• LA NEF - partie II

     

    LA NEF

     

     

     

    PARTIE II : LA NEF DANS LES TRADITIONS PYTHAGORICIENNE ET EGYPTIENNE

     

     

     

     

    CHAPITRE V : LE NOMBRE DE PLATON

     

     

     

     

    Contexte : les deux significations du nombre de Platon

     

    Au livre VIII de la République de Platon, Socrate s'entretient avec Glaucon sur la meilleure forme de gouvernement. Il remarque que, dans le développement des sociétés humaines, il existe un moment où, au sein des élites dirigeantes, apparaissent des ferments de Discorde ; et que ce moment détermine bien souvent les conditions favorables à la transformation, à la révolution de ces sociétés. Lecteur de ce passage, Aristote en critiquera la prétention trop générale, en fonction de sa propre théorie des transformations, qui énumère des causes détaillées pour tous les types possibles de révolutions, de transformation possibles d'un régime en un autre : de la monarchie à l'oligarchie, de l'oligarchie à la démocratie, et ainsi de suite,

    A ce point de sa réflexion sur les choses politiques, Socrate ouvre une digression qui en élargit la problématique, et remarque que : pour les sociétés humaines, comme pour toutes les réalités naturelles, la génération et la corruption, la fécondité et la stérilité, la vigueur et la périclitation, - en un mot la naissance et la mort – sont régies par des lois cycliques qui gouvernent le cosmos tout entier. Faute de connaître ces lois, le législateur, le politique, ne saura prendre les bonnes décisions en matière de natalité, et « fera naître des enfants lorsqu'il ne le faudrait pas ». Cette grande loi cyclique est régie par un nombre, ou plutôt par une paire de nombres, comme on le verra. Mais au lieu de nous dire ce nombre, Socrate nous le présente par une énigme, placée sous le patronage des Muses. Nous reviendrons en temps utile sur la question de savoir pourquoi Platon s'est livré à ce jeu de cache-cache.

    Retenons que le nombre de Platon possède une double portée, une double signification : il gouverne les bonnes – mais aussi les mauvaises naissances. Et, à tout bien considérer, il ne gouverne pas seulement les naissances, mais aussi les décadences et les extinctions.

    Nous verrons dans la suite de cette étude que

    • Chacun de ces aspects bénéficie, dans la littérature ancienne, d'un commentaire de très haute valeur : celui de Plutarque pour l'aspect hiérogamique, génésique et nuptial, celui d'Aristote pour l'aspect mortifère, relatif au déclin inéluctable des réalités naturelles et sociales, enfant de la discorde, et impliquant leur nécessaire révolution, ou renaissance.

    • Platon a nettement indiqué comment ces deux aspects, apparemment contradictoires, s'articulaient dans sa réflexion politique.

     

     

     

    Les deux nombres de Platon

     

    S'il est d'usage de parler du nombre de Platon au singulier, il y a bien deux nombres de Platon : le nombre des générations divines, et celui des générations humaines. Le premier n'est évoqué que dans la première phrase du texte, tandis que le second est l'objet d'un développement arithmétique complexe, qui s'exprime dans un texte beaucoup plus long. C'est ce second nombre, le nombre des générations humaines, que l'usage désigne sous les expressions « nombre nuptial » ou « nombre géométrique » de Platon.

    Le mérite de James Adam est d'avoir proposé le premier une solution combinée pour les deux nombres. Nous verrons en effet que cette dualité divin/humain est décisive ; et même, qu'il est impossible d'apporter une explication complète du nombre humain, sans le concours du nombre divin.

     

     

     

    Le texte de Platon

     

     

    Notre texte combine librement plusieurs traductions françaises, surtout celles de Léon Robin et de l'abbé Diès. Nous le découpons en périodes pour la commodité du commentaire. Comme d'autres, nous estimons le passage allant des sections (g) à (j), incompréhensible. Nous suivons le texte de Diès à défaut de mieux, et notre tâche se bornera, pour ce passage, à rendre compte des solutions proposées par la critique ancienne et récente

     

    (a) Pour les générations divines il existe une période que détermine un nombre parfait;

    (b) tandis que, pour les générations humaines, c'est le plus petit nombre dans lequel les multiplications des dominantes et des dominées, progressant selon trois intervalles et quatre limites

    (c) parviennent, par toutes voies d'assimilation et de dissimilation, de croissance et de décroissance,

    (d) à établir entre toutes les parties de l'ensemble une correspondance rationnellement exprimable.

    (e) Son fondement épitrite conjugué au 5, puis élevé au cube, (littéralement : « augmenté trois fois »)

    (f) fournit deux harmonies

    (g)l'une faite d'un nombre également égal (carré), et de cent pris autant de fois (100 x 100)

    (h) alors que l'autre est faite partie de facteurs égaux (carré), partie de facteurs inégaux (rectangle),

    (i) à savoir de cent carrés des diagonales rationnelles de 5, chacun diminué de un,

    (j) et de cent carrés des diagonales irrationnelles, diminués de 2, et cent cubes de 3.

    (k) C'est à ce nombre géométrique tout entier qu'appartient la souveraineté dans le domaine des actes générateurs, meilleurs ou pires.

     

     

     

    Oubli historique de la formule, mais unanimité concernant le principe suivant lequel elle s'organise

     

     

    La critique savante a remarqué que l'énigme du nombre de Platon n'en était pas une pour ses disciples et ses héritiers proches : à commencer par Aristote qui connaissait, manifestement le nombre de Platon, puisque ; s'il critique avec apreté la doctrine de Platon en tant que « théorie des révolutions », la valeur numérique du nombre de Platon ne semble lui poser aucun problème. Concernant Plutarque et Nicomaque, il est difficile d'être affirmatif : ni l'un ni l'autre ne mentionne le nombre, mais aucun ne nous dit non plus qu'il l'ignore. En revanche, dès Proclus, la valeur du nombre est perdue, puisque, le premier, il ressent la nécessité d'apporter une solution conjecturale à la section (g)...(j). Nous verrons, du reste, qu'en un certain sens « rien ne s'est passé depuis Proclus », puisque toutes les solutions proposées à l'époque moderne ne sont, peu ou prou, que des reprises, des reformulations , ou au mieux des développements complémentaires de l'idée de Proclus.

    Si, depuis Proclus, l'énigme a reçu de nombreuses solutions discordantes, - dues à l'illisibilité de la section (g)-(j) - en revanche, il règne un parfait unanimisme, tant ancien que moderne, sur plusieurs points décisifs

     

    • Dans la section (e), l'expression « le rapport épitrite, conjugué au 5 » se rapporte : au triplet pythagoricien 3-4-5, au triangle rectangle de côtés (3,4,5) – le triangle isiaque – et enfin à la relation de Pythagore entre les carrés des cathètes, et celui de l'hypoténuse.

