SIRIUS, C'EST DU SERIEUX!

 

 

 

par William BROWN

 

 

 

La plupart des étoiles observables sont des systèmes binaires ou multiples. Au sein de ces systèmes, deux étoiles ou plus ont un foyer de révolution commun, et restent liées gravitationnellement sur des orbites définies. Cette interaction gravitationnelle entre étoiles est si commune qu’elle semble être le mode normal de formation des systèmes stellaires. Ce qui est logique, puisque les étoiles sont formées au sein de nébuleuses qui sont de véritables «pépinières d’étoiles» où des éléments légers se sont agglomérés durant le Big Bang, alors que les éléments lourds étaient synthétisés au coeur d’étoiles géantes, puis éjectés.

On pense généralement que notre Soleil est une exception à ce phénomène de gémellité, mais des observations suggèrent que le Soleil se meut sur une orbite autour d’un système stellaire compagnon. Cette idée est-elle sans précédent ? Pas du tout, en réalité il y eut de nombreuses publications scientifiques examinant les indices d’existence d’une «étoile noire», à laquelle notre soleil pourrait être lié. Cette étoile est connue sous le nom de Nemesis et elle fut proposée à partir des perturbations de certains objets, comme Sedna, objet transneptunien d’un diamètre d’environ 1000 km (~ planète naine) situé dans la ceinture de Kuiper.

Walter Cruttenden du Binary Research Institute a avancé l'idée que le compagnon de notre soleil n'était pas forcément du genre «étoile noire». Compte tenu de la rareté des observations et des mesures des étoiles brillantes de notre secteur galactique, on est amené à chercher si des étoiles visibles partagent un foyer de révolution avec notre système solaire. Au coeur de cette théorie des systèmes multiples, on va découvrir une simplification de la mécanique de précession, avec un modèle plus logique, ne reposant pas sur l'oscillation de l'axe de rotation terrestre, mais sur le mouvement du système solaire lui-même.

Y a-t-il une candidate au binôme parmi les étoiles visibles ? Commençons par examiner les plus proches. Alpha du Centaure (hémisphère austral), distante de 4,37 années-lumière, est la troisième étoile la plus brillante de notre ciel et constitue elle-même un système binaire : Alpha Centauri A et Alpha Centauri B. Une autre étoile est en lien avec ce binôme : Proxima du Centaure, à 0,2 années-lumière de Alpha Centauri, ce qui représente environ 400 fois la distance de Neptune au Soleil. Cela montre que les orbites d'un système poly-stellaire ne sont pas forcément proches. Cependant la déclinaison de Alpha du Centaure est de -60° : bien trop décalée du plan du système solaire (aussi appelé équateur céleste), ce qui explique d'ailleurs son mouvement quasiment circumpolaire.

Une meilleure candidate devrait être plus proche du plan du système solaire. C'est le cas de Sirius dont la déclinaison est de -17°, et qui est également l'étoile la plus brillante de notre ciel. C'est aussi le cinquième groupe d'étoiles le plus proche de nous. Plus important encore : le Sirius Research Group a enregistré la position de Sirius pendant 20 ans, sans altération mesurable de sa position par rapport à la précession !

Des corps de notre système solaire témoignent d'une résonance harmonique avec le système Sirius. Les orbites de Pluton et Sedna sont inclinées de 17° environ par rapport à l'équateur céleste, de même que Sirius. Leur périodes orbitales sont respectivement de 250 et 12 000 ans, correspondant aux rapports de 1:5 et 1:2 relativement à la période de révolution du Soleil autour de Sirius. 
La résonance est une condition sine qua non pour un système de corps en orbite ; et c'est aussi pourquoi l'hypothèse d'une oscillation de l'axe polaire n'est pas séduisante. Une oscillation indique non pas une résonance harmonique mais une instabilité dynamique (pensez au tournoiement d'une toupie avant qu'elle ne tombe, elle commence à osciller).

Sirius est un système binaire. Sirius A est très visible mais il existe une étoile compagnon appelée Sirius B, décrite pour la première fois aux temps modernes par la tribu Dogon du Mali, et confirmé par les astronomes. Les Dogons ont aussi décrit un troisième corps céleste avec des caractéristiques d'étoile à neutron. Cette dernière ne serait pas visible à la manière de Sirius B, mais l'attraction combinée d'une étoile à neutrons, d'une géante blanche et d'une naine blanche aurait certainement la force de lier le Soleil à une distance de 8,6 années-lumière. En fait, la présence d'une étoile à neutrons n'est même pas nécessaire pour permettre cette interaction gravitationnelle entre le Soleil et Sirius.

Les descriptions historiques et mythologiques de Sirius apportent des éclairages complémentaires sur sa relation au Soleil. Un tunnel issu de la Chambre de la Reine de la Grande Pyramide d'Egypte était - cela reste vrai actuellement - aligné précisément avec Sirius. Etant donné la haute probabilité que cela soit intentionnel, et le fait que les pyramides forment une carte du ciel en elle-mêmes (reproduction au sol de la ceinture d'Orion, qui pointe vers Sirius dans le ciel), cela montrerait que Sirius est restée stationnaire depuis ces époques.

Certains mouvements célestes ne peuvent pas être expliqués par le modèle héliocentrique développé à la suite de Copernic (1543), comme la précession des constellations zodiacales, et c'est pourquoi un mouvement supplémentaire fut introduit.

Puisque l'on savait que l'axe de la Terre était incliné par rapport à l'écliptique, on a fait l'hypothèse que l'axe de rotation oscillait d'une manière précise, en 26 000 ans. Mais quel mécanisme expliquerait cette rotation de l'axe ? La théorie proposée fut baptisée précession luni-solaire : le Soleil et la Lune exerceraient un couple de force perturbant l'orientation de l'axe.

Quand on prend en compte toute la complexité des mouvements de rotation de ces trois corps, il est sidérant de penser qu'une force uniforme puisse maintenir un couple assez stable pour maintenir une périodicité de 26 000 ans.

Remarquons que ce nombre -- 26 000 ans -- a été arrondi est n'est pas un rythme stable pour la précession. Le taux de précession actuel est en accélération, puisque selon les mesures de 1900 et 1990, il est passé de 25 800 à 25 920 ans. Ce phénomène était connu des Mayas et intégré dans leur Calendriers, considérés comme une des meilleures chronométries à ce jour. De plus, les interactions avec les nombreux autres corps du système solaire n'ont même pas été pris en compte, ainsi que la géométrie ovoïde de la Terre, ce qui explique que les modèles mathématiques aient été continuellement remaniés pour proposer une solution ad hoc.

«Le modèle de précession luni-solaire a une histoire remplie de problèmes, de révisions, et de continuelles additions de paramètres. L'équation originelle de Newton ne marchait pas. D'Alembert, reconnaissant que la Terre n'était pas un corps rigide, effectua les premiers changements importants, et beaucoup d'autres ont suivi le pas jusqu'à faire coïncider les valeurs théoriques avec les mesures (50,3 secondes d'arc / an). Le problème est que ces modèles sont conçus pour expliquer une précession fixe, alors que le taux observé a accéléré, et de plus en plus vite, ce que les modèles actuels ne savent pas expliquer. Comme la capacité de prédiction est la pierre de touche d'une théorie, le modèle luni-solaire est maintenant examiné à la loupe.»
(Walter Cruttenden)

La périodicité du lever héliaque de Sirius était tel que les Egyptiens l'ont pris pour repère dans leur calendrier. Chaque année durant des millénaires, le lever de Sirius coïncidait avec la crue du Nil, un événement qui a toujours lieu de nos jours. «Sirius remains about the same distance from the equinoxes – and so from the solstices – throughout these many centuries, despite precession» (Jed Buchwald)

Cela s'expliquerait en fait par la forte excentricité des orbites, rendant le mouvement de rétrogradation de Sirius insensible sur les portions "plates".

Il serait maintenant judicieux d'inclure ce système gémellaire dans les "poupées russes" d'orbes supérieurs. Cela n'est pas nouveau. Les civilisation précédentes avaient une compréhension avancée de la mécanique céleste, comme en témoigne la précision de leurs observations astronomiques. C'est parce que Sirius est l'objet céleste le plus stable, que les Egyptiens et d'autres civilisations l'ont utilisée comme point de référence pour la mesure du temps.

Nous choisissons le Soleil comme point de référence, ce qui est évidemment inadapté. Tous les 4 ans il faut ajouter un jour pour garder un temps juste. Mais même Sirius n'était pas assez exacte pour ces "Gardiens du Temps" qu'étaient les Mayas. Avec leur astronomie remarquablement avancée, ils ont détecté les imprécisions liées à Sirius et ont utilisé un cycle encore plus précis utilisant le marqueur des Pléiades. Toutefois, à s'en tenir à notre galaxie, c'est le noyau Galactique, ultime centre de rotation, qui représenterait le marqueur le plus stable.

Et c'est bien qu'on fait les Mayas (d'une certaine manière) dont le Compte Long s'achève avec l'alignement du système solaire avec le plan galactique le 21 décembre 2012. Ainsi, l'idée que la Terre orbite le Soleil, que le Soleil orbite Sirius, que Sirius orbite Alcyon qui elle-même orbite le noyau Galactique, n'a rien de révolutionnaire -- il s'agit simplement d'une redécouverte.

 

 

 

(Adapté de l'article en ligne :

"The Sun's Astral Companion, A Model for the Sun-Sirius System") 

http://www.viewzone.com/sirius.html

L'article original en anglais

 

 

 

 

CELTITUDE CALENDAIRE

 

 

par ALIBORON

 

 

 

 

 

Dans les « Notes sur la tradition celtique - Loge de Recherche Laurence Dermott », ici publiées, l’auteur de la planche nous dit ceci au sujet des fêtes celtes : « Il y en a quatre principales dans l'année qui, curieusement, sont placées non pas aux solstices et aux équinoxes comme pour nous (les deux Saint-Jean, etc.) mais au milieu des saisons. Les traditionalistes celtes, en particulier la revue « Ogam » à qui cette planche doit beaucoup, expliquent cet état de choses par la fixation de ces fêtes à des dates très anciennes et le résultat de la précession des équinoxes. A titre personnel, cette explication ne me satisfait pas — mais je ne suis pas capable d'en proposer une autre plus satisfaisante. »

Or, il est peut être possible de le faire en suivant les indications de Rabelais ; lequel est considéré par nos alchimistes comme le dernier hérault des traditions païennes christianisées, de Gaule et d’alentour. Pour ce faire nous profiterons de la lecture inspirée que fit Claude Gaignebet des oeuvres de ce géant. Dans l’ouvrage intitulé «A plus hault sens » la cosmologie rabelaisienne, savamment décryptée, s’avère être fort différente de celles, élues, « traduites » et synthétisées (par Guénon et consorts) en une grille de lecture décrétée universelle et faisant, malheureusement, autorité.

Vu l’ampleur du sujet et l’exiguïté prescrite par F.B., je me contenterai donc de vous en rapporter les seules conclusions ; libre à chacun d’aller visiter mes sources pour capter « le comment du parce que ».

Gaignebet fait remarquer qu’en introduction à son Pantagruel (II,1) Rabelais celtise ouvertement : « Il y a plus de quarante quarantaine de nuits pour nombrer à la mode des antiques druides ». D’autres allusions ou références aux celtes se trouvent aisément dans l’oeuvre du Chinonais, mais qu’est-ce à dire ?

Notre herméneute de s’interroger : « Si ce chiffre est « druidique », des fêtes comme le Carème (Quadragesima), la Chandeleur-Carnaval (quarante jours après Noël), l’Ascension (quarante jours après Pâques) ne pourraient-elles aussi être envisagées à ce point de vue ? »

Au sujet de cette « quarantaine », chère à Gaignebet, mais dont Frédérick me disait, ailleurs, ne pas voir le rapport direct avec les nombres prisés par les celtes, ce passage d’une étude antérieure de Gaignebet, « Le Carnaval » :

« Le calendrier celtique distinguait en effet quatre fêtes décalées chacune de 40 jours par rapport aux solstices et équinoxes » « Pourquoi 40 ? Est-ce l’effet d’une mystique des chiffres telle que celle qui inspira les Pythagoriciens ? Ces derniers aimaient le nombre 40. On voit généralement la raison de cet attrait particulier dans l’importance qu’ils accordaient aux chiffres 8 (ogdoade) et 5, dont le produit donne 40. » « C’est ici le moment de se souvenir que l’ensemble du calendrier tel que nous venons de le déchiffrer s’efforce de coïncider avec un phénomène naturel important, le cycle de la lune. Alors s’éclaire d’un jour nouveau la signification du nombre 40 : 40 jours représentant la durée d’une lunaison et demi. »

Faute de place, nous n’en retiendrons que l’essentiel : « quatre fêtes décalées chacune de 40 jours par rapport aux solstices et équinoxes » ; soit, comme le disaient les anciens (via l’entendement de Mr Giuseppe Bezza) un calendrier «naturel ». En passant, je m’étonne que nos maîtres à ne pas penser en matière de symbolisme aient pu zapper avec autant de désinvolture ce dont traite ici l’honorable italien....

L’intro de son étude (http://cura.free.fr/quinq/04bezza.html)  rappelle ceci : « Chez les peuples primitifs le calcul du temps le plus répandu reposait assurément sur l'observation, près de l'horizon, du lever et du coucher d'une étoile avant le lever du Soleil ou après son coucher. Puisque ces points de repère expriment les cycles de la végétation ou les activités de l'homme, ils doivent être apparents et se répéter constamment ; en même temps, ils doivent permettre d'expliquer les changements qualitatifs des cycles temporels.

Ces observations ont été accomplies surtout dans les régions tempérées, où les changements des conditions climatiques sont importants et où la vie des plantes et des animaux, l'ensemencement et la floraison, les temps des migrations varient sensiblement au cours de l'année. Mais aussi dans les régions subtropicales, où les variations saisonnières sont moins sensibles, il peut arriver que les saisons sèches, celles des pluies ou encore l'arrivée des moussons avancent ou retardent dans quelque mesure.

Cet état de choses, qui est propre au monde primitif, nous le retrouvons chez les Grecs du temps d'Hésiode, qui ne conçoivent pas l'année en tant que période de temps avec un début déterminé, mais en tant qu'unité temporelle marquée par une succession d'abondances et de pénuries. A côté d'un calendrier luni-solaire, il y avait un calendrier fondé sur les apparitions et occultations des étoiles, les cycles végétaux, et le comportement des animaux. Ce sont ces repères que les peuples primitifs avaient pris en compte pour établir le temps des semailles et, plus généralement, la succession des travaux agricoles. » Bon, c’est un peu vague et oublieux de la celtitude mais a au moins le mérite de rafraichir la mémoire. Cela fait, l’auteur constate que plus tardivement s’esquisse « l’emploi d'un double référentiel : d'un côté l'observation d'un cycle stellaire relevant du calendrier naturel archaïque, de l'autre la prise en compte des équinoxes et des solstices, expression du développement mathématique de l'astronomie, qui ne repose désormais plus sur la seule observation. »

« Ce mélange aboutit, entre la fin du Ve siècle et le début du IVe siècle B.C., à la création d'un calendrier "technique", qui devra servir de base à la prédiction météorologique comme au diagnostic et au traitement des maladies »

« Les deux divisions de l'année, celle fondée sur les phases des étoiles et celle qui repose sur les équinoxes et les solstices, se trouvent désormais fondues entre elles dans la littérature des parapegmatas. » « La coexistence de ces différents repères est typique dans la littérature des parapegmatas à partir du Ve siècle B.C. Elle est aussi attestée dans le Corpus hippocratique, lequel présente une division de l'année en huit parties, où l'ancien calendrier, qui repose sur les apparitions de quelques étoiles remarquables (Pléiades, Sirius, Arcturus), garde son caractère propre. »

« Cette division de l'année, qui a connu un certain succès auprès des médecins du Moyen Age, repose sur une forme tout à fait archaïque. Au début du XIe siècle, al-Bîrûnî se montre très critique, notamment quand il dit qu'elle est l'oeuvre des partisans du calendrier naturel.

