produit elle-même. Dans l'absolu, même les signes utilisés devraient être justifiés par la tétractys. Les chiffres arabes pourraient êtres remplacés par des tétractys à points triangulaires, les opérations logiques par les logons binaires, etc. En pratique, c'est évidemment difficile et un peu contre-productif, mais dans la visée qui est la sienne, la mathématique pythagoricienne n'utilise pas de signes « conventionnels », mais produit les signes dont elle a besoin.

    Ceci n'est qu'un horizon, mais qui peut servir de guide. 

    Au départ, la tétractys est une idée qui n'est pas définie, mais qui est montrée, qui est présentée dans la pensée. La mathématique pythagoricienne ne fait que répéter indéfiniment ce geste premier, ou plutôt le prolonger, le poursuivre par un développement continu.

    La mathématique pythagoricienne est le développement continu d'une structure constante qui est la tétractys, dont la fonction est de déplier successivement, application par application, toutes les parties de la mathématique. Dans l’idéal, toutes les applications de la tétractys peuvent s'enchaîner par un mouvement continu, entièrement coordonné, au moyen d'un seul et unique opérateur topologique qui est le retroussement d'une structure : mouvement par lequel le dessous passe au dessus, et le dedans au dehors, par une poussée continuelle, et qui peut être illustré, de façon très intuitive, au moyen d'objets géométriques tels que l'hypercube. La question est complexe, mais, dans l'idéal, la présentation écrite de la mathématique pythagoricienne n'est pas la forme préférable. Une animation en 3D avec une voix off serait plus parlante, parce qu’elle permettrait d'avoir, au lieu d'images arrêtées, un mouvement réellement continu où l'on ne perdrait jamais de vue la structure ponctiforme à 10 points produite au départ. 

      

     

    (1) Cette "triangularité" arithmétique semble apparenter  la structure du gnomon à d'autres structures arithmétiques connues, comme par exemple la célèbre formule de Ramanujan associant les nombres pi et e, dans laquelle on retrouve, sur l'axe horizontal, la série des impairs; sur l'axe vertical, la série des entiers; et du côté de la résolution, la racine carrée, opération inverse de l'opération "carré".        

                                                                                           Côté résolution : la racine carrée

     

     Le développement continu de la tétractys

     

     Axe horizontal : série des impairs (1, 3, 5, 7, …)          Axe vertical : série des entiers : (1, 2, 3, 4, ...)

     

     

      

       


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    II. LA CONSTRUCTION PYTHAGORICIENNE DE LA GEOMETRIE.

     

     

    En dehors de la théorie du gnomon, l'un des aspects les plus importants de la mathématique pythagoricienne réside dans la façon de définir les dimensions et les objets premiers de la géométrie, par une méthode qui est foncièrement différente de celle d'Euclide, en ce qu'elle consiste à associer de façon rigoureuse, à chacune des dimensions ou des objets qu'elle définit, la quantification des opérations de pensée correspondantes à ces objets, comme à ces dimensions. Le référent absolu n'est autre que le temps, mais pas n'importe quel temps, le temps des opérations mathématiques; ici, l'opération : "poser un point dans une nouvelle dimension".

      

    1                  2                     3                        4

     

    4 objets, 4 dimensions. Le mot "dimension" désignant le fond indéfini des conditions de possibilité propres à chacun de ces objets, il est logiquement impossible, ici, de dénombrer moins de dimensions que d'objets. Objets et dimensions sont déterminés, produits les uns par les autres, dans une relation dont chaque réalité tire sa définition même; sauf à donner de ces réalités une définition ambigüe, mathématiquement non pertinente, comme c'est le cas dans la représentation courante qui ne compte dans l'espace que trois dimensions, où l'on entend par "dimension" une réalité qui peut être parcourue par un quelconque instrument de mesure, alors qu'il n'entre pas dans la nature d'une dimension de pouvoir obligatoirement l'être.

     

    *

     

    Il est possible de ressaisir le principe de cette méthode dans un cadre épistémologique moderne et rigoureux, qui est la théorie de la forme logique de Granger. Dans le système de Granger, la relation à partir de laquelle est défini tout contenu de science mathématique, est précisément la liaison entre une opération de pensée, (pour nous, un mouvement de la tétractys, une application), et un objet de pensée : l'objet mathématique qui est défini à chaque nouvelle application. C'est exactement le sens qu'il faut attribuer à la sentence pythagoricienne : "Une figure, un pas." A chaque objet défini, correspond une opération de pensée qui est quantifiée et engrammée de façon rigoureuse. Ainsi, dans la construction des objets géométriques, les 4 objets premiers sont d'abord construits synthétiquement, comme dans l'illustration ci-dessus, en utilisant les dix points de la tétractys, puis analytiquement - construction à 24 unités-points -, au moyen cette fois des factorielles des quatre premiers nombres.

      

     

    1x1         2x1             3x2x1               4x3x2x1         

     

     

    Granger appelle dualité cette corrélation, qui est une relation de cogenèse, de coengendrement, entre une opération mathématique, et un objet mathématique.

    Quant à l'archétype de cette relation, sa formulation la plus générale, elle est à rechercher, selon toute apparence, dans la dualité des solides réguliers, qui sera évoquée au chapitre suivant.

     

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    A nos yeux, il n'y a que dans la mathématique pythagoricienne que cette méthode de définition conjointe des objets et des opérations mathématiques - méthode dont la réquisition est contenue de façon implicite, pour Granger, dans la notion bien comprise de dualité, - s'avère applicable de façon immédiate, et généralisable à l'ensemble du domaine de la mathématique; sans qu'il soit nécessaire pour cela d'ajouter une abondance de matériel nouveau aux axiomes élémentaires de l'arithmétique et de la géométrie classiques.

    Pour le comprendre, il faut, en revanche, se poser la question de ce qu’est l’acte premier, l’acte fondateur de la mathématique.

    Et pour éclaircir cette question, dont les racines sont historiques, il n'y a pas d'autre moyen que de revenir aux définitions qui ont été données, dès la plus haute antiquité, de l'objet le plus élémentaire de la géométrie : le point.

    Dans cette perspective, comparons le début d’Euclide avec le début de Pythagore.

     

     

    Le point euclidien

     

    Euclide :

    "Le point est ce qui n'a pas de partie".

    On veut déjà donner une définition logique. On veut définir l'élément premier à partir d'un lieu de la science qui est ultérieur à lui, puisque c'est lui, le point, qui doit permettre de construire tout le reste. On est déjà dans la conception des modernes, où tout doit être produit à partir de ce qui vient en dernier : la logique.

    Or la logique n'est que le vide dont la mathématique est le plein; elle n'est que la forme dont la mathématique est le contenu; elle est incapable de produire un contenu par ses ressources propres.

    A l'évidence, la proposition d'Euclide constitue au mieux une définition logique du "zéro" géométrique, ou du bord topologique d'un objet. Ainsi, si l'on considère par exemple un segment, la proposition d'Euclide ne peut, en aucune façon, désigner le premier point de ce segment, mais uniquement le "rien" qui est juste avant et à côté, qui est au contact immédiat de sa "peau" si l'on peut dire; autrement dit la bulle de vide dont ce point s'est précisément soustrait, en tant qu'unité.

    Dans la mesure où tout point peut être développé, par projection, dans une indéfinité de directions de l'espace, il paraît hautement risqué de soutenir, comme Euclide, que ces différentes possibilités qui sont toutes constitutives de sa nature, puissent ne pas correspondre à différentes parties de ce point. De fait, la proposition d'Euclide conduit rapidement à des conséquences absurdes.

    Si, à partir d'un point, on commence à tracer, dans toutes les directions de l'espace, une série indéfinie de droites émanant de lui, et si en cours de route, on retranche de ce processus ce point lui-même, le "trou" formé au sein du continuum adopte progressivement la structure d'une bulle ou d'un petit sphéroïde; toutefois le contour de ce sphéroïde ne saurait être complètement défini avant que l'ensemble des rayons émanant du point aient été tracés, - ensemble qui se perd bien évidemment dans l'indéfini. D'ici là, la forme du sphéroïde ne sera donc qu'en partie définie. Or, comment une chose qui n'a pas de partie pourrait-elle être en partie définie?

    Voilà que nous avons nettement distingué, dans le point, au moins deux parties, une qui est déjà définie, et une qui ne l'est pas encore; mais on comprend que, par induction, ce raisonnement nous contraint à distinguer dans le point une indéfinité de parties, dont chacune est individuellement bien définie par le bord intérieur de chacun des rayons aboutissant à ce point. Le fait que ces différentes parties ne puissent être distinguées au sein du point lui-même par un acte de discrimination spatiale, pour la raison qu'elles s'y trouvent toutes "repliées", confondues et réunies "au même endroit", n'implique en aucune manière qu'elles n'existent pas.

    La formule d'Euclide : "ce qui n'a pas de partie" équivaut donc à dire : "ce qui ne peut être développé dans aucune direction"; ce qui est toujours une définition du vide logique ou du zéro géométrique.

    Autrement dit, Euclide confond le point avec l'interstice logique purement virtuel, et rigoureusement nul, qui se situe topologiquement entre deux points.

    Celui qui énonce : "Il existe un ensemble, appelé zéro, qui ne contient pas d'ensemble", ne fait à l'évidence que répéter la proposition : "Le point est ce qui n'a pas de partie." Comme la proposition d'Euclide, la définition du zéro qui, dans certaines versions de la théorie des ensembles, présente cet "ensemble vide" comme l'ultime contenu de la mathématique, sur lequel s'appuie la définition, ontologiquement ultérieure, de l'unité, (elle même définie comme le premier ensemble qui contient zéro), est sans consistance mathématique. Sans même être fausse, elle ne peut, par sa nature, donner matière à aucune mathématique digne de ce nom.

    Ces deux propositions qui, dans leur compréhension juste, désignent respectivement le "zéro" géométrique et le "rien" arithmétique, (deux notions qui, en mathématique pythagoricienne, coïncident elles-mêmes dans celle du vide logique, qui en est la réunion synthétique), ne sont pas consistantes mathématiquement; parce que l'on n'a en rien réussi à produire l'élément premier de la mathématique, lorsqu'on s'est contenté de définir l'une de ses conditions de possibilité, d'ailleurs particulière, en ce qu'elle ne concerne, dans chaque cas, que l'un de ses aspects.

    D'une façon plus générale, le point commun à de nombreuses approches modernes de la mathématique, qu'elles soient logicistes, ensemblistes ou axiomatisantes, aura été d'admettre comme "pari" ou comme "foi" scientifique originelle, le postulat que la mathématique est une phrase, que son être consiste dans une phrase, et que donc on peut le présenter dans une phrase, une proposition logique; présupposé qui était déjà manifestement celui d'Euclide. Or l'être de la mathématique ne peut pas consister dans une proposition logique, (comme il sera montré plus loin de façon évidente), parce que la mathématique ne devient une proposition logique qu'à partir d'un certain moment, qu’on qualifiera volontiers de moment opportun. Et il est impossible de dégager, de définir correctement ce moment opportun, si l'on n’a pas compté les différents mouvements qui ont dû être accomplis auparavant.

    Si l’on compte à l’envers, - la manie des modernes, - ou si l'on essaie d'engendrer les premières opérations à partir des dernières, on échouera à chaque fois; et l’on parviendra toujours à des conclusions du genre : "Ce sont les irrationnels qui engendrent les rationnels".

    Voilà quelques unes des raisons qui peuvent expliquer que le moment logique, - le gnomon - soit resté jusqu’ici inaccessible à l’intelligence des modernes.

     

     

    Le point monadologique ou "arithmo-géométrique" pythagoricien

     

    Début de Pythagore :

    Dix points sont présentés dans la pensée :

     

     

    Pythagore est conscient que l'atome, l'élément premier de la géométrie, ne peut être défini par rien de plus originaire que lui-même, sans tomber dans d'insolubles paradoxes,  mais qu’il peut seulement être produit, montré, présenté dans la pensée. Encore n'est-ce possible qu'en l'articulant sous la forme d’une structure, d’un champ. Ce n'est que de la considération  des relations existant entre ces points, telles que symétries ou homothéties, qu'une définition plus précise de l'élément, ou de l'objet premier pourra se dégager; et celui-ci reçoit alors un statut bivalent, à la fois arithmétique et géométrique, qui est celui d'"unité-position", ou "unité ayant position".


    De cette manière, on évite de construire la mathématique, comme Euclide, à partir d'une définition qui n'a pas de sens mathématique. La force de la mathématique pythagoricienne consiste toute entière dans cette sagesse, dans cette « prudence » du commencement. Mais aussi dans l'application rigoureuse, jusqu'à l'échelle la plus élémentaire, de la règle qui consiste à définir les objets mathématiques, à partir des seules opérations de pensée qui les engendrent. Une figure (un objet), un pas (une opération) : et l’on quantifie. 

    Un point de l'espace, un coup de temps.

    Une position du continuum, une unité arithmétique.

    Une monade.

     

     *

     

    Au fondement de la pensée pythagoricienne, il y a cette conviction que l'essentiel, en mathématique, ne peut être évoqué que de manière allusive et métaphorique, - que ce puisse être en image ou en mots ne changeant, fondamentalement, pas grand chose au problème; - et cela, au moyen d'une balance très prudente entre "ce qu'il nous importe profondément de montrer" et "ce qu'il est réellement possible de faire".

    La science, pour Pythagore, consiste dans un rapport réfléchi entre le visible et l'invisible, entre le dicible et l'indicible, qui d'une part, lui impose d'intégrer dans ses méthodes, dans sa façon de faire, le problème des limites concrètes de la représentation, qu'elle puisse être figurale, symbolique, ou langagière, et d'autre part,  lui impose d'installer ou d'instituer, dans ses axiomes, à côté de la dimension du défini, (qui est la dimension de ce qui importe mathématiquement, de ce qui est déjà réuni, recueilli et connu dans le "secret", la certitude ou la foi de l'intelligence, et sur lequel va s'appuyer avec une confiance aveugle tout le reste : "les points sont équidistants", "au nombre de dix", "distribués en symétrie hexagonale", "forment un triangle équilatéral", etc.), la dimension de l'indéfini, de l'à peu près et du vague; dimension que la mathématique ne refuse ni ne refoule aucunement par principe, mais qu'elle assume au contraire régulièrement dans sa pratique quotidienne, et que la mathématique pythagoricienne se contente de revendiquer de façon plus affirmative, sur un plan plus radical, qui est celui des principes fondamentaux.

    C'est dans l'assomption de cette limite absolue de la représentation que réside l'originalité de la tétractys. Sur le plan du langage logique, l'équivalent du point monadologique ou "arithmo-géométrique" pythagoricien, ce point qui a comme propriétés apparentes d'être plat et assez gros, et comme propriété essentielle d'être de dimension indéfinie, n'est donc pas l'identité, - identité qui, en elle-même, n'est susceptible d'aucune représentation, puisque toute représentation, toute forme, suppose un processus de différenciation matérielle, qui est contradictoire avec l'identité, - mais plutôt une sorte de reflet de l'identité, déjà forcément diffracté. 

