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    PENTAGONE ET HEXAGONE

     

     

     

     

    Après tout ce que nous venons de dire, j'ajouterai encore un mot qui sera sûrement entendu de Nicandre. Le sixième jour du premier mois, lorsqu'on introduit la pythie dans le Prytanée , le premier des trois sorts qu'on jette pour vous est tiré sur le nombre cinq, d'abord trois, ensuite deux. La chose ne se fait-elle pas ainsi ? « Oui, répondit Nicandre, mais il est défendu   d'en dire la raison aux étrangers. »

    Plutarque

     

     

     

     

     

     

    Pentagone et Hexagone

     

     

    Si les nombres 2 et 3 sont les « principes » de la doctrine de la nature, en ce que par eux débute le récit de la genèse du monde, les nombres 5 et 6 forment la suite du même récit, en ce qu'ils exhibent les deux plus proches finalités auxquelles sont conduits ces deux principes.

     

    2+3 = 5,

     

    2x3 = 6.

     

     

    Les nombres 5 et 6 peuvent donc être considérés comme les mariages des nombres 2 et 3, selon deux modalités distinctes ; (Charpentier qualifie les nombres 5 et 6 de « nombres conjonctifs »); toutefois, il semble qu'au nombre 5 seul convienne en propre le terme d'union. L'addition est la plus simple des unions, puisqu'elle absorbe deux termes en un seul, sans les faire disparaître. La seule chose qui a disparu étant précisément l'altérité, la séparation.

     

    La distinction de ces modalités, pentagonale et hexagonale, constitue pour ainsi dire l'essentiel de la philosophie de la nature.

     

    Fidèle à une tradition qui semble remonter à ..., Guénon associe le pentagone au microcosme et l'hexagone au macrocosme.

     

    Il y a deux façons d'entendre les concepts de macrocosme et microcosme; soit comme la relation abstraite du "tout" à l'une de ses parties quelconques, soit comme un nouage qui a lieu en tout point de l'Univers, entre intériorité et extériorité d'une réalité quelconque. Seule la seconde de ces conceptions est pertinente pour ce qui nous concerne.

     

     

    De ce point de vue toute monade à deux « cotés », deux « attaches » qui sont l'attache microcosmique à son plan propre, et  l'attache macrocosmique à un plan supérieur.

     

    Ainsi, le nouage qui, dans le Timée, associe les cercles du Même et de l'Autre aux plans respectifs de l'equateur et de l'écliptique, est parfaitement rigoureux ; il correspond au véritable nouage cosmologique de la terre (même si la distribution des termes « même » et « autre » peut être sujette à discussion) ; et conserve donc toute sa valeur, malgré l'obsolescence du modèle géocentrique auquel il donne lieu.

     

    Seule cette acception à la fois locale et universelle des notions de microcosme et de macrocosme est pertinente pour le sujet qui nous concerne.

     

    On peut donc, avec prudence, commencer par avancer que liaison ou l'association du pentagone et de l'hexagone a « quelque chose à voir » avec la constitution du cosmos. C'est en tout cas une idée récurrente dans la tradition pythagoricienne, où le couple formé par les nombres 5 et 6 se présente souvent comme un avatar, une reformulation du couple 2 et 3 du Lambda de Platon.

     

    « Comme de l'Un, premier connu, rayonnent le cinq et le six... » (Dante, Paradiso)

     

    Le contexte permettant d'identifier l'Un à Dieu, le 5 et le 6 sont présentés, dans ce vers, comme les deux premières réalités issues de l'Un, le degré de la « primauté » ayant reculé d'un degré, par rapport au Lambda de Platon. Guénon a montré que le nombre 11 avait, dans la comédie, une importance symbolique considérable (comparable à celle du nombre 9 de la vita nova) ; mais ce vers est le seul où nous est révélé quelque chose de la signification « génétique » de ce nombre.

     

    Le traducteur André Pézard, habituellement très discret sur les aspects ésotériques de l'oeuvre de Dante, est convaincu que ce vers doit être interprété à la lumière de la géométrie, et livre une étonnante construction, dont on peut regretter qu'il ne l'ait pas commentée davantage.

     

    Il s'agit de construire, à partir d'un cercle et de son rayon, l'hexagone et le pentagone inscrits dans ce même cercle, en ne recourant qu'à la méthode euclidienne de la règle et du compas. Du pentagone est déduit le pentagramme étoilé.

     

     

    Qu'est-ce que la nature ?

     

     

     

     

    Pézard identifie le cercle à l'Un-Dieu, et l'hexagone et le pentagramme, aux productions les plus immédiates du rayon de ce même cercle. Le rayon géométrique ayant clairement, ici, le sens symbolique de « rayonnement » divin.

     

     

     

    La construction de Pézard nous semble faire écho à un dessin de Dürer, dans lequel le pentagone et l'hexagone sont construits avec la même contrainte euclidienne, non à partir du Cercle, mais à partir du double cercle du Vesica piscis.

     

     

    Qu'est-ce que la nature ?

     

     

     

     

    Les deux constructions peuvent paraître complémentaires, la première affiliant le couple pentagone-hexagone à l'Un, la seconde, à la dualité première, dont le vesica piscis est le symbole. La première peut donc nous sembler relever de la métaphysique, tandis que la seconde relèverait plutôt de la cosmologie et de la science de la nature.

     

     

     

    Remarque : Pézard est muet sur les sources qui l'ont inspiré, mais on peut remarquer que son dessin reproduit exactement une construction d'Arturo Reghini (ref).

     

     

    Qu'est-ce que la nature ?

     

    Si de telles constructions peuvent être éloquentes sur la naturalité mathématique du nouage entre le pentagone et l'hexagone, elles sont malheureusement peu bavardes sur la différence qualitative entre ces deux figures. Si ces figures constituent un « couple » de la même nature que le couple pair-impair du lambda de platon, avec la même prétention à exprimer symboliquement le mariage, la hiérogamie de la création, de la nature universelle, alors, il doit exister entre ces deux figures des différences oppositives, dialectiques, aussi bien spécifiées que celles du couple Féminin-Masculin, qui est leur archétype.

     

     

    Le nombre 6 est un nombre circulaire

     

    Cette affirmation est associée à deux axiomes.

     

    A. Le rayon d'un cercle est égal au côté de l'hexagone inscrit dans ce même cercle.

     

    B. Si l'on empile autour d'un cercle des cercles de même diamètre, on constate qu'on peut disposer, en tout et pour tout, six cercles autour du premier, tous tangents entre eux et à ce cercle.

     

    Ces principes mathématiques expliquent que, dans la plupart des traditions, le nombre 6 soit associé aux idées de cyclicité, de retour du Même, de bouclage... toutes idées qui nous conduisent au pôle de l'Identité, qui est le pôle « ternaire », le pôle « mâle » de la manifestation universelle.

     

    A contrario, le nombre 5, comme ses « dérivés » géométriques les plus proches que sont le pentagone et le pentagramme étoilé, est associé au nombre d'or, lui-même considéré comme principe formel de la Vie, de la création, de la brisure de symétrie, ou encore de la non-périodicité... toutes indications qui pointent vers le pôle de l'Autre qui est, traditionnellement, considéré comme le pôle femelle de la manifestation universelle.

     

    Ainsi pouvons-nous retrouver, dans les nombres 5 et 6, une résurgence des polarités sexuelles du Lambda, bien que ces distinctions n'y soient plus aussi nettes, et perdent une partie de leur pertinence, dans la mesure où chacun de ces nombres est déjà une combinaison de masculin et de féminin. En outre, cette résurgence est liée à une inversion des relations initiales entre sexe et parité, puisque le féminin y est, cette fois, associé à l'impair, et le masculin au pair.

     

     

     

    Avant d'aller plus loin dans l'examen des réalités mathématiques, il sera utile de considérer ce que les traditions pythagoriciennes rapportent au sujet du nombre 5, et de ces figures associées que sont le pentagone et le pentagramme étoilé.

     

     

    Les arcanes traditionnels du nombre 5 – le pentagramme Ugieia

     

     

    Le pentagramme est considéré, selon la tradition, comme un signe de reconnaissance de la fraternité pythagoricienne.

     

    Et, avant d'aller plus loin, on notera que, dans l'histoire du pythagorisme, la fonction du « signe reconnaissance » est associée à la création et à l'élaboration du concept de symbole, que nous utilisons toujours.

     

    Et effet, le sumbolon, le symbole, était pour les pythagoriciens un signe de reconnaissance, qui consistait en une pièce de monnaie brisée à la séparation, en autant de morceaux que nécessaire, selon le nombres de frères. Le fragment conservé par chacun des frères le reliait, dès lors, physiquement, à l'instant de cette séparation, et lui était un gage infaillible sur l'authenticité de la retrouvaille. De même que seuls les vrais morceaux de la pièce originelle, auraient la possibilité de se rassembler, de même, seuls de vrais pythagoriciens, ou à défaut leurs représentants, pourraient être en possession de ces fragments de pièces. Le fragment, la partie, conservée par chacun des membres, porte en lui la marque du tout, de l'unité indivise constituée par la communauté des frères, selon une logique typiquement pythagoricienne à laquelle nous a longuement accoutumée la théorie du gnomon.

     

    Les termes « signe de reconnaissance » et « symbole » sont donc investis, en pythagorisme, d'une charge particulière, due à cette synonymie partielle.

     

    Un signe de reconnaissance doit nécessairement être un symbole, c'est à dire qu'il ne doit pas seulement « signaliser », « indiquer », (se réduire à la fonction du signe) mais incarner, produire lui-même la réalité dont il atteste ; et selon ce critère, il y a de bonnes raisons de penser que le pentagramme faisait office de « symbole suprême », ou de « symbole des symboles », d'un symbole capable de concentrer ou de conserver l'intégralité de la doctrine pythagoricienne.

     

    La tâche essentielle du présent ouvrage sera de tenter de comprendre pourquoi.

     

     

     

    Caractère liturgique

     

    Le pentagramme était associé à un geste, un tracé rituel.

     

    On relie par des segments 5 points de référence, correspondant à cinq parties du corps humain : nuque, épaules et hanches.

     

    Par ce geste, il est indiquée que ces 5 parties du corps sont nouées, c'est à dire, liées, rassemblées, mais aussi tenues, dirigées.

     

    Le pentagramme est un nœud.