    • Cette expression « le rapport épitrite conjugué au 5 », définit la forme générale du nombre nuptial.

    • Le nombre nuptial (qui possède cette structure ternaire) est une harmonie composée de deux harmonies. Ou encore, ce nombre est une composition, dont la propriété est de pouvoir se décomposer de deux manières différentes. D'un point de vue pratique, le concept d'harmonie gagne à être traduit par le terme moderne d'équation (en supposant qu'il s'agisse d'une équation dotée de « valeur », de signification scientifique). Le nombre de Platon se présente donc comme une « super-équation », décomposable de deux façons différentes, en deux sous-équations. De façon plus précise encore, on peut avancer que l'harmonie, au sens arithmétique où l'entend ici Platon, est une équation entre produits, à la différence de la proportion (summetria) qui est une équation entre fractions – c'est du moins de cette manière que l'interprètent la totalité des commentateurs, anciens et modernes.

    Le désaccord apparaît, en revanche, dès la fin de cette même section (e), sur l'opération à laquelle est soumise le triplet 3-4-5, et sur le sens de l'expression « augmenté trois fois ». L'expression, ambigüe, peut être traduite par « multiplié trois fois », « élevé au cube », ou même, par extension « rendu solide », développé jusqu'à l'état de solide. Pour nous c'est cette dernière lecture qui, en vertu de l'autorité d'Aristote, doit présider à la compréhension du nombre nuptial, non seulement en tant que nombre, valeur, quantité discrète, mais de façon bien plus importante, en tant que processus, action de la nature.

    Dans la pensée d'Aristote, la solidification , la transformation en solide, - au sens purement géométrique – est le signe tangible et intelligible de la fin d'un processus, et d'une période durant laquelle il ne faut pas faire naître des humains, sous peine de donner naissance à une génération d'êtres pervers.

    Ces prémisses précisées, concernant le relatif unanimisme des commentaires anciens et modernes sur la valeur paradigmatique de l'expression « le rapport épitrite conjugué au 5 », et le développement géométrique plus contraignant auquel la soumet Aristote, il est temps d'aborder l'enquête moderne sur le nombre de Platon.

     

     

    Endurance et amphibologie du nombre 12 960 000 dans la critique moderne

     

    Apparu pour la première fois au détour des calculs de Friedrich Hultsch (1882), le nombre 12 960 000 fut proposé comme solution de l'énigme du nombre nuptial par James Adam (1891), avant d'être repris et défendu par l'abbé Auguste Diès (1933), Marc Denkinger (1955) et Ernest G. Mc Cain (1978) notamment, tous auteurs d'articles remarquables. Mais voici quelque chose de singulier : si tous ces auteurs s'entendent sur la valeur du nombre, aucun ne s'entend sur l'interprétation du texte de Platon, ni sur la convention permettant de le traduire en langage mathématique, et par suite en équations.

    Entrainer le lecteur dans un résumé de cette discussion, et examiner les choix de chacun pour la traduction de tel ou tel passage, serait une tâche des plus fastidieuses. Nous donnons en annexe les références qui permettent de prendre connaissance de leurs travaux. Nous pensons que le lecteur qui aura eu la patience de les lire, en ressortira avec le même sentiment que nous : chacune de ces études peut se satisfaire d'avoir apporté une explication vraisemblable à telle ou telle partie du texte de Platon (généralement au détriment d'une autre possible), mais échoue à nous convaincre qu'elle est parvenue à une élucidation continue, complète, et parfaitement satisfaisante de ce texte (à supposer que cela soit possible).

    Une fois qu'on a pris acte des désaccords entre ces travaux, reste à expliquer l'énigme de leur accord sur le nombre 12 960 000. Ces auteurs n'ont, en somme, en commun que de se rallier à l'interprétation consensuelle de l'expression « le rapport épitrite conjugué au cinq », et par suite, de construire leur nombre nuptial par un arrangement des nombres 3, 4, 5.

    Ecrivant à la suite de Hultsch, Adam et Diès, Denkinger observe que les propriétés du nombre 12 960 000 répondent, de façon intrinsèque, à la nature du problème posé, puisqu'il existe de nombreuses manières de former ce nombre à partir d'une combinaison de 3, de 4 et de 5. Il distingue en particulier les trois suivantes, qui synthétisent à peu près toutes les équations proposées par ses prédécesseurs – sur le détail desquelles on reviendra un peu plus loin :

     

    (3x3x3) (3x4x5) (4x4x5) (5x5x4) = 27x60x80x100=12.960.000

    (4x4x4) (3x4x5) (3x3x5) (5x5x3) = 64x60x45x75=12.960.000

    (5x5x5) (3x4x5) (3x3x4) (4x4x3) =ΐ25x60x36x48=12.960.000

     

    Chacune des formules à 3 chiffres entre parenthèses peut être envisagée comme un parallélépipède ; par exemple la formule (3x4x5) peut être vue comme un parallélépipède rectangle dont les arêtes (largeur, longueur, hauteur) valent respectivement 3, 4 et 5 unités. Cette interprétation satisfait, en apparence, à la condition « aristotélicienne », selon laquelle le nombre de Platon doit concerner des figures solides ; cependant elle le fait de façon très minimale, car nous pensons que, dans la formulation d'Aristote, c'est l'ensemble du nombre, et non ses parties, qui doit être impliqué dans un processus de solidification.

    Malgré les explications de Denkinger, la confrontation de ces différentes tentatives nous laisse l'impression, non seulement, que le nombre 12 960 000 ne s'imposait pas plus qu'un autre, mais que tous ces auteurs, en réalité, connaissaient ce nombre avant même d'aborder le problème du nombre nuptial, par une autre source que Platon. Laquelle ? Deux réponses se présentent spontanément.

    Le première est le cycle de la précession des équinoxes, auquel de nombreuses traditions calendaires de l'humanité attribuent la valeur approximative de 25 920 ans. Le nombre 12 960 (qui est celui proposé par nos auteurs pour le nombre nuptial, amputé de 3 zéros) correspond très exactement à la moitié de ce nombre, et équivaut donc à un semestre de l'année précessionnelle.

    Quant à la deuxième source par laquelle nos auteurs pouvaient connaître ce nombre, elle n'est autre, comme nous allons le montrer, que la géométrie du triangle isiaque.

     

     

    Les ruches isiaques 60 et 216

     

    Il existe deux manières de remplir le programme d'Aristote, consistant à développer le triangle isiaque sous forme solide.