Parmi eux, écrit-il, il y en a certains qui s'éloignent beaucoup de la vérité, en fixant les quatre points de repère indépendamment des équinoxes et des solstices dans des lieux équidistants des équinoxes et des solstices. »

Bref, sans poursuivre l’historique de cette éclipse d’un calendrier au profit d’autres plus cérébraux, l’on peut déjà constater que nos celtes n’ont pas sorti leur déconcertant chronoscope ou lapin blanc, ex nihilo, d’un chapeau pointu. S’ils sont bien les derniers à avoir préservé (ouvertement) cette archaïque sapience, on entrevoit ici qu’elle fut jadis partagée par beaucoup d’autres. Et l’on verra plus loin, (si votre intérêt pour mes élucubrations perdure) qu’elle s’est envieusement maintenue (telle quelle !) en notre alchimie chrétienne, ainsi que dans un taoïsme d’accès réservé....

Rabelais, ainsi que l’a remarquablement révélé Claude Gaignebet, prône un retour à cette ancestrale et « naturelle » astrosophie, contestant ouvertement la pertinence (et plus encore l’efficience théurgico-rituelle...) de l’hégémonie finalement prise par les équinoxes et les solstices, « expression du développement mathématique de l'astronomie, qui ne repose désormais plus sur la seule observation. » Macrobe, grand théoricien de cette prépondérance (aujourd’hui parachevée par le guénonisme), en prend plein son grade sous la plume d’Alcofribas Nasier.... car, possédé par son idéale modélisation, il en devint aveugle à l’évidence proposée par notre Créateur.

En passant, il serait salutaire de prendre connaissance, dans le sillage de Jean Borella (par exemple son « Histoire et théorie du symbole »), du mode de manifestation initial prisé par les symboles : dans la Nature ! Et non dans les ratiocinations ayant pour base un dictionnaire ou un essai pondu par un «spécialiste» .... L’approche exclusivement textuelle, qui prévaut aujourd’hui, n’est pas toujours un cadeau.

D’autre part, les considérables modifications de « l’ambiance cosmique » entre jadis et maintenant, judicieusement supputées par Guénon, devrait être cogitées plus avant. Cela aiderait à nous re-présenter l’univers perçu par nos ancêtres, plutôt que d’y plaquer des grilles de lecture trop souvent inadéquates.

Ainsi, on pourrait compléter la remise à niveau, entamée dans « Le règne de la quantité », via le sieur Couliano, qui dans « Expériences de l’extase » s’étend un chouïa sur l’ouranisation progressive, en notre antiquité, des divinités telluriques préposées aux Mystères. Et, pendant qu’on y est, recommander une géniale approche de la corporéité (micro et macrocosmique) telle que verbalisée par ces grands anciens, celtes inclus : « La logique du corps articulaire », par dame Guillemette Bolens . Y est montré le lien fondamental pour nos ancêtres entre la «vitalité » psycho-somatique nous conférant présence au monde ( « thumos » des grecs, «hugr » des germains, etc) et, les énergies divines ( « prana » hindou, ou «chi» chinois) tramant notre réalité. S’y devine, plus qu’en tout autre bréviaire, la différence d’ « ambiance» et, par conséquent, de re-présentation, de relations au monde, entre ces anciens et nous.

Mais revenons en à nos moutons. Claude nous résume le problème : « La Voie Lactée, (de laquelle les âmes descendent avant d’y remonter, par deux « portes » ou « moments » idoines) ne coupe pas le zodiaque au niveau du Cancer et du Capricorne, mais plutôt entre le Taureau et les Gémeaux d’une part, dans le Sagittaire et non loin du Scorpion de l’autre.

Une telle situation est facilement observable et la précession des équinoxes ne saurait expliquer l’ « erreur » de Macrobe. En traitant de la Voie Lactée, Pline (Hist. Nat., XVIII, 69) remarque qu’elle est facile à voir, il la localise avec exactitude par les constellations qu’elle rencontre : Sagittaire, Aigle, Gémeaux et Canicule. Mais l’intention de Macrobe se trahit dès la première phrase (de son commentaire au «songe de Scipion »). Il cède à la magie des «temps ronds » et plus particulièrement à l’attraction des solstices.

Il n’est donc que le précurseur d’une longue lignée dont les derniers tenants sont les celtisants et leurs feux solsticiaux, les Francs-Maçons et leurs deux fêtes de la saint Jean. Le Capricorne et le Cancer sont deux signes tropiques et il est tentant de voir la Voie Lactée marquer les bornes où le soleil rebrousse chemin dans sa course apparente. » « Il cède là à une tendance commune à la plupart des systèmes religieux de la fin du paganisme antique. Les mythes sont rationalisés ; il en est souvent donné une explication symbolique que l’on inscrit dans la nature, le plus souvent dans les astres »

On commence à entrevoir que les avis « autorisés » qui, concernant nos celtes «expliquent cet état de choses par la fixation de ces fêtes à des dates très anciennes et le résultat de la précession des équinoxes », sont peut-être passés à coté de la plaque.....

Idem, par exemple, d’un Gilbert Durand, cogitant sur une des « providentielles » coïncidences entre celtisme et christianisme roman, soit la symbolique thériomorphe des 4 évangélistes (constante : de la vision d’Ezéchiel à l’apocalypse de St Jean), laquelle ne leur attribue point les quatre animaux symboliques des angles équinoxiaux et solsticiels de l’année tropique actuelle, mais ceux des signes fixes de cette même année : Taureau, Lion, Aigle/Scorpion, Verseau. Ainsi notre calendrier liturgique chrétien d’antan, correctement rapporté sur le cercle annuel, révèlerait un gros hiatus entre le temps de la Nature et celui de la Surnature, liturgiquement célébrée ? Pas si sûr..... tout dépend des idées qu’on se fait des rythmes fondamentaux de la dite Nature, faute d’en percevoir les Couleurs avec l’Oeil du Coeur : théo-phanie.

Et la sempiternelle « solution » de s’imposer : pour retrouver la coïncidence entre ces totems et ces angles, faut prendre l’escalator en sens inverse : « Jusqu’en 2500 avant J.C. c’est la constellation du Taureau qui était équinoxiale et celle du Lion solsticielle» ! Ok, et ensuite ? Supposerions-nous ces braves péquenauds d’anciens affligés d’un tel angle mort en « science des cycles », et donc inconsciemment scotchés à cette antériorité (pourquoi celle-là ?) au point d’en devenir incohérents avec l’ensemble de leur tradition, pourtant vécue au présent du visible, et de son invisible ?

René Alleau, dans son « Mont Saint Michel » nous avait pourtant mis la puce à l’aureille. Il y cause de ce « calendrier liturgique reposant sur la notion de cycles invariables, avec des «retours » qui n’ étaient pas observés dans la nature, mais qui venaient de la Révélation, et qui se reliaient à des expériences spirituelles ». S’il avait été plus charitable, il aurait précisé que ce genre de révélations ne se propose qu’à ceusses pour lesquels Nature et Surnature se superposent, merveilleusement, en Faërie .... Peu de chance qu’un advaïta-vedantin en bénéficie, hi hi. Mais passons, même si dans ce dernier bouquin s’ensuit aussitôt une évocation de la « Légende Dorée », qualifiée d’ « héraldique sacerdotale dont les clefs n'ont jamais été communiquées par ceux qui les détenaient ».... ce, suivi d'une apologie de l'oeuvre de Dontenville sur la mythologie « françoise » ! J’y reviendrai peut-être plus tard s’il est souhaitable de montrer que sans un minimum de transmission hermétique de Re-né à Claude, ce dernier n’aurait pu capter le message de Rabelais.

Relevons juste que de la gnose rabelaisienne, Alleau affirma (bien antérieurement à ce grand oeuvre de Gaignebet) qu’elle «se fonde sur les enseignements secrets de la philosophie hermétique et de la tradition ancestrale dont le grand initié que fut Rabelais a confié l’ultime message à cette cathédrale gauloise qu’est son oeuvre, synthèse encore énigmatique des «mystères du Soleil et de la Lune » de la Massénie médiévale ».

De quelle mirobolante ancestralité peut-il bien s’agir ? Gaignebet entamera son herméneutique le pif en l’air, vers un Ciel qui, en une certaine direction, comme on va bientôt le piger, n’est pas concerné par la précession des équinoxes : « c’est sur les seules dates de naissance de Gargantua (3 février en la saint Blaise) et de Pantagruel (25 juillet en la saint Jacques et/ou saint Christophe) que nous basons notre système d’explication de toute l’oeuvre de Rabelais ».

Soit, ainsi qu’il le montre ensuite, une importance considérable accordée à la Voie lactée, dont Gargantua en la saint Blaise (= Boaz) préside à l’extrémité nord ; Pantagruel quant à lui se trouvant en relation avec l’extrémité sud de ce Chemin de saint Jacques (= Jakin) que le soleil dans sa course annuelle traverse à ce moment là. Durée moyenne de ces deux traversées : 40 jours...

Rabelais nous invite à re-connaître « ces deux dates comme étant les pôles de l’année; car le centre du soleil et celui de la terre, alors en correspondance, invitent la nature toute entière à se gonfler du suc fécondant et lactée, qu’aux autres moments de l’année les âmes des héros se réservent jalousement. » Dit autrement, « une «échelle » existe bien, mais elle est formée, comme celle de Jacob, des degrés des planètes, lorsque le soleil est dans la Voie Lactée et que la Lune forme une marche intermédiaire entre les hommes et les dieux ». Et, contrairement à ce qu’enseignent les Macrobe et/ou Guénon, ça ne se passe pas sur la croix des signes mutables, c’est ballot !

« De toutes les influences qui tombent ici bas, il n’y a que celles qui se font au temps que les Planètes ont des regards entr’elles, à chaque changement de quartier de la Lune, qui soient portées au centre, parce qu’elles tombent sur la Lune, qui a la propriété de les réfléchir, comme les rayons du Soleil sont réfléchis lorsqu’ils tombent sur un miroir, aux objets qui lui sont opposés, et leur communiquent leurs qualités... » Mathurin Eyquem, «Le Pilote de l'Onde Vive».

Gaignebet de souligner que Rabelais dénie donc toute pertinence en cette affaire au Zodiaque (solstices-équinoxes). « A qui veut échapper à la roue d’un Temps dévorateur, il appartient de se mettre parallèlement au cercle lacté, et non à celui du zodiaque ». Idem chez son contemporain Dürer, ainsi qu’il appert en sa «Melencolia»...

« Ainsi et ainsi seulement, il met en correspondances les tissus lactescents du grand et du petit monde, de celui qu’il comprend et de celui qui le comprend. Ce temps est Aïon, la moelle, ce n’est plus la couronne de Kronos ; c’est celui des alchimistes. Entre ces deux mondes emboités existe une circulation, comme en ces deux fous qui se tiennent tête-bêche, au jeu de pète en gueule. Haut et bas s’inversent et le souffle anal (animique, en fait...) de chacun d’entre eux, récupéré au nez, nourrit.... le souffle anal. Ainsi tourne l’esprit, sans haut ni bas, réconciliation circulaire de toutes choses et du « thélème », d’un mouvement qui, de la gorge au cul, et du cul à la gorge, symbolise pour Rabelais, l’image archétypale de cette circulation des souffles». Il convient donc de recourir à une mélothésie (mise en correspondances des organes et parties du corps humain avec les influences astrales).... inversée, façon égyptienne, car tenant compte des inversions croisées ayant lieu en cet espace médian.

« Le microcosme humain étant à l’image inversée du macrocosme. Cette inversion porte sur la droite et la gauche, l’intérieur et l’extérieur, le haut et le bas ».... comme l’a bien « sentu » et rendu Véronique en ses « peinturlures ». Ne pouvant m’étendre ici sur ces relations « croisées » (étoiles-métaux en particulier), je vous invite à relire les « Aspects de l’alchimie traditionnelle » d’Alleau ; ou le Gaignebet qui, bordéliquement mais doctement, nous convie à participer à ces cosmiques galipettes.

Donc, pour Rabelais et autres curieux de Nature, : « L’ homme cosmique se tient ainsi : en correspondance avec la voie lactée, bifide entre Sagittaire (anus) et Scorpion (sexe), là où vient pénétrer la queue du serpent céleste Ophius : au niveau de l’Aigle ; partie supérieure du microcosme. L’autre partie, inférieure est marquée par Taureau et Gémeaux (gorge..), que menacent grand et petit chien. » Nous rapportant aux textes classiques de notre alchimie, nous constatons qu’ils désignent de préférence, (comme période propice à la captation de ce Spiritus Mundi), plutôt la dernière. La fenêtre peut sembler plus large, mais son apogée –médiane- correspond. Limojon de Saint Didier : « Le Cosmopolite plus ingénieux que les autres, pour indiquer que la saison la plus propre au travail Philosophique, est celle dans laquelle tous les êtres vivants, sensitifs, et végétables paraissent animés d'un feu nouveau, qui les porte réciproquement à l'amour, et à la multiplication de leur espèce, dit que Venus est la Déesse de cette Isle charmante, dans laquelle il vit à découvert tous les mystères de la nature: mais pour marquer plus précisément cette saison, il dit qu'on voyait paître dans la prairie des béliers, et des taureaux, avec deux jeunes bergers, exprimant clairement dans cette spirituelle allégorie, les trois mois du Printemps par les trois signes célestes qui leur répondent: Ariès, Taurus, et Gemini.”

Nous quitterons ici nos abstracteurs de quintessence et leur gnose druidique et pythagoricienne, pour un peu fricotter avec leurs collègues chinois, en mentionnant ultimement, via Gaignebet, (p.293) que ce cercle abstrait se nomme « équateur galactique », because on va le retrouver en cet ailleurs.

« Pourtant l’équateur galactique coupe l’écliptique et le zodiaque aux limites de Gemini et Taurus d’une part, entre Sagittarius et Scorpius d’autre part, et l’on ne peut ici que répéter les réserves faites sur les efforts des néo-platoniciens pour accorder le système galactique pythagoricien et celui des Portes solsticiales ».

C’est donc la thériomorphique croix des fixes, ou de St André (apôtre des Scythes et Scots...) , qui prévaut lorsqu’il s’agit d’aborder la dimension, certes invisible mais «subtilement » perceptible, où se tissent les traffics d’influences entre Ciel et Terre.. qui ne pouvaient manquer d’intéresser nos celtes, saturés de préoccupations «magiques ».