     

    On commence par la hanche gauche et l'on poursuit ainsi :

     

    nuque, hanche droite, épaule gauche, épaule droite,

     

    Pour finalement conclure en aboutant la corde du tracé :

     

    hanche gauche.

     

    Ce symbolisme possède, à l'évidence, un aspect « mortel » et un aspect « vital », inséparables l'un de l'autre, auxquelles correspondent dans la conception vulgaire les deux connotations, « maléfique » et « bénéfique » du pentagramme, mais qui, dans le contexte de la pensée traditionnelle, renvoie au « mythe » du démembrement de l'homme primordial : le « sacrifice » primordial d'un Dieu qui aurait été la condition de la création du monde, mythe dans l'esprit duquel, bien évidemment, mort et vie sont indissolublement liées..

     

    Ce prétendu mythe n'est évidemment qu'un philosophème, qui veut que toute création soit, par définition, une division, et se nourrisse de la destruction d'une unité ontologique plus primordiale, d'une hénade, dans laquelle il est loisible à chaque tradition de reconnaître un de ses Dieux : qu'on l'appelle Osiris ou Dyonysos.

     

    L'acte de la mise à mort, de sacrifice et de démembrement qui se déroule du côté divin coïncide, sans aucun reste, avec l'acte de création, de liaison protectrice et de vitalisation dont le « miracle » s'accomplit à chaque instant, de notre côté. Ce qui est assez montrer que la mort du Dieu n'est qu'apparente.

     

    Comme les bris du sumbolon, les parties du corps du Dieu sont destinées (par la vertu même du rite) à se rassembler ; de sorte que la mort du Dieu ne contredit pas son immortalité, mais l'établit au contraire. Est immortel, non ce qui ne connaît pas la mort, mais ce qui la connaît au contraire assez intimement pour être capable de lui survivre : immortel est le dieu qui survit à sa propre mort.

     

     

     

    Geste et tracé

     

    C'est évidemment le côté bénéfique du symbole, celui qui gagne à la fin, qui est engagé dans le rituel pythagoricien, où ce geste, comparable au signe de croix des chrétiens, est synonyme de bénédiction et de salut. Et la vertu du geste se transportait, intacte, dans toute action de tracé, de dessin ou de gravure qui pouvait en conserver la teneur.

     

    Traditionnellement, le dessin du pentagramme était légendé , dans chacune de ses branches, par les

     

    5 lettres du mot UgiEIA qui signifie en grec « santé », et dont l'équivalent latin est « salus ».

     

     

    Tout personne qui emploie aujourd'hui pour saluer le mot : « salut ! », ou pour bénir le mot « santé ! » renouvelle, sans le savoir, un usage pythagoricien.

     

    Il convient, avant tout, de remarquer que ces termes nomment, dans l'antiquité, deux divinités de sexe féminin, l'une grecque, l'autre latine, qui sont dans leur panthéon respectif les déesses de la Santé, et que les théologies officielles ont donné pour « parèdre » ou pour « fille principale » (ce qui revient techniquement au même) soit au Dieu de la médecine Asclepios/Esculape, soit à Apollon, dont ce dieu médecin est souvent considéré comme le desservant, le substitut ou l'avatar.

     

    En réalité, il est certain que ces déesses ont une histoire locale beaucoup plus ancienne, totalement indépendante des dieux masculins indo-européens qui leur ont été donnés pour époux. Les mots « Ugieia » et « Salus » ne sont pas des noms originaux, puisqu'ils ne sont que des qualificatifs exprimant des fonctions de la déesse. La seule tradition qui ait conservé une dénomination plus ancienne est la tradition celtique, où la déesse Santé se nomme « Sirona ». Comme ses pareilles latine et grecque, Sirona fut mariée à divers dieux gaulois ; mais son nom conserve le souvenir d'attributions beaucoup plus primitives, antérieures à ces refontes théologiques tardives, puisqu'il signifie – ô surprise – « grande étoile ». « Sir » est un radical signifiant « étoile » (une extraordinaire étude étymologique a d'ailleurs montré que les deux mots dérivaient d'une source commune), tandis que le suffixe « ôn » est un augmentatif signifiant « grand », présent dans divers noms de nombreux dieux celtiques tels que Maponos, etc. - Sans ce témoin celte, il serait impossible d'expliquer les caractères nettement stellaires, comme le diadème (très rares chez les divinités gauloises) dont se parent aussi les équivalentes latine et grecque, Salus et Ugieia.

     

     

     

    Le tracé pythagoricien qui associe le nom de la déesse Ugieia à celui d'une étoile a donc bien le cartactère de restitution d'une donnée traditionnelle. A cette étoile mythologique correspondait, certainement, un astre du firmament, dont le souvenir n'a pas été conservé, mais pour lequel peuvent postuler plusieurs candidates : l'étoile polaire, Sirius, ou encore Vénus, avec pour cette dernière, cette coïncidence spectaculaire, que le tracé de sa révolution dans le ciel, correspond précisément à la figure d'un pentagramme.

     

    Mais quelle qu'ait pu être cette étoile, l'essentiel est qu'elle ait été investie, pour notre monde, d'une fonction de bienfaisance, d'équilibre et de santé ; et donc, qu'elle représente pour ce même monde une forme d'ancrage, de stabilité, condition de son salut.

     

    L'hypothèse d'une parenté étymologique entre notre déesse salutaire Sirona et Sirius n'a, en soi, rien d'invraisemblable; et Rémy Bayoud a même suggéré d'inclure dans ce procès les Sirènes de la tradition ésotérique pythagoricienne.

     

    Ces créatures mythologiques jouent en effet un rôle des plus éminent dans la tradition secrète du pythagorisme. En liaison avec les points de la tétractys, elle représentent l'éternité, l'invariance, ou encore l'immutabilité qui préside aux transformations de la nature; et leur domaine d'élection est parfois désigné comme une "couronne", qui peut évoquer le "cercle" ou le "sphaïros", l'éther invariant qui enveloppe le cosmos empédocléen dans une pellicule d'éternité.

    Par ce chemin, la déesse Sirona s'affranchit de la sphère étroitement médicale, pour s'élever au rang d'une déesse universelle, symbole de la condition, ou de la manifestation spatio-temporelle, et comparable à la déesse Isis.

     

    De nombreux commentateurs ont remarqué la ressemblance entre les conceptions pythagoriciennes relatives à la santé et à la médecine, avec les conceptions taoïstes. Dans ces deux doctrines, la santé résulte d'un équilibre entre les deux pôles de la manifestation universelle : yang et yin, masculin et féminin.

     

    Inversement, la maladie, le désordre, seront toujours la conséquence d'un déséquilibre entre ces deux pôles.

     

    Si la création et la vie nécessite la participation et l'union de ces deux principes, la santé, la conservation de la vie, nécessitera, quant elle, un harmonieux équilibre, une juste proportion, une parfaite composition entre ces deux principes.

     

    La tradition pythagoricienne attribue au nombre 5, entre autres qualifications, la propriété d'être un nombre nuptial, un nombre symbolisant le mariage, l'union.

     

    On aperçoit par là que le pentagramme, dont la fonction est d'accomplir l'union, la médiation entre les nombres 2 et 3, représentant le féminin et le masculin, est réellement un symbole approprié à ce qu'il symbolise ici : la santé, elle même définie comme un harmonieux équilibre entre ces deux principes. Par cet aspect, le pentagramme peut être considéré comme un symbole « équivalent » au symbole chinois du yin-yang.

     

    De la même manière qu'un certain équilibre est principe de Santé, un certain équilibre est principe de Justice. Souvenons-nous que la racine LeG-s, justice, est apparentée aux racines LoGos, LiGere, exprimant l'idée de lien.

     

    Aristote définit le principe de la justice au moyen des médiétés pythagoriciennes.

     

    Nos traditions occidentales montrent une confusion assez fréquente des symboles de la justice, comme celui de la balance, avec ceux de la médecine et de la pharmacie. Et Charpentier remarque à ce sujet :

     

    « La notion de Justice est pour les Pythagoriciens plus large que pour nous : elle désigne l'harmonie unissant l'Homme au Cosmos entier en un accord parfait, auquel conviendrait d'ailleurs mieux le nom de justesse. »

     

    Sans perdre les caractères originaux issus de ses origines pythagoriciennes, le symbolisme du pentagramme s'est conservé à travers toute l'histoire de l'ésotérisme chrétien, jusqu'à la franc-maçonnerie, dont l'étoile flamboyante est un des symboles majeurs.

     

    Après cet aperçu des données traditionnelles relatives au pentagramme, il nous sera possible d'aller un peu plus loin dans l'examen des réalités mathématiques.

     

    Dans un premier temps, on examinera les très nombreuses relations qui existent entre le nombre 5 et le nombre d'or.

     

    En second lieu, on approfondira la relation particulière qui existe entre le nombre d'or et la notion d'équilibre, relation qui éclaire, non seulement, le symbolisme du pentagramme et l'association de cette figure aux idées de Santé et de Justice, mais aussi, le fait que le nombre d'or ait toujours été crédité d'un potentiel de signification « physique » et cosmologique, qu'il passe pour un nombre apte à représenter l'équilibre des forces universelles.

     

    Si les nombres 5 et 6 peuvent tous deux être considérés comme des « mariages » des nombres 2 et 3, il semble qu'au nombre 5 seulement correspondent l'idée d'union. L'addition est une image parfaite de l'union de deux termes, en ce qu'elle ne supprime, de ces termes, absolument rien d'autre que la séparation, la dualité, en les réunissant en un seul.

     

    Et comme on a vu que, dans le lambda, la procession hors de l'un prend appui sur une dualité, (formée des 2 premières réalités issues de lui). On va voir que, dans le nombre d'or, la procession s'appuie sur une biunité, une dualité « réunifiée » (matérialisée par le nombre 5) ; de sorte que là où on avait une procession duale, on a maintenant une procession directe. D'autres arguments viendront étayer cette thèse que le nombre d'or représente, justement, ce principe de procession directe, avec cette précision technique de « la plus directe ».

     

     

     

    Remarque incidente le pentagone.

     

    Cette propriété « processionnelle » du nombre d'or peut être rapprochée d'une propriété mathématique spécifique du pentagone.