    La première consiste à développer individuellement les cubes adjacents aux côtés du triangle isiaque. On retrouve alors les éléments de la cité isiaque : les cubes gnomoniques de rangs 3, 4 et 5, que nous présentons ci-dessous empilés l'un sur l'autre en un obélisque.

    La deuxième méthode consiste à développer ces mêmes segments, non pas séparément, mais ensemble, au moyen d'un parallélépipède de côtés (3, 4, 5) et de volume 60.

    On obtient ainsi deux objets géométriques que nous baptisons ruches isiaques.

     

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     A présent, si l'on considère le premier de ces objets, on remarque que :

     604 = 12 960 000

     Tandis que si l'on envisage ces deux objets ensemble, on observe que :

    60 x 216 = 12 960

    Nous sommes donc déjà parvenus à faire jaillir deux fois « le nombre de Hultsch » d'un simple jeu arithmétique sur les valeurs de ces deux solides.

    En tant que clé d'interprétation du texte de Platon, cette proposition géométrique permet de ressaisir, de façon assez satisfaisante, la première partie du texte (sections (a) à (f)), que nous lisons dans les pas de nos prédécesseurs.

     

     

     

    Reprise du texte de Platon

     

    Le nombre des générations humaines est formé au moyen du rapport épitrite conjugué au 5, puis élevé au cube, c'est-à-dire des nombres 3, 4 et 5, transformés en solides.

    L'expression dominantes et dominées désigne, selon la proposition de Diès (inspirée d'Alexandre d'Aphrodise), le rapport de l'hypoténuse (dominante) aux cathètes (dominées) du triangle (3,4,5).

    Par toutes voies d'assimilation et de dissimilation renvoie, toujours suivant Diès, à la classification des solides en assimilants, (= gnomoniques), comme les cubes qui composent la ruche 216, du fait qu'ils « reproduisent la même forme », et dissimilants, comme la ruche 60, du fait qu'ils sont le développement d'une différence.

    Dans ce système de classification, les solides dissimilants se subdivisent en croissants, décroissants et scalènes. Les croissants et décroissants sont ceux qui ont deux côtés semblables, et le troisième plus grand, par exemple 4 x 5 x 4, ou plus petit, par exemple 4 x 3 x 4, les scalènes sont ceux qui ont trois côtés différents, comme la ruche 60 (3 x 4 x 5). Le nombre 12 960 000 peut évidemment être décomposé de multiples façons, en recourant, alternativement ou ensemble, à ces trois types de solides ; et c'est de cette manière que sont composés les trois « dispositifs » fondamentaux identifiés par Denkinger, qui servent à nos auteurs pour formuler les deux harmonies. Toutefois, nous devons remarquer que seul le solide scalène, la ruche 60, est en adéquation avec l'exigence de développement tridimensionnel direct du triangle isiaque ; il est donc justifié qu'il soit le fondement de la structure archétypique du nombre nuptial.

    Progressant selon trois intervalles et quatre limites : comme Denkinger, nous pensons que cette expression se rapporte à la structure à trois segments que l'on peut abstraire du triangle isiaque. Si les segments sont disposés en trois dimensions, comme dans le dessin ci-dessous où ils forment les arêtes d'une ruche 60, jointes à un même sommet, on a bien trois distances (trois segments) et quatre limites (quatre points). Si les segments sont disposés en deux dimensions, de façon qu'un cube puisse se développer le long de chacun d'eux, comme nous l'avons représenté verticalement dans la ruche 216, on a également trois distances (trois segments) et quatre limites (quatre points).

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    Comme nous l'avons précisé, les ruches isiaques ne permettent d'illustrer que la première partie du texte de Platon, jusqu'à la section (f). Comme d'autres, nous estimons que la section de (g) à (j) qui concerne la composition des deux harmonies, est inexploitable, et que sa reconstitution ne peut être que conjecturale. Notre proposition géométrique apporte des éléments de « justification naturelle » au nombre 12 960, en tant que produit des deux ruches, mais laisse de côté le problème de sa décomposition en deux sous-harmonie, qui est l'objet de la section (g) – (j).

     

     

    Que s'est-il passé depuis Proclus ?

     

    Rappelons que Proclus est le premier pour lequel la section (g) – (j), et par suite la valeur du nombre nuptial, fasse difficulté. A la recherche d'une « équation-mère » qui remplisse le vide de cette section, et fournisse le principe des deux harmonies, il propose l'équation :

    27 + 48 = 75

    La première chose à remarquer, concernant cette équation, est qu'elle se fonde sur le triangle isiaque et la relation de Pythagore, puisqu'en effet les valeurs 27, 48 et 75 correspondent aux carrés des côtés d'un triangle isiaque dont les longueurs vaudraient, par convention (3x rac3, 4x rac3, 5x rac3).

     

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    Triangle de Proclus

     

    Nous comprenons que Proclus a interprété l'expression « augmenté trois fois » de façon intégrative, ou radicale, puisque les nombres 27, 48 et 75 sont les « résultantes », les développements d'unités qui ont dû, antérieurement, être « augmentées trois fois » : les racines de 3.

    Cette équation détermine ensuite tout le raisonnement de Proclus et sa proposition pour le nombre nuptial.

    On peut dire que le triangle de Proclus est une structure inverse de la ruche 216, en ce que le principe de tri-dimensionnement que la ruche développe sous forme volumique et gnomonique, donc de façon externe, y est conçu comme une constitution, une structuration interne du triangle isiaque.

     

     

    Signification de la racine de 3

     

    Le triangle de Proclus peut être considéré comme une structure opérativement équivalente à la ruche 216, avec cet avantage qu'elle fait apparaître de nouveaux nombres : 27, 48, 75, qui n'apparaissaient pas dans la ruche, au prix de l'ajustement du principe-unité sur un autre nombre que l'unité : la racine de 3. On peut se demander quelle signification ce nombre avait pour Proclus, en tant qu'élément, atome constructif du nombre nuptial. Et nos remarques mathématiques antérieures sur la nef nous permettent d'avancer plusieurs hypothèses. D'une part, la racine de 3 est le « sommet » du système tétractyque des dix grandeurs, ou des dix rayons de la nef. D'autre part, la racine de 3 est le squelette et le milieu du sous-système théodorien de 5 racines qui se déploie dans le carré long ; elle est aussi l'axe fondamental selon lequel s'ouvre la vesica piscis.

    L'invitation de la racine de 3 dans l'analyse du triangle isiaque peut donc, de ce point de vue, être comprise comme l'invitation, dans cette matrice, d'un « principe aurigène » fécondant, d'un germe, capable d'en stimuler la fécondité.