Donatien Laurent, en son article sur « le calendrier de Coligny » (http://abp.bzh/id=8460) se contentant de décrire, sans trahir ces théophaniques évidences en guénonisant solsticialement, nous allons profiter de lui pour traverser l’Eurasie : « Deux pôles d'entrée : début de l'an le 1er novembre (en Scorpion) et le 1er mai (en Taureau), début de l'autre semestre // et deux « milieu » de semestres : aux mois intermédiaires : 1er février (en Verseau) et 1er aout (en Lion). Ces 4 mois marquant chez les celtes le début des saisons. Axes transversaux incontournables ».

Il rajoute ceci : « de même que la nuit précède le jour, la phase sombre de l'année précède la claire » ; soit, mais il se pourrait que cette « évidence » en cache une autre, de nature plus «subtile »... qu’il a devinée, lorsque poursuivant son exégèse, il s’émerveille des similitudes entre calendriers celtes et chinois. Allant jusqu’à réquisitionner l’histoire de l’art : «l’apparition du motif des « deux feuilles tête-bèche », est, dans l'art laténien; bien plus antérieure que dans l'art chinois (le Taï Ki taoïste...) soit, dès le Vème avant notre ère. » On a entrevu plus hault l’importance, pour la tradition représentée par Rabelais, de ce 69...

Bien inspiré, cet universitaire décèle donc une troublante parenté entre le calendrier de Coligny et celui qui prévalait en l’antique chine. Même si, dans les pas de P. Duval et G. Pinaud, il reconnaît que l'importance apparente des semestres (et des lunaisons) « claires » et/ou « sombres » « signalent des interférences possibles avec d'autres calendriers antiques, celui de l'inde notamment ». Car, dit-il, « il existe dans ce calendrier indien toute une série d'emboitements à base 5, 12, et 60 qui rappellent ceux que pratique ce calendrier celtique ». Soit, mais manifestement la ressemblance avec la chine l'emporte aisément; et tout bien pesé (comme on le verra plus loin), sans contradiction réelle avec le clair-obscur cher au védisme, car il semble que, tout comme dans le traité du Kalaçakra (où l'obnubilation calendaire est patente) il y ait un type d'astro-logie-nomie pour chacun des 3 niveaux de l'être. Donc, sino-celtisme vrai-semblable : « Mais le plus étonnant est le calendrier de la Chine ancienne qui, outre le fait de commencer aux mêmes débuts de mois que celui des celtes, possède également un système de cycles quinquennaux, et d'intercalations régulières d'un mois les 3ème et 5ème années, c'est à dire aux mêmes intervalles que le nôtre. Noter que le chinois accorde aussi aux 12 premiers jours de l'année entourant le solstice d'hiver, une sorte d'existence séparée. « Une sorte de temps concentré équivalent à la durée entière de l'année », préfigurant les 12 mois de l'année à venir, dit M. Granet. » « L'utilisation qu'il fait des 2 notions complémentaires et alternées de yin et de yang, dont on fait remonter la conception aux 1ers astronomes chinois, pourrait tout aussi bien appartenir à ceux qui ont élaboré le calendrier celtique. »

On se contentera ici de mettre la truffe sous le capot d’une version taoïste de ce calendrier chinois, profitant du fait que cette tradition, certes moribonde, est néanmoins suffisamment vivante pour être perçue dans sa vérité . Et c'est déjà aussi « coton » que chez Rabelais car "la manifestation intégralement comprise entre le Ciel Yang en haut et le Sol Yin en bas peut être conçue comme un chassé-croisé permanent d'actions inverses". J.A.Lavier.

L'uranologie chinoise, courageusement défrichée par L. de Saussure puis Lavier, peinait toutefois à rétablir et justifier astronomiquement des corrélations satisfaisantes (et nécessaires) entre ces repères cycliques et le Yi King, jusqu'à ce que S. Desportes remarque d'étranges « anomalies », grosses de sous-entendus, dans le 1er texte connu de médecine chinoise, le Nei Tching Sou Wen. Il entreprit donc un travail considérable, épaulé par une connaissance approfondie de l'acuponcture et de l'astronomie de position, pour nous livrer le fruit de ses recherches in « L'homme sous le ciel », en 1986. Gentiment, il en a ensuite fait une version grand public, intitulé « Cycles du Ciel et de la Terre ».

Je vous passe les modalités de ces chinoiseries notamment l’importance des cycles sexagésimaux, articulés par les relations entre Saturne et Jupiter (en conjonctions d'oppositions, tous les 20 ans) , le tout rythmé par les conjonctions, tous les 30 ans, entre Saturne et Antares... pour en venir directement au résultat.

On voit d’emblée que ces chinois, comme dit Desportes, « préféraient se fier à du stellaire plutôt qu'à du solaire », car c’est le texte astronomique du Chou King qui donne les repères stellaires pour les véritables débuts des saisons subtiles (flux et reflux des Yin et Yang dans la Nature); soit, comme on va bientôt l’entraver, un calendrier stellaire, invariant par rapport à la précession des équinoxes. Ensuite, il saute aux yeux que l’importance accordée à la Voie Lactée est aussi considérable que par chez nous.

Pour des « raisons » essentiellement symboliques sur lesquelles je ne puis m’étendre ici, ces Fils du Ciel, désireux d’accorder la dynamique régissant leurs Eléments (feu, eau, bois, métal) avec celle du niveau stellaire, où 4 étoiles remarquables scandent les marées du «Chi» cosmique, un axe a été privilégié. Desportes, refaisant le chemin à l’envers pour le décrypter, amène le sujet ainsi :

« Envisageons la question de plus près en remarquant un fait astronomique qui peut nous apporter une solution conforme aux règles de l’analogie. Il existe un plan qui possède une verticalité symbolique par rapport au plan de l’écliptique et permet de définir l’ « axe vertical qualitatif » du niveau stellaire. Ce plan est dessiné par le cercle abstrait que parcourt la Voie Lactée, c’est à dire notre galaxie. Ce cercle qui délimite un plan différent de celui de l’écliptique coupe celui-ci suivant une ligne droite commune aux deux plans, qui s’étend depuis la constellation du Sagittaire aux environ de 18 heures d’ascension droite (proche de l’étoile Gamma du Sagittaire) jusqu’à l’opposé diamétral où elle recoupe le cercle de l’écliptique aux environs de 6 heures d’ascension droite à la limite des constellations du Taureau et des Gémeaux.»

Ca ne vous rappelle rien cet équateur galactique, avec ses deux « gués », comme disent nos chinois ???

Poursuivons notre céleste randonnée : « C’est à dire que cet axe « invariable » (puisque le cercle de l’écliptique et celui de la Voie Lactée sont indépendants de la précession) s’étend depuis le secteur Eau jusqu’au secteur Feu. C’est donc lui qui devient l’axe vertical de notre système calendérique, sur fond de coordonnées galactiques et non plus sidérales.

Notons une concordance importante : si on prolonge cette droite au delà de Gamma du Sagittaire, on traverse le centre de notre galaxie qui se trouve dans cette direction. Donc, cette ligne de rencontre des deux plans (Voie Lactée et écliptique), d’une part est stable, car l’écliptique, même si elle vacille un peu au cours des siècles, coupe toujours la Voie Lactée selon ce même axe, et, d’autre part, elle conserve la même orientation : vers le coeur de notre galaxie. Voici donc que le calendrier stellaire établi et/ou transmis par l’empereur Yao possède une stabilité principielle grâce à un axe vertical naturel, dont le sommet pointe vers le centre de notre galaxie, qui devient symboliquement, en tant que centre de tous les systèmes de calendriers, la Terre, élément de référence de notre système climatique En effet, avec ce calendrier galactique, orienté de cette manière, nous échappons au système de coordonnées variables en fonction du déplacement du point gamma sur l’écliptique au cours des siècles (précession) et nous nous conformons désormais aux coordonnées galactiques qui ne subissent aucun changement. » Et hop !

Ah oui, par Toutatis, j’allais oublier la cerise sur le gâteau ! L’axiologie susmentionnée, combinée avec les quatre phases d’animation du « Chi » cosmique, fait apparaitre ici bas quatre « moments » ou repères temporels privilégiés ; soit «quatre points de rupture dans les cycles (le Ciel) où l’espace organisé (le Sol) est en rapport direct avec « le monde extérieur inorganisé ».

Evidence ainsi énoncée par nos camarades chinois : « Etant donné que la Terre est carrée et le Ciel circulaire, il existe quatre coins de la terre que le ciel ne couvre pas ».

Lesquels « coins » marquant les phases de croissance et décroissance, ainsi que les apogées des dominantes Yang ou Yin, se situent approximativement mais sûrement vers le 6 Mai, le 6 Août, le 5 Novembre puis le 6 Février.

A vot’ service au cas où des infos supplémentaires seraient nécessaires.

« Sous un ciel jamais couvert »

ali von Boron.

 

 

 

 

TEMPS CYCLIQUE

 

 

par Arnaud DULAC

 

 

Le nombre de la bête

Le texte est célèbre : "Que l'intelligent calcule le chiffre de la bête car c'est un chiffre d'homme et ce chiffre est six cent soixante-six. Le "chiffre" est souvent interprété comme étant l'équivalent, en guématrie, du nom de César Néron.

Un point au moins est établi : 666 est le nombre de la bête; ce nombre est le signe de la bête. Mais on peut se demander de quoi la bête elle-même est le signe; et la réponse vient toute seule : la bête est le signe de l'apocalypse, de la fin des temps. D'où par un raisonnement transitif, on parvient à l'idée que le nombre 666 peut être compris comme un signe de la fin des temps.

En dehors de la piste guématrique, se propose une piste mathématique. Et dans cette perspective, il semble que le point intéressant ne soit pas les propriétés arithmétiques particulières du nombre 666, mais plus trivialement, le fait que ce nombre se compose de trois 6.


Le cycle des réincarnations de Pythagore

Dans les Théologoumènes arithmétiques du Pseudo-Jamblique, on lit ceci :
"Les pythagoriciens Androcyde, auteur du traité Des Symboles, et Euboulidès, ainsi qu'Aristoxène, Hippobote et Néanthès, tous biographes de Pythagore, ont affirmé que ses métempsychoses avaient duré 216 ans; qu'après un nombre égal d'années, (soit 216 + 216 = 432), il était à nouveau venu au monde pour une nouvelle vie, comme s'il avait attendu le premier retour cyclique du cube du nombre 6, qui est principe générateur de l'âme, en même temps que nombre récurrent en raison de sa sphéricité." La suite du fragment nous apprend que, 432 ans avant son incarnation sous le nom de Pythagore, il avait été, à l'époque de la guerre de Troie, le héros Euphorbe; tandis que Diogène Laërce nous présente une version un peu différente de l'histoire, selon laquelle, entre les avatars Euphorbe et Pythagore, il se serait incarné dans deux autres personnages.

"Comme s'il avait attendu le retour cyclique du cube de 6". En effet 216 = 6x6x6.
Ce qui nous conduit à nous demander si, derrière le chiffre de la bête et celui des incarnations de Pythagore, ne se cacherait pas le souvenir d'une même antique doctrine du temps cyclique.


Les quatre yuga

La tradition de l'Inde ancienne mesure l'histoire du monde sur une échelle déroutante aux yeux de la cosmologie moderne, puisqu'elle aboutit pour notre monde à un décompte de plusieurs millions de milliards d'années. En réalité, elle n'est pas unanime pour l'intégralité du calcul. La principale incertitude concerne la durée du cycle de la grande année, appelée manvantara, "cycle de Manu". Mais le calcul comprend des subdivisions de temps qui, elles, font l'objet d'un accord unanime, comme la théorie des quatre "âges", ou yugas, qui a son équivalent dans les théories plus occidentales des quatre âges-métaux. Ces âges sont appelés: sat-yuga, treta-yuga, dvapara-yuga et kali-yuga. Concernant leur durée, citons un traducteur moderne du Mahabarata, qui s'appuie lui-même sur les données du théoricien Aryabhata :
"La durée des quatre âges se calcule à partir de celle du sat-yuga : ainsi la durée du treta-yuga est égale aux trois quarts de celle du sat-yuga, celle du dvapara-yuga, à la moitié de celle du sat-yuga, et celle du kali-yuga, à un quart du sat-yuga." Les quatre âges se succèdent donc en progression arithmétique décroissante, du plus long au plus court, selon une proportion : 4, 3, 2, 1, dont on remarque qu'elle est l'inverse de celle de la tétractys. La tétractys des quatre yugas et celle de Pythagore se trouvent donc, l'une à l'égard de l'autre, dans le rapport qui est celui des deux triangles opposés du sceau de Salomon.

Souvenons-nous que la tétractys était conçue par ses adeptes comme l'image des quatre "moments" de la construction de l'espace : point, ligne, surface, volume. Ce qui est impliqué ici, c'est donc une symétrie de nature supérieure dont l'énoncé pourrait être le suivant : "L'ordre selon lequel le temps se replie est identique à celui selon lequel l'espace se déplie." Proposition qui aboutit à définir le temps comme l'inverse de l'espace, comme si le temps et l'espace n'étaient que les deux revers d'une même chaussette. Les implications d'une telle conception ne peuvent être sondées ici, mais on peut  s'arrêter sur deux points importants. Le premier, c'est que si la synthèse de l'espace réside dans son commencement, la synthèse du temps réside dans sa fin. Le second, qui est une conséquence du premier, c'est que la détermination du cycle global dépend uniquement de celle du kali-yuga. Et si l'on demande maintenant quelle est la durée du kali-yuga, qui n'est autre que l'atome ou l'unité de base de la Décade formée par l'addition des quatre âges, elle équivaut, selon Aryabhata, à 432 000 années de la vie humaine.

Dans un article qu'il a consacré à la question, René Guénon explique que les séries de zéros qui terminent ce genre de comput sont une vieille ruse propre à l'enseignement des doctrines ésotériques, et destinées à cacher aux regards indiscrets, en les entourant de nébulosités indéfinies de zéros, les nombres réellement pertinents. Selon lui le nombre pertinent est 4320. Il nous semble qu'il aurait pu, dans cette voie, aller un peu plus loin, - à moins qu'on ne puisse le soupçonner de faire usage, pour son propre compte, de la même prudence qu'il a démasquée chez d'autres. En effet le nombre 4320 n'a guère de propriété remarquable, hormis celle de constituer une décade de 432.

De cette manière, on se retrouve face à une théorie du temps cyclique qui ressemble aussi bien à celle des vies de Pythagore, qu'à celle de l'Apocalypse, à savoir : "Le chiffre de la fin des temps (dans le système indien : du kali-yuga) est égal à (6x6x6) + (6x6x6)."

Cette interprétation semble justifiée par une autre raison, qui est l'omniprésence, dans la tradition indienne, d'un "petit cycle" 6+6+6 (=18) qui semble être, à l'échelle du temps "historique", le correspondant du cycle 6x6x6 intervenant à l'échelle du temps cosmique. Signalons pêle-mêle : les 18 incarnations de Siva, les 18 livres du Mahabarata incluant, automorphiquement, les 18 chants de la Bagavad Gita, mais aussi les 18 jours de la bataille cataclysmique qui marque la fin de l'épopée.. - Dans le même ordre idée, on peut se souvenir qu'Héraclite estimait la durée de la grande année à 18 000 ans.