     

    Maël Mathieu, qui reconnaît dans le pentagramme un symbole de "l'homme transcendant", remarque au sujet du pentagone :

     

    La propriété géométrique essentielle et fondamentale de tout pentagone, qui explique (du moins en partie) son importance symbolique, est qu'il est toujours inscrit et circonscrit à une certaine conique et détermine univoquement ces deux coniques ; il est le seul polygone à posséder cette propriété. Or une conique, qui est l'équivalent projectif d'un cercle, est un symbole de la totalité manifestée. Le fait que le pentagone détermine univoquement sa conique circonscrite s'interprète donc comme : l'Homme transcendant détermine univoquement la totalité manifestée dont il est le centre. On remarquera à ce propos que le nombre cinq est le symbole traditionnel de l'Esprit.

     

    Il semble bien exister un rapport analogique entre la conique comme forme, et les principes de procession et de conversion qui sont les fonctions de l'hénade.

     

    Mael Mathieu remarque que chez Proclus, les notions de Procession et Conversion sont complétées par un troisième terme, la Manence, qui est en quelque manière la synthèse des deux premières, tout en formant une instance indépendante, et un "moment" dialectique, qui domine en alternance avec les autres. Il note :

     

    Ces trois "moments" sont à la fois unis et hiérarchisés, mais selon un ordre circulaire ; chacun d'eux est compris dans les deux autres, et a préséance sur eux sous un certain rapport.

     

    Quant à la manence :

     

    Il y a en elle un double aspect, qui peut être vue comme la synthèse finale de la procession et de la conversion, mais qui peut aussi précéder celles-ci d'une manière radicale et absolue. Et il y a aussi un double aspect dans la conversion, qui peut être vue comme le moment ultime de la procession, mais aussi comme sa condition, car seul ce qui est susceptible de se convertir - c'est-à-dire de faire retour au Principe - peut procéder.

     

    Chez Proclus, le concept de manence est intimement lié à celui de l'Éternité comme dénomination du Principe suprême.

     

    De fait, quelle peut bien être cette instance de "synthèse" entre les fonctions de procession et de conversion, sinon ce qui réalise entre elle un équilibre per-manent, un équilibre qui se maintient à travers l'alternance des trois principes?

     

    L'autonomie « ontologique » du pentagone, sa capacité autonome de procession, semble devoir être rapproché de la capacité du nombre d'or, de réaliser, justement, la procession géométrique « la plus directe ».

    En outre, le nombre d'or comme le pentagone, par cette parenté intime avec le principe procession lié au développement d'une conique, peuvent tout deux être rapprochés de la fonction de l'Hénade.

     

     

     

    Mais commençons par rappeler succintement les rapports entre nombre 5, pentagone et nombre d'or.

     

     

     

     

    Nombre 5 et nombre d'Or

     

     

     

    L'équation du nombre d'or s'écrit de nos jours conventionnellement :

     

    x = (√5+1)/2

     

    Et il existe bien d'autres définitions de phi faisant apparaître le nombre 5, dont celles-ci, relevées par l'auteur du site Harpakheredblog :

     

    Φ = 5 ^ 0,5 x 0,5 + 0,5

     

    Φ= √(( 5+√5) / (5-√5))

     

    Phi = e ^ asinh(0,5)

     

    Φ=2 cos (Π/5)

     

    Dans l'antiquité, le nombre d'or était conçu comme un problème géométrique relevant de la théorie des proportions, dans lequel il s'agit de diviser un segment en deux portions, de façon à ce que « la plus petite portion soit à l'égard de la plus grande, comme la plus grande est à l'égard du tout. »

     

    On a :

     

    c/b = b/a = Φ

     

    mais aussi

     

     

     

    a+b = c

     

     

     

    expression dont on sait qu'elle régit la suite de Fibonacci, et dont on peut déjà remarquer qu'elle correspond à une algébrisation de la relation entre les trois premiers nombres du Lambda, qui occupent le sommet de la figure

     

     

    1+2 = 3

     

    Dans le pentagramme, ce rapport apparaît entre le côté du pentagone intérieur, et celui d'une branche quelconque de l'étoile, chaque branche formant un « triangle d'or » aïgu, triangle isocèle dont les côtés inégaux sont dans le rapport phi.

     

    Deux autre triangles d'or, de tailles supérieures, peuvent être obtenus en prenant successivement pour base du grand côté les segments : a+b, puis b+a+b ; cet enchevêtrement de triangles d'or étant le principe générateur des pavages de Penrose.

     

    Après cet aperçu très rapide des relations entre le nombre 5, le pentagone et le nombre d'or, il est temps d'introduire un énoncé de science commune dont nous empruntons la forme à Schwaller de Lubicz :

     

    Le nombre d'or est le principe naturel des lois de l'équilibre.

     

    Du point de vue cosmologique, les lois de l'équilibre sont celles qui garantissent la cohésion de l'univers à travers toutes ses transformations, mais aussi, le contraignent à demeurer toujours égal au quantum « 1 ».

     

    Charpentier, qui reconnaît également dans le nombre d'or une expression mathématique du principe d'équilibre, invoque pour l'occasion un principe métaphysique supérieur, qu'il emprunte à Guénon, et qu'il érige au rang d'axiome de science pythagoricienne:

     

    « L'équilibre est le reflet dans l'existence de l'immutabilité du principe ».

     

    Autrement dit, l'équilibre des forces cosmiques n'est rien d'autre que la traduction de la présence et de l'action de l'Un, à travers tout le cycle de l'Existence et de la manifestation universelle.

     

    La question qui se pose à nous est : en quoi le nombre d'or est il particulièrement approprié à l'expression des lois de l'équilibre. C'est le fil que l'on suivra par la suite en passant en revue différentes approches du nombre d'or.

     

     

     

    le nombre d'or par la théorie des médiétés

     

    La proportion dorée est la seule proportion qui satisfasse à la fois la médiété Nicomaque 2 dite "géométrique", telle que :

     pour trois termes consécutifs :

      a<b<c

     On a :

     (b-a)/(c-b) = a/b = b/c

     médiété dans laquelle :

     ac = b2

     (Exemples de cette médiété les proportions "double" (1,2,4,8...) ou "triple" (1,3,9,27...) qui correspondent respectivement aux jambes gauche et droite du lambda de Platon.)

     

    Et la médiété Nicomaque 10 (de Fibonacci), telle que, pour trois termes consécutifs : a<b<c, on a :

     (c-b) / (c-a) = a/b

     médiété dans laquelle :

     a+b = c

     Exemple de cette médiété la suite de Fibonacci (0,1,1,2,3,5,8...)

     Autrement dit : la proportion dorée est la seule proportion "de Fibonacci" qui soit géométrique, et inversement.

     

    Ou plus exactement : en posant c/b = x et en égalant les médiétés N2 et N10, on retrouve l'équation x*x = x + 1 dont une des solutions est la proportion dorée.

     Exemple de proportion dorée, dans laquelle chaque terme est le phi-uple de son prédécesseur,  définie à partir de l'unité "1" :

     ( 1, phi, phi2,...)

    La proportion dorée est ainsi définie comme unique intersection de 2 ensembles bien définis, dont chacun est l'ensemble des solutions d'une médiété à 3 termes de Nicomaque – en l'occurrence les médiétés 2 et 10.

     

    De la même manière que, dans le Lambda, l'unité originaire correspond au croisement de deux progressions géométriques, l'une double, l'autre triple, de même, la proportion dorée correspond au croisement de deux médiétés : « géométrique » et de « Fibonacci . Nous allons voir que la plupart des approches du nombre d'or insistent particulièrement sur son rapport avec l'une de ces deux médiétés, au détriment parfois de l'autre ; et de fait, elle peut être obtenu à partir de chacune d'elles par saturation interne, sans le truchement de l'autre. Mais ici, on doit précisément avoir égard au fait que la proportion dorée représente un cas-limite pour les deux à la fois ; autrement dit que, pour chacune d'elles, elle incarne la présence du « même » dans un ensemble « autre »... cette dernière formulation devant faire sentir qu'elle répond au critère qu'une médiété doit posséder, pour être, selon le mot de Proclus, « ce plus puissant des liens » qui est le lien d'amour, que l'on peut schématiser par le fait, pour un être donné, d'avoir dans un autre être sa « raison d'être ».

     

    (Intégrer quelque part : Chaîne d'or des orphiques et lien d'amour. Dernier vers des buccoliques lu par Charpentier

     

    Omnia vincit amor, et nos cedamus.

     

    Vincit est une forme verbale commune à deux verbes différents : « vincere », vaincre, et « vincire », lier ; Virgile joue sur cette ambivalence pour transmettre un enseignement qui est le même que celui du dernier ver de la comédie de Dante.)

     

    Remarquons maintenant que la structure du Lambda possède pour nous des applications nouvelles, d'une généralité mathématique supérieure à celle qu'on lui connaît par l'exegèse du Timée.

     



     

    Lambda de Platon

     

    1 origine commune

     

    2 3 départs des médiétés géométriques « double » et « triple »



     

    Lambda de Proclus

     

    Médiété géométrique

     

    Médiété arithmétique Médiété harmonique

     

    (autre) (même)

     

    Lambda d'Or

     

    Proportion dorée (solution commune)

     

    Médiété de Fibonacci Médiété géométrique

     

    (ensemble des suites de F) (ensemble des suites géométriques)

     

     

     

    Charpentier et Reghini.

     

     

    Charpentier : « Pourquoi le pentagone est-il signe de vie ? Comme d'autres polygones, il peut se présenter sous deux formes ; il est soit convexe, soit étoilé... Et ces deux formes sont le résultat d'une alternance...

     

    « En effet, l'étoile, une fois engendrée par les diagonales du pentagone convexe, contient maintenant en son centre un nouveau pentagone convexe, d'orientation inverse et plus petit en quantité de surface que le premier, mais tout semblable à lui par la forme, qui manifeste une qualité inchangée. En effet chacun de ces pentagones est en relation dorée avec tous les autres, ce qui garantit le maintien de sa qualité à travers tous les changements quantitatifs.

      Cette alternance que les géomètres qualifient de « pulsante » est « le meilleur modèle de tous les rythmes vitaux ». Quant à « la loi qui rend possible cette alternance géométrique, c'est la même qui s'étend à tout le domaine de l'Existence, et qu'on a nommé « Nombre d'or » ou « divine proportion ».

     

    Charpentier remarque que, à l'image de la doctrine pythagoricienne, ce nombre a donné lieu à d'innombrables commentaires, sans que personne ait su dire de quoi il s'agit en fait.