    Car le langage logique ne contient pas, lui non plus, la possibilité d'une définition de l'identité sur laquelle s'appuie sa propre consistance, et dont il ne peut faire mieux que de produire, au commencement des choses, des exemples élémentaires différenciés tels que "p", "q", qui par la suite serviront de référence. Toute proposition logique qui tenterait de définir l'identité ne peut, par nature, qu'être contradictoire ou inconsistante; et donc, ne peut pas être au sens propre une proposition logique, mais, au mieux, une image ou une métaphore.

    Ainsi, la logique prédicative connaît deux images, - forcément paradoxales, puisque l'identité véritable est ce qui ne tolère, quant à soi, aucune forme d'"altérité", - non pas précisément de l'identité, mais de deux différents mouvements vers l'identité, mouvements dont l'un est ouvrant ou centrifuge, le connecteur "ni..., ni..." ("une tache ni bleue ni triangulaire") et dont l'autre est fermant ou centripète, le connecteur "et", qui attribue deux propriétés (et pas davantage, sauf à renouveler l'opération) à un être ou objet unique, ("une tache rouge et rectangulaire"). (1)

     

    NI......................ET.....................NI

     

    De la même manière exactement, le point monadologique pythagoricien pourra, très avantageusement, être considéré comme un processus "fermant-ouvrant", ou "inhibiteur-activateur", comparable au mécanisme d'un parapluie, (en langue mathématique, un tenseur binaire, quantitativement indéfini), dont l'axe "ni..., ni..." ci-dessus représenterait le diamètre apparent, et la position "et" la coordonnée mathématique, définie par la relation que ce point entretient avec les autres membres de la constellation, quelque soit la méthode choisie pour paramétrer cette dernière.

    Là réside, peut-être bien, le fond de la foi mathématique, dans la confiance que l'identité "insaisissable" se repose, très paisiblement, dans la réunion synthétique des connecteurs "ni..., ni..." et "et".

    L'essentiel n'est ni la propriété "a", ni la propriété "b", (propriétés qui sont néanmoins, par hypothèse, les seules que l'on sache ou puisse concrètement montrer, et qui sont précisément toujours des propriétés telles que "plat", "noir", "rond", "assez gros" ou "à gauche"), mais l'être qui, sans être deux, les contient l'une et l'autre "en même temps", ("à la fois" ou "ensemble"), et n'est rien d'autre que leur compossibilité même.

    Formule qui n'est toujours pas une définition de l'identité, mais qui est en revanche une définition en mode logique de la synthèse, en tant que méthode de régression intellectuelle progressive, prudente et patiente, du visible indéfini à l'invisible défini, d'abord, puis, de ce connu, de ce défini, à l'ensemble des possibilités mathématiques qui sont nées avec lui, parce qu'elles sont contenues dans sa définition ou dans son être même; - méthode que l'on peut caractériser par des expressions telles que "retroussement", ou "développement  continu", dans laquelle, à aucun moment, ne peut être perdu le contact avec l'image installée au début dans la pensée, et restée depuis présente au fond de celle-ci, comme une pierre de témoignage. (2)

     

     

    *

     

    Ce sont d'autres définitions de la synthèse, plus mathématiques celles-là, qui seront évoquées au chapitre suivant.

     

     

     

     

    (1) L'apparence paradoxale de ces formulations, en tant qu'elles se rapportent à l'identité, à l'unité, et finalement à l'être, provient de ce que, dans un cas,  l'identité, ou l'unité, est représentée comme "ce dans quoi peuvent rentrer, ou se réunir deux ("autres") choses"; tandis que, dans l'autre cas, cette même identité, cette même unité est représentée négativement comme "ce qui peut être séparé, distingué radicalement de deux ("autres") choses". La nature même du langage fait qu'il est impossible de s'approcher davantage d'une définition correcte de ce dont il s'agit; alors que ce dont on voudrait parler, et qui peut seulement être objet de foi ou d'intuition, consiste précisément dans la réunion synthétique et non contradictoire des idées contenues dans ces deux représentations.

    L'identité est comparable à l'enfant de deux parents, mais un enfant qui, après s'être différencié de leurs deux corps, continuerait d'être une partie intégrante de chacun d'eux, un élément ou un membre à part entière de leurs personnes. Un enfant de cette sorte n'est ni son père, ni sa mère; mais à la fois son père et sa mère.

    L'enfant est l'unité et l'identité. L'enfant est la monade qui, selon la tradition, "contient la dyade".

     

    (2) Le point pythagoricien est suffisamment défini, mais pas trop; et c'est en cela qu'il représente essentiellement du devenir et du "travail".

     

     

     


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    III. DUALITE MATHEMATIQUE ET SYNTHESE A PRIORI

     

      

    La notion de dualité constitue pour Granger une catégorie philosophique, dont l'acception est dérivée des définitions mathématiques de ce terme, elles-mêmes variées, sans se confondre avec l'une d'entre elles en particulier. Citons l'une des définitions données par Granger de cette notion, - définitions qui, pour être non seulement diverses, mais souvent, comme ici, prudentes et programmatiques, ne doivent pas masquer le caractère urgent et impérieux qu'elles revêtent, sans nul doute, pour leur auteur.

    "Au sens où nous l'entendons, la notion de dualité comme catégorie philosophique conduirait à formuler le principe de la nécessité d'une détermination réciproque de tout système d'objets de pensée et d'un système d'opérations intellectuelles associé."

    A cette définition liminaire, il faut ajouter cette précision tout aussi essentielle, que, dans le développement de la mathématique, ce qui était objet d'un certain point de vue antérieur, peut, à son tour, devenir opérateur d'un point de vue nouvellement formulé, - la dualité devenant ainsi le vecteur, non seulement de la continuité du raisonnement ou du discours mathématique, mais de la constance d'une certaine forme logique.

    La dualité grangérienne a vocation à se substituer à la notion kantienne de "synthétique a priori", dont elle reprend toutefois les réquisitions. Un système opérations-objets dual et consistant peut être considéré comme un "ensemble" synthétique a priori de vérités mathématiques.  Mais la notion  de dualité est aussi intimement liée à celle de nature mathématique, et à la définition de ce que peut être un objet mathématique naturel, dans la mesure où elle tend à associer la définition des objets mathématiques, autant à des lois physico-chimiques de la nature, qu'à des actions concrètes de l'homme, qu'elles soient d'ordre psychique ou physique, - sans exclusion du musculaire, - d'un caractère assez universel, idée qu'avait déjà thématisée, en son temps, la théorie de la forme, ou même la pensée formelle en général. 

    Concernant cette catégorie, ce que l'on peut remarquer d'abord est son caractère "moniste", d'une part, parce qu'elle ne s'inscrit pas dans un ensemble de catégories de même niveau, mais se présente comme un véritable "singleton" catégoriel, d'autre part, parce que la dualité elle-même est réellement une, même si elle contient le deux, en ce qu'elle s'exprime, comme on l'a dit, par le maintien ou la constance, d'application en application, d'une certaine forme logique; en quoi elle se veut précisément synthèse; et par où se justifie aussi sa prétention singulière à être apparemment, pour Granger, la catégorie ultime de la science

    Dans un cadre différent, qui est celui - métaphysique - de la définition du symbolisme et de la pensée symbolique, René Guénon a, lui aussi, donné de brillantes définitions de la synthèse et du synthétique, qui ont plusieurs traits congruents avec celle esquissée ici. 

      

     

    Dualité des solides réguliers 

     

    Polyèdres inscrits : tétraèdre                     octaèdre                         icosaèdre 

                    a. Le développement continu de la tétractys    a. Le développement continu de la tétractys       a. Le développement continu de la tétractys

    Polyèdres circonscrits : tétraèdre                  cube                            dodécaèdre

     

    Le tétraèdre, à gauche, est le dual de lui-même. Dans cette relation généralisée, l'ensemble des relations de dualité entre solides réguliers considérés par paires, est déductible, ou dérivable, du développement gnomonique tridimensionnel d'une seule et unique structure géométrique : le triangle équilatéral. En effet, les trois polyèdres primitifs - ici en couleurs et inscrits, dont ceux en arêtes rouges et circonscrits (dans la succession desquels on retrouve les valeurs 3 - 4 - 5 du triangle isiaque) sont les duaux; - ces trois polyèdres inscrits peuvent être construits au moyen de triangles gnomoniques de rang 2 : 1 pour le tétraèdre, 2 pour l'octaèdre, 5 pour l'icosaèdre. Autrement dit : les polyèdres réguliers sont contenus de manière synthétique a priori dans les seules propriétés intrinsèques de développement gnomonique, d'une part, et de clôture géométrique tridimensionnelle, d'autre part, qui sont celles du triangle équilatéral. Ou encore, le triangle gnomonique de rang 2 est la constante logique du système opérations-objets dans lequel consiste et se déploie ici la nature, la définition même des polyèdres réguliers.

    tétraèdre + octaèdre + icosaèdre = (1 + 2 + 5) x triangle gnomonique de rang 2

    a. Le développement continu de la tétractys

    Quant à la série des polyèdres rouges : tétraèdre, cube, dodécaèdre, elle s'obtient par la transformation des premiers polyèdres, d'objets qu'ils étaient, en opérateurs, les sommets de ces polyèdres devenant les centres de référence des faces des polyèdres circonscrits, mathématiquement suffisants à les définir. A leur tour, ces polyèdres rouges peuvent devenir les opérateurs de la construction des trois premiers, par une transformation duale de la précédente.

     

    La synthèse duale revient, comme on le voit, à demander qu'une multitude d'objets et d'opérations mathématiques soient reconduits, ensemble, à l'unité d'un seul principe, d'une seule pensée. En généralisant cet exemple à l'ensemble de la science, on peut le traduire par la réquisition suivante : "S'il y a unité de la science, alors cette unité doit consister en une pensée", - réquisition qui constitue une bonne définition de ce que représente, pour la pensée pythagoricienne, la tétractys.

     

     

     

    Dualité et symétrie, deux aspects de la biunité du nombre

     

    Dans sa compréhension profonde, la notion de dualité s'enracine dans la notion pythagoricienne de symétrie, en son sens littéral et originel de commensurabilité, de commune mesure. Une relation de dualité est une relation qui mesure ensemble deux aspects d'une même réalité, qui les tient et les produit ensemble dans un même geste, à partir d'une position "neutre", non polarisée, depuis laquelle ils se transforment l'un en l'autre, - à partir d'un statut originel unique qui n'est, véritablement, ni celui d'opérateur, ni celui d'objet, mais la pure potentialité d'être indifféremment l'un ou l'autre.(1)

    Une relation de dualité n'est qu'une relation de symétrie forte, développée jusqu'au point où elle est auto-suffisante, (la langue moderne dit avec justesse consistante), c'est à dire productrice, par sa seule potentialité, d'objets et d'opérateurs mathématiques originaux ou "naturels", d'ailleurs indéfinis en quantité.

    "Symétrie" et "dualité" ne sont donc que différents noms mathématiques, correspondant à différents degrés de développement, d'une seule et même réalité profonde, qu'on pourrait appeler la biunité du nombre naturel; cet "état" primordial et synthétique du nombre, en lui-même insaisissable, que la logique représente alternativement par les connecteurs "ni... ni...", et "et", dans lequel il n'est, ni objet ni opération, mais l'un et l'autre à la fois, ni cardinal ni ordinal, mais l'un et l'autre à la fois, ni monade ni dyade, mais l'un et l'autre à la fois, voire en pythagorisme conséquent, ni nombre ni figure, mais l'un et l'autre à la fois; biunité dont le principe nous est présenté, par la notion de symétrie, sous son aspect purement arithmétique, et par celle de dualité, sous un aspect géométrique, topologique, et plus généralement structurel, mathématiquement plus développé.

     


    (1) Bien que le sujet ne puisse être abordé ici, on peut remarquer que, du point de vue général de la science, la notion de dualité est presque aussi importante en physique qu'en mathématique; et la description qui en est faite ici pourrait faire penser à l’une des dualités les plus célèbres de la physique, la dualité onde-corpuscule, au fondement de la mécanique quantique, avec d’autant moins de surprise que la théorie ondulatoire est elle-même directement issue de spéculations pythagoriciennes, notamment archytéennes. Dans la recherche plus récente, on peut aussi penser à la théorie des cordes, avec la notion importante de "dualité de cordes".

     

     

     

     


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    IV. SYMETRIE MODERNE / SYMETRIE PYTHAGORICIENNE

     

     

    La différence entre mathématique moderne et mathématique pythagoricienne pourrait, en guise d'approche, être caractérisée par la façon dont chacune appréhende en quelque sorte naïvement, spontanément, de par le style mathématique qui lui est propre, le problème de l'espace et de sa représentation. La mathématique moderne semble considérer comme réel, et même comme unique réel, le "substrat" ou le fond indéfini de l'espace intelligible, quelque soit le nombre de dimensions qu'elle veuille lui prêter, indépendamment des objets que l'on peut définir à l'intérieur de lui. Cet espace a pour elle l'apparence d'un donné objectif, déjà développé, au sein duquel règnent, en tout point, l'"isotropie" ou l'équivalence ontologique, et  la symétrie, au sens moderne et saturé d'indifférenciation. Enfin, cet espace est conçu comme indépendant de la situation native, ou naturelle, de l'homme. L'espace pythagoricien est, au contraire, un espace originellement dual, où la définition du fond indéfini est inséparable de celle d'objets définis, et où règnent, de ce fait, la différence, la singularité et la polarisation en tout point. La géométrie pythagoricienne, y compris la plus fondamentale, intègre de plein droit les notions naturelles de l'orientation et de la chiralité.(1) Mais plus important encore, l'espace pythagoricien est un espace qui a une histoire, un développement; c'est un espace dont la structure profonde est chronogénétique, faite de temps et de nombre, et où règne de ce fait aussi la différence en tout point du temps. - Ces remarques, toutefois, appellent quelques éclaircissements complémentaires.