     

     

    Fortune de l'équation de Proclus

     

    L'équation de Proclus sera « récupérée », du moins en partie, par Hultsch, Adam et Diès notamment, qui tirent différents partis du fait que :

    27 x 48 = 1296

    et utilisent cette équation pour former leur « seconde harmonie ».

    Les cathètes du triangle de Proclus se voient ainsi mises en jeu dans une sous-harmonie - qui remplit la moitié du programme des sections (g)-(j) – et qui fait jaillir, sous la forme la plus épurée, le « nombre de Hultsch », dont tous ces auteurs ont dans l'idée qu'il est le principe du nombre nuptial. Pour la troisième fois, ce nombre jaillit de la structure du triangle isiaque, et de cette structure seulement.

    En dehors de cette filière proclienne, la seule autre idée mathématique significative qui ait été introduite dans le procès du nombre nuptial est l'équation, lancée pour la première fois par Hultsch :

    (36 x 36) x (100 x 100) = 12 960 000

    Convenons que l'exploit n'est pas extraordinaire. Nous avions remarqué, en considérant la première des ruches isiaques que

    604 = 12 960 000

    Nous aurions pu tout aussi bien nous amuser à reformuler cette expression sous des formes différentes :

    60 x 60 x 60 x 60 = 12 960 000

    (6 x 10) x (6 x 10) x (6 x 10) x (6 x 10) = 12 960 000

    (6 x 6) x (10 x 10) x (6 x 6) x (10 x 10) = 12 960 000

    et ainsi retrouver l'équation de Hultsch :

    (36 x 36) x (100 x 100) = 12 960 000

    Autrement dit, si l'équation de Proclus 27 + 48 = 75 peut être vue comme une « inversion » géométrique de la ruche 216, l'équation de Hultsch, quant à elle, peut être vue comme un simple jeu d'écriture, exploitant la commutativité et la distributivité de la multiplication, sur les puissances du nombre 60, valeur de la première ruche.

    L'équation de Hultsch était tout ce qu'il manquait pour combler le vide du programme de la section (g) – (j), en fournissant le principe d'une « première harmonie », complétant l'harmonie proclienne.

     

     

    Géométrie riche et géométrie pauvre

     

    Dans sa phrase conclusive, section (k), Platon qualifie le nombre nuptial de tout entier géométrique, et nous pensons que cette assertion a le sens fort que lui prête Aristote, à savoir, qu'elle signifie que ce nombre est une figure solide, ou mieux encore, qu'il correspond à la valeur terminale d'un processus de solidification.

    Si le nombre de Platon est donc supposé, pour nous, géométrique tout entier, il n'en est pas forcément de même de l'exposé de Platon, qui peut nous obliger à distinguer entre deux formes de « géométricité » : une géométricité forte et une géométricité faible.

    Ainsi, si le nombre 12 960 000 peut sembler quelque peu « inflationniste », c'est, de toute évidence , imputable au fait que Platon utilise dans son texte le nombre 100, et les expressions « carré de cent » ou « cent carrés », qui n'ont pas d'autre utilité que de signifier : ajoutez 2 ou 4 zéros au total que je viens de vous indiquer. Alors certes, le produit 100 x 100 est un carré, donc, quelque chose de géométrique ; mais il s'agit là d'une géométrie pauvre, dans la mesure où elle n'a d'utilité que de lester de zéros une valeur, une quantité première qui, elle, possède vraisemblablement des qualités différentes, relevant d'une géométrie plus riche.

    A présent, à la question : quelles sont, dans le procès ancien et moderne du nombre nuptial, les équations relevant de cette géométrie riche, nous répondons que seules les équations de Proclus et de Hultsch impliquant, pour la première, les nombres 27 et 48, et pour la seconde, le nombre 36, relèvent, en toute équité, de cette géométrie riche, qui n'est riche que parce qu'elle développe, sous une forme ou une autre, la géométrie des ruches isiaques.

    Ce que nous entendons par géométrie riche est en somme la même chose que ce qu'Aristote entend par « solidification » : une suite d'opérations arithmétiques, auxquelles sont coordonnées des développements géométriques, de façon biunivoque et continue, - une figure, un pas - et formant une séquence achevée et complète.

     

     

    Perspectives : le problème de la section (g) – (j) et les hypothèses Diès et Paiow

     

    La deuxième harmonie de Platon, dont le texte indique qu'elle est une expression composée, fait intervenir un opérateur connu par la formule « les diagonales rationnelles et irrationnelles de 5 ».

    L'abbé Diès a bien cru décoder cette expression de façon définitive. Se référant à la théorie des nombres « latéraux et diagonaux » de Théon de Smyrne, il interprète cette expression comme désignant les nombres racine50 et 49, le premier renvoyant à l'hypoténuse d'un triangle de cathètes 5x5, le second, au carré 7 x 7 = 49 qui est le carré rationnel dont la valeur est la plus proche de celle de cette même hypoténuse.

    Cette interprétation a pour inconvénient, que l'ensemble de ce passage doit se lire comme une allusion entortillée, n'ayant rigoureusement d'autre objet que de nommer le nombre 48. En effet, les valeurs 49 et rac50 permettent de récupérer cette autre partie du texte : « la première diminuée d'une unité... la deuxième diminuée de deux unités ». Diminués respectivement d'une et deux unités, les nombres 49 et 50 renvoient tous deux au nombre 48.

    Nous aurions donc ici affaire, en toute état de cause, à une géométrie singulièrement pauvre, qui consisterait à utiliser une expression très compliquée pour exprimer une idée très simple : le nombre 48.

    Malgré le caractère en apparence providentiel de l'inspiration de l'abbé Diès, eu égard aux problèmes posés par le texte, nous avons du mal à nous résoudre à l'idée que Platon ait souhaité, à ce point, compliquer son langage.

    Dans son étude sur le nombre de Platon, Georges Kayas mentionne, défavorablement, une hypothèse qui, pour le coup, renverse complètement la table de cette enquête historique. Selon cette hypothèse, due à Michael Paiow (1971), l'expression « les diagonales rationnelle et irrationnelle de 5 » renverrait aux hypoténuses 5 et racine5, dont on sait qu'elles composent la voilure de la nef. Cette proposition, proprement révolutionnaire, aurait pour conséquence d'inviter le triangle aurigène (1,2, rac5), comme guide de la deuxième harmonie du nombre nuptial, en contrepoint au triangle isiaque, qui était à la fois le guide de l'harmonie générale, et celui de la première harmonie.