     

    La réponse passe par cette question :

     

    « De quoi a besoin, pour rester en vie, une créature quelconque ? La réponse consiste en cette double condition : 1. Elle doit garder la forme qui répond à sa définition, sous peine de devenir « autre chose », en perdant son identité. 2. Mais il faut qu'elle garde, en même temps, la possibilité de se développer, c'est à dire de changer, en devenant « relativement autre ».

     

    Nous retrouvons donc ici les éléments caractéristiques de la dialectique du Timée.

     

    Charpentier remarque que la suite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8...), dans laquelle chaque terme est la somme des deux qui le précèdent, et qui est associée à la croissance « en spirale » de nombreuses formes naturelles : végétaux, coquillages, nébuleuses, manifeste précisément cette capacité à « maintenir une forme constante » à travers des états variables, son principe régulateur étant précisément la proportion dorée vers laquelle tend la suite de Fibonacci.

     

    Selon cette approche c'est donc la relation algébrique : a+b = c, caractéristique de la suite de Fibonacci, qui expliquerait l'universalité physique et cosmologique de la proportion dorée.

     

    Cette explication est assurément séduisante, à un détail près : elle omet que la proportion dorée est une proportion géométrique stricte, qualité que ne peut posséder aucune suite de type « Fibonacci », hormis celle qui a exactement pour matrice le nombre d'or, et qui constitue un cas limite.

     

    Charpentier estime, apparemment, qu'il est propre au principe des suites de Fibonacci de ne pouvoir produire qu'une approximation de plus en plus serrée du nombre d'or ; ce que l'on peut lui contester. En effet, si le principe de ces suites est défini de façon purement algébrique, comme dans la théorie des médiétés, alors, rien n'interdit de considérer la suite exacte du nombre d'or (1, phi, phi carré, …) comme un cas particulier de la médiété Nicomaque 10 (« de Fibonacci »), au même titre exactement que la suite (1,1, 2, 3, 5,...).

     

    Rappelons que la médiété Nicomaque 10 est une relation entre 3 termes a<b<c telle que

     

    (c-b)/(c-a) = a/b

     

    Or les deux suites susmentionnées satisfont bien cette condition.

     

    Charpentier, qui n'envisage pas cette éventualité, estime en conséquence que, pour obtenir une expression plus exacte du nombre d'or, il faut quitter le terrain de l'arithmétique, et emprunter celui de la géométrie.

     

    Pour ce faire, il recourt au théorème de Pythagore.

     

    L'hypoténuse d'un triangle rectangle de cathètes 1 et 2 vaut racine de 5.

     

    Si l'on rabat l'hypoténuse de valeur racine de 5 sur le même axe que le côté de valeur 1, on obtient un segment de valeur 1 + racine de 5, segment qui, divisé en deux (dans le contexte antique de la « corde à noeuds » cette opération peut se faire en repliant une fois sur elle-même la « corde » en question), on obtient un segment qui se trouve, à l'égard du côté de valeur 1, dans le rapport « phiuple », autrement dit : un segment de longueur phi.

     

    Par une voie plus directe, Reghini parvient à une conclusion assez semblable. Sa définition de la proportion dorée, d'un synthétisme remarquable, ne met en jeu que la proportion géométrique, et sa propriété principale  ac = b2 :

     

    On appelle section dorée d'un segment ou « section divine » cette partie du segment telle que le carré qui a ce segment pour côté équivaut au rectangle qui a pour côtés tout le segment et la partie restante.

     (...)

    Symétriquement à la définition qui qualifiait la proportion dorée de « seule proportion de Fibonacci qui soit aussi géométrique », on définit maintenant la proportion dorée comme « la seule proportion géométrique dans laquelle le troisième segment est égal à la somme des deux premiers »). Dans toutes les autres proportions géométriques, sans exception (inclus évidemment les proportions « double » et « triple » du lambda), le troisième segment ne peut pas être égal à la somme des deux qui le précèdent.

     

    La proportion dorée représente donc, à cet égard, une forme « épurée » du principe de progression géométrique, résultant d'un NOUAGE INTERNE.

     

    Si l'on admet que la médiété géométrique est en charge du principe de procession, la proportion dorée n'est pas autre chose qu'une médiété géométrique « réfléchie en elle-même ».

     

    Là où le Lambda représente une procession « duale », procession parallèle du pair et de l'impair, la proportion dorée représente en quelque sorte un principe de procession « directe » ou de procession « tout court ».

     

    Si l'on s'avise maintenant de traduire la définition de Reghini, définition géométrique reposant sur le rapport entre longueurs de segments, en termes arithmétiques, on obtient l'équation :

     

    1/phi x phi = 1 carré = 1

     

    Et cette équation nous rappelle immédiatement un axiome arithmétique des plus triviaux, qui veut que « le produit d'un nombre et de son inverse soit toujours égal à 1 ». Et c'est de cette manière, certainement, que la proportion dorée peut être définie de la manière la plus profonde : COMME UNE TAUTOLOGIE DIRECTEMENT EXPRIMEE DU NOMBRE UN, ou encore, comme le « ratio » minimal, ou « ratio de ratio », uniquement générateur du nombre 1.

     

    C'est cet aspect absolument RADICAL qui explique que, sur le plan de la réalité physique, la proportion dorée soit le ratio le plus propre à exprimer l'EQUILIBRE, notion dont a déjà vue qu'elle devait elle-même être définie comme la « conservation », la « permanence » ou le « reflet » de l'Un.

     

    Derrière ces deux approches de la proportion dorée par Charpentier et Reghini se profile le triangle rectangle (1,2, racine 5), et à sa suite, le triangle isiaque (3,4,5), dont nous avons montré ailleurs la complémentarité et les liens ; de sorte que le problème de la proportion dorée se trouve désormais placé sous le signe du théorème de Pythagore. C'est cette approche très importante, et riche, dont nous essaierons maintenant de développer quelques aspects particuliers.

     

     


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    TROISIEME PARTIE : LA NEF

     

    TRIANGLE ISIAQUE ET TRIANGLE AURIGENE. NOMBRE 9 ET NOMBRES PALINDROMES;

     

     

     

     

     

     

    Prologue

     

     

     

     La nef est une structure qui réunit le triangle isiaque (3,4,5), prototype de l'ensemble des triplets pythagoriciens, solutions entières du théorème de Pythagore, avec le triangle (1, 2, racine 5), générateur du nombre d'or.

     

    La nef

     

    La partie extérieure de la structure, en forme de U, est appelée carène. C'est une tétractys, mais elle est composée de 10 segments, au lieu de dix points. On voit bien que, si l'on s'arrêtait là, notre tétractys ne serait pas terminée, au sens mathématique le plus propre, puisque, si les séparations entre les nombres 1 et 2, d'une part, et 3 et 4, d'autre part, sont bien marquées par la forme même de la structure, la division entre les nombres 2 et 3, elle, n'est pas encore précisée. Pour pallier ce manque, la carène est donc dotée d'une structure en V appelée voilure.

     

    Dans cette représentation, les axes verticaux soutenant les nombres 1 et 4 correspondent à des états de plénitude ; tandis que l'axe horizontal correspond lui, davantage même qu'à la notion d'état, aux idées de d'opération et de « médiation » entre deux états.

     

    Si on associe les nombres 1 à 4 aux objets monadiques qui leur correspondent – point, segment, disque, boule - ces distinctions s'explicitent très bien. Le point et la boule correspondent bien en effet à deux états analogues de plénitude, le premier, à la plénitude « infinie » ou « puissancielle », et la seconde, à une plénitude partiellement « reconstituée » , relativement en tous cas à ces formes « intermédiaires » que sont le segment et le disque.

     

    La monade

     

    Comme il est naturel, le passage du nombre 1 au nombre 2, qui correspond à une perte de plénitude, s'effectue par une « descente », tandis que le passage de 3 à 4, qui correspond au recouvrement de la plénitude, s'effectue par une « remontée ».

    Dans son ouvrage La grande Triade, qui peut être lu comme une vaste méditation pythagoricienne sur le losange "vesica piscis", René Guénon assigne, de la même manière, les nombres 1 et 4 à l'axe vertical, et les nombres 2 et 3 à l'axe horizontal.

    La nef

     

     

    On voit que, dans la nef,  la zone intermédiaire entre les nombres 1 et 4 est toute entière gouvernée par le nombre 5. La médiation entre ces deux nombres se présente donc ici comme une « quinte essence », venant « couronner » les 4 essences premières portées par la tétractys.

     

    Les deux branches de la structure en V jouent l'une pour l'autre le rôle de miroir. A gauche, le nombre 5 à l'état de « puissanciation », à droite, à l'état d'entier « réalisé », tandis que la partie horizontale inférieure peut être envisagée comme exprimant ce même nombre 5 en tant que processus, en cours de réalisation.

     

    Notons que la disposition tétractyque de la nef fait que les angles sous le V sont dans le rapport d'octave, puisque : arctan (4/3) = 2 fois arctan (½).

     

     

     

     

    L'hypoténuse comme médiété

     

    Avant d'aller plus loin, il faut dire quelque mot des propriétés symboliques du triangle rectangle, qui ne sont qu'un décalque immédiat de ses propriétés mathématiques. En premier lieu, on remarque que l'hypoténuse joue dans ce triangle un rôle semblable à celui d'une médiété, ou d'une harmonisation, puisqu'il consiste à établir une moyenne, une « commune mesure » entre les deux termes qui correspondent à l'angle droit. Ainsi dans le triangle 3-4-5, remarque Charpentier, « l'hypoténuse 5 représente bien, dans l'ordre géométrique, une moyenne entre 3 et 4. »

     

     

    Dans cette structure, les segments de valeur 1, 2, 3, 4, qui constituent la carène, sont l'image de la complétude de la décade et de la tétractys ; tandis que les nombres racine 5 et 5 qui viennent les couronner symbolisent la « quinte essence », le passage de la puissance à l'acte.

     

    Les 2 parties, inférieure et supérieure, de la structure, symbolisent ensemble une situation de parfait équilibre, en ce que l'addition des chiffres qui entrent dans leur composition donne le même résultat :

     

    1+2+3+4 = 10

     

    5+5 = 10

     

    Nous aurons à nous souvenir de cela lorsque nous aurons à évoquer le symbolisme du nombre 55, dixième nombre triangulaire et valeur secrète de la tétractys, ainsi que celui du nombre 515, dans lequel la décade 10 a pris la place de « pivot » ou de moyen terme entre le macrocosme (500) et le microcosme (5).