    La définition moderne de la symétrie, synonyme d'uniformité ou d'indifférenciation absolue (la symétrie moderne est en effet "ce qui ne change pas" pour tels mouvements de l'objet), est une extension mathématique correcte, légitime, de la définition "traditionnelle", ou pythagoricienne, synonyme de commensurabilité, ou de commune mesure. Entre les deux, il n'y a pas de réelle rupture. La moderne n'est qu'une maximisation de l'ancienne, obtenue par amplification progressive de son concept; - mouvement de généralisation qui est en lui-même naturel en mathématique, et dont le moment décisif aura été, ici, la théorie des groupes de Galois. Cependant, dans la nouvelle définition, le référent ultime du concept de symétrie n'est plus la symétrie d'objets, mais celle de l'espace. La saturation du concept joue donc bien ici le rôle de liquidateur de contenu ou de déterminité ontologique, au bénéfice de la seule puissance du signe, qui est caractéristique des généralisations de la mathématique moderne. Le tort de la mathématique moderne n'étant pas, fondamentalement, de pratiquer ces généralisations, mais plutôt, en vertu d'une politique de la "table rase" intellectuelle, de considérer systématiquement comme plus essentiel cet aspect final de la vie du concept, qui est celui de son détachement et de sa transformation en signe-outil, au mépris du chemin entier de la pensée qui a produit ce signe et l'a conduit, par des mouvements comptés, jusqu'à cet état, ou cette phase particulière de son développement. Il en résulte un certain appauvrissement, car, à force de privilégier l'espace au détriment de l'objet, la réflexion épistémologique sur la symétrie finit par prendre les allures d'une spéculation sur les propriétés hypothétiques d'un "contenant absolu", d'un espace en soi et pour soi, - tenu de ce fait pour l'espace "réel", - qui nous semble être une idée sans pertinence mathématique, dans la mesure où la notion même de "contenant" implique, selon nous, qu'il ne peut s'agir que d'une certaine forme, d'une formulation parmi d'autres possibles, (fût-elle la forme spécifique de notre univers, celle de notre pensée, ou l'une et l'autre à la fois), - sans aucun des caractères "d'absoluité" que cette conception moderne voudrait qu'elle puisse posséder. L'idée même que puissent exister des propriétés absolues de l'espace, - sensible ou intelligible, - occulte la possibilité permanente, pour la pensée, de concevoir un espace qui n'ait encore jamais été imaginé.

     

    Il revient à Jean-Luc Périllié d'avoir pleinement réhabilité, sur le plan philosophique, la notion pythagoricienne de symétrie, dans sa signification littérale et originelle de commensurabilité, de commune mesure, ou plus simplement encore, de proportion; mais aussi, d'avoir montré sa position centrale dans la mathématique pythagoricienne, qui en fait un véritable trait d'union entre les différents concepts mathématiques évoqués sur ce blog.

    La symétrie apparaît, dans la genèse du nombre, lorsque celui-ci se fait mesure, "logos"; lorsqu'il s'affranchit du mutisme de sa condition monadique originelle, pour se déployer en tant que rapport.

    Dans sa définition la plus rigoureuse, la symétrie pythagoricienne est la commune proportion des différentes parties d'un tout, entre elles aussi bien qu'à l'égard de ce tout.

    Cette définition peut, naturellement, être illustrée par des opérations géométriques très simples, dont les plus originaires sont, sans le moindre doute :

    1- Le partage d'un segment en deux parties égales.

    2- Le partage d'un segment en "extrême et moyenne raison", (c'est à dire : tel que la plus petite partie soit à l'égard de la plus grande, comme la plus grande est à l'égard du tout), opération dont on sait qu'elle permet de définir géométriquement le nombre d'or.

    Si l'on considère la position des 3 points de référence du segment, (Origine, Moyen et Extrême), chacune de ces opérations correspond à une médiété particulière : la médiété "arithmétique" dans le premier cas, médiété dont le pprm (plus petit rapport mineur) est celui qui présente l'envergure maximale, puisqu'il est égal à 1; et la médiété Nicomaque 10 ("de Fibonacci") dans le second , dont le pprm est celui qui présente l'envergure minimale, puisqu'il est égal à zéro.(2)

    Du point de vue qui est géométriquement le plus originaire, la mathématique pythagoricienne tient tout entière dans cet intervalle, dans le paradigme mathématique défini par ces deux cas particuliers de symétrie, que l'on peut légitimement qualifier de saturés, puisqu'ils correspondent aux limites naturelles indépassables de ce concept.

    Quant à la source arithmétique la plus profonde de cette notion, elle est à rechercher, selon toute apparence, dans la symétrie qui est en quelque manière la plus intérieure à la mathématique : celle qui se déploie dans la relation que les opérations arithmétiques entretiennent entre elles. Symétrie qui se présente, de prime abord, comme une interrelation généralisée, de nature organique, entre toutes les opérations primitives de l'arithmétique, de laquelle procède finalement, comme une expression renversée du même processus, le nombre naturel lui-même.

     

     

    La symétrie inter-arithmétique

     


    Dans la conception pythagoricienne, - du moins ce qu'on peut en déduire du cadre mathématique a priori qu'est la théorie du gnomon - les relations de symétrie primordiales semblent se réduire à un appareil de structure biternaire, correspondant au ternaire des "lois de composition" de l'arithmétique :
     
    1. addition - soustraction                        (nombres monadiques)
    2. multiplication - division                                        (logoï)
    3. puissance - racine                                             (puissances)
     
    Appareil dans lequel une symétrie de translation "haut-bas" se superpose aux symétries de rotation axiale "gauche-droite", qui sont les relations entre opérations inverses : toutes symétries que l'on trouve illustrées dans les structures les plus simples de la théorie du gnomon, telles que les polygones et polyèdres gnomoniques, ou les spirales logarithmiques.  

    Les relations inter-arithmétiques, telles qu'elles sont déployées dans la structure du gnomon, sont comparables à des transformations géométriques entre objets duaux, dont l'exemple type est, en mathématique pythagoricienne, la dualité des solides réguliers. Ainsi, le carré gnomonique de rang 4 se transforme en spirale de Théodore, (et par suite, l'opération "puissance" en l'opération "racine"), par un retroussement, un redéploiement du même genre que celui par lequel un solide régulier se transforme en son dual. Dans la logique pythagoricienne, ces deux transformations ont une matrice commune qui est précisément le gnomon : le gnomon du carré pour la dualité "puissance-racine", le gnomon du triangle pour la dualité des solides réguliers. La théorie du gnomon peut donc apparaître, de ce point de vue, comme un ensemble de "solutions vides" permettant de transformer des nombres entiers en objets géométriques simples, et inversement. Le gnomon est le cadre d'une correspondance, d'une coordination entre deux ordres de réalité mathématiques : d'une part, le nombre entier monadique, avec le réseau a priori, le "filet" des opérations arithmétiques primitives (addition, multiplication, puissance), qui résultent de sa seule production, de son "empilement" concret dans l'espace-temps; d'autre part, les objets les plus simples de la géométrie (objets premiers, polygones et polyèdres réguliers) et les relations de symétrie profondes, aussi bien internes qu'externes, que ces objets entretiennent entre eux; - ces deux processus étant, finalement, regardés comme deux aspects d'une seule et même réalité transcendante, le nombre, qui est fondamentalement un être ensemble, un consteller : réalité dans laquelle les catégories de l'opération et de l'objet (3) - et même, ultimement, celles du nombre et de la figure - demeurent encore confondues, conjointes.

     

     

    *

     

    Le premier rang de la structure ternaire ci-dessus est celui des processus les plus généraux mis en oeuvre par la mathématique pythagoricienne, les uns additifs, comme la tétractys ou la théorie des objets premiers, les autres soustractifs, comme les médiétés. Le second rang est celui des logoï, ou rapports d'entiers - terme qui, dans sa compréhension profonde, désigne aussi bien les fractions que, par induction, les produits d'entiers. Le rapport rationnel, symbolisé aujourd'hui par la fraction (x/y), est à la base le cadre dans lequel la notion de sym-métrie reçoit son complet développement, aussi bien technique que conceptuel. La qualification de logoï pour les objets de ce rang est des plus importantes, et se réfère à la question du nom mathématique qui, comme on peut tenter de l'exposer ici en quelques traits, est épistémologiquement profonde en science pythagoricienne. Les logoï sont des rapports fonctionnels entre nombres; autrement dit quelque chose qui n'est déjà plus nombre, mais mesure, "raison", non plus seulement perception et sensibilité, mais compréhension et intelligence, et qui se produit entre les nombres. Ils correspondent à un moment où le nombre, pour exhiber ce qu'est son opération profonde, doit se tourner vers autre chose que lui-même, révéler une partie plus importante de ce sur quoi, comme de ce grâce à quoi s'exerce cette opération; - et par suite recevoir, du fait de cette exposition à lui-même, de nouveaux noms mathématiques. Ce second moment du nombre peut donc être caractérisé comme celui où apparaissent, dans son sein, de nouvelles fonctions productrices de noms et de langage,(4) contrairement aux processus monadologiques du niveau inférieur, qu'ils soient additifs ou soustractifs, dont la nature propre implique, au contraire, de pouvoir être montrés de façon mathématiquement suffisante, sans mots ni langage, mais avec d'autres vêtements matériels en quelque manière équivalents, tels que des boules, des jetons, ou tout autre objet pouvant faire office de monade; même s'il est évident que ces objets pourront, rétrospectivement, être envisagés de l'une ou l'autre manière, sensible ou intelligible. Enfin, le troisième rang est celui des puissances, terme qui, anciennement, était générique et pouvait désigner aussi bien les exposants que les racines,  (précisément réunis par ce terme dans une catégorie synthétique) domaine illustré notamment, sur le plan le plus fondamental, par la relation de dualité qui existe entre la spirale de Théodore et le carré gnomonique.(5) Ce troisième moment peut être regardé comme la réunion, ou l'addition des deux premiers; puisque la puissance est une opération qui retient, comme propriété du premier niveau, l'identité monadologique, le rapport à l'objet "soi-même", et comme propriété du second, la fonction : "produit", qui est à comprendre ici dans son sens littéral de "production". En tant que coordination des moments 1 et 2, ce moment peut donc, de fait, apparaître comme celui où les objets des premiers rangs, monades et logoï, développent leur pleine potentialité, leur pleine puissance. C'est là, en particulier, que la notion géométrique de dualité reçoit son ultime développement, et se présente comme une interface complète, "auto-suffisante", non seulement entre nombres et  figures, (entre rapports arithmétiques et rapports géométriques au sein d'un même objet), comme c'était le cas dans la théorie des objets premiers, dont l'aboutissement est la construction du tétraèdre, mais, plus universellement, entre objets et opérations mathématiques, considérés comme potentialités pures, continuellement convertibles et réversibles les unes en les autres, comme c'est le cas dans la théorie du gnomon, et plus précisément, au coeur de cette dernière, dans l'équation de la dualité des solides réguliers, dont le tétraèdre est cette fois l'objet le plus simple, la pièce de construction la plus élémentaire. Le tétraèdre, - structurellement : le triangle gnomonique de rang 2, - apparaît donc ici comme le vecteur de la transition et de la continuité logique entre un ordre et l'autre, entre l'ordre monadologique "interne", constitutionnel, qui est celui des objets premiers, et l'ordre "externe" qui est celui de la croissance "puissancielle", (originellement carrée ou gnomonique), et celui de la dualité exhaustivement développée des solides réguliers. Le moment médian, ou "intermédiaire", le logos, (représenté ici par le gnomon et sa fraction de 1/3), apparaissant dès lors comme la simple paroi, (l'"interface"), comme la forme et la solution vide de cette transition, de cette bascule entre un ordre et l'autre; et l'on saisit par ce chemin que ce fameux logos correspond bien alors au concept de la logique dans sa compréhension la plus vraie, qui définit cette science comme la forme vide de la mathématique. (6)

    C'est précisément par la vertu de cette viduité, par la frustration intellectuelle qu'elle suscite, si l'on peut dire, que la logique est génératrice, non de contenu mathématique - ce dont elle est parfaitement incapable, - mais de contenus linguistiques.

    Concernant le troisième étage, on peut encore remarquer que les "puissances" (racines ou exposants) carrés et cubiques se distinguent, par une certaine primauté ontologique, (mais aussi, par une certaine analogie avec la structure biternaire qui est celle du système général), des ensembles indéfinis d'objets auxquels ces mêmes éléments participent d'autre part, dans le cadre d'une quelconque relation de famille avec leurs successeurs. Racines et exposants carrés et cubiques forment, de ce fait, une catégorie arithmétique indépendante, et close en tant que telle : en raison là encore de ses implications gnomoniques, illustrées au niveau le plus simple - et mathématiquement originaire - par l'exemple des gnomons du carré et du cube, dont ces puissances tirent leurs noms mêmes.

     


    (1) Même si, de façon plus juste, la tétractys n'intègre pas par un acte particulièrement "décisoire" les catégories du haut, du bas, de la droite et de la gauche, mais se contente plutôt de les accueillir par une attitude "non-agissante".

    (2) Sur ce sujet, voir, en page 2 de ce blog, les gloses 1 et 2 de l'article : Rectangle de Fibonacci.

    (3) Le nombre est par excellence, en pythagorisme, une réalité dans laquelle les catégories de l'opération et de l'objet sont comprises synthétiquement, ce que l'on pourrait exprimer de plusieurs manières, comme : "Le nombre est une opération qui se prend elle-même pour objet" ou "Le nombre est un objet produit par son opération-même".

    (4) La mathématique pythagoricienne admet donc la nécessité, pour toute mathématique, de sortir du nombre et de sa "pureté", pour s'établir dans la loi du Nom, à un moment de son développement qui, même si il n'est pas premier, est plus précoce que ne le voudrait, en général, la mathématique moderne, avec ses prétentions un peu vaines et superficielles, finalement appauvrissantes, qu'elles puissent être "formalisantes" ou "axiomatisantes", à vouloir survivre indéfiniment en dehors de tout langage naturel, au nom d'on ne sait quel défi adolescent que la science se serait, sans but particulier, lancé à elle-même.

    (5) Sur la correspondance un peu plus générale entre spirales et gnomons géométriques pythagoriciens, voir, en page 2 de ce blog, les articles : Spirale de Théodore, Rectangle de Fibonacci, et la glose : Pentagone de Padovan

    (6) Dans le développement de la physique moderne, les logoï ou rapports d'entiers pythagoriciens ont trouvé la confirmation éclatante de leur pertinence théorique, en tant que principes de mouvement d'abord(fonction qui était déjà la leur dans les spéculations cosmologiques et "musicales" dont le Timée offre l'exemple, comme certains l'ont récemment redécouvert), puis plus généralement, en tant que principes de charge énergétique. Ces applications se sont développées, notamment, dans deux domaines essentiels : la cosmologie, où les mouvements des astres se laissent souvent réduire à des rapports d'entiers, - ainsi les mouvements de Mercure (3/2) ou de la Lune (1/1), identiques, respectivement, aux rapports de la quinte et de l'unisson; - et la physique quantique, où ces mêmes rapports d'entiers ont une valeur paradigmatique, dans la quantification des spins, aussi bien que des charges électriques affectant les différentes particules. Malgré ces divers succès en science physique, la notion pythagoricienne de logos attend toujours d'être réhabilitée dans le domaine philosophique, où personne ne s'est encore risqué à entreprendre, en sa faveur, une tentative de justification systématique.