    Si l'on se rappelle, en outre, que la formule proclienne 27 x 48 = 1290 portait sur des dominées (les cathètes du triangle isiaque), l'hypothèse de Paiow lui apporterait, là aussi une forme de contrepoint, en introduisant une formule portant sur des dominantes (les hypoténuses).

    Malheureusement, nous n'avons pu prendre connaissance de l'étude de Paiow, qui n'existe qu'en allemand, et ignorons les arguments qu'il apporte à l'appui de cette thèse – dont nous ne cachons pas que nous la trouvons plus séduisante que celle de Diès. - Nous réservons à une note annexe l'exposé des conjectures auxquelles nous avons pu nous livrer, sur cette hypothèse.

     

     

     

    La raison des ruches

     

    Ayant rendu nos devoirs à l'exercice civilisé de la « critique des critiques », pour parvenir à cette conclusion, que la littérature du nombre 12 960 000 ne renfermait, en fait de géométrie riche, que des idées très ressemblantes, ou équivalentes à celles que nous avions pu déduire de manière en quelque sorte « a priorique » de la composition arithmétique des ruches isiaques, il nous reste à éclaircir la question de la signification profonde de ces ruches, et des structures géométriques qu'elles mettent en œuvre.

    Tout d'abord, nous devons observer que ces deux objets peuvent être mariés, et même fusionnés, non seulement arithmétiquement par le produit 60 x 216, mais géométriquement, de manière à ne former qu'un seul solide de valeur gnomonique 12 960. Plus exactement, la ruche 60 peut « absorber » la ruche 216 par un redimensionnement de ses atomes-unités.

    On effet, on sait que les cubes gnomoniques de rang 3, 4 et 5 qui composent la ruche 216, peuvent être reconditionnés et refondus en seul cube d'arête 6, en vertu de l'équation :

    3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3

    Il suffit à présent de se munir de 60 de ces cubes reconditionnés, (chacun d'arête 6 et de valeur 216), pour ériger un solide géant de type « ruche 60 », dont chaque élément est un cube gnomonique de rang 6 - solide géant dont la valeur gnomonique sera bien alors de 12 960

    LA NEF - Partie II

    ruche « platonique »

     

    On pourrait penser ici à une sorte de « métaphysique trinitaire »,

    L'analogie entre les trois segments du triangle isiaque, et le symbole chrétien du chrisme tridimensionnel, représentant la trinité, est réelle ; triangle et chrisme sont des structure formées de trois brins générateurs, qui peuvent entrer en composition de diverses manières pour définir un espace bi ou tridimensionnel, à la réserve que les trois brins du chrisme sont formés sur un principe d'homologie et d'isométrie, tandis que les segments isiaques développent un principe scalaire, gradué. Dans la ruche 60, les trois segments isiaques sont assemblés tridimensionnellement selon les directions qui sont celles du chrisme ; tandis que, si l'on part du chrisme pour le soumettre à une transformation inverse, ses trois segments s'assembleront en un triangle équilatéral.

    Ce rapprochement formel entre les deux structures apparaîtra tout à l'heure moins incongru, lorsque nous verrons, avec Plutarque, que la théologie égyptienne associait les côtés du triangle isiaque à une trinité de dieux.

    Les ruches 60 et 216 présentent cette propriété remarquable de pouvoir être aussi bien fusionnées, mariées, fondues dans un même ensemble arithmético-géométrique, que séparées, distingués comme deux processus relevant de différents modes d'accès à la complétude ou à la perfection de l'état solide.

    Le processus de cubification directe qui est celui de la ruche 60 évoque une expression compacte ou repliée de la Trinité, tandis que l'obélisque 216 évoque son expression dépliée dans le temps, les deux expressions se trouvant, l'une à l'égard de l'autre, dans la relation du microcosme au macrocosme.

    Si nous devions exprimer la relation entre les deux ruches sous la forme d'un plan d'architecture, nous prendrions pour base la cité isiaque, composée de trois cubes disposés en triangle, et placerions la ruche 60 au centre de ce dispositif, en tant qu'elle est capable de les absorber, de les intégrer.

     

     

     

     

    Pour les générations divines, il existe un nombre parfait. Le nombre 6 est la formule de l'accès divin à la génération, le triplet 3-4-5 la formule de l'accès humain

     

     

    Nous en arrivons au point où l'étude sur le nombre nuptial aurait du commencer, si Platon n'en avait compliqué le chemin : celui du nombre des générations divines, qui seul, en réalité, peut fournir la clé de l'ordre cyclique – vraisemblablement cosmologique – auquel se conforme la formule, plus complexe, du nombre des générations humaines.

    Contrairement à quelques uns, qui estiment que le nombre divin et le nombre humain pourraient renvoyer à des cycles cosmologiques différents, nous pensons que les deux nombres se soumettent à une même loi cyclique ; en outre, nous pensons qu'il existe entre les deux nombres une relation de subordination, telle que le nombre divin, plus simple et plus synthétique, est la formule, le cadre, le principe général suivant lequel s'ordonne le nombre humain.

    Accès divin et accès humain doivent être commensurables, et définir ensemble un continuum. Sans quoi les « nombres » caractéristiques de l'un et de l'autre seraient impossibles à interpréter....

    Le problème de la critique académique est que, même lorsqu'elle admet qu'un passage de Platon est caractéristiquement pythagoricien, ce qu'elle concède aisément pour notre texte, ce n'est pas pour autant qu'elle est prête à « jouer le jeu » de la tradition pythagoricienne. Sans quoi elle se serait arrêtée davantage à la tradition des réincarnations de Pythagore.

     

    On lit dans les Théologoumènes arithmétiques du Pseudo-Jamblique : "Les pythagoriciens Androcyde, auteur du traité Des Symboles, et Euboulidès, ainsi qu'Aristoxène, Hippobote et Néanthès, tous biographes de Pythagore, ont affirmé que ses métempsychoses avaient duré 216 ans; qu'après un nombre égal d'années, (soit 216 + 216 = 432), il était à nouveau venu au monde pour une nouvelle vie, comme s'il avait attendu le premier retour cyclique du cube du nombre 6, qui est principe générateur de l'âme, en même temps que nombre récurrent en raison de sa sphéricité." La suite du fragment nous apprend que, 432 ans avant son incarnation sous le nom de Pythagore, il avait été, à l'époque de la guerre de Troie, le héros Euphorbe; tandis que Diogène Laërce nous présente une version un peu différente de l'histoire, selon laquelle, entre les avatars Euphorbe et Pythagore, il se serait incarné dans deux autres personnages.

