Spirale de Théodore et polygone gnomonique de rang 4

SPIRALE DE THEODORE

ET

POLYGONE GNOMONIQUE DE RANG 4

Le 27 août 2012 à 12h17, j'ai reçu sur le blog le message suivant de M. Axel Schneider. Si toutes ses remarques sont intéressantes, celle qui concerne la spirale de Théodore est d'ordre fondamental. En effet, la spirale de Théodore est tout simplement la structure duale du polygone gnomonique de rang 4.

A. Schneider :

Côté du carré de Vitruve / rayon cercle Vitruve = 8/5 unités (écart entre centre cerle et celui carré). Ce rapport est celui du flocon de Koch et 2 nombres de Fibonacci. Surtout on a 2 rectangles = le carré long de 3/4 et diagonale 5 et son complément de 4/1 et diagonale racine 17 (comme dans la spirale de Theodorus).

5 et 17 : 1!+...+5!=1+...+17=153
« Amis, leur dit-il, voulez-vous parier avec moi que je puis vous révéler à l’avance, le nombre exact des poissons que vous venez de capturer ? » Vie de Pythagore de Jamblique.

E. Post avait pour ambition de trouver dans quelle mesure une théorie capable de formaliser l'arithmétique, partiellement récursive (ratio) pouvait être à la fois consistante et complète (mesure de l'incomplétude).

Je pense comprendre pourquoi il évoquait le flocon de Koch avant de mourir avec Koch. C'est une question pythagoricienne et la solution est dans Vitruve.

1531 suite Cunningham : J'ai besoin de vos connaissance sur le gnomon qu'i...

Le message de M. Schneider s'interrompt à cet endroit. 

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LA SPIRALE DE THEODORE EST LA STRUCTURE DUALE DU POLYGONE GNOMONIQUE DE RANG 4.

Spirale de Théodore

Polygone gnomonique de rang 4. (On prend ici l'exemple du carré, mais tout ce qui s'applique ici au carré gnomonique s'applique, par extension, au triangle gnomonique de même rang, puisqu'il existe entre ces deux structures une règle de transformation constante. A ce sujet, voir Blog 1 : gnomon d'un polygone régulier).

Le PG (polygone gnomonique) de rang 4 compte 16 blocs, la spirale de Théodore 16 blocs.
 
Le PG de rang 4 est une structure qui permet de déployer les carrés des nombres entiers de 1 à 4, ces carrés se déployant dans l'intervalle compris entre 1 et 16.

Symétriquement.
 
La spirale permet de déployer les racines carrées des nombres entiers de 1 à 16. (La racine 17 ne doit pas être prise en compte dans l'analyse de la structure, puisque le bloc 16 doit être traité comme le 1, en les coordonnant par leur origine, comme on referme un éventail; la racine 17 n'est donc que le bord extérieur de la structure) ⁽¹⁾ - racines carrées des nombres  1 à 16 qui elles-mêmes, se déploient dans l'intervalle compris entre  1 et 4. 

La spirale de Théodore est donc une application immédiate de la clôture à quatre; elle n'est même qu'un redéploiement de la structure qui est celle du PG de rang 4. Cette structure vient donc s'ajouter à la liste de celles qui sont immédiatement déductibles des propriétés mathématiques de la tétractys.

La spirale de Théodore est la structure duale du PG de rang 4, du fait que l'opération : "racine carrée de n" est l'inverse de l'opération "carré de n". L'équation complète me paraît être la suivante : le polygone gnomonique de rang 4 est à l'égard des carrés des nombres 1 à 4, ce que la spirale de Théodore est à l'égard des racines carrées des nombres entiers, dont les solutions sont comprises entre 1 et 4. Soit, en généralisant :

ST = D (PG).  (Où : ST : spirale de Théodore. PG : polygone gnomonique. D : "duale de ..." - dualité définie comme une application biunivoque sur l'ensemble des entiers.) ⁽²⁾

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Une autre remarque de M. Schneider est également des plus intéressantes : celle qui consiste à décomposer le carré gnomonique de rang 4 en 4 triangles rectangles : soit deux triangles de valeur (3-4-5) et deux autres de valeur (1-4-racine17).