     

    Du point de vue cosmologique, le triangle 1,2, racine 5 représente le principe « fécondant », le principe « activateur » qui permet à l'Un d'engendrer le Multiple sans sortir de lui même, par un simple « contact » interne, une électrisation. Tandis que le triangle isiaque 3,4,5 représente le champ, ou le plan récepteur de cette action électrisante (le principe « passif » de la manifestation universelle), qui n'est autre que sa condition, ou sa constitution spatio-temporelle.

     

    Ces deux principes pourraient, au premier abord, être assimilés aux principes « Masculin » et « Féminin » que l'on a déjà vus, chez maints commentateurs, associés au jambes du lambda de Platon ; mais il convient surtout de considérer qu'on est ici au cœur d'une hiérogamie, et d'une androgynie universelle, dans laquelle le féminin et le masculin circulent partout, libérés de leurs « chaines » par la perfection de leur composition, par l'harmonie qui les enroule autour de l'Un, dont ils procèdent.

     

    Le triangle d'Isis, symbole de la condition spatio temporelle

     

    Par une transformation convenable, les trois côtés du triangle isiaque se changent en trois polygones : le triangle, le carré et le pentagone, qui sont les trois premiers membres de la série indéfinie des polygones réguliers, et qui, à eux trois, fournissent tout le matériel nécessaire à la construction des polyèdres réguliers.

     

    Si ces polyèdres, au nombre de 5, constituaient pour les anciens un symbole légitime de la condition spatiale, c'est parce qu'ils réalisent de multiples façons, les idées de saturation, de complétude, de clôture d'un ensemble de possibilités mathématiques pures, définies par les prémisses qui sont leurs objets constituants : points, segments, polygones.

     

    Mais le problème est de comprendre comment les réalités géométriques exprimant, si l'on peut dire, « naturellement » la condition spatiale, ont pu, par une certaine transformation, devenir aussi les principes, les symboles constituants et élémentaires de la condition temporelle.

     

    Dans cette formulation, on a déjà tout l'énoncé du problème qui a donné naissance au système sexagésimal et qui est : projeter le temps sur un objet géométrique quelconque, de préférence très simple... tel que le cercle.

     

    Les travaux de Torres Heredia Julca ont labouré les innombrables manières dont peut être illustrée la « naturalité » du système sexagésimal ; mais il semble bien, sur ce sujet, la remarque la plus décisive soit due à Dom Néroman.

     

    Il fallait bien que le cercle fut divisible par 60, pour pouvoir être simultanément divisé par 3, par 4 et par 5, et donc pour pouvoir accueillir et inscrire au sein d'un même système de division angulaire : le triangle, le carré et le pentagone !

     

    En effet :

     

    3 x 4 x 5 = 60

     

    Sur cette base, le fameux théorème de pythagore, qui veut que le carré de côté 5 soit égal à la SOMME des carrés de côtés 3 et 4, se retrouve en parallélisme parfait avec une équation angulaire, qui veut que la somme des angles d'un pentagone (540°) soit égale à la somme des angles d'un triangle (180°) + la somme des angles d'un carré (360°)

     

    Dans ce contexte, il est possible de considérer la somme des angles du triangle (180) comme une « unité », dont le carré (360) et le pentagone (540) représenteraient respectivement les valeurs « double » et « triple » : selon un schéma qui reproduit ainsi scrupuleusement la structure du lambda de Platon.

     

    1 +

     

    2 = 3

     

    180 +

     

    360 = 540

     

    Ce point est d'autant plus à remarquer, que le Lambda se rappelle ici à nous par d'autres aspects. Ainsi le nombre 540 qui mesure les deux parties de l'équation, rappelle le nombre 54, qui est la somme des nombres du Lambda, tandis que le nombre 1080, qui correspond à la somme totale des angles des trois polygones, rappelle le nombre 108 qui, dans le Timée, est celui de l'Ame du Monde, obtenue par une division longitudinale de la bande du Lambda (54 x 2 = 108).

     

    Mais le système possède d'autres propriétés encore, qui incitent plutôt à considérer comme « unité » de référence l'angle droit, égal à 90 degrés.

     

    Retenons avant tout que le système sexagésimal RESULTE de cette simple nécessité, de transformer le théorème de pythagore en théorème angulaire, en un théorème sur les angles des différents polygones coordonnés à un même cercle. Nous devons admettre que, sur ce point, l'intuition de Dom Neroman nous semble extraordinairement puissante, et difficilement contestable.

     

    Dans ce système, la position médiane est occupée par le carré, dont la somme des angles est égale à celle du cercle de 360° ; les deux figures se trouvant au sens propre ajustées ; et dont l'angle de référence, égal à 90°, peut justement être considéré comme le quadrant, ou comme la coordonnée principale du système, puisqu'il est le diviseur des sommes angulaires des trois polygones. D'un point de vue mathématique, il n'est en rien exagéré de soutenir que la plus profonde des « quadratures du cercle », c'est le cercle 360.

     

    Nous pouvons ici donner une extension à la remarque de Dom Neroman. Non seulement le cercle devait avoir 60 divisions pour accueillir triangle, carré et pentagone, et par leur truchement les solides réguliers, mais en outre, la division du cercle devait intégrer des multiples supérieurs du nombre 60, comme le demi-cercle 180 et le cercle 360, pour intégrer, essentiellement le nombre 9.

     

    On doit en effet prendre acte du fait que le nombre 9 intervient, dans le système sexagésimal, de façon tout aussi essentielle que le nombre 60, en tant que diviseur commun des nombres 18, 36 et 54, associés aux sommes angulaires des trois polygones (le zéro qui multiplie toutes ces valeurs par 10 pouvant dans ce contexte être négligé) ; et il peut même apparaître comme le véritable « décodeur » du système, grâce auquel le théorème de pythagore finit de se transformer, pour se résoudre en une pure tautologie arithmétique :

     

    2x9 + 4x9 = 6x9

     

    Le nombre 9 n'est rien d'autre que l'unité secrète, le MODULE grâce auquel se déploie, à travers le système sexagésimal, la grande équation du théorème de Pythagore, sa version « généralisée », qui associe à l'équation sur les carrés des côtés, une équation sur les sommes angulaires des polygones correspondant à ces côtés.

     

    Par extension, on peut estimer que c'est la division du cercle en quarts de 90% qui est le principe essentiel de la « quadrature », en ce qu'il assimile le cercle au carré gnomonique.

     

    En s'avançant un peu, on pourra hasarder que le nombre 9 est le module qui aura permis de transformer le temps en espace. Car telle est bien en dernier ressort la finalité du système : intégrer dans un même cadre de référence les conditions de l'espace, et celles qui affèrent au Temps : les secondes, les minutes, les heures, les années.

     

    De ces propriétés essentielles du nombre 9, les poètes pythagoriciens de la branche Italique, Virgile et Dante étaient parfaitement instruits, comme l'ont abondamment montré les travaux de Maury, Guénon et Charpentier.

     

    Pour ces poètes, il ne fait pas de mystère que ce « décodeur » du système sexagésimal est bien véritablement le nombre d'Isis, autrement appelée la « Dame du domaine » ou la « Dame du champ », en tant qu'elle régit le principe de la condition spatio-temporelle, divinité dont les traits sont aisément reconnaissables sous les avatars de Didon et de Béatrice, et à laquelle il est permis, en pythagorisme, de prêter le nom de Dame Nature.

     

    Au chapitre historique, on peut aussi relever que l'oeuvre de Plotin, éditée par Proclus, se compose de 54 traités, divisés en 6 neuvaines, les Ennéades, selon un plan qui reproduit la solution de notre dernière équation, mais qui surtout perpétue, selon toute vraisemblance, une exegèse traditionnelle du Timée, qui ne devait pas différer grandement de celle que l'on s'efforce de reconstituer ici à partir des principes mathématiques.

     

     

     

    Les propriétés du nombre 9

     

    Les propriétés spéciales du nombre 9 sont trivialement connues ; toutefois, pour mettre en lumière leur signification symbolique véritable, il semble que l'important ne soit pas tant de les connaître, que de les disposer dans le bon ordre.

     

    La conservation de l'unité dans les multiples. L'ensemble des multiples du nombre neuf est soumis à une loi de composition qui est une loi de genre, une loi d' « hérédité ».

     

    Demandons nous maintenant comment se conserve cette unité dans les multiples. Les fonctions anagramme, « miroir », ou « palindrome ». On voit que chacune de ces relations est plus forte que la précédente. La fonction anagramme relie un multiple de 9 à l'ensemble défini par son paradigme combinatoire. La fonction « miroir », qui est une subdivision de la précédente, associe chaque nombre à un seul autre nombre, dans une sorte de relation de gemellité (les deux nombres formant les deux moitiés d'un palindrome). Enfin, la fonction palindrome, qui peut encore être regardée une subdivision de celle qui la précède, ne concerne que ceux, parmi ces nombres, qui sont les miroirs d'eux mêmes.

     

    Les palindromes font donc office de nœuds centraux ; si on les aligne sur un axe imaginaire, ils forment une colonne vertébrale autour de laquelle les autres nombres se développent par un mouvement tournant, un mouvement spiralé.

     

    Sur le plan mathématique, la fonction palindrome qui est à l'oeuvre dans les propriétés de permutation des nombres, peut apparaître comme un cas particulier d'un principe plus général, une fonction miroir pouvant, par extension, s'appliquer à « toute formule qui demeure inchangée par une rotation quelconque sur elle-même. » De cette manière, la fonction palindrome en vient à absorber bien d'autres opérations arithmétiques, que les seules permutations sur les nombres naturels en base 10. En tout premier lieu, peuvent être regardées comme des modalités de la fonction palindrome les puissances, telles que 6 x 6 x 6, les fractions telles que 6/6, ou encore les formules additives 6 + 6 + 6...

     

    Du nombre 9 premier « palindrome », au nombre 99, qui marque le retour de la fonction « palindrome », on voit qu'un cycle est accompli. Ce cycle comporte exactement 11 marches. 11 est lui même le plus simple des palindromes à plus d'un chiffre. En outre, il est au nombre 1 ce que le nombre 99 est au nombre 9.