    Comme James Adam, nous pensons que le nombre des générations divines est le même que celui des réincarnations de Pythagore : le cube de 6, le nombre 216.

    La tradition rapportée par le Pseudo-Jamblique émane vraisemblablement d'un groupe sectaire pythagoricien, pour lequel Pythagore était un dieu, qui se réincarne tous les 432 ans. Pour ces pythagoriciens-là, Pythagore n'est autre qu'un avatar d'Apollon hyperboréen ; et l'espacement de ses naissances par le cube de 6 s'explique par le fait que, dans le système théologique pythagoricien, Apollon est la monade, le centre irradiant qui porte en lui-même « le principe du 6 ». Pour les êtres apolliniens tels que Pythagore, le processus incarnatoire ne passe pas par la médiation du 3 – 4 – 5 mais, « sautant » en quelque sorte par dessus, émane directement de la monade, comme la « couronne hexagonale » de la tétractys émane de son centre-unité.

    Dans l'équation des cubes de la cité isiaque

    33 + 43 + 53 = 63

    nous pensons que la partie droite, et l'objet synthétique, se réfère à l'accès divin à l'incarnation, qui est un accès direct, non médié. La génération divine a lieu sous une forme directe qui est celle du « rapport circulaire à soi-même » , (Ouroboros), et qui se manifeste par une pulsation, un coup de temps émanant directement du centre.

    Dans la phrase introductive de Platon l'expression « nombre parfait » se réfère au nombre 6 qui permet cet accès direct et non médié à la perfection de l'état solide, à la différence du nombre humain qui, lui, devra nécessairement s'exprimer par la voie médiatrice du triplet 3-4-5

    Relativement au triplet 3 – 4 – 5, le cube de 6 est à la fois synthétique et récapitulatif ; c'est lui qui sonne l'heure du rappel, du recommencement, dont il tire la connaissance de la monade.

    Si l'on considère le triangle isiaque, on s'aperçoit que le 6 correspond à la fois à l'aire de ce triangle, et à son demi-périmètre.

    Dans le cadre général que définissent les triangles rectangles, le rapport de l'aire au périmètre n'est pas une relation sans signification, puisqu'il permet une définition mathématique forte de la forme de ce triangle. Cette propriété intègre le triangle isiaque à différentes classes, dont il est à chaque fois le premier représentant, comme la classe des triangles dont le rapport aire/périmètre est l'octave ½, ou celle, plus large, de ceux pour lesquels ce rapport est simplement musical.

    Une classe du même genre peut-être définie, qui concerne le rapport de l'aire du triangle rectangle au volume du parallélépipède rectangle qui lui est associée. Dans le triangle isiaque, ce rapport est médié par la décade, puisqu'il est de 6/60

    Pour le triangle isiaque, comme pour la monade apollinienne, le 6 préside à la relation du « dedans » (l'aire) au « dehors » (le périmètre). Ce deux principes de la création sont donc « intimement accordés », mais alors que la puissance de la monade apollinienne est ponctuelle, rythmique, disséminante, son action étant de l'ordre de la fondation et de la stase, la vertu du principe isiaque est « conductrice et délimitante », donc fermante, créatrice de champs clos.

    Le nombre 6 est le nombre de l'Isis-Réceptacle en tant que celle-ci conduit et contient la lumière d'Apollon. Platon n'était pas ignorant de cette fonction de la déesse. « Platon, nous rappelle Plutarque, appelle Isis le siège et le réceptacle de la génération. »

    Le nombre 6 est le nombre parfait dans l'orbe duquel le roi et la reine se connaissent l'un l'autre comme « dedans » et « dehors » l'un de l'autre.

    Isis est la déesse qui a le pouvoir de parcourir sans cesse le chemin du dedans au dehors. Elle est même, pourrait-on dire, la passion de ce mouvement.

    « Comme nous disons d'une femme excellente, qui est mariée et qui déjà avec son mari s'est unie, qu'elle le désire néanmoins : ainsi la Déesse Isis désire toujours ardemment son époux, s'attache obstinément à lui, et ne cesse pas de vouloir se remplir des plus parfaites et des plus pures parties de son essence. »

    « Voilà aussi pourquoi la Déesse porte le nom d'Isis, nom qui provient du mot iesthai, s'avancer, parce qu'elle se meut et progresse avec science, et que son mouvement est animé et dirigé par la réflexion. » (Plutarque)

     

     

     

    Hémiplégie des nombres nuptiaux

     

    De la même manière que le nombre 216 correspond au demi cycle des incarnations de Pythagore, le nombre 12 960 correspond à la demi-précession. Ce sont pourtant bien ces nombres hémiplégiques, ces nombres auxquels manque « leur moitié », qui sont, vraisemblablement, considérés par Platon comme les nombres principes de la génération

    Si tous ces cycles doivent être interprétés en terme de « développement solide », il n'y a pas de sens à ce qu'un être, une réalité, se solidifie deux fois. Le cycle global doit donc à notre sens être conçu comme un aller et retour, l'aller associé au repliement, et le retour au dépliement du solide. Les demi-cycles ne sont pas des périodes qui s'additionnent, s'ajoutent l'une à l'autre, mais qui bien plutôt s'annulent, s'équilibrent l'une l'autre.

    Dans le dernier chapitre de cette étude, nous verrons que le thème de l'hémiplégie, de l'amputation de la moitié, est consubstantiellement lié à celui de la nuptialité, pour la raison même qui veut qu'un époux appelle son épouse « sa moitié », ou qu'Eve ait été détachée du « côté » d'Adam.

    Mais, dès à présent, nous comprenons que cette hémiplégie détient, dans le contexte d'une doctrine hiérogamique et nuptiale, une fonction logique évidente, qui est de porter avec elle le principe du « renvoi » et de « la relation » à un autre ; autrement dit : le principe du mouvement.

     

     

     

    La doctrine des nombres nuptiaux, divin et humain, a-t-elle un rapport avec celle des portes solsticiales ?

     

     

    Dans beaucoup de traditions anciennes, les solstices, qui sont les bornes extrémales de l'année, sont considérées comme des Portes régissant synthétiquement :

    a) Le paradigme de l'Entrée et de la Sortie de toute incarnation, qu'elle soit divine ou humaine

    b) La différenciation des accès à la « caverne » de l'incarnation en deux modes, ou deux processus distincts qui sont « la porte des dieux » (le solstice d'hiver), et « la porte des hommes » (le solstice d'été).

    L'empilement de ces deux contraintes implique que, quelque soit la porte par laquelle on suppose que les hommes soient entrés, la porte par laquelle ils sortent est nécessairement celle par laquelle les dieux entrent.