Les marches du temple de la dive


"Comme s'il avait attendu le retour cyclique du cube du nombre 6, qui est principe générateur de l'âme..."

Dans son essai sur l'ésotérisme de Rabelais, Claude Gaignebet remarque que "la descente au Temple (de la Dive Bouteille) s'effectue par des marches en spirale gauche au nombre de 108, nombre mystique qui selon Platon dans le Timée, engendre l'âme du monde. Gaignebet ajoute quelques remarques sur ce nombre 108. Dans un miroir, il s'inverse en 801 qui est la valeur numérique des lettres alpha (1) + oméga (800). Les 108 vers du Raven d'Edgard Poe. Mais revenons au texte de Rabelais qui figure au chapitre 36 (6x6) de son cinquième et dernier livre.

La descente se fait selon un rythme qui est : une marche, un pallier, deux marches, un pallier, trois marches, un pallier; et ainsi "à travers deux tétrades pythagoriques", l'une pour la dizaine, l'autre pour la centaine, à quoi on ajoute "le premier cube" (8), pour arriver à 108. Si l'on considère que les voyageurs auront plus tard à remonter l'escalier dans l'autre sens, c'est un total de 216 marches (6x6x6) qu'ils auront franchi au cours de leur voyage.
Rabelais nous compte donc un voyage initiatique, processus dont on sait qu'il est, universellement, assimilé à celui d'une mort et d'une renaissance, en y associant les idées de descente et de remontée, mais au lieu que le cycle se développe, comme les réincarnations de Pythagore, par un trajet aller-retour de 216 (= 432), il se développe par un aller-retour de 108 (= 216), dont il nous précise que "c'est la vraie psychogonie de Platon, tant célébrée par les Académiciens et tant peu entendue".
Ensuite, Rabelais nous invite à diviser ce nombre de 108 par deux, suivant les instructions platoniciennes. Mais avant de s'arrêter à ce niveau arithmétique de 54, un mot sur les propriétés du nombre 108. Le caractère automorphique du nombre 108 repose sur le rapport : 6x18 = 108. Le nombre 108 peut être compris comme un cycle de valeur intermédiaire, composé de 6 petits cycles de la forme additive (6+6+6). Dans le problème général de la grande année, il peut donc s'interpréter comme le niveau où s'effectue l'intégration des petits cycles (6+6+6) dans le grand cycle de la forme (6x6x6).


L'âme du monde

La psychogonie est un célèbre passage du Timée de Platon dans lequel il nous est expliqué comment le Démiurge - le dieu artisan de l'ordre du monde - s'y est pris pour créer l'âme du monde. La première partie est d'interprétation difficile, de l'aveu assez général de ses traducteurs, et aucune des traductions que nous avons pu en lire ne nous paru en donner un sens pleinement satisfaisant. Voici ce qu'il nous a semblé en comprendre. Le démiurge met en oeuvre une pâte composée d'un matériau dialectique. Du Même et de l'Autre, il a tiré par mélange une troisième forme, intermédiaire. Mais ce premier mélange constitue un matériau inerte. L'autre étant rebelle au mélange, il faut user de contrainte. Il reprend donc, dans les mêmes proportions, les trois éléments dont il dispose maintenant, de façon que le matériau intermédiaire - qui est la Réalité - soit désormais le lien entre le Même et l'Autre. "Des trois termes il n'en fit qu'un; et derechef, le tout ainsi obtenu, il le distribua en autant de parts qu'il convenait, chacune toutefois demeurant un mélange du Même, de l'Autre et de la Réalité."
Le démiurge divise ensuite le mélange en portions dont les rapports correspondent aux intervalles musicaux. Il fait d'abord sept parts, dont les grandeurs correspondent aux nombres : 1,2,3,4,8,9 et 27 (= 54) (= 108/2).
Ces proportions servent à Platon à construire un système musical fait de cinq tons majeurs, tous égaux. Le système est conçu au moyen d'un "comma" de 256/243 (soit 28/35), qui n'est pas propre à Platon puisqu'on le trouve notamment chez le pythagoricien Archytas. On sait qu'en mathématique, les problèmes de gammes musicales sont analogues à ceux des calendriers, notamment, de par la nécessité d'ajuster les nombres à la réalité au moyen d'un certain "comma". Or on se trouve là visiblement devant un exemple d'un problème de gamme posé dans les mêmes termes qu'un problème calendaire ou un problème cosmologique. En effet, de cette série de nombres harmoniques, disposés sur une échelle graduée, le démiurge fait, en la coupant dans sa longueur, deux bandes parallèles (d'où le total de 108 auquel on parvient), dont il forme respectivement l'équateur et l'écliptique.

Les nombres 27, 54, 108, 216 et 432 sont tous multiples de 9; et comme tous les nombres de cette famille, ils partagent la propriété que la somme des chiffres qui les composent est toujours égale à 9.


Bien d'autres faits pourraient être versés au même dossier. Ainsi le calendrier babylonien de Bérose, comme celui d'Aryabatha, fait intervenir le nombre 432; tandis que le nombre 108 intervient, quant à lui, dans la "maison du calendrier" de la tradition ésotérique chinoise (Voir Marcel Granet : La religion des chinois).

 

 

 BLOC-NOTES

 

 

 

de Rémy BAYOUD

 

 

 

 

Chère Maryvonne,

 

Ali vient de nous livrer une petite étude tout à fait intéressante, et qui devrait te plaire. A noter cette idée d'invariance...

 

Je ne sais pas si je t'avais parlé du folkloriste Philippe Walter, mais il donne beaucoup d'indications calendaires. Il relève notamment l'apparition périodique, tous les quarante jours, d'un géant dans les rites annuels pré-chrétiens. Ce genre de période m'intéresse pas mal. Elle m'étonne aussi dans la mesure où le calendrier compte les mois "avec la lune", contrairement par exemple aux Aztèques qui divisaient l'année en mois de 20 jours. Reste que les Celtes semblent avoir utilisé (au moins en partie) une numération vigésimale, dont la langue française garde quelques traces. Lu également, que l'alphabet oghamique, probablement druidique, composé originellement de 20 caractères, aurait dérivé d'un système de 10 lettres-doubles.
Il me semble qu'on peut imaginer ce genre de division de l'année, où les ---- représentent une période fixe de 40 jours, et --- recouvre la période de 30 jours de Canicule. Les deux sauts de ligne représentent des intervalles variables (comput lié à la lune) mais dont la somme vaut environ 50 jours.
St Martin (11 nov) ---- Sol Invictus ---- Chandeleur 

Mardi-Gras ---- Pâques ---- Ascension

St-Jean ---- Début de Canicule (Lion astrologique) --- Fin de Canicule ---- St Michel (29 septembre)
Soit (à peu près) : 30 + 7 x 40 + 50 = 360

Avec 8 temps forts (rose des vents) répartis autour des 4 grandes fêtes (sinusoïdales) + 4 points remarquables (solstices et équinoxes) co-sinusoïdaux, c'est à dire en quadrature de phase. Car parmi les 10 temps précédents, la Canicule est dédoublée, et d'une manière un peu différente Chandeleur et Mardi-Gras.

 

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De mon côté, je viens de prendre connaissance d'une étrange métrologie, baptisée "géométrie mégalithique" : fondamentalement elle énonce une division du cercle en 366 degrés. Ce qui expliquerait certains alignement géographiques des anciennes cités, et permettrait de retrouver un étalon appelé "yard mégalithique" (0,8296 m) utilisé dans les constructions anciennes.

Butler et Knight affirment que le yard mégalithique est un nombre fondamental du soleil, de la lune et de la terre : en effet, la seconde d'arc mégalithique mesurée à l'équateur terrestre mesure près de 366 yards mégalithiques [note de Rémy : c'est en divisant les 40 000 km de la circonférence terrestre par 366 qu'on retrouve le yard] la seconde d'arc lunaire mesurée à l'équateur lunaire mesure près de 100 yards mégalithiques, et la seconde d'arc solaire mesurée à l'équateur solaire mesure près de 40 000 yards mégalithiques.

Dans un ouvrage paru en 2007, l'auteur français Sylvain Tristan affirme que les nombres 366, 40 et 10 sont non seulement fondamentaux à ces trois astres, mais également au corps humain et à l'eau : dans le système de mesure des températures Celsius, fondé sur l'eau et directement lié à la base 10, la température du corps humain est en moyenne de 36,6 degrés (d'après la médecine russe qui considère la température mesurée sous l'aisselle), et la température de densité maximale de l'eau serait de 4,0 °C (elle est en fait de 3,98 °C) 

En dehors de ces informations, que je suppose pour le moment factuelles, l'idée peut paraître étrange de privilégier un tel nombre, face au "champion" 360. C'est alors que je me suis souvenu que Plutarque aurait écrit dans le Silence des Oracles :
"Pythagore disait que ni le nombre des mondes n'est infini, ni qu'il n'y en avait pas un seul, ni cinq, mais cent quatre vingt trois ; qui étaient ordonnés et rangés en forme triangulaire, duquel triangle chaque côté contenait soixante mondes, et que des autres trois, chacun était à l'un des côtés du triangle, et qu'ils s'entretenaient tout à l'entour ni plus ni moins que ceux qui sont en une danse, et que la plaine qui est au-dedans du triangle, était le fondement et l'autel commun de tous ces mondes, qui s'appelait le champ ou la PLAINE DE VERITE, etc..."
M'as-tu déjà parlé de ce nombre ? Je n'en ai pas souvenir. Dom Neroman vient à mon secours, avec son concept de "roues magiques", que j'expose seulement dans les grandes lignes. Il s'agit de roues de nombres "générées" par un nombre premier, qui ont selon les cas certaines propriétés spéciales. Par exemple, la roue-60 générée par l'insécable G=61, ou la roue-108 par G=109. La construction de cet auteur consiste à insérer les roues (1 - 60) & (1+G - 60+G) & (1 + 2G - 60 + 2G) aux coins d'un triangle, dans l'écrin d'une roue-180. Le générateur G jouant en effet le rôle de "zéro logique" dans une roue, et la nécessité de différencier les nombres-mondes, conduit à réitérer la roue-60 de base avec un décalage modulo G. Ce qui implique des trous : G=61, 2G=122 et 3G=183 sont absents, et comme au centre de chacune des roues.
En quelque sorte, cet écart entre 360 et 366 ne serait que la sextuple conséquence du "jeu du un" entre 60 et son générateur insécable 61 : le caractère premier de 60+1 est donc une propriété remarquable de plus.

 

Illustration par les cercles colorés + 6 cercles blancs... (pavage de Torres-Heredia Julca).

 

 

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Simple remarque à propos du 1+...

Je lis que la Terre effectue 365 tours 1/4 sur elle-même au cours de sa révolution solaire ; en réalité, 366 tours 1/4 car sa révolution autour du soleil cache un tour sur elle-même : ce qui me semble juste.
Donc, en logique naturelle, pour un mobile en rotation autour d'un foyer et de son axe propre, ce 1+ pourrait correspondre à une rotation propre extrinsèque, liée à cet "engrenage" des deux rotations.

 

 

 

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Au fait, j'avais lu une chose intéressante sur le système sexagésimal : c'est que les diviseurs de 60, qui se groupent évidemment par paires (1-60 / 2-30 / 3-20 / 4-15 / 5-12 / 6-10) ont deux propriétés intéressantes :
- d'abord leur nombre important, qu'on peut également écrire 12 = 10 + 2 (extrémités qui ne sont pas tout à fait des diviseurs, dans l'esprit des nombres premiers par exemple). Ou encore : Poséïdon ("base" 1-60) et ses 5 paires de jumeaux... Quoique ce nombre n'ait rien de hors-norme, voir le graphique (nombre de diviseurs en ordonnées):

- ensuite, les diviseurs sont consécutifs : 1-2-3-4-5-6 et situés sous le "breakpoint" qui est  (dont le sens est bien sûr lié à l'appariement des diviseurs). Il se trouve que 60 est l'unique entier avec un nombre aussi grand de diviseurs consécutifs situés sous le point de rupture. Il est intéressant de remarquer ce "décrochage" au niveau du 7, qui fait écho à l'heptagone régulier non constructible à la règle et au compas.
- enfin, une remarque de Carteret bien utile, liée à la génération du 10 et du 12. Partant des "six directions", on marie les 2 pôles verticaux avec la croix horizontale et son centre, soit 2 x (4+1) = 10 ; réciproquement on marie les 4 directions à l'axe vertical avec son centre, soit 4 x (2+1) = 12. Mariages de 2x5 et 3x4 d'ailleurs illustrés par les couples "canoniques" du tarot (Papesse-Pape, Impératrice-Empereur). De là, comme dans le calendrier chinois, on peut générer le 60 par "engrenage" du 10 et du 12 (= le PPCM).

 

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Coup de théâtre côté cosmologique. Voilà sa genèse. Je m'intéresse pas mal aux étoiles depuis quelques jours, notamment à la voie lactée et Orion-Sirius. Piobb, un chercheur des plus sérieux eu égard aux mathématiques, écrivait dans sa "Vénus" :

Notre certitude d'hommes terrestres est limitée en quatre plans ou systèmes : le système terrestre ; le système Terre-Lune ; le système solaire ; le système alcyonaire.
Les quatre cercles célestes qui correspondent à ces systèmes (qui en sont les équateurs) s'appellent : l'horizon ; l'équateur céleste ; l'écliptique ou orbite terrestre ; l'orbite du soleil autour de l'astre, centre de toutes les étoiles de première grandeur, que les travaux de M. Charles André ont démontré être Alcyone des Pléiades.

Sur la toile, seul le new-age colporte ce genre d'idées exotiques sur Alcyon. 

J'ai néanmoins fini par trouver un article en anglais qui commence en disant que les systèmes stellaires multiples sont la règle dans l'univers, et qu'il est pour le moins étonnant que notre Soleil fasse exception. Je te passe les détails mais l'idée est avancée (de manière crédible) que Sirius (en lui-même déjà système double ou triple) puisse être compagnon du Soleil. Avec moins de détails, que Sirius orbite autour d'Alcyon, qui à son tour orbite le centre de la galaxie (situé dans la direction du Sagittaire sur l'écliptique).
Mais le plus étonnant dans cette histoire et auquel je ne m'attendais pas, c'est que le modèle de précession, basé sur la perturbation de l'inclinaison de l'axe terrestre à cause du couple des forces luni-solaires, est remis en cause. En effet, en supposant simplement que le Soleil suive une orbite circulaire, on observera une précession. Nous sommes d'ailleurs forcés à revoir le modèle précédent qui nécessite beaucoup de paramètres ad hoc pour coller aux observations. Ce sont des gens qui me paraissent sérieux qui avancent cela. En particulier, on observe l'invariance des levers et couchers héliaques de Sirius dans le calendrier.
Bref, tout cela me plaît dans la mesure où je ne comprenais pas pourquoi les architectes des anciens monuments cyclopéens notoirement astrosophiques, se seraient donnés tant de peine pour des résultats hautement périssables.

 

 

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Connais-tu cette machine ? Quelques longueurs au début, mais ce documentaire est passionnant !