     

    Les travaux de Charpentier sur Virgile et Dante ont montré que le nombre 99 représentait, pour ces deux auteurs, le « moteur immobile » de la nature. L'énéide compte 9900 vers, la divine comédie 99 chants (précédés d'un prologue) ; dans cette dernière œuvre les « modules » 11 et 33, qui sont les deux palindromes diviseurs de 99, jouent également un rôle déterminant.

     

    Charpentier évoque une tradition pythagoricienne dans laquelle l'année dure 99 mois ; nous n'avons pu en retrouver la trace.

     

    A présent, nous allons voir qu'il est particulièrement instructif de représenter le nombre 99 comme le sommet d'un lambda, où se rencontrent la série des multiples de 9 qui compte 11 marches, et celle des palindromes multiples de 11, qui en compte 9.

     

    A première vue, on n'a là qu'une illustration détaillée de la commutativité de la multiplication (9x11=11x9), mais une remarquable construction de Charpentier a montré qu'il existait, entre ces deux séries de nombres, une relation beaucoup plus profonde.

     

    On utilise le triangle « aurigène » 1-2-racine 5, que l'on affecte d'un facteur 33.

     

    On obtient un triangle de cathètes 33 et 66, dont l'hypothénuse est égale à racine de 5445. On remarque que les deux premiers nombres appartiennent à la série des palindromes multiples de 11, et équivalent à diviser le nombre 99 en trois parties égales, tandis que le troisième est un également un nombre palindrome, mais dont les composants se situent, quant à eux, « au milieu » de la série des multiples de neuf.

     

    Or on constate que

     

    33+66 = 45 + 54 = 99

     

    De sorte qu'on se trouve devant une illustration purement symbolique, numérologique, du théorème de Pythagore, où le rapport traditionnel entre les carrés adjacents aux côtés du triangle, se reflète dans le rapport entre l'addition des côtés de l'angle droit, et l'addition des parties du palindrome correspondant à l'hypoténuse.

     

    L'analogie avec le théorème de Pythagore est bien réelle ; mais alors que la version polygonale de ce théorème soumet le triangle rectangle à une loi de « développement » ou de déploiement, l'équation ci dessus l'assujettit plutôt à une contrainte de « résorption » ou d'involution.

     

    C'est sûrement là une explication très forte de la vénération que les pythagoriciens portaient au nombre 99. En le décomposant en 2 sommes : on retrouvait non seulement, sous une forme symboliquement frappante, le théorème de Pythagore, mais dans une version « paradigmatique » qui est celle du triangle « aurigène » (dont l'importance théorique n'est pas moindre que celle du triangle isiaque).

     

    Car en effet : racine 5445 n'est autre que 33 x racine 5, de sorte que :

     

    (racine 5445 + 33) / 66 = phi

     

    On obtient ainsi une définition du nombre d'or qui n'utilise que des parties du nombre 99.

     

    Conclusion, le nombre 9 joue un rôle assez analogue de décodeur, ou de développeur, pour chacun des deux triangles rectangles qui composent la nef ; et c'est pour cette raison qu'il peut apparaître comme le centre caché, ou comme l'interface entre ces deux structures.

     

    Si nous reprenons le triangle aurigène 33, 66, racine 5445, nous observons une relation symbolique, non seulement avec le triangle 1-2-racine 5 dont il est un développement, mais avec la nef dans son ensemble.

     

    En effet, il semble exister une relation entre le fait que dans le triangle aurigène, on a

     

    33 + 66 = 54+45

     

    et le fait que dans la nef on a

     

    1+2+3+4 = 5 + 5

     

    A gauche des équations on a les valeurs des cathètes, et à droite, celles des hypoténuses, dans lesquelles s'exprime, dans chaque cas, une fonction palindrome.

     

    Il est possible d'aller un peu plus loin dans l'examen des rapports naturels qui existent entre le triangle isiaque, le nombre 9, et la fonction palindrome.

     

    Si l'on développe, sur chaque côté du triangle isiaque, le cube gnomonique correspondant, on obtient pour ces trois cubes les valeurs 27, 64 et 125.

     

    Or :

     

    27 + 64 +125 = 216

     

    Le nombre 216 est lui-même un cube, puisqu'il n'est autre que le cube de 6, autrement dit le successeur naturel des trois qui le précèdent dans l'équation. On a donc le sentiment d'être en présence d'une extension du théorème de Pythagore, d'un prolongement hors de lui-même, qui ressaisit ensemble les trois côtés du triangle, pour les rapporter à un principe qui les « enveloppe ».

     

    Il ne semble pas illégitime de regarder la fonction « puissance » comme une modalité de la fonction palindrome. On se trouve alors devant une expression qui est celle-ci :

     

    (3x3x3) + (4x4x4) + (5x5x5) = (6x6x6)

     

    Et si l'on considère les 4 parties de l'expression comme formant un intervalle complet dans une progression continue, alors, on remarque que le « centre caché » de l'expression est le nombre 9, puisque ce nombre est à la fois la somme des extrêmes, et celle des nombres intermédiaires.

     

    3 + …......... + 6 = 9

     

    ….4 + 5...... = 9

     

    Lecture dans laquelle on peut trouver une sorte de résurgence du module 99.

     

    En vertu de cette parenté avec le nombre neuf, la formule, bien qu'elle soit dérivée du triangle isiaque, contient tout le matériel nécessaire à la composition d'une formule déjà connue, qui est celle du grand triangle aurigène.

     

    33+66 = 54+45

     

    Les mêmes éléments entrent en composition dans les deux formules, en fonction d'un point d'équilibre qui est toujours le nombre 9.

     

    Ce nombre joue donc, là encore, le rôle d'interface entre les deux triangles de la nef ; avec cette précision que, pour chacun de ces triangles, il représente, précisément, le nombre correspondant au point d'équilibre, ou encore, au centre caché de la structure.

     



     

    Le pentagramme modulo 9 et son centre 99. Le rayon céleste.

     

    Dans notre brève étude sur le solide de Dürer, et dans le prolongement des remarques d'André Charpentier, nous avons montré que les propriétés arithmétiques des multiples de 9 pouvaient être fusionnées avec celles, géométriques, du pentagramme, pour former une représentation synthétique, particulièrement riche.

     

    Qu'est-ce que la nature ?



     

    (résumer)

     

     

     

     

     

    L'équation de Charpentier sur le triangle aurigène. Ses variantes palindromiques. Sa réduction tétractyque.

     

     

    Les travaux d'André Charpentier ont montré le caractère fondamental du triangle aurigène (1, 2, rac5) – pour une compréhension pleinement pythagoricienne de la « doctrine » du nombre d'or.

     

    Charpentier observe qu'en affectant les côtés du triangle d'un facteur emprunté à la famille des nombres palindromes (en l'occurrence, le facteur 33), on fait ressortir entre ces trois côtés un principe de symétrie similaire à celui du théorème de Pythagore.

     

     



     

     

    Φ = ( 5445 + 33) / 66



    On observe en effet que

    33 + 66 = 99

    et

    54 + 45 = 99



    On a donc une définition du nombre d'or qui n'utilise que des « divisions bipartites » du nombre 99







    Et dans la formule 33+66 = 54+45, l'on pourrait en extrapoler une sorte de « formulation molle » du théorème de pythagore qui serait  « les côtés de l'angle droit  se reflètent dans l'hypothénuse »... mais au lieu que le théorème classique est un théorème de "développement" (construction de carrés sur les côtés du triangle rectangle) celui ci est un théorème de "résorption" ou d'involution.

     







    L'équation de Charpentier met en jeu 3 différentes propriétés des nombres.



    A. La fonction "palindrome" à l'oeuvre dans les nombres 33, 66, 5445

    B. Les propriétés auto-additives des multiples de 9

    C. La fonction synthétique "C" qui dans le cas 5445 réunit les fonctions A et B



    Précisons que ces 3 fonctions correspondent à des propriétés naturelles du nombre.

    En les actionnant charpentier ne fait répondre à l'appel de la symétrie.



    Ce sont là en tous cas des manipulations moins "équivoques" a priori que maintes opérations guématriques lettres-nombres, à notre escient. Et pythagoriquement plus orthodoxes.




    Observons les propriétés formelles sur lesquelles s'appuie l'équation de Charpentier :



    Côtés du triangle                       Carrés adjacents aux côtés                       Division des carrés par 99              



    33                                                1089                                                              1089/99   =   11                                                         



    66                                                4356                                                              4356/99    =   44



    racine 5445                                5445                                                               5445/99   =   55



    On en déduit au passage une première transformation de l'équation, dans laquelle l'unité commune aux trois côtés n'est pas le nombre 99, mais le nombre 11, principe des nombres palindromes :



    Φ = ((√55) + (√11)) / (√44)

     



    Mais on observe en outre cette propriété "formelle" des carrés adjacents, bien que seul le troisième soit palindrome.



    1089              10+89             = 99

    4356              43+56             = 99

    5445              54+45             = 99



    Propriété qui repose sur leur qualité de multiples de 9, mais qui ici se présente sous la forme d'un "complexe naturel"..









    Il est possible, du reste, de transformer l'équation de charpentier en faisant sortir partout le 99, et sans avoir à se livrer à des manipulations sur la racine 5445 :



    Φ = (√(99 × 55) + (99 ÷ 3)) ÷ ((99 ÷ 3) × 2)







     

    En tant qu'application du théorème de pythagore, l'équation est bien sujette à une contrainte d'involution, ou de résorption, puisque les 3 côtés du triangles y sont reconduits à un principe unique. Ou encore, pour chacun des 3 côtés, le nombre 99 joue le rôle de principe unitaire, semblable à l'unité-segment de valeur 1 qui paramètre les côtés d'un triangle rectangle de type (3,4,5).

    La fonction "principielle" du nombre 99 peut être assimilée à celle du segment-rayon de valeur 1 qui parcourt les côtés du triangle isiaque.

     

    Pour Charpentier, le nombre 99 présentait un intérêt bien particulier, en raison de sa fonction dans l'arithmologie pythagoricienne traditionnelle, où ce nombre représente le « rayon céleste », et « le centre du monde »



    En passant, sur les rapports entre pentagramme et nombre 99, se rappeler du pentagramme modulo 9 ou tous les segments se résorbent additivement dans le 'centre' 99.

    …...........

     

     

    On peut être étonné par la coïncidence qui veut que le nombre 99 soit aussi impliqué dans une célèbre équation relative au nombre Pi, due à Ramanujan





    9801 = 99 carré



    La définition de PI par ramanujan est donc fondée sur les valeurs : 99 carré (9801) au numérateur, et 99 au dénominateur.