    Remarquons que ce nouage, cette connexion entre la sortie des hommes et l'entrée des dieux, peut d'ores et déjà être dotée d'un embryon d'applicabilité historique, en ce sens que le moment où beaucoup d'hommes se précipitent en même temps dans les portes de la mort pourra précisément être le signe, pour l'être divin, que l'heure approche pour lui de s'incarner.

    Il en ressort que l'incarnation divine prend à revers et court-circuite toujours l'incarnation humaine.

    Enfin, les portes solsticiales développent exemplairement, au sein du cycle de l'année, la relation d'hémiplégie qui permet de la décomposer en un aller et retour, un « envoi » et un « renvoi », autant dire « un quantum entier de mouvement ».

    Qu'il y ait une relation entre les deux doctrines, n'implique pas qu'on doive les confondre . Des différences apparaissent immédiatement : alors que la doctrine des Portes est, sur le plan cosmologique, circonscrite au contexte de l'année terrestre, la doctrine des nombres nuptiaux regarde en direction de périodes cycliques plus longues, comme l'année précessionnelle, ou une plus grande encore, qui en contiendrait des myriades. D'un côté, la première peut sembler se trouver à l'égard de la seconde dans la relation du « microcosme » au « macrocosme » temporel, du temps court au temps long, de l'autre, elle peut aussi apparaître comme « plus générale », dans la mesure, justement, où ce microcosme n'aurait de valeur qu'en tant qu'« image », exemple, et répercussion d'un Ordre plus grand encore que celui de toute « grande année », qui est l'ordre du tout. Autrement dit, en tant qu'image du tout, la doctrine de l'année peut s'avérer « plus générale » que celles des cycles plus longs qui la renferment.

     

     

     

    Navigations célestes et navigations incarnatoires

     

     

    De façon prudente, on pourra avancer que, malgré ces différences, les deux doctrines se rejoignent dans un même paradigme nautique.

    Les astres du ciel étant essentiellement des nefs, des entités que l'étymologie définit comme errantes, un cycle tel que l'année précessionnelle peut très naturellement être vu comme un port où les astres interrompent « ponctuellement » leur course, en ce sens qu'il retrouvent, rejoignent, ou regagnent, une position qu'ils ont déjà occupée antérieurement. Et ce port comporte une analogie évidente avec la porte solsticiale, aussi bien en tant que borne, qu'en tant butée, et donc point de renvoi, retour ou relance d'un cycle.

    Plutarque nous rappelle que, dans le monde égyptien, les astres ne se déplaçaient pas dans des chars, mais dans des nefs. « Ils disent que le soleil et la lune ne se servent pas de chars, mais qu'ils emploient pour véhicules, dans leur route céleste, des navires. »

    La voie par laquelle les deux doctrines se rejoignent, c'est que, de la même manière que la course des astres d'un « port » à l'autre de l'année précessionnelle est une navigation, la course des âmes, divines et humaines, entre les deux Portes de la vie que sont l'entrée et la sortie, la génération et la corruption, la naissance et la mort, cette course là est elle aussi une navigation. Elle aussi a la forme d'un aller et retour, puisque toutes les traditions la décrivent comme une descente, suivie d'une remontée. Mais de manière plus profonde encore, les deux navigations se font selon les même temps, les mêmes périodes et les mêmes rythmes qui commandent l'ordre général de l'univers ; et donc, la navigation de la vie ne saurait être indépendante de celle des demeures, des résidences astrales dans lesquelles elle a lieu.

    Si les égyptiens plaçaient les astres dans des nefs, c'est pour nous rappeler « qu'ils devaient au principe humide leur naissance et leur subsistance », nous dit Plutarque.

    « Les égyptiens ne situaient pas les génies sur un élément solide et stable, mais ils les situaient tous sur un navire, même le soleil, et pour tout dire, tous ceux qui doivent prendre part au vol sur l'élément humide des âmes qui descendent dans la génération. » (Porphyre)

    « Homère, comme Thalès, apprit des égyptiens à considérer l'eau comme le principe et la force productrice de tous les êtres. Ils affirment, en effet, que l'Océan est Osiris, et que Téthys, regardée comme la déesse qui entretient et nourrit toutes choses, est Isis. Dionysos, comme souverain seigneur de la nature humide, est également appelé Uès, Humide – or ce dieu n'est autre qu'Osiris. »

    En outre, « les égyptiens prétendent que la nef appelée Argo par les grecs est une imitation de la barque d'Osiris, et que, par honneur pour ce Dieu, elle a été placée parmi les astres, non loin d'Orion et de la Canicule, deux constellations que les Egyptiens regardent, la première comme consacrée à Horus et la seconde à Isis. » (Plutarque)

     

     

     

     

    Le commentaire de Plutarque : un court traité de théologie égyptienne. Retour à la dimension intellectuelle du symbole

     

     

    Comme tous les exégètes modernes que nous avons passés en revue, Plutarque interprète le texte de Platon en fonction d'un cadre qui est celui du triangle isiaque. Pourtant, ce triangle se trouve chez lui dans un état, une fonctionnalité, dont il n'est muni chez aucun de ces commentateurs. Le triangle de Plutarque est armé de traits qui le caractérisent comme un dispositif de sens bien particulier, et qui définissent la fonction propre du symbole. Précisons tout de suite que nous estimons que cette approche est l'approche correcte, qu'elle est celle-là même qu'il fallait adopter pour pouvoir comprendre quelque chose aux nombres de Platon.

     

    « Il paraît probable que les Egyptiens ont considéré le triangle rectangle comme le plus beau des triangles, et que c'est surtout à cette figure qu'ils ont comparé la nature de l'univers. Platon paraît aussi s'en être servi pour représenter, dans la République, le Mariage, sous une forme géométrique. Dans le triangle rectangle, en effet, le nombre 3 représente un des côtés de l'angle droit ; le nombre quatre, la base ; et le nombre 5, l'hypoténuse. Et le carré de celle-ci est égal à la somme des carrés des côtés qui contiennent l'angle droit. »

     LA NEF - Partie II 

    triangle de Plutarque

     

     

    Le triangle de Plutarque est comme un arc bandé, ou comme une lyre accordée, capable de délivrer des sons. Sa première qualité est d'être orienté, c'est à dire, de mettre son utilisateur en correspondance immédiate avec le cosmos. Il en résulte une disposition du triangle différente de celle que nous avons adoptée pour la nef, où Osiris correspond à la dimension verticale, Isis, à la dimension horizontale et à la base, et Horus, qui est le fruit de leur union, à la dimension diagonale qui joint l'une à l'autre. On peut naturellement penser ici à un usage liturgique de ce triangle, tout à fait comparable aux gestes qui accompagnent la prière : « Au nom du père, du fils et du saint esprit, Amen.»