     


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    V. LA DYADE INDETERMINEE ET SES DIFFERENTS ASPECTS

        

                 

    La dualité Objet/Opération revêt, dans l'idée de Granger, la fonction d'"archè", ou de principe irréductible, correspondant à "ce qui reste, une fois qu'on a tout enlevé", une fois qu'on a fait abstraction, ou soustraction, de toutes les opérations et tous les objets particuliers. Cette notion n'est donc pas elle-même d'ordre mathématique, mais métamathématique.

    La tradition pythagoricienne connaît une notion qui assume, à l'égard de la mathématique et de la science, une prééminence du même genre, notion qu'il est d'usage de traduire  en français par l'expression : "dyade indéfinie", mais que l'on choisit ici de nommer "dyade indéterminée", pour éviter de la confondre avec une notion de niveau inférieur. Cette notion a, en effet, dès l'antiquité, et plus gravement encore de nos jours, donné lieu à diverses méprises, du fait que chacun des termes qui la composent peut être interprété dans un sens moins universel que celui, métamathématique, et d'ordre vraiment primordial, qui est le sien en réalité. Ainsi, le terme "indéterminé" peut être confondu avec une notion de niveau inférieur, qui est le second terme, négatif, d'un cas précisément déterminé de la "dyade indéterminée" : la dyade "Défini - Indéfini". De même le terme "dyade" a pu, dans cette même expression, être compris à tort comme désignant "l'idée du nombre 2", c'est-à-dire comme un opérateur intervenant dans la construction de l'arithmétique, ce qu'il ne signifie en aucune manière dans cette expression, où sa portée est plus universelle, puisqu'antérieure à la définition même du nombre, comme de l'arithmétique. Dans les deux cas, l'erreur provient, comme on le voit, de la confusion du mathématique et du métamathématique.

    La langue française s'est elle-même montrée hésitante, pour trouver un équivalent à la paire de concepts qui est, de l'avis général, le représentant historique le plus décisif de cette doctrine, la dyade "Peras-Apeiron", objet de fragments inestimables de deux autorités pythagoriciennes : Alcméon et Philolaos, tous deux crotoniates. Trois solutions ont été adoptées. Fini - Infini, Limite (ou "Limitant") - Illimité, Défini - Indéfini. Tous ces termes ont reçu, en mathématique moderne, des applications précises, entre lesquelles existe un écart de signification important. Pourtant, seule la première de ces traductions, qui était celle en usage au XIXe siècle, peut être considérée comme impossible, la notion de l'infini ne pouvant relever, en pythagorisme comme dans toute doctrine au sein de laquelle on se refuse à mélanger les genres, que du domaine exclusif de la connaissance métaphysique, et n'ayant pas sa place en mathématique; n'en déplaise à l'habitude hyperbolique contractée par les modernes, - habitude qui n'a pas de justification plus profonde, que le fait que la véritable notion de l'infini leur soit, en règle générale, inconnue, ou étrangère, aussi bien que toute autre notion de métaphysique véritable.

     

    Peras - Apeiron

    Limite - Illimité

    Défini - Indéfini

    A ce premier noyau d'idées mathématiques, on peut d'abord relier la dyade logique du  Même et de l'Autre du Timée de Platon (Identité - Différence), dans la mesure où la partie centrale du Timée peut, selon toute vraisemblance, être considérée comme un ouvrage de l'école de Philolaos-Timée, dont Platon n'est que l'éditeur. On peut, de même, remarquer que la dualité du Discret et du Continu, bien qu'elle coure le risque de se voir taxer d'anachronisme (1), constitue, pour le sens, qui seul importe ici, une traduction également légitime, et peut-être la plus éclairante, de la dyade de Philolaos. Enfin, à toutes ces dyades, on peut encore associer une variété de notions qui se rapportent, elles, à la polarisation caractéristique de la structure géométrique du gnomon; ainsi, le gnomon présente un côté Fermé et un côté Ouvert; un côté qui est l'Origine, ou l'Ombilic, et un côté auquel sont liées les idées de Croissance ou d'Augmentation.

    Dans toutes ces situations, le terme "dyade indéterminée" se rapporte donc à la paire d'universaux irréductibles qui reste au fond de la pensée mathématique, une fois qu'on l'a délestée de ce qu'elle contenait. Plus précisément, la doctrine pythagoricienne suppose que, par delà la variété d'aspects sous lesquels cette dyade se présente, il existe une forme ou un moule absolument universel, absolument vide et inconditionné, qui, comme tout ce qui est vraiment premier dans l'ordre intellectuel, demeure en lui-même insaisissable. L'essentiel demeurant toutefois que, si l'on s'attache avec sincérité à l'un de ses aspects, on est contraint, par un chemin ou un autre, de récupérer les autres.

    La dualité grangérienne Objet/Opération peut donc apparaître comme un aspect particulier de la dyade indéterminée, adéquat à un certain moment de la pensée, ou de la réalisation mathématique particulière qui est celle de la mathématique moderne, sans qu'on doive estimer pour cela qu'elle l'emporte sur les autres de manière absolue ou catégorique, en terme de primauté, ou de fondamentalité. On peut d'ailleurs remarquer que, chez Granger lui-même, la dyade Contenu - Forme apparaît plusieurs fois comme une dyade concurrente et complémentaire de la dyade Objet - Opération.

    Les différents aspects de la dyade indéterminée ne sauraient donc donner lieu à une "table des catégories" prétendant à la complétude; et la fameuse "table des opposés" transmise par la tradition pythagoricienne sous le nom d'Alcméon de Crotone, que nous rappelons plus loin pour mémoire, ne fait, à cet égard, pas plus autorité que celle que nous proposons ici, en guise de récapitulation de ce chapitre. Les notions qui suivent n'ont été choisies que parce qu'elles nous paraissent avoir un sens bien établi dans un contexte déterminé, qui est, pour nous, celui de la mathématique moderne et de son expression métamathématique. Les aspects de la dyade indéterminée sont par essence "indéterminés" dans leur nombre même, parce qu'ils relèvent de la nature, de la déterminité même de l'homme, déterminité qui est d'ordre spatio-temporel, historico-géographique, mais aussi, s'agissant d'une table de ce genre, linguistique. La doctrine pythagoricienne est, du reste, la seule que nous connaissions à formuler dans les termes les plus clairs ce principe de la contingence, notamment linguistique, du commencement de la science - au contraire de la science moderne qui s'imagine toujours pouvoir disposer d'un fondement, ou même d'un objet absolu.

    "Le plus sage est le Nombre, et après lui vient celui qui donne leur nom aux choses", énonce un acousmate pythagoricien. Le nombre n'est principe de connaissance, que pour autant qu'il s'applique originairement à quelque chose d'autre; quelque chose qui n'est pas de la nature du nombre, mais qui est de la nature "exemplaire" et "permutante" (ou encore : paradigmatique), des choses nommées, des choses qui reçoivent de l'homme leur nom.

    Même la tétractys n'a pas, en pythagorisme,  le statut de commencement absolu, mais seulement celui de commencement excellent.  (2)

    Cette contingence du commencement n'implique, bien évidemment, aucune espèce de "relativisme" concernant la connaissance qui en est le résultat. Ce qui distingue les pythagoriciens des autres philosophes ou scientifiques, réside, principalement, dans la possession d'une certitude inébranlable, certitude qui n'est autre que la foi scientifique, et qui est par nature incommunicable, puisqu'elle ne consiste qu'en la pure intellection de ce que l'on a dans la pensée.

      

    Limite - Illimité

    Défini - Indéfini

    Discret - Continu

    Nombre - Figure

    Identité - Différence

    Objet - Opération

    Contenu - Forme (Contenant)

    Graine - Gnomon

    Fermé - Ouvert

    Origine - Croissance

    Un - Multiple

    Impair - Pair

     

      

     

    La table d'Alcméon

     

    Ce qui se montre avec évidence dans cette image ancienne de la doctrine, c'est que la dyade indéterminée a beaucoup moins de rapport avec le nombre 2 qu'avec le principe universel de l'ordinalité, en tant qu'il s'oppose à la cardinalité de la monade. L'appellation "table des opposés" semble  donc fâcheusement insuffisante, en ce qu'elle néglige le fait que ces opposés se présentent, dans la table d'Alcméon comme dans celle ci-dessus, d'une façon qui est toujours la même, selon une règle de polarisation constante, ou encore, comme une suite ordonnée dans laquelle chaque terme se voit attribuer une position d'ordre : 1 ou 2. 

    Ce qui, en outre, distingue ces deux tables, aussi bien de celle d'Aristote, que de celle de Kant - malgré le mérite éminent de ces dernières - est leur absence de prétention à la complétude, prétention qui serait illusoire, étant donné le caractère d'exemplarité non close que revêt, dans sa nature même, tout paradigme linguistique.

     

    Limite - Illimité

    Impair - Pair

    Un - Multiple

    Droite - Gauche

    Mâle - Femelle

    Non mû - Mû

    Droit - Courbe

    Clarté - Obscurité

    Bien - Mal

    Carré - Rectangle (3) 

          

     

        a. Le développement continu de la tétractys      La dyade indéterminée

     

        Parmi les représentations symboliques les plus éloquentes de la dyade indéterminée figurent, outre le prétendu symbole du soleil, (qui ne l'est en réalité que dans la mesure où le soleil peut lui-même être considéré comme un symbole de ce dont il s'agit), et qui est plus originairement le symbole du centre du monde, de l'ombilic, ou du pôle, - le cône, ainsi que divers objets dérivés de cette forme mathématique, tels que l'entonnoir ou le sablier, ou encore, tout naturellement, la lettre V de notre alphabet, ou l'accent circonflexe français ^, analogue au lambda grec.       

     

     

    Autologie et consistance de la dyade

     

    Pour conclure, on peut remarquer qu'en raison de son extrême universalité, mais aussi de sa vacuité essentielle et positive, la dyade indéterminée recèle la capacité de se comprendre elle-même de façon autologique, en tant que cas particulier, sans entraîner de paradoxe, ni de "régression infinie", de sorte qu'on peut sans doute admettre comme cas ultime de la dyade indéterminée le couple "monade-dyade", ou encore le couple "cardinalité-ordinalité", à nos yeux équivalent, ou de sens très voisin.

    De fait, la proposition : "La paire  orientée La dyade indéterminée - dans laquelle un concept, et non uniquement un mot, en précède un autre, - est un exemple, un cas particulier d'ordinalité", est une proposition vraie et consistante, qui ne renferme ni paradoxe, ni régression. Cette capacité autologique est une des raisons qui expliquent les confusions, dont certaines sont anciennes, que cette doctrine a suscitées; comme le fait qu'on ait cherché à voir dans la dyade un opérateur exclusivement arithmétique, alors qu'elle ne l'est que secondairement, dans la mesure où le nombre naturel est un cas particulier d'ordinalité, tandis que le domaine complet dans lequel opère la notion d'ordinalité est, quant à lui, d'un degré plus profond et plus universel à la mathématique, et tel qu'on ne peut le qualifier que de métamathématique, puisqu'il est antérieur au nombre lui-même. (4)

     

     

    (1) Sauf par quelques mathématiciens avisés : "Le problème du continu, qui mériterait le nom de problème de Pythagore..." Hermann Weyl, Le continu et autres écrits, Vrin, 1994.

    (2) Car la tétractys n'est que cela : une forme logique consistante, parce que dotée d'un contenu mathématique; ce qui veut bien dire une forme particulière, parmi d'autres possibles. Si, sur le plan du développement historique et contingent de la science, la tétractys a pu ou peut encore revendiquer le statut de forme idéale ou parfaite, (en tant qu'elle serait, en particulier, la Pensée et l'Outil permettant d'entrer dans le secret des lois de la Nature), c'est donc à titre de rivale d'autres formes concurrentes, auxquelles elle propose un défi que l'on pourrait formuler ainsi. Toute science, toute connaissance vraie, devant consister dans une pensée, et donc dans le rapport d'un Contenant, d'une représentation ou d'une forme, à son Contenu, à l'idée même qu'il contient, la meilleure science, la meilleure connaissance, peut dès lors être caractérisée comme la plus synthétique, c'est à dire comme la pensée qui recèle le contenu le plus riche, le plus universel, sous le contenant le plus maigre, la forme la plus dépouillée.

    (3) Au sens gnomonique, où ces notions signifient : "égalité - inégalité" des côtés du quadrilatère, et ne sont donc qu'une variante géométrique de la dyade logique "Identité - Différence" ou "Même - Autre". En remarquant que ces notions, ici, peuvent également être dérivées des catégories arithmétiques "Impair - Pair" et "Un - Multiple".

    (4) Sur la dyade en général, on peut consulter l'étude de Philippe Soulier (La dyade platonicienne du Grand et du Petit, principe formel ou matière informe? - à voir ici), qui fournit une abondante documentation. Il convient, pour la lire, de ne pas se laisser impressionner par l'habitude ou la manie universitaire qui consiste à attribuer à Platon des idées qui ne lui appartiennent en aucune manière, et sur lesquelles son point de vue particulier ne présente, d'ailleurs, qu'un intérêt très relatif; puisque l'essentiel du dossier réuni par Soulier est bien de tradition pythagoricienne, - hormis évidemment pour ceux qui nient la permanence historique de cette tradition, permanence qui est indépendante et à vrai dire incommensurable à la tradition philosophique issue de Socrate et Platon, et dont la réalité n'a pu être ignorée, ou mise en doute, qu'en raison de sa nature purement intellectuelle : parce qu'elle ne peut se vérifier qu'à un niveau intellectuel auquel une certaine catégorie d'esprits "sceptiques" n'a tout simplement pas accès. L'oeuvre de Platon a, indubitablement, le caractère d'une encyclopédie du savoir grec, dans laquelle maintes doctrines présocratiques sont évoquées, ou mises en scène de manière quelque peu anarchique, sous des formes souvent dénaturées. Aussi, l'habitude qui consiste à attribuer à Platon l'ensemble des idées que son oeuvre renferme, n'a, bien souvent, pas plus de sens que n'en aurait, par exemple, la convention d'attribuer à "Larousse" ou à "Bordas" les doctrines de penseurs dont la trace aurait été conservée par hasard dans des encyclopédies de ces éditeurs, sous prétexte qu'un quelconque accident de l'histoire aurait fait disparaître les noms ou les oeuvres originales de ces penseurs. 