    On retiendra, faute de mieux, le caractère géométrique de ces occurrences du nombre 99, qui pointent nettement vers le carré. En effet, en vue pythagoricienne, le numérateur ne désigne absolument pas autre chose qu'un carré gnomonique de 99 de coté, tandis qu'au dénominateur, les opérateur « x4 » et « puissance 4n » renvoient, eux aussi, à une symétrie quadrangulaire.



    Et nous assisterons plus loin à un autre croisement entre ces deux nombres vedettes de la mathématique, dans la tradition pythagoricienne.



    La doctrine des noms de Dieu

     

    Au sujet du nombre 99, nous tenons d'Aliboron cette cogitation gnostique dans « l’Evangile de vérité » où un développement associé à l’image du Pasteur nous parle du chiffre 99 tenu en main gauche, et de l’Un qui, une fois découvert et uni à 99, permet à l’ensemble de passer en main droite. Ce qui laisse supposer la référence à un moyen de comput digital. « Et ainsi le nombre devient 100. C’est le signe de ce qu’il y a dans leurs sons, c’est à dire le Père ». Bref, cet évangile développe une véritable théologie du Nom : « Le Nom du Père est le Fils ». Le caractère improférable du Nom, décliné à l’envie dans cette doctrine gnostique souligne la nature cachée de Dieu. Car par l’épithète d’AMEN (le Fidèle, le Véritable) qui lui est attribué dans l’Apocalypse, le Christ, selon les spéculations sur la valeur numérique des lettres grecques, s’apparente au nombre 99 (A+M+H+N = 1+40+8+50 = 99), peut être « enfermé » dans les cinq doigts de la main gauche. Pentagramme le mettant en relation avec Sirius, donc médiateur de vérité, nécessaire voie d’accès vers le 100eme nom, celui du « Caché », Amon... Car nul ne vient au Père que par moi » affirme Jésus (Jean, 14,6).

     



    ….

     

    Souvenons qu'entre ces deux formulations de l'équation de Charpentier, mettant en évidence le nombre 99

    Φ = ( 5445 + 33) / 66

    Φ = (√(99 × 55) + (99 ÷ 3)) ÷ ((99 ÷ 3) × 2)

    Nous avons rencontré une formulation intermédiaire qui est la suivante :



    Φ = ((√11) + (√55)) / (√44)



    Cette équation peut à son tour être transformée en deux temps, jusqu'à retrouver une expression pratiquement identique à l'équation-source « phi = (rac 5 +1) / 2 ».



    Dans un premier temps, on peut remplacer, dans toutes les parties de l'équation, les multiples de 11 par ce nombre qui est leur commun diviseur. Par cette équation, qui ramène la formule à son principe palindrome, on parcours "à rebours" le chemin accompli par Charpentier.



    Φ =     √(11)  + √(11+11+11+11+11)  

                     √(11+11+11+11)



    En outre, en répartissant différemment les sommes du second membre de l'équation, on peut déjà obtenir une formulation tétractyque de cette même expression :



    Φ =       (11) + √((11+11) + (11+11+11))
                     √(11+11+11+11)

     

     

    Il ne reste qu'un dernier pas à faire pour retrouver l'équation-source du nombre d'or : remplacer partout le nombre 11, principe des palindromes, par l'unité.

     

     



    Φ =       (1) + √((1+1) + (1+1+1))
                     √(1+1+1+1)

     

    ou

     

    Φ = ( √1 )+ √(2+3 ) 

                   √4





    A partir de ces expressions, on pourrait imaginer un langage mathématique simplifié, dans lequel les unités seraient représentés par des petits cercles, analogues aux points de la tétractys, et où l'opération « racine carrée » serait symbolisée par des parenthèses. On obtient alors l'expression :



    Φ = (o) + (oo+ooo)     

                (oooo)      





    dans laquelle les unités points de la tétractys se répartissent, de part en d'autre de la fraction principale, selon un rapport 6/4

     

    Ou encore cette formule en image, que nous ne mentionnons que pour le plaisir des pythagoriciens, mais dans laquelle on pourra trouver assez parlant d'associer les parties de la tétractys aux côtés du triangle aurigène qui, du coup, leur correspondent. Le sommet et la 4ème ligne correspondent aux côtés de l'angle droit (1 et 2) et la partie médiane à l'hypoténuse... ce qui est ajusté à la fonction "médiante", "moyennante" que Charpentier prête à l'hypoténuse.

     

    Qu'est-ce que la nature ?

     

    le Rapport du nombre d'Or peut alors apparaître comme une modalité du rapport "cosmologique"  3/2  qui correspond à

    la quinte

    aux nombres principes des "jambes" du Lambda

    au rapport des trois premiers étages (6) avec le quatrième (4) de la tétractys ; ou bien encore, dans cette même tétractys, au rapport de l'hexagone au trépied

    Et enfin au pentagone, qui est virtuellement engendré par la division d'un cercle selon ce rapport   3/2.

     

     



    Bref, il y a une convergence assez satisfaisante avec l'ensemble de ces "logoï" pythagoriciens



    Toutes ces dernières expressions sont très voisines de l'équation source phi = 1+ rac 5 / 2 et n'en distinguent pour ainsi dire que par un jeu d'écriture. Elles n'en exhibent pas moins en propre les caractères suivants.



    1. A la différence de l'équation-type, les éléments sont « homogénéisés », puisque l'expression ne contient plus que des racines carrées.

    2. En l'assimilant à la tétractys, ces équations font apparaître une homologie entre le triangle aurigène et l'ensemble de la nef (dont ce même triangle aurigène est une partie). Le triangle aurigène se présente dès lors comme une mini-nef qui développe, en mode puissanciel, les mêmes nombres que la nef développe en mode entier.





    En réalité, le fait de modifier "l'écriture" du triangle aurigène (1,2, racine 5), en exprimant tout en racines, (racine 1, racine 4, racine 5) permet de montrer que les trois côtés du triangle aurigène sont simplement les racines des trois côtés qui forment la carène de la nef.



    Autrement dit : la partie (mini-nef aurigène) contient le tout (nef) en mode puissanciel. 



    Noter : l'inversion du sens de lecture : anti horaire pour la nef, horaire pour la mini-nef... cette inversion entre micro et macrocosme est caractéristique de pas mal de structures pyth.





    Le triangle aurigène pourra donc être paramétré de deux manières différentes. Un paramétrage « interne » sous forme de racines carrées, et un paramètrage externe sous la forme de l'entier, qui marque son appartenance comme partie, à la structure générale entière de la nef.



     

     

     

    Il y a une relation certaine entre la relation min-nef/nef, et la relation graine/gnomon



    mini-nef peut apparaître comme un élargissement de l' endomorphisme du gnomon, dans une perspective inter-arithmétique plus large qui inclue les relations racines/entier.



    Noter qu'à l'état de "graine" (mini-nef), la nef est "repliée", ce qui semble bien naturel.



    On pourrait en gros voir dans la Nef, avec sa carène bien carrée, le monde du gnomon (au sens usuel), caractérisé par le segment-unité de valeur 1 qui paramètre sa structure : l'entier.



    Et dans la mininef le monde "théodorien", le monde puissanciel...

     

     

    En tant que QUATRIEME triangle de la spirale de Théodore, où il apparaît déjà dans sa forme "décadique" (1, racine 4, racine 5), le triangle aurigène correspond à la première clôture gnomonique, et donc il résonne avec le 16 eme triangle, le triangle (1, 4, racine 17) qui correspond à la seconde clôture. Ou le 5 répond bien nettement au 17.



     

    Relation d'octave entre le triangle aurigène (Théodore 4) et le triangle (1,4, rac 17) (Théodore 16)

     

     

     

    Les hypoténuses 5 et 17 correspondant aux "bords" de ces clôtures entretiennent une relation tout à fait signifiante.

     

    Aurigène a pour octave "Isiaque" pour les angles, et Théodore 16 pour l'aire (situation d'intersection – ou de nouage – "labdaïque").




    Importante remarque :

     

    Au sein du système géométrique de la nef, comme au sein du système gnomonique du rectangle de fibonacci, l'aire du triangle aurigène est égale à 1 ; c'est à dire qu'elle est égale au petit carré insécable de surface 1 qui est l'unité atomique du système.

     

    L'aire du triangle aurigène est égale à 1

     

    Il y a un rapport entre phi et 1, c'est bien connu, et qui n'est pas seulement ésotérique et secret, mais sans doute aussi mathématique.

    Cette "monalité" du nombre d'or apparaît même, à mes yeux, dans la simplicité du principe de la division du segment par "un certain rapport à lui-même".

    Le nombre 5 faisant aussi partie de ce procès "métamathématique" de l'unité. J'emploie ici ce mot de métamathématique au sens de math "profonde", pythagoricienne




    Au sein de la nef, aurigène et isiaque ont respectivement pour surface 1 et 6. la surface totale de la nef étant de 7. Cette relation évoque évidemment les pavages hexagonaux, où aurigène apparaît une nouvelle fois comme "intérieur", par rapport à isiaque "extérieur". En outre, le triangle aurigène a pour surface l'entier 1, c'est à dire que sa surface est égale à celle du carré atomique 1 (du système gnomonique dans lequel la nef s'inscrit). Unarité qui, liée à sa "décadité" interne (rac 1, rac 4, rac5), et sa 4ème place dans la spirale, ne laisse pas de faire réfléchir.

     

     

     

    Un passage du site harpakeredblog montre

    le rapport entre la coudée égyptienne, périmètre du triangle aurigène, avec π et le nombre 6. DONC, géométriquement, on peut "polygoner" un cercle de rayon de 5 en dépliant 6 triangles aurigènes

     

     

    L'extrait en question :

     

    L’Unité Pythagoricienne étant de 1, nous allons l’utiliser dans un rectangle, ce dernier aura pour largeur et pour longueur la Dyade Pythagoricienne 2 . Selon Pythagore, le carré de l’hypoténuse (gr ὑποτείνουσα : sous-tend, soutenir) est égal à la somme des carrés des côtés, soit notre hypoténuse dans ce cas-ci, est la racine carrée de 5 = 2,23606797. Si nous additionnons les côtés de notre triangle, 1+2+ 2,23606797 5,23606797 nous obtenons un nombre irrationnel qui correspond à la coudée égyptienne.  rectangle

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Il ne faut pas du tout hésiter, je pense, à multiplier la coudée égyptienne par 6/10   puisqu'en en effet ce ratio a un sens tétractyque.