 

 

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Levers héliaques noté "HR" (heliacal rising)  

 

Un assaut bien mené m'a permis de faire des découvertes intéressantes :
La carte est organisée comme suit :- le centre (EP) correspond au pôle de l'écliptique (cercle rouge)- le premier cercle correspond au trajet des étoiles polaires : j'ai indiqué 3P, 1P et 2P comme étoiles que je prends comme pôles à T = 1, 2 et 3.- le cercle le plus extérieur correspond en quelque sorte à l'horizon maximal visible au cours de la Grande Année, à la latitude choisie ; toutes les étoiles visibles au cours du grand cycle ne le seront pas forcément à n'importe quel moment. Ainsi de Sirius dans ce dessin, qui est trop proche du bord pour être visible pendant toute la Grande Année.- le cercle annoté 1 effleurant le grand cercle, correspond à l'horizon à T=1 ; je n'ai pas dessiné les horizons H2 et H3

 

Bon maintenant je peux chercher les dates de lever héliaque de Sirius, à l'aide d'une alidade elliptique (inspirée de mon cherche-étoile) : cela correspond à l'intersection de mon ellipse, centrée sur le pôle au temps choisi, avec l'écliptique, lorsque le côté Est de l'ellipse borde Sirius.

 

 

Pas évident à décrire avec des mots, mais ce qui est intéressant ce sont les résultats :

Entre T = 1, 2 et 3, ce qui balaye le quart du cycle (environ 6000 ans), les levers héliaques sont confinés sur une zone restreinte de l'écliptique, probablement pas plus large qu'un demi-signe. Le mouvement est d'abord prograde puis rétrograde.
Evidemment, les étoiles écliptiques subissent pleinement la précession, comme l'indiquent les points "gamma". L'effet de confinement est lié au fait que Sirius n'est pas très haute dans le ciel à la latitude choisie (je me suis calé sur 45° Nord). Au niveau de l'Egypte, Sirius est néanmoins plus haute, mais on peut s'attendre à un effet qualitativement similaire.
J'espère ne pas t'avoir ennuyée, ni embrouillée.

 

 

 

 

DISCUSSION SUR LE PENTAGRAMME ET LE NOMBRE D'OR

AVEC LYSANDRE

 

 

La discussion débute par une remarque sur cette construction due à Yvo Jacquier, qui illustre l'article Vesica Piscis

 

 

 

 

Le 15/02/2017 par Lysandre

 

Intéressante, la construction avec le pentagramme. Si on l'interprète en géométrie projective, cette figure possède une signification bien précise, puisqu'elle équivaut à démontrer que l'on peut construire la polarité associée aux cinq sommets d'un pentagone quelconque. Démonstration belle comme du Bach, que je viens justement d'achever cette nuit...

 

 

 

Le 15/02 par Dylan G.

 

Ah oui ? Bravo ! En tous cas, on sent que cette figure doit gagner beaucoup à être interprétée projectivement, car il y a là une densité vraiment suspecte de "droites concourantes" et de "points alignés".

Je remarque que l'on a 10 points, comme dans la configuration de Desargues, et comme dans la tétractys. Sur ces dix points, 4 sont incidents au vesica piscis "intérieur", 4 autres au vesica "extérieur", les 2 derniers, les points AA', donnant l'axe de symétrie du même vesica. Au centre, on a le triangle d'or de Penrose avec la première étape de sa division : 1 obtus (en jaune, dans le dessin de Jacquier), 2 aigüs (en rose). Dans votre figure, il suffit, pour avoir ces trois pavés, de joindre C' à B', et B à E.

 

 

 

Le 15/02 par Raymond B.

 

Ah oui c'est bien intéressant.

Vu comme ça le théorème de Desargues m'a évoqué l'ennéagramme, où le "point de fuite" des deux triangles jouerait le rôle de centre caché qui règle le déploiement des 6 points en araignée 1/7 = 0.142857 pendant que les 3 points alignés sont imagés par le triangle 3-6-9. 

 

 

Compte tenu de cette remarque, et par analogie avec Desargues, j'aurais eu tendance à voir, dans votre figure, deux lignes de 3 points concourir au point A (point rouge) pendant que les 2 épingles fichées dans les paumes de l'étoile, "s'alignent" au point A' en tant que formant un obtus "3-6-9". Les deux lignes forment un lambda avec le point A pour aiguille.

 

 

 

Le 15/02 par Raymond B.

 

Un peu dans le même "esprit", je voyais ceci chez Ouspensky le fidèle de Gurdjieff.

L'élément intéressant étant bien sûr la représentation avec 2 lignes parallèles. Parce que "projectivement" ça fait le joint entre les polygones et le point, ce dernier étant à l'infini (ce qui serait une manière élégante de concilier la mystique du Point avec celle... de son retrait). La ligne double pouvant à la limite être envisagée comme une figure fermée ; d'autre part, elle évoque ainsi "les eaux" ou protomatière des cosmogonies.

 

 

 

 

Le 17/02 par Lysandre

 

Mes démonstrations sont fondamentalement simples, elles consistent à "voir" projectivement la figure, par exemple, et tout s'éclaire de soi, sans recourir à de lourds appareillages algébriques. C'est magique, dans le bon sens du terme.

La GP est en soi une discipline très facile, qui permet de fonder toute la géométrie à partir de rien (trois axiomes ! pour toutes les géométries, euclidienne, comme non-euclidiennes, et même la géométrie différentielle, finalement... enfin), et tout le monde en principe peut l'apprendre, c'est sa simplicité même qui est désarmante. Mais elle n'est plus enseignée nulle part ! les matheux même ne la comprennent plus, ou plus assez... vous n'avez pas idée.

Bien sûr, il peut résulter de là des adaptations importantes pour les problèmes de pavages, etc. un pavage du plan projectif, c'est quelque chose de possible, et on en déduira forcément plusieurs pavages possibles du plan affin/euclidien, selon où l'on place la droite de l'infini, etc.

Ce sont des perspectives magnifiques, mais on ne peut progresser là-dedans qu'à petits pas.

 

 

 

Le 17/02 par Lysandre

 

Comme vous me paraissez capable de comprendre ces choses, que j'étudie avec émerveillement, je ne vois pas pourquoi je ne vous ferais pas profiter d'un petit exercice auquel je me suis livré sur deux figures intimement liées : je vous poste donc, ci-dessous, les deux, à savoir le diagramme de Petersen, que je me suis amusé à colorer avant de nommer ses points par des lettres, et la configuration de Pappus, dont j'ai nommé les points et droites de façon qu'ils correspondent au diagramme : en rouge, les points, en bleu les droites, et une boule rouge reliée à une boule bleue signifie : ce point appartient à cette droite. On obtient ainsi la configuration désirée, comme vous vous en apercevrez si vous essayez par vous-même, et de la façon dont je l'ai dessinée, on voit bien à quoi elle correspond : si la configuration "marche" ("holds" comme ils disent en anglais), alors deux perspectivités de mêmes centre et axe commutent, et donc le corps (des coordonnées, qui sous-tend le plan), est commutatif.

C'est la clef de toute la géométrie plane commutative, la "bonne" géométrie, bien ordonnée, que nous connaissons... elle tient toute entier dans le diagramme de P, figure bien plus symétrique et élégante que la configuration elle-même... mais il faut aimer ce qui est simple, et pouvoir apprécier l'esthétique des maths.

J'affirme de plus, ce qui est original, que le point au centre a une signification : si on le colore en une troisième couleur, vert par exemple, il correspond au plan lui-même, et signifie alors que si trois droites non concourantes/trois points non alignés, appartiennent à un même plan, alors toute la configuration est plane.

          

 

 

 

Le 17/02 par Dylan G.

 

Grand merci, Lysandre. Nous apprécions beaucoup cette gnose. En plus de la beauté de ces figures, l'exercice qui consiste à passer du diagramme à la configuration, et inversement, est particulièrement plaisant pour l'esprit.

Je remarque simplement, au passage, que si on introduit un "chrisme" au centre du graphe associé au solide de Dürer, on retrouve votre graphe de Petersen-Pappus. Autrement dit : Dürer + chrisme = Petersen.

 

       +         =   

 

 

 

 

Le 18/02 par Raymond B.

 

Y'a quand même une question que je me pose, peut être pas sans rapport avec la remarque sur le point vert... 

Lysandre parle de la "géométrie plane commutative" comme étant la "bonne géométrie" que nous connaissons. Cette adéquation tient probablement plus pour lui à la notion de commutativité. Cependant, je me demande si "bonne géométrie" n'implique pas également planéité. L'idée, rapidement, serait que la géométrie solide "concrétise" ou développe (disons "une fois pour toute") la pellicule des figures 2D ; tandis qu'inversement, les figures planes sont des "abstractions" ou projections des volumes (mathématiquement : la projection est "surjective" ?), avec un statut quelque peu idéal et matriciel. Si la GP avait bien ce statut d'incontournable, alors dans le cadre de "l'espace naturel" RxRxR on se placerait naturellement dans un plan projectif, n'est ce pas ?

De manière un peu plus claire : l'opération de projection d'un volume sur une surface (comme notre rétine) est "surjective" c'est à dire que plusieurs corps peuvent "s'abstraire" d'un même "patron" plan. On pourrait alors dire que la figure plane est surdéterminée, et que c'est une forme d'interprétation ("réduction du paquet d'ondes") qui donne corps au volume. Pour parler comme Lacan, préserver cette équivocité serait alors nécessaire pour que la géométrie reste un lieu de dialogue avec l'inconscient, qui ignore le langage univoque de la logique aristotélicienne. La géométrie solide, sans être inutile à titre d'illustration ou de choix interprétatif particulier, ne possèderait pas les mêmes vertus "initiatiques" ou universelles que la géométrie plane. Hypothèses, bien entendu.

 

 

 

Le 18/02 par Lysandre

 

En n'oubliant pas, tout de même, qu'on peut faire de la géométrie projective en 3D, en 4D ou plus... il y a de la GP en toutes sortes de dimensions. Simplement, on commence par l'étude du plan parce qu'elle est plus "simple", tout en recelant la possibilité de géométries plus bizarres, "non-arguésiennes", donc nécessairement planes, mais les "plans" en questions sont en fait des structures très "exotiques"...
Par ailleurs, quand on étudie la géométrie dans l'espace (GP en 3D), il est naturel de se référer constamment à l'étude du plan, comme dans le plan on se réfère à l'étude de la droite... ainsi, quand j'étudie une quadrique en 3D, je vais le faire par le biais de ses sections planes : je vais la "découper en tranches" planes, étudier ces tranches, puis la réassembler en quelque sorte... et c'est comme ça que j'aurai une vision d'ensemble de la forme.

On peut certes penser aussi aux "niveaux du langage" comme à des "plans de coupe"... l'opération de "couper par un plan" est fondamentale en GP de l'espace, et on peut sans doute y voir une analogie avec d'autres disciplines.
En maniant toutefois les termes et les analogies avec prudence...

 

 

 

Le 18/02 par Dylan G.

 

La linguistique guillaumienne (héritière de Gustave Guillaume) définit toutes les structures profondes du langage au moyen de coupes transversales successives, effectuées le long d'un processus spatio-temporel, une sorte de psychomécanisme, ou de "geste" linguistique fondamental, qui lui reste toujours le même.

 

Emoustillé par ces histoires de pentagramme, je viens de relire avec bonheur la belle étude que Charpentier a consacrée au Vesica piscis (l'oeuf du monde, à lire ici). Dans la partie mathématique (pages 19-26), il évoque en particulier les constructions de Dürer avec le pentagramme, avec des considérations très intéressantes, puisqu'il associe cette construction avec les idées de vibration, de pulsation, de flamboiement, d'une part ; et corrélativement, avec des considérations "rétiniennes" (l'oeil qui voit tout), idées qui me semblent résonner avec tes propos, Raymond.

En supposant une dualité entre "flamme" et "rétine", entre "production" et "réception" de la lumière.

...

Tes remarques sur la planéité m'ont fait penser à une autre chose encore, dont personne ne parle jamais, mais qui m'a toujours plongé dans une profonde perplexité.

Sur le plan cosmologique, les groupements significatifs ne sont pas des sphères, mais des disques : des plans. L'écliptique est un plan, la voie lactée est un plan. Et en suivant ce chemin, on constate qu'à chaque fois, l'opération qui consiste à reconduire un objet (lui donner ses coordonnées) dans le groupe "monadique" supérieur auquel il appartient revient à le ramener sur un plan. Le processus étant "itératif" dans le sens du macrocosme, que se passe-t-il si on suppose que la dernière opération (celle reconduisant les parties au tout) est identique à toutes celles qui l'ont précédé? Il se passe que l'univers aurait essentiellement la structure d'un plan, duquel déborderaient au mieux quelque cloques monadiques originelles, matrices de toutes les monades inférieures. Et en poussant le vice un peu plus loin, on peut se demander si la procédure "d'exhaustion" qui conduit à faire disparaître "l'illusion" de la profondeur dans le sens du macrocosme, ne produirait pas un résultat semblable en sens inverse, dans une enquête sur les microcosmes, contraignant ces cloques mêmes à se résorber sur leur "équateur", et l'univers entier à se révéler n'être qu'une crêpe intégrale, dans laquelle rien n'aurait jamais connu la troisième dimension...

 

 

 

Le 20/02 par Raymond B.

 

"Soufflante" ta remarque sur la crêpe cosmique.

Ces réflexions sur le plan m'ont fait penser à un autre problème, qui concerne lui l'organisation de la science.

Parallèlement à l'entreprise scientifique de réduction, justifiée jusqu'à un certain point, chaque échelle possède un "plan de consistance" propre, avec un vocabulaire opératoire taillé sur mesure. Ce qui rend la biologie en partie rebelle à la chimie, elle même en excès sur la physique, etc...

Voilà la préface d'un cours de thermodynamique, que je rends en résumé, et qui pose des mots sur ce "changement d'échelle" créateur, qui serait peut être analogue à un "interdit de l'inceste" épistémologique, un partage des eaux entre conscient et inconscient, ou entre niveaux de réalité à la Nicolescu.

 

" Les concepts de chaleur, énergie interne, entropie, sens privilégié d’évolution, apparaissent à chaque fois que pour un système mécanique, l’on fait une division entre deux niveaux d’échelle, et un partage de notre connaissance (et de notre ignorance) entre ces deux niveaux. Le passage d’une échelle à l’autre ne peut en général faire l’économie d’hypothèses de nature statistiques supplémentaires par rapport à l’axiomatique du niveau mécanique de départ.

Au niveau de ce que l’on appelle mécanique, on manipule des points matériels, des forces, de l’énergie, etc... On envisage ensuite des ensembles constitués d’un grand nombre de ces points et l’on souhaite traiter ces ensembles en utilisant les mêmes concepts qu’au premier niveau. On appelle thermodynamique cette théorie de deuxième niveau.

C’est dire que selon nous, la thermodynamique est avant tout la science du changement d’échelle, et non seulement la science des transformations de l’énergie. La mécanique rationnelle montre déjà des transformations d’énergie (...) Quand une réaction chimique dégage de la chaleur il s’agit du même phénomène, un peu plus caché, où une énergie potentielle électromagnétique est en partie transformée en énergie cinétique d’agitation des molécules du système (...) Cette distinction d’échelle permet d’établir toutes les notions originales à la thermodynamique par rapport à la mécanique et éclaire aussi les questions relatives au temps et à son irréversibilité, au hasard, etc..."