    Philippe Soulier ne se demande même pas si la dyade indéterminée est un concept qui pourrait posséder, a priori, une validité scientifique universelle et absolue, comparable aux concepts : "trois" ou "racine carrée". Dans son système de pensée, tout ce qui figure dans l'oeuvre de Platon ne peut être qu'une création "ex nihilo" du cerveau de ce génie, et ne présente d'intérêt qu'à ce seul titre. D'où la placidité avec laquelle est asséné cet énoncé préliminaire : "Selon une tradition fictive (c'est nous qui soulignons) qui remonte probablement à l’ancienne Académie, Platon aurait hérité des Pythagoriciens une doctrine de la dualité des principes ontologiques suprêmes : l’Un et la Dyade indéfinie". Tant pis si cette affirmation aussi gratuite que délétère (puisqu'elle revient à supposer que tous les auteurs pythagoriciens antérieurs à Platon qui ont disserté sur la dyade indéterminée, tels qu'Alcméon, Empédocle ou Philolaos, pour ne pas citer le cas litigieux de Timée, étaient en quelque sorte "inconscients" de ce dont ils discouraient) est contredite par le premier témoignage qu'il veut invoquer, celui d'Aristote, dans lequel l'opinion de Platon n'est examinée que dans le cadre d'un examen des conceptions scientifiques pythagoriciennes. Car il convient de préciser qu'à l'embarras de M. Soulier, la "tradition fictive" dont il fait état correspond en fait à l'opinion à peu près unanime de l'ensemble des auteurs de l'antiquité. On peut donc admirer l'enfumage de la référence à l'"ancienne académie", expression qui ne désigne rien d'autre que la troupe des disciples et des héritiers directs de Platon. De sorte que la thèse de Soulier se réduit à peu près à ceci : "Il s'est passé quelque chose d'inexplicable entre Platon et une bonne partie de ses disciples (et notamment, pour lâcher des noms : Aristote, Speusippe, Philippe d'Oronte, Xénocrate, Eudoxe de Cnide, l'auteur inconnu de l'Epinomis... bref, une véritable conspiration mythomaniaque au sein même de l'académie platonicienne)  - cette catastrophe ayant virtuellement pu se produire aussi bien du vivant du Maitre qu'après sa mort - qui fait que l'ensemble des témoignages de l'antiquité doivent être rejetés en bloc, du fait que ces gens-là ne pouvaient pas apprécier le génie de Platon avec la même lucidité que nous autres, modernes, le faisons aujourd'hui." Ou encore : "Avant Platon, les philosophes qui spéculaient sur la dyade indéterminée le faisaient dans un état  d'hypnose ou d'auto-suggestion hallucinatoire; tandis que, après Platon (c'est-à-dire pendant une période de huit siècles qui s'étend des disciples de Platon à Proclus), il n'a existé que des philosophes qui calomniaient Platon parce qu'ils ne le comprenaient pas". Tout ceci étant posé en préambule comme un dogme mystérieux et ineffable, sur lequel doit impérativement s'appuyer tout le reste, mais qui ne nécessite en lui-même aucune justification particulière. - Naturellement, il importe peu à M. Soulier que la dyade indéterminée soit une notion indispensable à la mathématique pythagoricienne tout entière, sous-jacente à l'intégralité des concepts que cette doctrine renferme. De ce point de vue, sa position de principe, qu'elle relève d'un réflexe de crispation corporatiste ou, plus innocemment, d'une forme d'automatisme mental, rend, à vrai dire, la discussion quelque peu difficile, puisqu'elle ne manifeste rien d'autre que la récusation a priori de l'existence même de cette mathématique pythagoricienne.

    Abstraction faite de ces considérations "préjudicielles", notre principale réserve concernant l'étude de Philippe Soulier est celle-ci : la démarche qui consiste à relever des "contradictions" apparentes dans la doctrine de la dyade n'est pas grandement féconde, car ces contradictions n'existent en réalité que si l'on méconnaît la nature proprement métamathématique de la dyade. Le point de vue métamathématique est un point de vue éminemment universel, puisqu'il est transcendant, aussi bien au point de vue mathématique, qu'au point de vue physique, auxquels Soulier s'efforce, entre autres, de "contraindre" ou de "réduire" successivement la dyade, au prix d'artificielles contradictions. Du point de vue métamathématique, la dyade n'exprime rien d'autre que l'idée très générale de succession ou d'ordinalité, qu'elle puisse être spatiale, temporelle, ou les deux à la fois. Mais cette nature métamathématique de la dyade implique également qu'elle est "insaisissable", qu'elle ne peut être approchée que sous des aspects particuliers et divergents, - en nombre d'ailleurs indéfini, - auxquels son essence propre ne se réduit jamais, et dont aucun n'a, véritablement, d'antériorité, ni de prééminence sur les autres. La dyade est donc irréductible à quelque attribut que ce puisse être. Si, entre les différents aspects de la dyade, il n'existe pas de contradiction, c'est parce que ces aspects ne constituent précisément pas des attributs de la dyade. La dyade est, en effet, rigoureusement vide; donc, sans attribut. Au sens propre : "indéterminée", "inconditionnée"...

     


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     VI. LA MONADE

     

     

     

    Objets premiers et objets monadiques

     

     

     

     objets premiers : point, segment, triangle équilatéral, tétraèdre

     

    A la série des objets premiers de la géométrie, construits par l'addition de monades, correspond, dans son ordre, la série des objets monadiques, construits, eux, par différentes déformations ou transformations de la monade; série dans laquelle s'applique, là aussi, la contrainte pythagoricienne de dualité, exigeant que soit associée à la définition des objets géométriques, celle des actions, ou des opérations de pensée qui les engendrent.

     

    1. poser - point

    2. étirer - segment

    3. étaler - disque

    4. gonfler - boule topologique

     

    La monade

    objets monadiques

     

    Cette série d'objets se distingue de la première par deux traits essentiels, d'une façon qui est totalement indépendante du fait que les deux séries possèdent deux objets en commun. D'une part, ses éléments ne peuvent être appelés "objets" qu'en un sens relatif, et par une transposition analogique, puisque, au sens strict, et au regard de leur commune unité arithmétique, ces objets ne correspondent pas réellement à des êtres mathématiques différents, mais bien plutôt à différents états d'un seul et même être qui est la monade : "monade posée", "monade étirée", "monade étalée", "monade gonflée"; de sorte que la série entière des objets monadiques peut apparaître comme un développement particulier qui ne concerne, en somme, que le seul premier élément de la série des objets premiers. En second lieu, dans cette série, les actions 3 et 4 ne sont pas dépendantes de celles qui les précèdent immédiatement, mais sont conduites directement à partir de la première. Ce second point entraîne d'importantes conséquences.

    La contrainte pythagoricienne de dualité revient, en pratique, à attribuer à chaque objet géométrique une coordonnée de temps. Or, alors que la série des objets premiers se développe et parvient à saturation en quatre temps d'action enchaînés, la série des objets monadiques sature à chaque fois, elle, en 2 temps d'action seulement. Les objets 2 à 4 pouvant tous être déployés, en un coup de temps, par l'expansion isométrique d'un point à partir de son "lieu" d'origine, (car la même logique doit prévaloir, pour la construction monadologique du segment, que celle qui prévaut pour les autres membres de la série, de sorte que les limites de cet objet doivent être conçues comme se déployant à partir du point qui est son centre) le système ne contient que des positions saturées de type "1" (point) ou "2" (toutes les autres), et relève donc d'un mode d'expression plus immédiat de la dyade indéterminée, dans lequel le "dyadique" se présente à chaque fois comme un choix binaire.

    L'idée revient de façon insistante dans la tradition pythagoricienne, que la monade et la dyade indéterminée engendrent tous les nombres, ce qui, en bonne compréhension pythagoricienne, revient presque à dire : tout le reste de la mathématique. Concernant, toutefois, l'antériorité de l'une par rapport à l'autre, il convient d'être plus circonspect. Si la monade semble précéder la dyade, ce n'est que du point de vue en quelque sorte "phénoménologique", et déjà déterminé, qui est celui de la mathématique elle-même, mais, relativement à cette même science, elles apparaissent coéternelles, du fait qu'elles relèvent d'un ordre plus universel, au sein duquel elles résultent ensemble d'une troisième "chose", insaisissable, et indifférenciée. Dans l'ordre dont il s'agit, on peut simplement admettre que la dyade représente le principe de l'Ordinalité, et la monade, celui de la Cardinalité; or ces deux notions ne sont réellement au nombre et à la mathématique - comme cette tradition le dit - rien de moins qu'une mère et un père, de sorte qu'il est impossible à cette science de les isoler l'une de l'autre sans y perdre son contenu premier, sa substance même, comme l'illustre de façon exemplaire la structure du gnomon, dans laquelle chaque cardinal impair est associé à une paire d'ordinaux, respectivement entier et carré.

      

     

     

    La synthèse des objets monadiques et la représentation mathématique de la situation naturelle de l'homme

     

    Tout comme la série des objets premiers peut être rassemblée synthétiquement dans les dix points de la tétractys, où chaque objet correspond biunivoquement à un étage ou un rang déterminé de cette structure, la série des objets monadiques peut, elle aussi, être recueillie synthétiquement dans une seule pensée, mais il est à remarquer que, parmi les formes que peut revêtir cette représentation synthétique, il en est une qui l'emporte sur les autres de façon décisive, de par sa relation avec une certaine description mathématique de la situation naturelle de l'homme. Et ce, comme on va le voir, selon trois modes de généralisation différents de cette situation ou "nature" humaine, correspondant à trois degrés  successifs de son développement cosmologique universel.

    Un point de mathématique précisé par René Guénon revêt ici une grande importance, qu'il convient de remémorer.

    En tout point de l'espace, il ne passe qu'une seule droite verticale, mais une indéfinité de droites horizontales; tandis que, dans le même point de l'espace, il ne passe qu'un seul plan horizontal, mais une indéfinité de plans verticaux. Ce qui signifie pour nous que les dimensions 2 et 3 de l'espace pythagoricien, ou encore les objets 2 et 3 de la série des objets monadiques, se trouvent, dans la situation de l'homme, déjà montrés, distingués, voire exemplifiés par la structure de l'espace lui-même.

    La représentation synthétique la plus naturelle de la série des objets monadiques consiste donc à matérialiser, dans une sphère de dimension indéfinie (objet 4), d'une part, un axe polaire vertical (objet 2), et de l'autre, un plan discoïdal horizontal orthogonal à celui-ci (objet 3), sans oublier le point central (objet 1), situé à l'intersection de ces deux derniers objets, qui est à la fois l'origine et le centre géométrique de chacun des trois autres membres de la série.

     

    1. Le développement continu de la tétractys

     

    De ce point de vue, la boule peut apparaitre comme le seul objet monadique dont on puisse dire de plein droit qu'il est le gnomon du point qui est son centre - en supposant que ce point puisse être soustrait du volume de celle-ci -,  puisqu'il est le seul dans lequel les possibilités de développement du point s'expriment en tant que totalité "clôturée".

    C'est le même symbolisme mathématique qui est ensuite transporté, naturellement, dans la représentation de la situation de l'homme par rapport à la terre, selon les premières applications que peut prendre le paradigme des 6 directions de l'espace, où l'axe vertical correspond, d'abord, à l'axe "haut-bas", ensuite à l'axe "zénith-nadir", tandis que le plan horizontal correspond à celui déterminé par la structure d'une croix, formée, dans le premier cas, par les axes "droite-gauche" et "devant-derrière", et dans le suivant par les axes "nord-sud" et "est-ouest". Ce symbolisme se reporte  ensuite, de manière identique, dans les représentations de l'orientation de la terre dans l'univers, où alors l'axe vertical sera d'abord celui de la rotation de la terre, ensuite celui de sa révolution autour du soleil, et par extension tout axe de même nature, tandis que le plan horizontal sera, selon le cas envisagé, celui de l'équateur, celui de l'écliptique, ou par extension tout autre plan de même nature. Dans toutes ces représentations sont donc privilégiés un certain axe polaire vertical, représentant en quelque sorte électif de la dimension pythagoricienne "2" ou de la droite, et un certain plan discoïdal et horizontal correspondant (qui n'est au fond horizontal qu'en vertu de la verticalité hypothétique de son prédécesseur "polaire", par une dépendance purement logique et relative), plan habituellement divisé en "quartiers" au moyen de deux axes orthogonaux entre eux et formant une croix horizontale, qui se présente de façon similaire comme un représentant électif, ou supérieurement exemplaire, de la dimension pythagoricienne 3. Ces réalités sont en effet privilégiées parce qu'elles correspondent, très simplement, et sans aucun reste, au tableau logique quaternaire de la situation de l'homme, et à son transport ou à sa transposition analogique à différentes échelles de la nature cosmique. Chacune de ces représentations a pour résultat de définir un espace "euclidien" clos et complet, entièrement paramétrable, coïncidant avec la possibilité d'expansion indéfinie du sphéroïde de rang 4, en fonction d'un point qui est son centre (objet de rang 1), point qui peut lui-même être défini par l'intersection des objets de rang 2 (axe vertical polaire) et 3 (plan discoïdal horizontal). Ceci méritait d'être précisé pour ceux qui se demanderaient encore si cette représentation synthétique des objets monadiques, constituant une application de la tétractys, pouvait d'aventure relever d'une quelconque "convention". Car en effet, la tétractys n'est pas une construction intellectuelle forgée par un quelconque acteur individuel de "l'histoire des sciences", mais une réalité naturelle dans laquelle l'homme se reconnaît plongé à chaque fois qu'il y pense, parce qu'il la rencontre à la racine des idées qui sont en lui.

     

    1. Le développement continu de la tétractys

     

    Bien qu'il soit impossible de leur donner ici un développement plus détaillé, on peut donc recomposer comme suit les moments logiques selon lesquels se forme la notion mathématique de l'espace naturel.

     

    Niveau 0. Mathématique. Degré de la possibilité pure a priori            (vertical) - (horizontal)

     

    Niveau 1. Situation gravitationnelle et chirale de l'homme         (haut-bas) - (droite-gauche-devant-derrière)

     

    Niveau 2. Situation de l'homme par rapport à la terre       (zénith-nadir) - (nord-sud-est-ouest)

     

    Niveau 3. Situation de la terre par rapport à l'univers     (tout axe polaire de rotation ou de révolution) - (tout plan horizontal correspondant)

     

    Par des développements successifs, la monade assume ainsi, de proche en proche, la fonction de paradigme universel de la situation de l'homme; elle est la forme par laquelle il s'inclut dans la série des "astres", des "objets intéressants" de l'univers, qui ont comme lui le statut logique de monade.

    En tant que représentation universelle de la relation de la partie au tout, la monade est déjà, nécessairement, une représentation de ce Tout, de cet Univers auquel le statut logique de monade est aussi dévolu.