    De la sorte on obtient réellement "pi" :




    (1 + 2 + √(5)) × (6 ÷ 10) = 3,1416407865

     

     

    Ce ratio a un sens tétractyque, mais en fait 3 sens en 1. Savoir :


    Il exprime :



    1.  le poids relatif de l'hexagone (approx : du "cercle") par rapport au tout-10.

    2. Le poids des 3 premières lignes, par rapport au tout-10

    3.  Une troisième chose, (distincte des 2 premières puisqu'elle est leur conjonction) qui est précisément la relation d'égalité entre 1. et 2. au sein de la tétractys. Il semble donc intéressant que l'équation pi = f(phi) "passe" par la tétractys... avec en plus l'avantage de l'exactitude.



     

     

    Sur l'hypoténuse du triangle aurigène (racine 5).



    Pour charpentier l'hypoténuse est une moyenne entre les côtés de l'angle droit. Racine 5 correspond donc à la moyenne entre 1 et 2. Et en même temps racine 5 est "l'addition de phi et de son inverse". D'où en zappant la copule intermédiaire "rac 5"



    La moyenne entre 1 et 2

    est l'addition de phi et de son inverse



    Autre formulation :

     

    √(5) = 1 + (2 × (1 /ϕ))

    …................................



    Lorsqu'on considère le carré long (formé de deux triangles aurigène) comme la matrice du rectangle de Fibonacci



    Ce qui est beau à remarquer est que le rapport doré exact, que tend vainement de rejoindre le rectangle dans sa croissance folle, se trouve enfermé sous forme parfaitement pure, calmement replié, dans sa "demi-graine".

     

     

     

     

     

    Le nombre 216

     

    Relativement au développement gnomonique tridimensionnel du triangle isiaque 3-4-5, le nombre 216 (=6x6x6) joue le rôle de principe englobant, ou enveloppant.

     

    Par sa fonction géométrique, comme par sa forme hexagonale, ce nombre exprime la cyclicité, la complétude, le retour du Même.

     

    Ce nombre est bien connu de la tradition ésotérique pythagoricienne, puisqu'il correspond au cycle des réincarnations de Pythagore, ou du moins au demi-cycle.

     

    La situation exceptionnelle de ce nombre s'explique par le fait qu'il est l'aboutissement de deux processus, d'une égale importance théorique, - situation que l'on peut à nouveau représenter à l'aide d'un Lambda.

     

                                216 (33+43+53)

     

                108                            50 (32 + 42 + 52)

     

    54                                                     12 (3 + 4 + 5)

     

    Jambe gauche, le nombre 216 prolonge la série des nombres vitaux impliqués dans l'harmonie musicale et dans la construction de l'âme du monde ; jambe droite, il correspond au développement complet du triangle isiaque, du segment à la surface, et de la surface au volume.

     

    La jambe gauche correspond au principe de l'animation, de la vie, du souffle, de l'harmonie vibratoire et de la durée. La jambe droite, au principe de la condition spatio-temporelle, au sens du développement complet, pour une réalité quelconque, d'un nombre limité de possibilités, défini par les « constituants » ou les prémisses qui la fondent.

     

    De cette manière, il semble envelopper dans un même tout le principe de la vie et celui des conditions qui la gouvernent.

     

    Du point de vue astronomique, les nombres de la jambe gauche sont impliqués dans le cycle de la précession des équinoxes, qui joue un rôle central dans de nombreux calendriers traditionnels, babyloniens, indiens ou chinois, et intervient souvent dans le calcul de la « grande année ».

     

    Relativement à un tel cycle, le nombre 216, associé à la manifestation de l'âme et de la vie humaine, correspond à une division inférieure, qu'on pourrait qualifier de « moyenne année », et qu'on pourrait assimiler analogiquement à un « mois » ou une « semaine » de la grande année.

     

    En tant que nombre de Pythagore, multiple de 6 et de 12, et donc, nombre cyclique ou circulaire, ce nombre a un aspect nettement « solaire ».

     

    Néanmoins, c'est bien le nombre 9 qui joue le rôle le plus important dans l'exégèse symbolique de ce nombre, puisqu'il est déterminant de part et d'autre de la procession figurée par notre lambda.

     

    Jambe gauche, le nombre 216 illustre la loi de genre, la loi de famille des multiples de 9, qui exige que l'unité principielle soit conservée dans tous les multiples, - loi dont on sent qu'elle est déjà dans son principe une loi d'enveloppement. Du côté de la jambe droite, on se rappelle que le nombre 9 correspond au « centre caché », au principe d'équilibre qui régit, non seulement le développement du triangle isiaque, mais aussi celui du triangle aurigène, dans lequel les mêmes nombres interviennent dans une composition différente.

     

    Enfin, la division de 216 par 9 donne 24, ce qui suggère la possibilité d'une projection analogique, endomorphique, entre la « moyenne année » régissant les vies de Pythagore, et le cycle de la journée terrestre.

     

    Un dernier prolongement des équations de Pythagore.

     

    On a vu qu'il existait une relation de parallélisme entre l'équation de Pythagore qui régit le triangle isiaque :

     

    32 + 42 = 52

     

    Et l'équation régissant les sommes angulaires respectives des polygones de 3, 4 et 5 côtés.

     

    180 + 360 = 540

     

    On a vu en outre que la grande équation relative aux cubes adjacents aux côtés du triangle isiaque :

     

    3x3x3 + 4x4x4 + 5x5x5 = 6x6x6

     

    pouvait être considérée comme un développement « externe » de l'équation de Pythagore, un prolongement hors d'elle même, dans laquelle les trois côtés du triangle isiaque sont ressaisis tous ensemble, pour être coordonnés à un principe qui les « enveloppe ».

     

    La question sera : existe-t-il une version « angulaire » de cette extension ; existe-t-il un équivalent, pour les sommes angulaires des polygones, qui ressaisit les 3 termes de l'équation angulaire primitive, pour les coordonner ensemble à un quatrième. La réponse est oui.

     

    180 + 360 + 540 = 1080

     

    1080 correspond bien à la somme angulaire d'un polygone existant : l'octogone. L'octogone compte 8 angles de 135 degrés, dont le total donne 1080 degrés. La version étendue de l'équation se lit donc :

     

    somme des angles du triangle + somme des angles du carré + somme des angles du pentagone = somme des angles de l'octogone.

     

     

    Le nombre 1080, le helek et le nouage luni-solaire de la Terre

     

    Ce nombre 1080, qui correspond à la somme angulaire des trois polygones, offre une dernière confirmation, et sans doute la plus éclatante, de l'intuition de Dom Neroman selon laquelle la division du cercle et le système sexagésimal avaient leur source dans la nécessité d'intégrer dans le cercle une mesure commune pour ces trois polygones.

     

    En effet ce nombre occupe une place très significative dans la spéculation calendaire mésopotamienne, puisque le helek hébreu, emprunté au she babylonien, était une division de temps égale à 3 secondes 1/3, telle que :

    1 heure = 1080 halakim

    ou encore :

    1 minute = 18 halakim

    Relativement à la seconde, on voit que le helek favorise la division par 9.

    Le nombre 1080, à l'image du nombre 60, possède un nombre impressionnant de diviseurs, puisque, dans les petits nombres, il est divisible par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 et 10.

     

    Les hébreux utilisaient en particulier le helek pour la mesure des phases lunaires; et ils estimaient la durée d'une lunaison à 29 jours, 12 heures et 793 halakim, avec une précision de l'ordre de la demi-seconde.

     

    On ne sera pas surpris de voir associés, sur le plan symbolique, le problème des phases de lune à celui, arithmétique, de la division par 9, tant la nature féminine, isiaque et lunaire de ce nombre est bien attestée par la tradition.

     

    Cependant, chez les babyloniens, c'est bien la journée terrestre qui est le cadre de la définition du she, puisque celui correspond au 72 ème d'un degré du cercle journalier, qui assimile la durée d'une journée à une révolution du cercle 360.

    Du fait de cette double pertinence, à la fois lunaire et terri-solaire, on peut estimer que le helek était investi d'une valeur très particulière, et pouvait prétendre à être quelque chose comme "un quantum naturel de temps".

    La coïncidence des cycles lunaire et terri-solaire a toujours représenté un horizon - en même temps qu'un "vortex" - de la spéculation calendaire, dans toutes les civilisations existantes, parce qu'elle consiste à placer la Terre dans une position intermédiaire entre le "macrocosme" solaire dont la Terre est dépendante, et le "microcosme" lunaire qui dépend immédiatement d'elle : la Terre étant, gravitationnellement à la lune, ce que le soleil est à la terre. Lune et soleil équivalent à définir la terre comme intermédiaire, comme un être de transition de doté deux "côtés" principaux, l'un vers le microcosme, l'autre vers le macrocosme.

     

    Cette forme de "nouage cosmologique de proximité" qui définit le "temps de la terre" comme le produit naturel (la solution commune) entre le temps solaire et le temps lunaire, présente une analogie évidente avec les "nouages" pythagoriciens typiques dont on a vu, ici, se déployer les formes variées, à partir du lambda de Platon.

    Nous ignorons si les pythagoriciens faisaient usage du she babylonien, mais, dans un registre apparenté, on peut se rappeler que Charpentier se réfère à plusieurs reprises, sans citer ses sources, à une tradition selon laquelle l'année pythagoricienne durerait 99 mois.

    Il s'agit très probablement, là aussi, d'un calendrier luni-solaire, selon ce que nous suggère Rémy Bayoud :

    avec une lunaison de 29,5 jours et une année de 365,25 jours,  On a 12 lunaisons = 354 jours, et 1 année = 12 lunaisons + 1 reste de 11,25 jours En regroupant 8 années solaires, on monte à 96 lunaisons + 1 reste de 88,75 jours Ce reste est très proche de 3 lunaisons. Autrement dit 8 années = 99 lunes
    Mais je ne fais finalement que retrouver le cycle dit octaétérique du calendrier attique.

     

    Les 99 mois lunaires se rangeraient alors dans une "grande année" solaire de forme octogonale.

    Et l'on peut se souvenir que la somme des angles de l'octogone est de 1080 degrés, qu'elle correspond à la somme des angles des 3 premiers polygones, mais aussi au développement "externe" des équations de Pythagore relatives au triangle isiaque.