 

 

Le 20/02 par Lysandre

 

Merveilleuse, votre trouvaille sur le solide de Dürer! 

Vérification faite, le solide de Dürer et la configuration de Pappus ont effectivement le même graphe. Cela veut dire que le solide de Dürer lui-même peut être vu comme un graphe de Pappus en trois dimensions ; et pour retrouver les 3 lignes manquantes (chrisme), il suffit de joindre les milieux des arêtes opposées des deux faces triangulaires que comporte le solide.

 

 

 

Le graphe correspond au solide vu en projection. On distingue bien les deux faces triangulaires et les six faces pentagonales.

J'y vois tout de suite diverses interprétations possibles... S'il existe une configuration non planaire qui correspond au même graphe, évidemment, il doit y avoir un lien entre le solide et la configuration, du coup... je note qu'on a dans ce solide des pentagones inscrits à une même quadrique (qu'on l'appelle "sphère" ou autrement, peu importe), donc inscrits aussi aux coniques selon lesquelles leurs plans coupent la sphère... et vous savez qu'un pentagone détermine entièrement sa conique inscrite, donc il y a là quelque chose...

NB. Si, comme je le pense, il y a bien une signification au point central de Petersen - le plan - alors cela porte le nombre des sommets du  graphe à 19... nombre qui n'est pas indifférent, eu égard à certaines considérations ésotériques...

 

Le 21/02 par Dylan G.

Je remarque que votre 19 semble induire une récurrence de forme : 1+6xn entre

A. Plan de Fano. 1+6x1

B. Plan à 13 points. 1+6x2

et donc

C. Pappus. 1+6x3

Comme si les principales configurations auto-duales de la GP s'enchâssaient l'une sur l'autre, sur fond de nombre hexagonal centré. « Desargues » faisant exception à cet égard.

Le 21/02 par Lysandre

 

Oui, bien sûr, j'avais déjà relié cela à la série des nombres hexagonaux centrés. Cela me paraît la base de tout, du point de vue des développements herméneutiques possibles en tout cas.

 

 

 

Le 22/02 par Dylan G.

 

J'ai comme l'impression que les deux sujets qui vous occupent en ce moment : le pentagone, et la configuration de Petersen-Pappus, sont intimement liés l'un à l'autre. Et ceci me ramène au polyèdre de Dürer, dans sa fameuse version "dorée" construite à partir d'un angle de 72°, sur lequel j'ai glané une petite documentation complémentaire, sur le site que Yvo Jacquier a consacré à ce solide (à visiter ici).

Admis que le polyèdre de Dürer pouvait être vu comme un graphe de Pappus en 3 D, je trouve intéressant que le pentagramme étoilé apparaissent dans cette formulation tridimensionnelle, et décliné harmoniquement sur 3 degrés. Les deux réalités, pentagramme et polyèdre de Dürer, sont intimement entrelacées dans leur structure... au point que ce caillou de Dürer vous a comme un petit air de pierre philosophale.

Le dossier d'images que j'ai réuni comprend. Figure 1 : Le solide - un rhomboèdre, qui est un cube étiré sur l'une de ses diagonales - dont il faut partir pour obtenir le polyèdre de Dürer par troncature de deux petits tétraèdres aux sommets. La face du rhomboèdre est un losange d'angles 72° et 108°, qui peut être regardé comme une variante du losange "vesica piscis", d'angles 60° et 120°; par où on saisit une certaine continuité dans les idées de Dürer.  Figures 2, 3 et 4 : trois représentations de la structure du même rhomboèdre, dans lesquelles apparaissent 3 différents pentagrammes étoilés, dont les segments de référence ont respectivement pour valeur : Phi, 1, et 1/Phi : ces trois mesures déterminant un maillage continu. Je suppose que ces trois valeurs correspondent à trois échelles successives du triangle d'or de Penrose, mais il est intéressant que ce que l'on connaissait comme un problème de "pavage" se présente ici plutôt comme un problème de "maillage". Et je pense qu'il doit être plus intéressant encore d'envisager cela avec vos méthodes projectives, en terme de coniques, etc.

 

      

 

PS : Du coup, le "point vert" est le barycentre du solide de Dürer?

 

 

 

Le 22/02 par Lysandre

 

100% d'accord avec vous; je n'ai rien à ajouter... sinon qu'il est fort possible qu'une partie au moins du travail ait été fait, mais se trouve actuellement dans des ouvrages inaccessibles, anciens, épuisés, conservés dans de lointaines bibliothèques... parfois on gagne du temps à refaire les choses par soi-même, au lieu de chercher des ouvrages de référence à peu près introuvables, et il en existe tant... c'est une donnée avec laquelle j'ai appris à faire. Mais d'un autre côté, je m'aperçois que même dans les ouvrages de référence, les choses ne sont pas toujours aussi bien "faites" que quand je les fais ; de très bons auteurs présentent parfois des démonstrations boiteuses, selon les critères actuels ou ceux qu'on m'a appris... même chez mon maître, l'immense Buekenhout, j'ai réussi à trouver une démonstration qui ne me satisfait pas, et j'en ai imaginé une plus "projective" si l'on veut, encore que rien ne dit qu'il n'y avait pas pensé lui-même, mais il avait peut-être ses raisons qui m'échappent...

 

Le "nombre d'or" est un rapport. Mon intention est bien de le "traiter" un jour en termes de birapport, etc. Toujours reconduire le rapport au birapport, comme à ce qui l'engendre, voilà ma règle. C'est vers là que je me dirige, mais je me suis rendu compte qu'il y avait bien des étapes à franchir. Au moins, je commence à voir parfaitement ce que la classe des pentagones dits "réguliers" a de "spécial" au point de vue projectif (cinq rotations identiques, cela n'est pas donné a priori), c'est un bon début, je pense. Lentement mais sûrement...

 

NB rapport/birapport, la façon "simple" de voir le "rapport" c'est de se dire : deux points A, B sur une droite, un 3e point C quelconque peut toujours être vu comme le "milieu" de AB, selon la position d'un 4e point, conjugué harmonique de C par rapport à AB. Si ce 4e est le "point à l'infini", alors C est le "milieu" de AB. La notion de milieu, de médiane, etc. est donc ainsi ramenée à celle de conjugué harmonique, qui est fondamentale. On voit comment le nombre 4 est producteur d'harmonie.

Pour faire court, "conjugué harmonique" se traduit par "birapport = -1"

 

 

 

Le 24/02 par Dylan G.

 

Au sujet de la configuration de Desargues, je me suis fait une remarque un peu du même genre que celle qui consiste à "voir" dans le solide de Dürer un graphe de Pappus. Dans les deux cas, il s'agit d'interpréter une configuration planaire de la GP en fonction d'une formulation tridimensionnelle particulière.

On part de cette magnifique représentation du théorème de Desargues construite sur un tétraèdre, due semble-t-il à Burkard Polster, dans laquelle 4 points correspondent aux sommets du tétraèdre, et les 6 autres aux arêtes du même tétraèdre, tenues "par les milieux". On constate que ces 6 points correspondent aux sommets d'un octaèdre inscrit dans le tétraèdre.

 

 

  

 

Toutes ces relations se retrouvent dans un tétraèdre gnomonique de rang 2, composé d'un octaèdre (ci-dessus en blanc, au centre) et de 4 tétraèdres (ici trois gris et un rouge). L'octaèdre possède bien sûr 8 faces triangulaires, dont 4 sont cachées dans la structure du solide, et 4 visibles à la surface, qui correspondent aux quatre cercles de la configuration de Desargues.

Sous ce regard, on peut m'accorder que le tétraèdre gnomonique de rang 2  est une configuration de Desargues en 3D?

Je trouve que cette représentation tétraédrique de la configuration de Desargues est aussi la plus pertinente pour coordonner Desargues avec la tétractys. En effet les 4 "points-sommets" du tétraèdre peuvent être assimilés au "trépied" de la tétractys; tandis que les 6 autres points, les points-arêtes, ont un rôle de médiation qui permet, au moins symboliquement, de les associer aux six points de l'hexagone.

Le 25/02 par Lysandre

 

C'est "à peu près" ça, sauf que dans la configuration de Desargues en 3D, si 45 est le centre de la perspective, les points 15, 35, 26 respectivement les images des points 14, 34, 24, alors les trois derniers points sont, par exemple, le point x, intersection des droites 15.35 et 14.34.

Le point 13, donné sur l'image, est le conjugué harmonique de x par rapport à 14 et 34. La donnée de l'un permet de retrouver l'autre. C'est comme si on avait combiné une perspective de Desargues avec une réflexion dans le plan 14, 34, 24, pour remettre tous les points "à l'intérieur" du tétragramme.

Sinon, l'octaèdre existerait de toute façon, mais il aurait une forme moins "régulière"...

Cette figure contient donc toute l'"information" nécessaire pour retrouver la configuration de Desargues, mais ce n'est pas exactement ce qu'elle est ; (à moins encore qu'on ne considère les cercles 15, 35, 13 etc. comme des "droites", alors bien sûr...). On a voulu y mettre autre chose en plus, cf. Petersen - Pappus.

Il faudrait que je trouve le temps d'analyser davantage cette figure.

 

 

 

Le 25/02 par Dylan G.

 

Vous écrivez : "... à moins qu'on ne considère les cercles 15, 35, 13 etc. comme des "droites", alors bien sûr..."

Pour moi, c'était une évidence, sans quoi ce que je vous écrivais n'a pas de sens. La configuration doit impérativement compter 10 points et 10 droites, sans quoi le tétraèdre n'aurait pas de pertinence.

Le but de ma remarque n'était pas de faire de la géométrie, mais d'établir une correspondance idéelle, entre Desargues et les points de la tétractys, - ce que permet à mon sens cette formulation tétraédrique (via le tétraèdre gnomonique de rang 2).

Mais je pense que mes explications manquaient de clarté et ça ira sans doute plus facilement avec 3 petits dessins.

 

Figure 2. Dans la tétractys, je nomme "points majeurs" les points ABCD reliés par un trépied, correspondant aux arètes d'un grand tétraèdre vu de haut, et "points mineurs" les points u, v, w, x, y, z  qui parcourent l'hexagone "tournant" sur le même centre que le trépied. Et je constate que rien n'interdit de considérer cet hexagone comme un octaèdre, doté de 4 faces sombres (les droites-cercles de la configuration de Desargues = faces visibles de l'octaèdre, dans notre tétraèdre gnomonique), et de 4 faces claires (les faces cachées de l'octaèdre), que l'on visualise mieux en les nommant. Faces sombres : (uvz), (vwx), (xyz), (uwy). Faces claires :  (uvw), (wxy), (yzu), (vxz). Une fois notre octaèdre défini, on supprime le trépied reliant les points ABCD et on considère ces points comme flottant sur une sphère circonscrite à l'octaèdre. On comprend que ces 4 points doivent être les sommets de 4 petits tétraèdres dont les bases sont les faces "blanches", les faces "négatives" de l'octaèdre. Pour le point A la solution est évidente. Figure 3 : le point A  est le sommet d'un petit tétraèdre dont la base est le triangle clair (zvx). Mais on saisit que la solution est essentiellement  la même pour les trois autres points. En l'occurrence : le point B est le sommet d'un "tétraèdre" dont la base est le triangle clair (uvw), le point C, le sommet d'un tétraèdre dont la base est le triangle clair (wxy) et le point D, le sommet d'un tétraèdre dont la base est le triangle clair (yzu).

Bien sûr, cette tétractys n'est pas "représentable" en 2 dimensions (ou alors de manière paradoxale) cependant j'estime qu'elle "existe" sur un plan purement idéel. On peut donc coordonner de la sorte les points de la tétractys avec ceux de la configuration de Desargues (Figure 4). Si l'on ajuste le point A au point 45, les 3 autres points majeurs BCD s'ajustent, par exemple, aux points 24, 34 et 14, et les 6 points mineurs, sommets de l'ocatèdre, s'ajustent en conséquence selon la règle : une face sombre de l'octaèdre correspond à une droite-cercle de la configuration de Desargues.

  

Le 25/02 par Lysandre

merci pour ces passionnantes réflexions.

 

J'avais en effet compris que "votre" interprétation du tétraèdre-Desargues supposait de considérer les cercles sur chaque face comme des "droites", mais je remarque juste que cela revient à considérer chaque face comme un plan de Fano ; lequel n'est pas généralisable en trois dimensions, mais comme diagramme 3D de la configuration de Desargues, cela fonctionne tout de même, avec en plus le fait qu'on peut considérer les points 15, 12, 23 comme conjugués harmoniques des points de fuite, de sorte que le théorème s'énonce simplement en disant que les conjugués harmoniques de ces points sont alignés.

C'est une représentation intéressante, à laquelle je n'aurais certes pas pensé, mais qui vaut d'y réfléchir. Je vous l'accorde volontiers.

Oui, on pourrait même se demander si, ayant quatre coniques tangentes deux à deux, comme cela, sur les faces d'un tétraèdre, le fait d'exiger l'alignement des conjugués harmoniques équivaut à Desargues... il y a un rapport entre Desargues et les coniques/polarités à la base : supposer un plan arguésien équivaut à peu près à supposer l'existence de polarités/coniques, ce n'est pas trivial à voir mais c'est clair. On peut donc creuser la réflexion longtemps avec cette figure. Je vais sans doute un jour ou l'autre l'inclure dans mon travail, mais si je disposais des articles de Polster et de Coxeter - auxquels se réfère la planche avec les sommets du tétraèdre numérotés - cela m'aiderait.

Sinon, j'avance avec les pentagones, plus vite que je ne craignais. Ayant extrait les conditions de symétrie - et il est assez beau de voir que tout pentagone ayant deux axes/centres de réflexion en a forcément 5 et est donc "régulier" par rapport à "sa" conique - je m'essaie maintenant à donner des coordonnées à tous les points/droites de la figure, A, B, C, D, E, A', B', C'... etc. Après, ce sera un jeu d'enfant de calculer tous les birapports possibles et imaginables.

J'ai remarqué, au passage, que, dire qu'un point (X, Y) d'une droite a pour coordonnée X/Y (coordonnée affine) le nombre d'or, équivaut à dire que l'involution (X, Y) --> (X + Y, X - Y) (cette application définit bien une involution de la droite, facile à vérifier) laisse invariante, pour ce point, la "forme quadratique" XY. En effet, cette assertion équivaut à l'équation (X + Y)(X - Y) = XY, ou X^2 - Y^2 - XY = 0, où l'on reconnaît facilement l'équation du nombre d'or.

Je devrais donc, à un moment, pouvoir exprimer cela en termes d'une involution qui commute avec une forme quadratique, pour un certain ensemble de points.