     

    On peut remarquer que ce qui est premier selon l'essence, à savoir le degré zéro qui est celui de la possibilité universelle, ne l'est pas dans le développement concret de la connaissance humaine, puisque ce n'est que de la considération des conditions naturelles détaillées aux niveaux 1 et suivants, qu'a pu se former, dans la culture intellectuelle de l'homme, la notion du degré de la possibilité a priori, qui est celui exprimé par le point de vue mathématique. Dans l'ordre naturel qui est celui de la formation de la connaissance, le degré zéro n'est donc qu'un résultat exprimé, abstrait de la seule consistance, de la seule coïncidence synthétique de la suite hypothétique des moments qui lui succèdent, suite dont le départ est connu de façon familière, mais qui, à l'échelle où nous l'envisageons ici, demeure bien évidemment indéfinie quant aux possibilités d'extension ou de clôture offertes par son développement cosmologique. (1)

     

     

    De la monade universelle à la monade biologique

     

    En raison même de sa quotidienneté, on ne remarque pas assez le caractère profondément original de ce symbolisme, puisqu'en définissant l'homme comme un segment vertical, il a pour conséquence de faire de lui un cousin de l'arbre, voire, à sa limite idéale, du fruit, et en tous cas un être davantage placé sous le régime de la croissance végétale, qu'une forme apparentée à la généralité du règne animal; - à moins de remonter, dans celui-ci, jusqu'à un degré de primordialité qu'on qualifiera de "cytologique", la cytologie ayant d'ailleurs réellement ce caractère d'une monadologie appliquée. On peut même dire de la cytologie qu'elle est, relativement à la monadologie (pythagoricienne, s'entend, c'est-à-dire "indéfinitésimale"), ce qu'est la cristallographie relativement à la théorie des objets premiers, et plus généralement à la notion pythagoricienne de symétrie d'objets construits par addition de monades : un exemple d'application quasi immédiate de la nature mathématique, à la nature physique. Nous disons "quasi immédiate", car naturellement, ces applications physiques de la loi mathématique n'ont, dans un cas comme dans l'autre, qu'un degré d'exactitude statistique, "à gros grains"; ce qui n'affecte en rien leur validité, car, comme l'a montré Granger, et comme le savait aussi Pythagore, le vague, l'à-peu-près et le grossièrement défini, ne sont pas pour la mathématique des maladies originelles, mais des conditions aux limites positivement instituées, et assumées de l'intérieur par cette science, en tant que nécessaires à l'expression même de ce qui importe, avant même qu'elle ne s'avise de légiférer sur les conditions de possibilité de la nature physique.

    Concernant cette application de la monadologie au niveau le plus élémentaire de la biologie, et donc par déduction, à l'embryologie ou à la cytologie, Aristote nous a transmis, dans son De Anima, ce qui constitue, sans doute possible, un authentique enseignement pythagoricien,(2) et que l'on pourra retenir en guise de récapitulation de ce chapitre, du fait de son caractère profondément synthétique : "Le Vivant lui-même procède de l'idée de l'Un (1), de la longueur (2), de la largeur (3) et de la profondeur (4) premières." Les dimensions "euclidiennes" de l'espace (dimensions pythagoriciennes 2, 3 et 4) y sont définies, de façon très caractéristique, comme trois différents rapports de coordination à l'unité-point originelle, qui, du fait de cette relation organique, sont maintenus liés ensemble dans l'unité. Mais l'unité originelle comprenant elle-même un rapport, qui est l'identité, on est contraint, comme de juste, de dénombrer quatre temps dans la genèse de l'espace, comme dans celle de l'"individu" vivant en lui.

    Dans le même ordre d'idées, et pour ne pas nous limiter aux seules autorités anciennes, le pythagoricien d'Arcy Thompson a entrepris une étude systématique des formes de la nature, aussi bien vivantes qu'inanimées, à partir de leurs seules conditions de possibilité mathématiques, éventuellement soutenues par quelques principes élémentaires de mécanique, en négligeant toutes les conditions de réalisation intermédiaires pouvant relever de la chimie, de la biologie ou de la génétique, et au moyen des seules catégories mathématiques de forme et de croissance, pour la définition desquelles il utilise, sans surprise pour nous, les notions pythagoriciennes de gnomon et de médiété (notamment logarithmique). Cette entreprise a laissé sceptique une partie du public scientifique, en raison de son apparente absence d'application pratique immédiate, et de son caractère de pure "théorie", au sens ancien d'intelligence directe, de contemplation du possible. Cependant, comme l'a remarqué Alain Prochiantz, les découvertes récentes de la génétique ont, rétrospectivement, donné raison à d'Arcy Thompson, en établissant que la forme de l'homunculus était bel et bien représentée sur l'ADN.

    La physique pythagoricienne est un domaine dans lequel l'ancien et le moderne se tiennent souvent la main, dans une relative indifférence des évolutions ou des progrès scientifiques qui sont supposés les séparer. Les noms de Pythagore et de Philolaos sont couchés sur la première et la dernière page de Forme et croissance; et il n'y a pas une bien grande différence entre la démarche d'Eurytos, entreprenant de représenter les formes de l'homme et du cheval au moyen d'assemblages géométriques bidimensionnels de points monadologiques ou de "gros points" pythagoriciens, - apparemment affectés de valeurs arithmétiques ou "pondérales" différentes, représentées par des jetons de différentes couleurs, - et celle de Turing, reproduisant les motifs des pelages de différents mammifères au moyen d'agents chimiques purement théoriques et imaginaires, inspirés de la logique et de l'informatique, (mais avant tout de la découverte émerveillée de l'oeuvre de d'Arcy Thompson), et que la chimie moléculaire, en retard sur la simulation informatique, devait mettre quelques décennies à pouvoir, à son tour, réaliser expérimentalement.

     

     

    (1) C'est un sujet d'étonnement, pour certains historiens, que ces fondateurs de la cosmologie moderne que sont Copernic, Kepler et Newton, aient été des pythagoriciens, inclue la dimension ésotérique de cette pensée. Mais il faudrait commencer par rappeler que la notion même de cosmos est d'origine pythagoricienne,  - du moins si on la considère en tant que fondement d'une science positive : la cosmologie, dont la notion et le projet se sont apparemment conservés jusque dans le cerveau de Stephen Hawking, et donc abstraction faite de l'étymologie, par laquelle ce mot se rattache à une tradition immémoriale, relative aux rites de  fondation de villes, dans laquelle il désigne, comme le mot latin mundus, ("monde" - antonyme : immonde) un lieu consacré et purifié ("cosmétique") au centre du village, symbolisant le centre du monde. Or, le problème de l'analogie du microcosme et du macrocosme, est un problème qui, bien compris, présente précisément deux côtés qui n'ont aucune vocation à être confondus: un côté symbolique et ésotérique par lequel il échappe en général aux capacités de l'intellectualité moderne, et un côté qui est éminemment positif et pratique, par lequel il se confond avec la question de la continuité des lois de la nature à toutes ses échelles, qui est la question même de la science, dans la conception d'ailleurs assez limitée que s'en font les modernes. De ce point de vue, il n'y a en effet aucun moderne dont la mentalité ressemble davantage à celle d'un présocratique, que Newton.

    (2) Comme l'ont remarqué divers auteurs, tels que Paul Kucharski ou, plus récemment, Enrico Barazzetti. Aristote mentionne, comme source de cette doctrine, un ouvrage perdu de Platon, (ou peut-être un enseignement oral), les Leçons sur la philosophie, - apparemment associé de manière étroite à la doctrine "vitaliste" du Timée. La formule d'Aristote est reprise par Jamblique dans son propre traité de l'Ame, qui déjà, la replace avec pertinence dans son véritable contexte pythagoricien. La définition d'Aristote est à rapprocher, manifestement, d'un propos de Saint Paul sur la "plénitude" (plérôme) de la connaissance, (Ephésiens, III, 17-19), que Raymond Abellio fait figurer en exergue de son ouvrage La structure absolue.  "... de sorte que, étant enracinés et fondés dans la charité, vous deveniez capables de comprendre avec tous les saints quelle est la largeur et la longueur, la profondeur et la hauteur, et de connaître l'amour du Christ qui surpasse toute connaissance, pour que vous soyez remplis de toute la plénitude de Dieu." Dans cet essai inspiré, bien qu'un peu touffu, Abellio présente la "sphère sénaire-septénaire universelle", (formellement identique à la monade pythagoricienne, mais à laquelle il associe en outre des vecteurs de mouvement), comme le support d'une dialectique universelle dont les deux polarités principales, l'intensité et l'amplitude, nous semblent dans le droit fil des théories cosmologiques pythagoriciennes, qu'Abellio ne semble pas connaître "en tant que telles", mais vers lesquelles sa réflexion pointe assez souvent, par ses références au Timée de Platon.

    La monade

    la sphère sénaire-septénaire universelle

     

    Très logiquement, il recourt ensuite à la topologie du cône et à celle de la double spirale, l'une et l'autre classiques en pythagorisme, pour symboliser le processus d'involution-évolution à la racine, selon lui, du mouvement cosmologique.

    La monade

     

     

     


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    VII. LA DOCTRINE DU MOTEUR IMMOBILE DE LA NATURE

    ou 

    Les principes de la physique pythagoricienne d'après Empédocle, Timée, Alcméon, Philolaos...

     

     

     

    La dialectique de l'Un et du Multiple

      

    On peut remarquer que, dans la série des objets monadiques, c'est l'objet qui est toujours le même, et l'opération chaque fois différente; tandis que, dans la série des objets premiers, l'objet est à chaque fois différent, mais l'opération : "poser un point dans une nouvelle dimension", demeure toujours la même. Donc, d'une part, la série monadique et la série additive des objets premiers peuvent nous paraître constituer, ensemble, un cas d'application des plus universels de la dyade indéterminée, dans lequel la série monadique occupe la position de l'un et du même, et celle des objets premiers, celle du multiple et du différent; mais d'autre part, chacune de ces séries se présente elle-même individuellement comme une application secondaire de cette même dyade indéterminée, dans une situation cette fois, où chaque terme, chaque pôle de la dyade, échange dialectiquement sa position avec celle de son antagoniste.

     

    série monadique (objets monadiques).................UN (même)

    objet un - opérations multiples

     

    série additive (objets premiers)................MULTIPLE (différent)

    objets multiples - opération une

     

     

     

    Le tenseur binaire empédocléen

     

    Cette dialectique de l'Un et du Multiple est au coeur de la pensée pythagoricienne. Le même processus qui est, ci-dessus, attaché à la construction des objets fondamentaux de la connaissance géométrique, se retrouve sur le plan de la science physique, associé à la doctrine du "premier moteur", ou du "moteur immobile" de la Nature. Un témoin clé de cette antique doctrine est le début du traité De la Nature d'Empédocle, où cette dialectique universelle est évoquée à plusieurs reprises.

     

    "Et il en va ainsi dans la mesure où l'Un

    a appris comment naître à partir du Multiple;

    et lorsque, de nouveau, de l'Un dissocié le Multiple surgit,

    là les choses renaissent pour une vie précaire; et,

    dans la mesure où elles pourvoient sans cesse à leur mutuel échange,

    elles demeurent ainsi, en cercle, immobiles."

     

    Dans cette dialectique, les catégories qui étaient précédemment celles, mathématiques, de l'Objet et de l'Opération, sont remplacées (par une transposition analogique qui se traduit aussi par une généralisation), par celles de l'Espace et du Temps - qui sont logiquement implicites, bien que non nommément désignées dans le fragment ci-dessus - en tant que cadre général de la science physique. Bien que cette théorie "empédocléenne" du moteur immobile soit relativement méconnue de nos jours, son importance doctrinale est de tout premier ordre, puisqu'elle se rattache aussi bien aux spéculations de Philolaos sur la dyade Limite-Illimité, qu'à la dialectique du Même et de l'Autre du Timée de Platon, avec l'ensemble de spéculations cosmologiques qui l'accompagne, - ces deux dernières théories ne constituant d'ailleurs que des rameaux voisins d'une même branche de la tradition. L'importance de cette doctrine pour les anciens ne fait pas de doute, puisque la notion de moteur immobile s'est conservée, du moins en tant que réquisition logique de la science physique, dans les systèmes de Platon et d'Aristote, malheureusement sans bénéfice sur les idées physiques de ce dernier.

    La doctrine du moteur immobile est, en effet, le cadre dans lequel la notion pythagoricienne de symétrie reçoit son développement physique et cosmologique le plus universel et complet, puisqu'il est celui de la mise en correspondance entre les symétries de temps, comme celles du système des médiétés musicales, et celles de l'espace, comme celles qui sont déployées dans la théorie du gnomon ou dans la géométrie des polyèdres. Ainsi, dans le Timée, ce sont les rapports harmoniques de la gamme pentatonique qui fournissent l'échelle sur laquelle sont disposées les sphères des planètes et des étoiles fixes, sphères qui sont disposées comme autant de gnomons concentriques autour d'un centre qui est la terre. Mais il ne faut pas oublier qu'en pythagorisme, les tons de la gamme sont avant tout des coordonnées de temps relatif, de sorte que, ce qui dans la fable platonicienne du "démiurge" (qui n'est, bien évidemment, qu'une figuration du moteur immobile lui-même), se présente comme une "grille" ou un "plan" synchronique de l'univers, doit bien plutôt être envisagé comme un programme diachronique, où les intervalles entre les astres correspondent, biunivoquement, au temps, en tout cas relatif, de leur genèse ou de leur déploiement logique dans l'espace; car le Timée n'est pas seulement une théorie sur la forme de l'Univers, mais sur sa formation et son histoire, les deux problèmes étant logiquement confondus, dans une démarche dont on ne mesure pas toujours suffisamment l'amplitude scientifique.