En effet ces deux triangles sont fondamentaux en ce que chacun d'eux correspond à un seuil de clôture.

Le triangle (3-4-5) est le plus petit des triplets pythagoriciens.

Le triangle (1-4-racine 17) est le plus grand des triangles de Théodore.

Les valeurs des aires de ces quatre triangles sont respectivement de : 6, 6, 2 et 2, et le rapport du triangle de Théodore au triangle (3-4-5) est de 1/3, - rapport qui n'est autre que celui du gnomon (g/G = 1/3 ; où g : graine, et G : gnomon).

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A ce sujet, remarquons que les modernes (comme c'est déjà le cas de Platon dans son Théétète) sont incapables d'expliquer pourquoi Théodore s'est arrêté au 16 ème bloc. Ils continuent de penser que Théodore s'est arrêté là pour des raisons esthétiques, parce que l'ajout d'un 17 ème triangle aurait eu pour effet de recouvrir le début de la figure.

En pythagorisme, ce qui se passe en deça de la clôture à 4 est fondamentalement différent de ce qui se passe après; et la clôture elle-même a le statut d'un seuil ou d'une coupure épistémologique. Seul ce qui se passe en deça de la clôture revêt une valeur axiomatique et fondamentale.

Citons pour conclure le Théétète : "Théodore nous avait expliqué, avec les figures, quelque chose de ce qui concerne les puissances, nous faisant voir, à propos de celles de 3 pieds et de 5 pieds, que, en longueur, elles ne sont point commensurables avec celle de 1 pied, les prenant ainsi une à une jusqu'à celle de 17 pieds. Mais, je ne sais comment cela se fit, il s'arrêta à cette dernière." (Traduction de Léon Robin).

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D'après ce que je comprends du message de M. Schneider, son sentiment personnel est que les divers éléments de ce dossier ont une importance de premier ordre, puisqu'ils pourraient permettre une résolution du problème d'Emil Post qu'il nous résume en ces termes : montrer "dans quelle mesure une théorie capable de formaliser l'arithmétique partiellement récursive, pourrait être à la fois consistante et complète".

Je lui souhaite bonne chance dans sa recherche.

29 Août 2012

 G. DENOM

⁽¹⁾ C'est évidemment pour la même raison que le nombre 17 correspond, dans un polygone gnomonique de rang 4, à l'axe de symétrie logique de la structure,  par application en miroir de la valeur ordinale des 8 premiers blocs sur celle des 8 derniers, considérés à la fois comme leurs symétriques et leurs négatifs : (1+16 = 2+15 = 3+14 = ... = 8+9 = 17), - quelle que soit la méthode géométrique à laquelle on puisse recourir pour déployer cette symétrie dans l'espace du plan; - et qu'il est, dans la spirale de Théodore, le bord ou le zéro géométrique. Le nombre 17 correspond simplement, dans ces deux structures, au retour logique de la position zéro induit par la clôture de la tétractys. C'est selon un principe semblable qu'est construit le carré magique de la Melancholia de Dürer, où le zéro logique est, cette fois, le nombre 34 (17+17). Pour cette construction, la chaîne des nombres a été simplement "pliée en deux" une fois supplémentaire, de manière à passer, arithmétiquement, d'une symétrie en V à une symétrie en W.

⁽²⁾ Pour que cette application prenne toute sa valeur, le carré gnomonique de rang 4 doit lui-même être construit par un mouvement spiral, à partir de l'un des quatre carrés situés en son milieu. De cette manière, on s'aperçoit que les étapes de reconstitution gnomonique du carré (respectivement de rangs 2, 3, 4, etc.) correspondent ordinalement, dans la spirale de Théodore, aux racines carrées des nombres 4, 9, 16, etc, qui ont précisément pour solutions les nombres 2, 3, 4, et ainsi de suite.