 

NB. Mes parents ont l'habitude de mettre des pommes en vrac dans un seau d'eau, pour les laver. Elles se mettent alors à flotter, et adoptent spontanément une disposition très parlante : une au centre, et six autres autour, tangentes deux à deux... le diamètre du seau équivalant juste à trois pommes à peu près. Je m'émerveille à chaque fois de constater à quel point la division hexagonale du "cycle" est naturelle, et le fait qu'on la retrouve partout... Dans mes développements sur la question, le passage où j'explique Petersen et Pappus, les dix-neuf points (et le rapport avec la racine de 361 etc.), je cite cette "expérience", pour bien faire comprendre au lecteur l'absence (ou quasi ?) d'arbitraire dans tout cela... En tout cas, ça me réjouit toujours de voir ces pommes flotter comme ça, alors que personne ne l'a fait exprès : elles "connaissent" spontanément l'empilement maximal de leur plan !

Sur ce, je retourne à mes pentagones.

Le 25/02 par Lysandre

 

Chers amis, eh bien! victoire, je crois que c'est le mot...

Sur la figure que je vous poste, vous pouvez voir comment le nombre d'or "apparaît" naturellement sur un pentagone ayant deux axes/centres de réflexion :

 

commençons par construire le quadrilatère complet O, I, I', I'' ; pour que le pentagone ait au moins un axe de réflexion (KM, avec pour centre J), nous prendrons le 5e point A sur KM. AI' coupera alors OI en D. Pour que le pentagone ait un 2e axe de réflexion, disons I''D (avec pour centre N), il faut que l'on ait (N L A O) = - 1.

Dans le repère (O, J, K, I), il en résulte (après quelques calculs très simples que je vous passe) que A aura pour coordonnées (X, Y, 1) avec X/Y = (3 - √5)/2. On en déduit alors, par quelques calculs supplémentaires, que le birapport (N B C A) vaut (1 + √5)/2 en valeur absolue, et si l'on suppose que la droite de l'infini passe par N, alors ce birapport se réduit au rapport AB/BC.

Vous voyez, c'est aussi simple que ça... deux axes de symétrie, et on a le nombre d'or, comme birapport de quatre points bien choisis.

Pas besoin de considérations métriques ni rien... nous avons officiellement "réintégré" le dit nombre d'or dans la GP. Ces petites choses illuminent ma journée.

 

NB. Une précision quand même (rappel au cas où) : le birapport de quatre points P1, P2, P3, P4, bien sûr, se calcule sur la base de leurs coordonnées homogènes selon la formule :

(P1 P2 P3 P4) = (X3Y1 - X1Y3)(X4Y2 - X2Y4)/(X3Y2 - X2Y3)(X4Y1 - X1Y4)

on peut aussi utiliser les coordonnées X, Z ou Y, Z à la place de X, Y, du moment qu'aucun des facteurs ne s'annule, car un birapport n'est pas censé valoir 0 ou l'infini (si les quatre points sont distincts). C'est plus élégant écrit à l'aide de déterminants, mais ça va plus vite comme ça... important quand même, car il ne faudrait surtout pas essayer, dans ce contexte, de calculer le birapport comme un rapport de rapports de "longueurs de segments" ou distances entre points, comme dans le plan euclidien... c'est évident quand on a l'habitude, mais il faut penser aux autres aussi...

 

Le 26/02 par Dylan G.

Bravo Lysandre, pour ce résultat, comme pour sa présentation très pédagogique! Même si vous le jugez simple, il me paraît d'utilité publique, particulièrement dans les affaires pythagoriciennes.

La boucle est bouclée, d'une certaine façon. Je trouve que cela mérite une petite coupe de champagne.

 

Le 26/02 par Raymond B.

 

Merci, ça fait du bien en effet !

 

 

 

Le 26/02 par Lysandre

 

Eh bien, à votre santé ! J'espère que c'est un bon millésime :).

DECOUVRIR LA GEOMETRIE PROJECTIVE AVEC LYSANDRE :

BERESHIT

OU LES PASSIONNANTES AVENTURES

DU PLAN PROJECTIF ARGUESIEN

 

 

POUR APPROFONDIR LE THEME DE LA DISCUSSION :

 

PENTAGONE ET GEOMETRIE PROJECTIVE

PAR LYSANDRE

 

 

 

 

Ressources documentaires et crédits images :

Yvo Jacquier : Etude géométrique du polyèdre de Dürer dans sa gravure Melencolia, chap. 2

André Charpentier : L'oeuf du monde, pp 19-26

Harold Scott MacDonald Coxeter : Self-dual configurations and regular graphs, Bulletin of the American Mathematical Society, n°56. 1950, pp 434-435

Burkard Polster : A Geometrical Picture Book, Springer, 1998.

 

 

 

 

 

 

SOLIDE DE DÜRER ET PAVAGES GNOMONIQUES

 

 

 

par Guillaume DENOM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Chapitre 1

 

SOLIDE DE DÜRER ET RHOMBOEDRE ASSOCIE

 

 

 

 

 

Le solide de Dürer (pour les puristes : le trapèzoèdre triangulaire tronqué) est un rhomboèdre tronqué. Un rhomboèdre est un cube étiré sur l'une de ses grandes diagonales.

 

Les faces du rhomboèdre sont simplement des losanges au lieu d'être des carrés, mais le cube lui-même peut parfaitement être considéré comme un cas limite de rhomboèdre.

 

On peut construire un solide de Dürer à partir de n'importe quel rhomboèdre, en tronquant précisément les deux sommets opposés sur lesquels il est étiré. La forme du solide de Dürer dépendra donc de l'angle choisi pour le losange correspondant à la face du rhomboèdre. Certains cas sont particulièrement intéressants, en ce que le rapport des angles du losange s'exprime par de petits entiers. On peut en citer trois.

 

Le cube, pour lequel le rapport des angles du losange est de 90°/90° = 1/1 = 1.

 

Le rhomboèdre gnomonique, dans lequel le rapport des angles est de 60°/120° = ½

 

Le rhomboèdre d'or, dans lequel le rapport des angles est égal à 72°/108° = 2/3. Le solide de Dürer associé à ce rhomboèdre correspond à une situation d'équilibre parfait entre 2 possibilités d'orientation de l'angle du losange, l'une dans le sens obtus, vers le carré 1/1, l'autre dans le sens aigü, vers le losange 1/2, perfection qui se traduit par le fait que ses sommets sont inscriptibles dans une sphère; - le nombre d'or correspondant d'ailleurs généralement, dans l'ordre physique, à une semblable situation d'équilibre entre deux forces ou tendances antagonistes.

 

Les pythagoriciens fidèles à leur nonchaloir auront reconnu, dans ces trois cas particuliers, les trois rapports musicaux que sont l'unisson (1/1), l'octave (2/1) et la quinte (3/2), qui correspondent au développement en procession des trois premiers étages de la tétractys; ce ternaire constituant en l'espèce une structure fermée.

 

 

 

Notons que le solide représenté par Dürer dans sa gravure Melencolia ne se rapproche bien nettement d'aucun de ces trois types, puisque son angle apparent se situe aux environs de 79 ou 80°.

 

 

 

Le rhomboèdre gnomonique

 

On s'intéressera ici principalement au rhomboèdre gnomonique, d'angle 60°/120°, et à son solide de Dürer associé.

 

 

 Solide de Dürer gnomonique

 

 

Le solide ci-dessus se compose de 3 éléments, un octaèdre au centre, et deux tétraèdres tronqués, en haut et en bas. Il est naturellement plus étiré que celui de Dürer, mais on retrouve bien nos 6 faces pentagonales et nos deux faces triangulaires. Pour obtenir une expression gnomonique entière, il suffit de considérer les 3 éléments qui le composent comme des polyèdres gnomoniques de rang 2, semblables à ceux-ci :

 

 

Tétraèdre et octaèdre gnomoniques de rang 2

 

 

Les tétraèdres gnomoniques devront simplement être diminués d'un petit tétraèdre, par exemple le rouge situé ici au sommet.

 

L'octaèdre central du solide de Dürer se décompose alors en 6 petits octaèdres + 8 tétraèdres, et les deux tétraèdres tronqués, pour chacun, en 1 octaèdre + 3 tétraèdres. Le solide de Dürer complet se composera donc de 8 octaèdres + 14 tétraèdres, soit 22 éléments en tout. Pour compléter ensuite le grand rhomboèdre, il faut encore ajouter un tétraèdre à chacun des sommets tronqués, de sorte que ce rhomboèdre présentera lui une composition bien équilibrée de 8 octaèdres pour 16 tétraèdres, soit 24 éléments en tout.

 

A la simple vue des polyèdres gnomoniques dont il se compose, on comprend que le solide de Dürer peut être construit à partir d'un patron composé uniquement de triangles équilatéraux. Chaque face pentagonale se décompose en effet en sept triangles équilatéraux; les six pentagones se subdivisent donc en 6x7=42 triangles équilatéraux, auxquels s'ajoutent 2 triangles pour fermer les troncatures ; soit au total 44 triangles équilatéraux. On remarque que ce nombre est le double de celui des petits solides utilisés pour la construction gnomonique du même polyèdre (22), où l'on découvre donc une nouvelle expression du rapport ½ qui traverse toute la structure.

 

 

La relation du solide de Dürer à son dual : une auto-dualité contractée

 

Le dual du solide de Dürer est un rhomboèdre semblable au grand rhomboèdre de départ, avant sa troncature, bien qu'évidemment d'une échelle différente. Il s'agit là d'une propriété très singulière, car, en raison de la "coplanarité" de certaines de ses faces (c'est à dire de leur appartenance à un même plan), le dual du solide de Dürer a la propriété spéciale de posséder moins de faces que le solide de Dürer n'a de sommets, précisément deux fois moins. En effet, l'ensemble de ces faces, triangulaires, fusionnent deux à deux pour former des losanges.

 

Dans les nomenclatures, le dual du solide de Dürer est référencé sous le nom de bipyramide triangulaire gyroallongée, et, en tant que dual d'un polyèdre à 12 sommets, il est fréquemment présenté comme un dodécaèdre. Toutefois, cette façon de le qualifier tient uniquement à la rigidité des définitions mathématiques, car, en réalité, ce n'est bel et bien qu'un banal rhomboèdre, doté de 6 faces seulement. Et on n'en trouvera sans doute pas de meilleure preuve que le fait qu'il soit exclu de la liste des solides de Johnson (avec ici des explications à l'appui) pour la raison précisément que ses faces - des losanges - ne sont pas des polygones réguliers.

 

 

Solide de Dürer et rhomboèdre dual inscrit

 

Il existe donc une forme d'auto-dualité entre le solide de Dürer et son rhomboèdre dual, mais une auto-dualité très particulière, qu'on pourra qualifier de "contractée". En effet, il existe une homothétie qui projette les sommets du rhomboèdre dual sur ceux du solide de Dürer, mais à l'exclusion de certains points. Autrement dit,  le solide de Dürer peut être vu comme une contraction de son dual, résultant de la projection de ce dual sur une partie de lui-même.

Cette opération de contraction est toutefois justiciable d'une définition mathématique très précise, en géométrie projective notamment, où elle constitue un groupe spécifique de transformations.

 

Le rhomboèdre dual inscrit pourra, naturellement, se décomposer en trois éléments semblables à ceux du grand rhomboèdre : un octaèdre et deux tétraèdres, évidemment non tronqués.

Pour le solide de Dürer gnomonique, la dimension du rhomboèdre inscrit est très facile à déterminer. En effet, pour construire le solide de Dürer, le grand rhomboèdre de départ a été tronqué d'un tiers de sa hauteur, (mesurée sur l'axe d'étirement commun au solide et à son dual, comme dans l'illustration ci-dessus).

Le rhomboèdre dual inscrit aura donc une hauteur égale à 2/3 de ce grand rhomboèdre. Par conséquent, si, par exemple, pour le grand rhomboèdre, on a utilisé un octaèdre et deux tétraèdres de 6 cm d'arête, alors, pour le dual inscrit, on devra utiliser un octaèdre et deux tétraèdres de 4 cm d'arête.

 

 

Une quadruple identité très remarquable

 

On a ici une quadruple identité très remarquable entre :

Le rapport des angles du losange (60°/120°) = la composition gnomonique du polyèdre dual (1 octaèdre / 2 tétraèdres) = la composition gnomonique du grand rhomboèdre détronqué (8 octaèdres / 16 tétraèdres) = enfin le rapport entre la composition du solide, et celle de la surface (22 éléments pour le solide / 44 triangles équilatéraux pour la surface), - ce dernier rapport se conservant d'ailleurs pour le grand rhomboèdre, où l'on a 24 solides pour une surface de 48 triangles. Tous ces rapports sont en effet égaux à 1/2.

 

On saisit par là que le gnomon est un certain rapport d'identité, particulièrement profond, entre nombres et figures. Même si certains, avec quelque raison peut-être, préfèreront n'y voir qu'une vaste tautologie.

 

Cette relation généralisée permet de conjecturer que, pour le rhomboèdre d'or d'angle 72°/108° et son solide de Dürer associé, le rapport 2/3 qui est celui des angles du losange, devra se retrouver dans la composition interne du rhomboèdre, aussi bien que dans la division de ses faces ; et que, selon toute vraisemblance, la solution de ce problème devra revêtir la forme d'un pavage de Penrose en trois dimensions.

 

 

 

 

 

Chapitre 2

NOMBRES GNOMONIQUES ET NOMBRES MIROIRS

 

 

 

On peut remarquer que les nombres 8 et 14, qui apparaissent dans la composition du solide de Dürer, ne sont pas des inconnus, puisqu'on les retrouve dans la nomenclature des polyèdres gnomoniques de rang 2.  Nomenclature où l'on retrouve aussi, par induction, les nombres 27 et 54, intervenant quant à eux dans le lambda de Platon, qui correspondent si l'on peut dire au "centre caché" de cette structure d'objets. En demandant grâces pour la trivialité de ces calculs, qui n'ont d'autre fin que de mettre en lumière cet aspect structurel des rapports arithmétiques.

 

POLYEDRES GNOMONIQUES DE RANG 2

 

Tétraèdre            Cube             Octaèdre                                  Icosaèdre               Total

5                           8                    14                                           81                       108

5               +          8          +        14    =     27

                                                                  27     =    54/2    =    81/3        =          108/4

 

La seconde équation pouvant être vue comme une tétractys, dont les 10 unités-points seraient des cubes gnomoniques de rang 3, de valeur 27.

 

 

On peut encore noter que les propriétés des multiples de 9 - très appréciées de Dante - permettent de développer, à partir du nombre 108, une série continue de rapports proportionnels alternés entre nombres miroirs. Ainsi 18 est à l'égard de 108 dans le rapport 1/6, tandis que son "miroir" 81 est à l'égard de 108 dans le rapport 3/4. 27 est à l'égard de 108 dans le rapport 1/4, tandis que son miroir 72 est à l'égard de 108 dans le rapport 2/3. 36 est à l'égard de 108 dans le rapport 1/3, tandis que son miroir 63 est à l'égard de 108 dans le rapport 7/12. Enfin 45 est à l'égard de 108 dans le rapport 5/12, tandis que son miroir 54 est à l'égard de 108 dans le rapport 1/2. Accolés à leur complément, les nombres miroirs forment des nombres palindromes, eux mêmes dotés de propriétés spéciales. Aux extrémités de ce cycle se trouvent le nombre 9 (108 x 1/12), diviseur de tous les autres, qui, lorsqu'on l'exprime sous la forme 09, est le miroir de 90 (108 x 5/6), et enfin le nombre 99 (108 x 11/12), sous l'égide duquel Virgile et Dante ont tous deux placé leur oeuvre majeure, comme l'a montré André Charpentier. Ce nombre "terminal" est exclu du mouvement tournant qui entraîne tous les précédents, en ce qu'il est miroir de lui-même, et donc déjà palindrome. Sous ce regard, il peut donc apparaître comme le point de "fixation" autour duquel gravitent tous les autres, ce qui explique que ces poètes pythagoriciens aient vu en lui l'image du "moteur immobile" de la manifestation universelle.