    Etant données les idées tantôt délirantes, tantôt simplement confuses qui ont pu fleurir sur le sujet, il convient d'insister sur le fait que le fameux programme pythagoricien de la "musique des sphères" se résume à un enjeu parfaitement technique : associer le problème de la genèse et de la formation des astres du système solaire (avec comme "plafond" topologique, la sphère extérieure dite des "étoiles fixes"), à celui de la construction mathématique des tons de la gamme; programme qui n'est pas du tout fondé sur la croyance en une quelconque finalité "esthétique" de l'univers, comme se l'imaginent naïvement certains, (l'invasion des préoccupations esthétiques et morales dans des domaines de science où elles n'ont rien à faire étant d'ailleurs en grande partie imputable à Platon lui-même), mais sur un postulat transcendantal, d'ordre purement logique et inductif, qui est que l'espace et le temps ne peuvent, par leur nature même, se développer que de façon symétrique et coordonnée (ou encore : "duale"); postulat de symétrie qui s'applique de la même manière à l'espace-temps empirique et sensible de l'univers physique, qu'il s'applique à l'espace-temps intelligible, a priori, de la mathématique. Car cette correspondance temps-espace est, en réalité, immanente à l'ensemble de la mathématique pythagoricienne, dont elle est le principe moteur : un point de l'espace, un coup de temps;  - une figure, un pas; - un objet, une opération; - une planète, une note; et elle est étayée sur le plan des principes les plus généraux de cette mathématique, de manière "synthétique a priori", par la relation de supersymétrie qui existe entre les objets premiers de la géométrie (point, segment, triangle équilatéral, tétraèdre) et les accords fondamentaux de l'harmonie (unisson, octave, quinte, quarte), évoquée sur notre premier blog.(1) Le système du Timée n'étant, d'ailleurs, qu'un survivant chanceux parmi plusieurs autres élaborés dans l'antiquité, généralement héliocentriques, dont les origines sont effacées, mais dont la tradition musicologique de l'Occident a conservé des traces, notamment à travers les divers systèmes symboliques qui associent, à chaque note de la gamme, une planète du système solaire et un jour de la semaine : paradigme dans lequel le programme de la "musique des sphères" cohabite cette fois, sans obstacle technique insurmontable, avec celui des "jours de la création" de la tradition biblique. Au reste, le Timée lui-même n'est peut-être pas aussi chanceux qu'on le suppose d'ordinaire, car, en le lisant, on ne peut se défaire de l'impression gênante que Platon n'a compris que de manière imparfaite le texte qu'il transmet à la postérité, sous une forme sans doute assez remaniée.(2)

    Avant de revenir à Empédocle, on pourra remarquer que, dans l'esprit de cette doctrine du moteur immobile, le terme "immobile", dont l'usage est traditionnel, serait mieux rendu par l'expression "non-mû", puisqu'il ne signifie pas, en son sens rigoureux, ce qui est privé de mouvement, mais ce qui n'est mû par rien d'autre que soi-même. De la même manière, l'expression "moteur", qui apparaît, dans son inspiration, quelque peu scolastique ou aristotélicienne en ce qu'elle se concentre sur la relation de causalité logique entre le Non-mû et le Mû, pourrait être avantageusement remplacée par celle de "tenseur", plus opératoire, en ce qu'elle assume plus immédiatement la dimension mécanique du problème que la science a posé à l'univers. Dans la conception grandiose qui est celle d'Empédocle, de Philolaos et de Timée, le cycle entier de l'espace-temps dont relève notre univers manifesté, correspond à une simple "pulsation" du moteur immobile, un bref scintillement - d'ailleurs illusoire sous un certain rapport - de la couronne appelée Harmonie, où "vivent les Sirènes", dans un éternel présent où n'adviennent jamais ni altération, ni changement. En effet, la cosmologie, en tant qu'elle est le cadre de l'achèvement de la connaissance positive, est aussi celui de son annulation au sens logique le plus transcendantal, et donc, de son "renvoi" ou de sa "réintégration" dans un registre de réalité supérieur, qui est l'objet de la connaissance contemplative, - de la connaissance symbolique et ésotérique. Car, si la tétractys ressemble en quelque manière à l'éternité, c'est parce que l'éternité elle-même est semblable à une façade ornée de sculptures, semblable à un tableau de pierre, figé, hors du temps; sauf que celui qui examine avec attention ces sculptures y distingue, très clairement, l'infini des mondes possibles, infini comprenant aussi bien les mondes du genre de celui que nous avons sous les yeux, que d'autres, encore plus agréables à considérer, parce que dotés d'une existence plus permanente, mais qui n'ont, quant à eux, aucune vocation à se manifester. (3)

     

     

     

    Le postulat de la science

     

    Mais pour nous, ce qu'il faut retenir de l'enseignement pythagoricien transmis par Empédocle est l'idée que, si l'univers est connaissable, c'est parce que le processus complet de son déploiement spatio-temporel, en tant qu'action une et entière, - bien  qu'intérieurement binaire, puisqu'elle a la forme d'un aller et retour, dans lequel une phase de contraction, ("inhibitrice", "centripète" ou "fermante", selon le point de vue chimique, physique ou mécanique selon lequel on choisit de l'envisager),  précède une phase d'expansion, ("activatrice", "centrifuge" ou "ouvrante") - ce processus est essentiellement analogue à celui de la construction de la pensée mathématique, en tant qu'elle s'exprime en particulier par une production d'objets : postulat qui se confond donc avec celui de la science, au sens "dur", prédictif et quantifié, que ce terme revêt habituellement de nos jours, et qui correspond, du reste, plus ou moins, à ce que les anciens entendaient par "physique", à savoir une connaissance organique, à la fois générale et unitaire, de la Nature.

    Pour comprendre la valeur de cette analogie, il faut avoir à l'esprit que, dans la conception que nous avons présentée plus haut comme celle de Granger, la dualité Objet-Opération - illustrée ci-dessus en mode pythagoricien par l'exemple de la construction des objets fondamentaux de la géométrie - a elle même clairement la fonction de moteur immobile de la mathématique, puisqu'elle apparaît comme le véhicule de la "retroussabilité" indéfinie de cette science, comme le vecteur et l'incitateur constant de sa possibilité interne de croissance, de développement indéfini; - moteur dont la "puissance" ne réside pourtant que dans la seule pensée qui l'investit. C'est dans ce sens que l'on doit comprendre que, pour les pythagoriciens, la pensée du mathématicien qui s'engage dans le champ des opérations et des objets mathématiques, reprend ou reproduit réellement l'action de la pensée (ou de la "tension") qui a produit l'univers. Dans le Timée, le moteur immobile de la nature a une forme nettement vitaliste, puisqu'il porte le nom d'âme du monde - l'univers est pour Platon un être vivant; - mais il peut aussi être vu en tant que pensée motrice, "énergie", ou encore en tant que pensée formatrice, c'est-à-dire "moule" ou "réceptacle"(4), ces différentes façons de voir n'étant pas contradictoires, puisqu'elles se rapportent à différents attributs de ce dont il s'agit.

    Dans le système d'Empédocle, les deux grandes tensions qui, à l'échelle macrocosmique, se succèdent pour rythmer la vie de l'univers entier, se retrouvent à toutes les échelles inférieures, où domine la loi du "mélange", et où, sous des noms que l'on traduit habituellement par Amitié et Haine, mais qui ont ici la signification physique plus générale d'attraction et de répulsion, ces deux mêmes tensions gouvernent les naissances et les dissolutions de tous les êtres particuliers.(5) Toutefois, en vertu de l'analogie du microcosme et du macrocosme, tout ce qui advient dans une sphère inférieure, ou intérieure, sous l'apparence du chaos, du hasard ou du mélange, n'est qu'illusoire sous un certain rapport, puisque relativement au tout ou à l'enveloppe extérieure du "sphaïros", ces accidents particuliers apparaissent simplement comme les conditions de l'accomplissement de l'Harmonie éternelle.

    Pour Empédocle, "les générations humaines", dans leur ensemble, se situent dans une période où la haine reflue "vers les bords du cercle". Autrement dit, vers la fin d'un mouvement d'expansion, qui n'est pas nécessairement le mouvement global, mais qui peut être un mouvement d'inspir-expir appartenant à une division "cellulaire" inférieure de l'univers, comme le suggèrent certaines indications de son texte. Dans cette perspective, en tous cas, il semble aller de soi que la séparation ontologique à peu près complète qui s'est établie dans la conception des modernes entre les règnes "minéral", d'une part, et "vivant", d'autre part, (catégorie incluant les deux sous-catégories du végétal et de l'animal), - séparation qui, en raison de sa nature paradoxale, les conduit régulièrement à rechercher à la vie une cause extérieure à la "normalité" du processus physico-chimique qui a produit cette terre, sur la base d'un préjugé assez vague touchant la prétendue "rareté" ou l"improbabilité" statistique du phénomène, (préjugé qui est en soi totalement dénué de fondement), comme s'ils voulaient écarter l'hypothèse au moins aussi vraisemblable, que les mondes abritant la vie ne soient pas plus rares, dans la carrière de l'univers, que les fruits dans celle d'un arbre - cette séparation artificielle n'a aucune raison d'avoir cours ici, puisque, pour Empédocle comme pour d'autres anciens, les germes de la vie semblent bien se former dans le repli du minéral, inscrits dans son devenir le plus intime.

    Conformément à la thèse officielle d'Aristote et de Théophraste selon laquelle les présocratiques étaient des "physiciens", dans un sens restrictif et péjoratif qui relève bien évidemment de la calomnie pure et simple, la plupart des modernes se sont concentrés, chez Empédocle, sur sa doctrine des quatre éléments, (avec d'autant plus d'imprudence que la doctrine des éléments est un domaine qui, chez les anciens, relève la plupart du temps de la spéculation ésotérique),(6) alors qu'ont été beaucoup plus négligées ou ignorées, d'une part, sa métaphysique, malgré la concordance presque continue de cette dernière avec celle du Timée, et d'autre part, la perspective réellement scientifique de son positionnement de physicien, qui fait que le langage d'Empédocle parle encore, sans qu'on doive s'en étonner, à certains physiciens quantiques de notre temps.

    Ce langage se distingue, avant tout, par son organisation bipolaire.

    D'un côté, un pôle harmonique : le Sphaïros, qui, bien qu'il soit immuable et éternel, puisqu'il se réduit à une constante arithmologique universelle, ne représente, du point de vue de la connaissance positive, que le produit continu ou le "zéro logique" correspondant, à chaque instant du temps, à la neutralisation de l'ensemble des opérations particulières qu'il héberge dans son sein, "dans la mesure où elles pourvoient sans cesse à leur mutuel échange". A cette notion correspond, de toute évidence, le principe moderne d'invariance, qui est, avec celui de symétrie (dont il est une expression particulière), le sésame de toute la physique moderne. Selon Hermann Weyl il n'existe aucun problème physique qui ne se réduise, formellement, à un problème de symétrie.

    De l'autre côté, un pôle chaotique, dont la fonction topologique est comparable, si l'on veut, à celle d'un entonnoir ou d'un siphon, capable de transformer une multiplicité discrète en unité continue, et dont le substrat logico-physique est le vide; - pôle qui, à l'échelle "mésocosmique" qui est celle de la vie et de la nature humaine, (nature néanmoins investie de la valeur d'exemple, en tant que représentant quelconque de l'ensemble "gigogne" continu et fluide auquel elle appartient) porte le nom de Mélange, dont l'archétype est la reproduction sexuée, mais qui, à des échelles inférieures ou supérieures, pourrait être rendu par les idées de précipitation, d'accrétion ou d'agglomération, - dont la gravité newtonienne peut donc elle aussi constituer un aspect, ou un exemple, - et à l'échelle de la constitution des éléments premiers de la matière, par celle de cohésion ou de cohérence.

    On a là un langage à vocation algébrique, et d'une extension universelle en ce qu'il vise à définir par une action déterminée tout ce qui, à quelque échelle de la nature que ce soit, se présente comme unité, "monade". Bref, Empédocle est sans doute le premier pythagoricien à avoir sérieusement tenté d'envisager le monde comme le résultat d'une expérience physique, avec ce caractère de "coup de dés", d'action entière et complète "dégringolant" en elle-même, que le problème a conservé dans l'imaginaire de la physique moderne... mais dans l'imaginaire seulement; car, en réalité, aussi longtemps qu'une science demeure ignorante des lois qui gouvernent son objet en tant que totalité, elle ne peut que rester hésitante, sans boussole, au moment de se prononcer sur la nature des plus petites parties qui le composent, quelle que puisse être sa capacité pratique à les "traquer" par les expérimentations les plus variées.

     

    *

     

    L'histoire de la science occidentale est comparable à celle d'un livre dont l'auteur aurait oublié les pages à mesure qu'il les écrivait, tout absorbé par l'excitation du chapitre en cours. Privée de cette adhésion minimale à elle-même, elle s'est condamnée jusqu'ici à une forme d'éternelle adolescence, orpheline de sa propre intelligence, de son intention même. 

    Ce déni obstiné de ses origines ne saurait empêcher la science physique d'être reconduite tôt ou tard, de manière inéluctable, vers le foyer de ses origines. Aspirée par cette table de la loi qu'est le principe de symétrie, avec comme associé le principe d'invariance et de conservation, formulé pour la première fois par Empédocle dans le fragment qui nous a servi ici de guide, la physique quantique apparaît déjà comme un véritable "zoo" de structures pythagoriciennes, parmi lesquelles on peut relever, en théorie des quarks, la structure tétractyque du baryon de spin 3/2, comme l'ensemble organique de structures auquel elle est rattachée, ou encore, en théorie des cordes, la dimension "gnomonique" 496 des groupes de symétrie  SO (32) et E8 x E8, impliqués dans les différentes versions de cette théorie, signalée sur ce blog par Stephen Phillips, - sans même mentionner la "décadimensionnalité" de cette même théorie.

     

    La doctrine du moteur immobile

     baryon de spin 3/2

     

    Mais de tels sujets, comme on le voit, nécessiteraient une étude plus développée, qui nous entraînerait trop loin du point de vue principalement mathématique auquel nous entendions, autant que possible, nous limiter ici.

     

     

     

    (1) Voir : L'invention de la théorie musicale.

    (2) Sur la musique pythagoricienne en général, aussi bien sur le plan de la résolution des questions techniques, que sur celui de l'exégèse symbolique et ésotérique, les travaux pionniers de Jacques Chailley sont incontournables.

    (3) Sachant que l'infini, à son entrée, est étroit "comme le cul d'une mouche", l'ésotérisme a lui aussi, en pythagorisme, son moment opportun. D'où l'injustice du reproche adressé à Pythagore par divers ignorants, de "tout mélanger", - reproche qui pourrait souvent leur être retourné, avec plus de raison. Cette réserve faite, le pythagorisme est une initiation scientifique, dont les conclusions métaphysiques ne diffèrent pas de celles d'autres formes d'initiation existantes.

    (4) Voire encore, par une voie qui est plus ésotérique, mais non moins scientifique que les autres, en tant que parole ou action verbale.

    (5) La mort des êtres vivants étant considérée comme une dissociation, sans perte absolue. Mourir, c'est partir en morceaux, dont chacun, selon sa nature, est susceptible d'être "réemployé" dans une autre configuration.

    (6) Compte tenu de l'incompréhension assez générale dont témoigne, sur ce sujet, la critique historique et philosophique, il n'est peut-être pas inutile de préciser que les éléments : feu, air, terre, eau, dont chacun de nous a l'expérience, ne sont pas, pour Empédocle, les bases ou les constituants ultimes de la réalité physique du monde, mais seulement leur reflet ou leur réverbération symbolique (au sens le plus technique) au sein du "mésocosme" habité par l'homme, comme l'exprime avec justesse la première de ces opinions d'Aétius, et beaucoup plus maladroitement la seconde : "Empédocle déclarait qu'antérieurement aux quatre éléments, (c'est nous qui soulignons) il existe des fragments infiniment petits, qui sont pour ainsi dire des éléments homéomères précédant les éléments." "Empédocle et Xénocrate pensent que les éléments sont constitués par l'assemblage de masses plus petites, qui sont des minima et pour ainsi dire des éléments des éléments." - Sauf qu'à l'échelle du mésocosme humain, les quatre éléments en question ne sauraient, en aucun cas, être considérés comme des agrégats de particules "homéomères", mais seulement comme la réapparition, comme une "résurgence locale" des différents états possibles de la matière, c'est-à-dire des différentes possibilités de cohésion ou de cohérence formelle qui lui préexistent, précisément, à l'échelle microcosmique qui est celle de la constitution des particules élémentaires - elles seules "homéomères". Malheureusement, la doxographie d'Empédocle ne s'est jamais affranchie de la tutelle d'Aristote qui, bien que surtout préoccupé de défendre, pour la malchance des siècles futurs, les bégaiements infantiles de son propre système cosmologique, est néanmoins parvenu à imposer à la plupart des commentateurs ultérieurs sa perception bornée et caricaturale de la pensée du Sicilien.

     

     


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    VIII. DU NOMBRE NATUREL

     

     

     

     

    Le nombre n'est rien d'autre que l'action de nombrer

     

    Qu'est-ce que le nombre?

    Le nombre est l'art de compter des oranges en les remplaçant par des noix, puis en supprimant les noix (pour ne plus considérer, par exemple, que la trace qu'elles ont laissé sur le sable). Le nombre est l'empreinte ou la signature des choses, comme celle des actions qui les ont produites. Le nombre est l'art de poser des objets indéterminés - des monades - en ne retenant que l'action de les poser. Le nombre n'est pas seulement poser, mais poser et conserver, poser en conservant le plan sur lequel les monades sont disposées. La monade n'est donc pas un objet parfaitement lisse, car même la première monade posée est pourvue de "phylactères" ou de "moustaches", qui sont les vecteurs, ou les tenseurs, de sa coordination et de sa conservation future dans un quelconque champ de consistance.

    Le nombre, écrit Brouwer, est un "coup de temps". Mais il faut préciser : un coup de temps qui a été enregistré, ou engrammé, pour être conservé avec d'autres.

    Les anciens étaient plus rigoristes que nous ne le sommes, en ne concédant le statut de nombre ni à l'unité, ni au zéro, ni à la dyade indéterminée, ni bien sûr à l'infini. La mathématique pythagoricienne proprement dite ne commence en effet qu'avec l'idée de Mi-lieu,  (ainsi, le gnomon, avec son milieu de référence qui est l'origine ou la graine, est une théorie de l'imparité en tant que fait mathématique primordial, pour laquelle l'imparité n'est pas une catégorie du nombre, mais une catégorie mathématique universelle dans laquelle tombent, originellement, aussi bien le nombre que la figure) ou encore avec les idées musicales de Mèse ou de Médiété : toutes situations dans lesquelles le vide, ou la virtualité continue de la dyade indéterminée, est déjà polarisé, en un point quelconque, par un centre de consistance - centre qui, en musique, se détermine en fonction du ton ou de la note tonique de valeur 1. Dans l'esprit des anciens, lorsque, par l'action de nombrer le nombre 1, commence réellement la mathématique, il existe déjà 3 choses : une dyade déterminée + un premier objet, lui aussi déterminé; par conséquent ce que la langue naturelle appelle le nombre 1 est en réalité le nombre 3. (Ou encore : le premier nombre, qui n'est autre que l'action même de nombrer, a déjà une structure triadique analogue à la lettre V ou au "coin" de l'écriture cunéiforme.) Mais un tel rigorisme nous astreindrait à séparer la mathématique de sa relation avec la langue naturelle. Chacun peut admettre, ou simplement postuler de façon provisoire, que le nombre 1 des mathématiques n'est pas la même chose que l'Un de la métaphysique, de la même manière que le signe zéro en mathématique est une chose différente du vide ou du néant de la métaphysique.

     

     

    Le mythe moderne de l'infini mathématique "en acte"

     

    Le cas de l'infini est, en revanche, plus embarrassant, pour deux raisons principales. D'une part, il existe déjà une catégorisation naturelle de "l'infini" mathématique, et naturalisée dans cette science même, qui est l'indéfini. Par conséquent, la coexistence de ces deux termes dans la langue mathématique pourrait donner à penser que le terme "infini" contient réellement quelque chose de plus que de l'indéfini; présupposé dont René Guénon a démontré l'inconsistance dans ses Principes du calcul infinitésimal. L'infini mathématique ne contient en effet rien de plus que cela même que désigne la notion d'indéfini, porté à saturation par une hypostase purement logique, mais non mathématique, en ce qu'elle ne correspond à aucune espèce d'effectuation ou de réalisation intellectuelle. La deuxième raison est que, si l'on naturalise le terme "infini" en mathématique, il ne resterait, d'un point de vue pratique, plus aucun mot français, pour désigner l'objet d'un genre de spéculation qui ne relève absolument pas des possibilités, des ressources propres de la mathématique, même si le symbolisme mathématique peut souvent lui servir de support.

    On pourrait nous objecter que le terme "indéfini" peut s'avérer, lui-même, d'un maniement délicat, en ce que la notion de limite définie d'une suite indéfinie correspond bel et bien, mathématiquement, à un seuil de clôture logique, associé à un certain rapport, et donc à un logos pythagoricien, qui confère à l'infini mathématique un statut analogue à ces autres positions logiques saturées du signe mathématique, que sont les "nombres" 1 et zéro. Toutefois, le cas de l'infini se distingue des deux autres, en ce qu'il ne peut s'effectuer que par un saut logique, un clignement de paupière qui sanctionne, irrémédiablement, l'extinction de la mathématique en tant qu'activité intellectuelle continue. Car on peut dire que la mathématique a, relativement à la science, une fonction comparable à celle que divers témoignages pythagoriciens attribuent au corps, relativement à l'âme, qui est d'être un poste de garde au sens épistémologique le plus fort, au sens d'une réalité qui, une fois posée, n'a pas vocation à disparaitre dans une occasion ultérieure, mais demeure désormais réellement là comme une chose continuellement subsistante.

    En réalité, la compréhension de la formule "limite définie d'une suite indéfinie" ne poserait pas de difficulté si, à l'expression habituelle de "passage" à la limite, qui suggère l'idée, mathématiquement fallacieuse, d'une résolution par glissement continu, on substituait celle de saut à la limite, qui rendrait compte de façon bien plus exacte du caractère de rupture et de discontinuité qualitative que revêt cette opération, (en elle-même non purement quantitative donc), correspondant au passage de l'indéfini au défini, passage qui n'a en rien le caractère d'une exhaustion effective, c'est à dire intellectuelle, de la nature du nombre, - telle que l'exigerait bel et bien la notion métaphysique positive et pleine de l'infini, - mais qui est au contraire une coupure et un repli, une projection aveugle et instantanée vers sa racine définie. Mathématiquement, la notion de passage à la limite ne signifiera donc jamais rien d'autre que l'idée que : "Si on pouvait le faire, il en serait ainsi, mais malheureusement, on ne peut pas"; - pour une raison que Zénon a illustrée dans chacun de ses paradoxes, dont le seul contenu logique substantiel, abstraction faite des conséquences aventureuses qu'il en déduit sur l'impossibilité du mouvement, consiste justement à montrer que la "courbe", la fonction ou la parabole de l'indéfini, ne rejoint jamais la "droite", l'horizon ou la barrière du défini.

    Quoiqu'il en soit de ces difficultés proprement linguistiques, la notion de passage à la limite demeure, à nos yeux, la seule approche légitime pour circonscrire l'infini mathématique; car, pour ce qui est des définitions "ensemblistes" ou "logicistes" de l'infini, formulées par les Cantor, Russel ou autres Zermelo-Fraenkel, elles ne nous paraissent recéler, sous leur apparente diversité, que de très simples et très semblables définitions logiques, d'un caractère purement formulaire et opératoire, du nombre naturel, (non nécessairement entier, mais simplement analogue à l'entier), c'est-à-dire du nombre considéré en tant qu'action générique de pensée, intégrant dans sa substance même ce principe de "récurrence indéfinie". Le nombre est par essence un événement qui se reproduit "autant de fois que vous voudrez". Si le problème de la "définition" mathématique de l'infini, agité par divers mathématiciens et philosophes du tournant des XIXe et XXe siècles, collégialement hypnotisés par l'idéologie progressiste de leur époque,  a occasionné pour eux, et subséquemment pour la "communauté scientifique" de laquelle ils se réclamaient, un certain traumatisme historique, bien qu'il n'ait jamais soulevé autre chose que l'eau tiède de l'indéfinité mathématique de Philolaos (apeiron), ce n'est que parce que la notion du nombre avait été auparavant vidée, par le préjugé candide de ces idéologues mêmes, de presque tout contenu substantiel, pour se réduire à quelque chose d'à peu près semblable au chiffre, ou à un pur signe conventionnel, comme elle peut l'être par exemple dans les "Fondements de l'arithmétique" de Frege, ouvrage qui n'est pas sans intérêt mais dans lequel il n'est, à la désillusion de son titre, à aucun moment question du nombre. En résumé, si la notion de "passage à la limite" - qui elle-même, précisons-le derechef, ne produit aucune réalité mathématique différente de ce que contient la notion "philolaïque" de défini, ou de limité (peras) - parvient, par un saut résolutif, à saisir l"'infini" mathématique par le seul côté où il soit possible de le faire, qui est évidemment le côté fermé, étroit, ou petit, de la dyade indéterminée, les tentatives de définition ensemblistes et logicistes de l'infini s'imaginent, elles, pouvoir le saisir par où il est logiquement impossible de le faire, savoir du côté ouvert, large, ou grand, de la dyade indéterminée, qui est le côté où ce prétendu infini se confond platement avec l'indéfinité du nombre naturel.

    Avec un peu de recul, on peut trouver étonnant que la notion d'"infini en acte" ait pu agiter les esprits d'éminents mathématiciens modernes, alors qu'il était parfaitement compris des anciens que cette expression même constitue, dans le contexte mathématique où elle est avancée, une pure et simple contradiction logique. Une telle idée, au sens propre paradoxale, ne peut résulter que d'une compréhension imparfaite de l'interrelation fondamentale des catégories du défini et de l'indéfini, - catégories qui n'ont pourtant rien d'exclusivement mathématique, puisqu'elles sont aussi trivialement logiques, et même grammaticales. Voilà, en tous cas, qui ne plaide guère en faveur du préjugé d'un progrès historique continu de l'intelligence scientifique; et l'on ne saurait occulter le fait que la foi dans le progrès puisse parfois constituer elle-même, pour nos modernes "spécialistes", un alibi commode à l'ignorance la plus complète de ce qui excède leur domaine spécial de compétence; - avec cette résultante implacable, qui est l'incapacité à remonter à l'origine des pensées sur lesquelles on prétend pourtant s'appuyer. De ce point de vue, une conception non aliénée de la sagesse conduirait à considérer la compartimentation du savoir moderne, et la spécialisation du savant qui en découle, comme des formes d'aliénation.

    On a vu, en particulier, que la "redécouverte" par les modernes, au terme d'un parcours semé d'embûches et de paradoxes, des quelques propriétés élémentaires du nombre naturel auxquelles se résume la "théorie des ensembles", avait étonnamment suffi à susciter chez eux un sentiment de déroute métaphysique, (voire, à son origine cantorienne, neuro-religieuse)(1), avoué par ses propres victimes sous l'appellation mathématiquement stupéfiante de crise des fondements, - expression qui, prise dans son sens littéral, équivaut à reconnaître que les "fondements" précédemment admis étaient inexistants. Et il ne faut sans doute pas chercher plus loin la raison cachée de la fabrication par ces mêmes modernes, (par une sorte de réflexe de défense "transférentiel" au sens freudien), de la "fable historique" d'une crise pythagoricienne des fondements, prétendument consécutive à la découverte, par les mathématiciens de cette école, de l'existence de grandeurs incommensurables... - fable dont le succès s'est perpétué jusqu'à nos jours, bien qu'elle paraisse historiquement absurde, et même incompréhensible. Car, comment imaginer que ceux-là même qui ont formulé la première définition mathématique rigoureuse, et toujours en vigueur aujourd'hui, de la commensurabilité (symmetria), aient pu être assez naïfs pour ignorer son contraire : la non-commensurabilité? Ou - selon une autre version possible de l'histoire - comment comprendre que ces mêmes pythagoriciens, "pétrifiés" par l'idée de l'incommensurabilité, aient pu être aussi les auteurs des premières démonstrations historiquement connues de l'existence de grandeurs incommensurables, cela dès le premier groupe pythagoricien avec Hippase de Métaponte, et jusqu'à la monstration magistrale de la spirale de Théodore, dont le principe consiste à installer ces quantités irrationnelles dans la tétractys? 

    Plus profondément, on sent bien que les notions même de "découverte" et de "crise" ne constituent, articulées comme elles le sont dans cette fable, que des anachronismes assez grossiers. Car en effet, il est impossible, en pythagorisme, de "découvrir" les choses par accident, à la manière dont Fleming a découvert la pénicilline, puisque celles-ci sont toujours conçues et produites à partir du principe qui est le leur, et comme un simple développement de celui-ci. Comme l'a écrit Clément d'Alexandrie, Pythagore a construit les sciences par une méthode purement intellectuelle, terme qui, dans la mentalité antique, ne signifie en rien ce qui est "abstrait" ou "éthéré", mais au contraire ce qui est clair et évident, parce que connu de soi-même. Par conséquent, une découverte, en pythagorisme, ne saurait en aucune façon être quelque chose de négatif ou de dérangeant pour les principes de la science, (auquel cas elle ne serait pas qualifiée de découverte, mais de faillite de l'intelligence), mais uniquement un développement ou une expression positive de ses principes a priori, tels qu'ils ont été antérieurement définis, comme c'est bien le cas pour les grandeurs irrationnelles dans la monstration de Théodore, et comme ça l'est aussi dans la tradition qui attribue à Pythagore d'avoir sacrifié un boeuf, après la "découverte" du théorème qui porte son nom.

     

    Sur ces remarques se conclut notre enquête sur les idées mathématiques de Pythagore.

      

     

    le 20 mai 2014

     

     

     

     

     

    (1) Une certaine surexcitation nerveuse n'est toutefois pas l'apanage de Cantor, puisqu'elle caractérise, dans une certaine mesure, le style scientifique et philosophique d'une famille d'esprits, les modernes, dans laquelle dominent des valeurs telles que la "table rase", la révolution permanente, ou encore l'originalité "personnelle" du penseur, son génie créateur, inventeur ou découvreur, bref : sa petite différence. - Abstraction faite de ces considérations, notre travail aura plutôt tendu à montrer qu'une bonne partie de la théorie des ensembles pouvait être "sauvée", et notamment, l'ensemble consistant de ce qui, dans cette théorie, (à laquelle Cantor aura apporté, comme tout un chacun, sa contribution d'ouvrier qualifié), était déductible de la théorie du gnomon et de la logique des tables de vérité : ensemble de possibilités mathématiques pures, dont l'avenir scientifique peut même apparaître assez prometteur.

     

      

     

    Références :

    Gilles-Gaston Granger : Formes, opérations, objets, Vrin, 1994.

    Jean-Luc Périllié : Symmetria et rationalité harmonique, origine pythagoricienne de la notion grecque de symétrie, L'Harmattan, 2008. 

     

     


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