Ceci se comprend encore mieux si l'on dispose tous ces nombres autour d'un pentagramme, de la manière indiquée ci-dessous, puisqu'on s'aperçoit alors que tous les segments reliant entre eux deux nombres miroirs convergent naturellement au centre 99, qui correspond à chaque fois à leur somme.

 

Si l'on adopte pour le pentagone intérieur une disposition "horaire", alors le pentagone extérieur se disposera lui-même de façon "anti-horaire". Les nombres correspondent donc ici exactement aux propriétés de la figure, symbole traditionnel de l'analogie inversée du microcosme et du macrocosme, mais aussi de l'alternance universelle des rythmes cosmiques.

Si l'on relie tous ces points par un tracé continu suivant l'ordre croissant des nombres qui leur correspondent, et si l'on joint le dernier (99) au premier (9), on obtient une figure appelée noeud vital, qui s'apparente à plusieurs symboles connus, tels que le symbole de l'infini, le noeud trèfle ou l'éperluette, tout en se distinguant nettement de chacun d'eux.

 

 

Compte tenu de la logique interne du pentagramme, où les milieux des différents segments convergeant vers le centre 99 sont supposés équivaloir à la somme des nombres associés à leurs extrémités - et ceci indéfiniment, - l'action de joindre, par un dernier segment, le nombre 99 au nombre 9, peut être comprise comme équivalant à intégrer dans le pentagramme le nombre 108, en tant que milieu virtuel de ce dernier segment.

Et pour clore ce chapitre de transition, on pourra relever que le rapport de 99 à 108 est identique à celui du solide de Dürer à son rhomboèdre associé (11/12).

 

 

 

 

 

 

 Chapitre 3

 ISOMORPHISME DU PENTAGRAMME ET DU SOLIDE DE DÜRER

 

 

 

Le rapport entre le pentagramme "modulo 9" et le solide de Dürer n'est pas seulement proportionnel, mais d'octave (11 points pour le pentagramme avec son centre / 22 petits solides pour le solide de Dürer) ; et, dans ce dernier chapitre, nous allons voir qu'il existe une application qui projette les 11 points du pentagramme sur les onze segments reliant deux à deux les centres des 22 petits solides du solide de Dürer, (plus exactement, l'application se fait sur les milieux de ces segments), et réciproquement, - application dans laquelle sont conservées toutes les relations de symétrie, mais aussi de polarité du pentagramme, et grâce à laquelle le solide de Dürer s'intègre naturellement dans ce pentagramme.

 

Dans la représentation ci dessous, les boules blanches correspondent donc aux centres des 22 petits solides du solide de Dürer, solides dont la nature, tétraèdre ou octaèdre, est précisée sur la boule. Ces 22 boules blanches sont assemblées par paires et forment 11 segments. Les onze petites boules noires qui sont les centres de ces segments, correspondent aux 11 points du pentagramme (avec son centre 99).

 

La structure se divise en trois parties : inférieure, supérieure et médiane. Dans la partie inférieure, les segments 18, 27 et 36, forment les arêtes verticales d'un prisme à base triangulaire, avec le segment 9 pour axe polaire principal.

Les segments 63, 72 et 81 forment un prisme identique au premier, avec le segment 90 pour axe polaire; ces deux prismes sont disposés l'un au dessus de l'autre en « sceau de Salomon ». 

Ces huit segments verticaux, occupant les parties inférieure et supérieure du solide, ont tous la même composition : un octaèdre et un tétraèdre; tandis que les trois segments occupant la partie médiane sont composés, eux, de 2 tétraèdres chacun.

 

La structure médiane forme également un sceau de Salomon, composé, non de 2 prismes, mais de 2 simples triangles. Ici on a favorisé une présentation permettant de distinguer plus aisément les 3 segments, mais pour que la figure soit géométriquement exacte, il conviendrait que les 2 triangles indiqués en pointillé, inférieur et supérieur, soient positionnés exactement l'un au dessus de l'autre. Les segments 45 et 54 sont tous deux horizontaux, mais situés à des hauteurs différentes, le 45 plus bas, le 54 plus haut. Quant au segment 99, il possède un point sur le même plan horizontal que le segment 45, et l'autre sur le même plan horizontal que le segment 54. Les segments 45 et 54 sont bien parallèles, comme l'indique la figure ; en revanche, le segment 99 est perpendiculaire au plan formé par ces segments. En joignant par deux segments complémentaires les segments 45 et 54, on obtient un parallélogramme (un losange "vesica piscis" d'angle 60/120°) ; le segment 99 traverse ce losange en plein centre, perpendiculairement.

Ces trois segments forment véritablement le coeur de la structure. Le plan formé par les segments 45 et 54 est incliné de 45° par rapport au plan horizontal, et se situe donc à mi distance angulaire entre le plan horizontal et l'axe vertical; tandis que le segment 99, orthogonal à ce plan 45, 54, est - relativement au même axe vertical - incliné de 45° en sens contraire.

 

 

Symétries et polarités 

 

Ce qui est intérieur dans le pentagramme (les points 9, 18, 27 et 36) correspond à ce qui est inférieur dans le solide de Dürer (les segments 9, 18, 27 et 36).

 

Ce qui est extérieur dans le pentagramme (les points 63 à 90), correspond à ce qui est supérieur dans le solide (les segments 63 à 90).

 

Ce qui est intermédiaire dans la séquence du pentagramme (les points 45, 99 et 54), correspond à ce qui est médian dans le solide, (les segments 45, 99 et 54).

Enfin, ce qui est au centre dans le pentagramme, le point 99, correspond à ce qui est au centre dans le solide de Dürer; puisqu'en effet le centre du segment 99 correspond au fameux "point vert" évoqué ailleurs sur ce site, qui est le barycentre du solide de Dürer.

Toutes les relations de polarité entre 2 points opposés du pentagramme par rapport au centre 99, se retrouvent dans le solide de Dürer. Ainsi, dans le solide de Dürer, le segment 18 est, polairement, antagoniste du segment 81, le segment 27 du segment 72, le segment 36 du segment 63, le segment 45 du segment 54, et le segment 9 du segment 90. Tandis que le segment 99, comme il se doit, est antagoniste de lui-même. Et il y a mieux encore : si l'on joint par leurs centres toutes ces paires de segments antagonistes du solide de Dürer, on constate que toutes les droites joignant ces segments par leurs milieux passent par le centre du segment 99.

 

Ce qui est polaire dans le solide de Dürer, (en considérant comme axe polaire principal, l'axe vertical haut / bas qui est l'axe d'étirement du solide), à savoir les segments 9 et 90, correspond, dans le pentagramme, au « début » et à la « fin » de la séquence; - car dans le pentagramme aussi la séquence naturelle commence à 9 et finit à 90, puisque le point 99 a été installé à son juste « moment », entre les points 45 et 54.

 

Enfin, l'orientation alternée du sens de la construction ; d'abord « horaire » de 9 à 45, puis anti-horaire de 54 à 90, est également respectée. Le segment 99 correspond au plan de symétrie de part et d'autre duquel se divisent, en s'inversant, ces deux mouvements, le premier « dextrogyre », le second « lévogyre ». Les deux structures ont pour squelette commun une double spirale, bidimensionnelle pour le pentagramme, tridimensionnelle pour le solide de Dürer, où elle se développe en double hélice - spirales dont la première est centripète et dextrogyre, et dont la seconde est centrifuge et lévogyre.

La structure sous-jacente aux deux figures peut être schématisée par l'illustration ci dessous :

 

 

 

 

 

Du pentagramme au nid d'abeilles

 

Le solide de Dürer peut donc n'apparaître que comme un développement en trois dimensions de la structure bidimensionnelle qui est celle du pentagramme. Cependant, alors que le pentagramme est une structure de symétrie pentagonale, associée au nombre d'or et aux pavages de Penrose, le solide de Dürer – placé tout entier sous le signe du sceau de Salomon – relève, quant à lui, de la symétrie du "nid d'abeille" tétra-octaédrique, propre à sa constitution gnomonique, symétrie résultant d'un pavage continu de l'espace par des tétraèdres et des octaèdres, comparable à celui que l'on peut obtenir avec des cubes. L'intégration du solide de Dürer dans le pentagramme fait donc apparaître une supersymétrie – ou encore une super dualité – entre ces deux types de symétrie.

 

                                          

                                         pentagramme                   nid d'abeille tétra-octaédrique

 

 

Or, on remarque que dans notre solide de Dürer, la symétrie pentagonale est celle qui régit les « milieux » des objets appartenant à la seconde, à la symétrie du nid d'abeille. La première se présente ainsi comme étant « au coeur » de la seconde, comme son principe de mouvement, ou de développement ; ou encore, la première semble correspondre à l'aspect « intérieur » d'une réalité, dont la seconde représenterait l'aspect « extérieur ».

 

 

 

Remarque ponctuelle

 

On a fait le choix, pour cette étude, de référencer les solides par les points qui sont leurs centres, afin de mettre en évidence ensuite les "milieux" des segments joignant ces centres, mais il convient de préciser que, dans la logique du gnomon, les petits solides, qui ont le statut d'atomes et la valeur discrète de monades, peuvent parfaitement être considérés eux-mêmes comme des points, de sorte que nos boules blanches auraient tout aussi bien pu désigner ces solides eux-mêmes. On aurait alors eu 11 segments composés uniquement de 2 points; à la réserve que, dans ce cas de figure, les lignes joignant ces boules auraient été superflues, puisque, pour tous ces segments, les deux solides sont tangents, soit par une face (pour les segments tétraèdre-octaèdre), soit par un sommet (pour les segments tétraèdre-tétraèdre). Les centres des segments auraient donc coïncidé avec des lieux intersticiels purement virtuel et de valeur nulle, autrement dit avec des points "euclidiens", lesquels, dans leur compréhension juste, ne peuvent représenter que des lieux vides d'objet. De ce point de vue, la symétrie pentagonale peut donc apparaître, tout aussi légitimement, comme la symétrie régissant les vides intersticiels de la structure du nid d'abeille.

 

 

Le symbolisme du pentagramme

 

En laissant de côté toute considération liturgique, il est possible, en conclusion, de toucher ici un mot du symbolisme du pentagramme.

 

Dans sa représentation classique sous forme de noeud à 5 sommets, le pentagramme est un noeud mortel, qui se rapporte au démembrement de "l'homme primordial" et dont les points de référence (situés au centre des 5 petits triangles - branches de l'étoile) sont en réalité des "points de casse", qui correspondent dans le corps humain à : nuque, épaules, et hanches. Ce noeud agit donc de façon "constrictrice", comme mû d'une énergie "auto-serrante".

 

En passant par le point central, on a, comme pendant de ce noeud mortel, le noeud vital... dont la chose la plus importante à remarquer, sans doute, est qu'il n'est pas un noeud. En effet, si on le saisit par un coin, il se délace et se résout en une simple corde circulaire, de sorte que son aspect "nodal" s'avère finalement n'être qu'une illusion.

 

 Le 18.04.2017

 

 

                                                 

 

 

 

 

 

 

 

LA NEF

 

 

 

 

La partie extérieure, en forme de U, est appelée carène. C'est une tétractys, mais elle est composée de 10 segments, au lieu de dix points. On voit bien que, si l'on s'arrêtait là, notre tétractys ne serait pas terminée, au sens mathématique le plus propre, puisque, si les séparations entre les nombres 1 et 2, d'une part, et 3 et 4, d'autre part, sont bien marquées par la forme même de la structure, la division entre les nombres 2 et 3, elle, n'est pas encore précisée. Pour pallier ce manque, la carène est donc dotée d'une structure en V appelée voilure.

 

Dans cette représentation, les axes verticaux soutenant les nombres 1 et 4 correspondent à des états de plénitude ; tandis que l'axe horizontal correspond lui, davantage même qu'à la notion d'état, aux idées de d'opération et de « médiation » entre deux états.

 

Si on associe les nombres 1 à 4 aux objets monadiques qui leur correspondent – point, segment, disque, boule - ces distinctions s'explicitent très bien. Le point et la boule correspondent bien en effet à deux états analogues de plénitude, le premier, à la plénitude « infinie » ou « puissancielle », et la seconde, à une plénitude partiellement « reconstituée » , relativement en tous cas à ces formes « intermédiaires » que sont le segment et le disque.

 

 

Comme il est naturel, le passage du nombre 1 au nombre 2, qui correspond à une perte de plénitude, s'effectue par une « descente », tandis que le passage de 3 à 4, qui correspond au recouvrement de la plénitude, s'effectue par une « remontée ».¹

 

On voit que la zone intermédiaire entre les nombres 1 et 4 est toute entière gouvernée par le nombre 5. La médiation entre ces deux nombres se présente donc ici comme une « quinte essence », venant « couronner » les 4 essences premières portées par la tétractys.

Les deux branches de la structure en V jouent l'une pour l'autre le rôle de miroir. A gauche, le nombre 5 à l'état de « puissanciation », à droite, à l'état d'entier « réalisé », tandis que la partie horizontale inférieure peut être envisagée comme exprimant ce même nombre 5 en tant que processus, en cours de réalisation.²

 

 

 

 

LA SECTION D'OR DANS LE RECTANGLE 4x3

 

 

 

L'équation du nombre d'or :

 

x = (√5 +1) / 2

 

est représentée ici par trois vecteurs, trois opérations enchaînées.

 

On a la section d'or au point B telle que :

BC / BO = (BC + BO) / BC

avec

BC + BO = OA = 1,618....

 

Le tracé correspond au fameux « 4 de chiffre », symbole qui comporte, pour les pythagoriciens, certaines applications rituelles, qui peuvent légitimement être comparées au « signe de croix » des chrétiens, même si, pour les premiers nommés, ce geste est assorti de prescriptions, ou de préconisations particulières, en relation avec la « nature » ou la « personnalité » propre de Pythagore. Mais c'est tout aussi bien le cas pour le pentagramme ; et, sur ces sujets, nous nous réservons d'apporter quelque jour des indications plus précises, même si elles ne peuvent par nature intéresser qu'un petit nombre de lecteurs.

 

Pour obtenir la section d'or à partir de la nef, il suffit de faire glisser le triangle de gauche de 2 crans vers la droite, de manière à ce qu'il pénètre dans le triangle de droite. Les deux hypoténuses se croisent alors au point O.

 

 

 

 

¹Dans son ouvrage La grande Triade, qui peut être lu comme une vaste méditation pythagoricienne sur le losange "vesica piscis", René Guénon assigne, de la même manière, les nombres 1 et 4 à l'axe vertical, et les nombres 2 et 3 à l'axe horizontal.

 

²Notons que la disposition tétractyque de la nef fait que les angles sous le V sont dans le rapport d'octave, puisque : arctan (4/3) = 2 fois arctan (½). NDRB