    « Il faut donc représenter le côté de l'angle droit comme figurant le mâle, la base du triangle comme figurant la femelle, et l'hypoténuse, le produit des deux. De même, on doit considérer Osiris comme le premier principe, Isis comme la substance qui en reçoit les influences, et Horus comme l'effet qui résulte de leur union.»

    Plutarque remarque ailleurs que les noms que les grecs donnent à l'émission du sperme, apousia, à l'accouplement, sunousia, supposent le même principe : « ils dérivent, comme le mot fils d'ailleurs, uios, de udor, eau, et de usai, pleuvoir. » Osiris habite la verticale, parce qu'il est une pluie.

    Quant à Isis, les égyptiens lui donnent trois noms, dont l'un signifie mère, l'autre habitation terrestre d'Horus, tandis que le troisième est composé de deux mots qui veulent dire plein et cause. « La matière du monde, en effet, est pleine, et bonne, pure et souverainement ordonnée. »

    Dans le triangle, Horus est associé au nombre 5, et Plutarque remarque qu'en grec, du mot pente, cinq, est dérivé, croit-on, le mot panta : univers. « Les égyptiens ont en outre l'habitude d'appeler Horus Min, mot qui signifie vu, parce que le monde est sensible et visible. »

    Le modèle hiérogamique que Plutarque identifie dans le triangle isiaque a donc pour objet de représenter l'engendrement de l'univers.Telle est, en effet, la prétention insigne du symbole : la reconduite à l'universel. Les nombres de Platon ne sont signifiants que parce qu'ils reproduisent l'action hiérogamique qui a présidé à la création de ce monde, et qui se reproduit partout et toujours, chaque fois que naissent des dieux ou des hommes.

    Le lecteur comprendra de ce trop bref aperçu qu'il est plus important, pour la compréhension de la doctrine du nombre nuptial, de lire Isis et Osiris, plutôt que toute toute étude moderne prétendant l'aborder de façon soit disant « spécifique », sans excepter la présente. Prêtre d'Apollon, Plutarque était aussi ce qu'on appellerait aujourd'hui un « savant comparatiste ». Son autorité en matière de théologie égyptienne peut s'appuyer sur la constatation « proverbiale » des égyptologues selon laquelle : « chaque fois qu'on « découvre » une peinture mythologique egyptienne : le propos de Plutarque est confirmé ». Quant à la question de la pertinence de sa saisie initiale, savoir, s'il est possible que la fable de Platon soit elle-même un souvenir, une redondance explicite, d'un enseignement égyptien, dont Platon aurait eu connaissance par « ses accointances pythagoriciennes », elle est au moins vraisemblable, dans la mesure où l'oeuvre de Platon témoigne, en divers autres endroits, qu'il n'était nullement ignorant de ces matières.

     

     

     

    Le poids du commentaire d'Aristote. L'art d'attendre la fin.

     

    Le commentaire d'Aristote sur le nombre de Platon survient, au livre V de la Politique, par une voie quelque peu circonstancielle, incidente. Aristote arrive au terme d'un long exposé dans lequel, après avoir défini les différentes formes de gouvernement, il examine, avec son souci d'exhaustivité habituel, l'ensemble des causes qui peuvent déterminer le changement, la transformation d'un régime en un autre, en fonction de toutes les situations possibles de départ : monarchie, tyranie, démocratie, etc, toutes situations qu'il illustre d'exemples historiques bien précis.

    Pour Aristote, la théorie des transformations doit être envisagée sous l'angle du particulier, qui oblige, chaque fois, à considérer toutes les possibilités qui se présentent en fonction d'une situation initiale donnée. Tandis que, dans sa propre théorie politique, Platon n'évoque qu'un seul cycle uniforme de transformation qui est : timocratie, oligarchie, démocratie, tyranie.

    Jean Tricot estime qu'Aristote «  reproche en somme à Platon de se contenter d'une explication trop générale, commune à toutes les constitutions, et même à tout devenir. » Et ajoute : « On sait qu'Aristote s'est toujours élevé contre les explications qui ne sont pas propres à la chose, ne s'appuient pas sur les principes de la chose elle-même. » Pour Aristote, science politique et science naturelle sont deux sciences différentes, qui tirent la différence de leurs méthodes de la différence de leurs objets ; et son instinct scientifique répugne à l'idée de considérer « le politique » comme une simple variété du naturel.

    « Dans la République, écrit Aristote, la question des révolutions est discutée par Socrate ; toutefois son exposé n'est pas correct ». Aristote saisit au vol une théorie de son maître comme exemple de ce qu'il ne faut pas faire en matière de théorie révolutionnaire.

    « Car, reprend-il, la cause qu'il invoque est que rien ne demeure mais que tout se transforme à l'intérieur d'un certain cycle de durée, et que le principe de ces changements réside dans ces nombres dont la base épitrite conjuguée avec le nombre cinq fournit deux harmonies, ceci devant s'entendre quand le nombre de la figure ainsi obtenue devient un solide, époque où la nature engendrerait des hommes vils, et qu'aucune éducation ne peut dompter. »

    Malgré l'apreté de sa contestation épistémologique, il existe un important pan de présupposés qu'Aristote ne semble pas remettre a priori en cause dans le discours de Socrate, savoir : que de telles lois naturelles puissent exister dans l'absolu, qu'elles soient justiciables d'une description de type mathématique. La phrase qui suit exprime d'ailleurs cette réserve positive. « Cette dernière affirmation, certes, n'est sans doute pas en elle-même dénuée de vérité, car il peut se faire qu'il existe des individus inaptes à toute éducation, incapables de devenir des hommes vertueux »

    La critique s'exprime ensuite : « Mais en quoi pareil changement (de la république idéale à la timocratie) serait propre à la constitution que Socrate affirme la meilleure, plutôt qu'à toutes les autres, et à toute forme de devenir ? »

    Pour la critique moderne, le sujet le plus étonnant est sans doute qu'Aristote ait pu admettre la validité du « théorème de Platon » suivant lequel : « lorsque les nombres qui gouvernent les cycles de la nature deviennent solides, les choses pourrissent et meurent. » Car de fait, il est bien possible qu'il ait admis que ce théorème fût vrai en tant que théorème de science naturelle, ou de « science des cycles », tout en estimant que son emploi n'était pas recommandé en science politique.

    En deça de cet étonnement, s'impose aussi un constat rétrospectif qui est : « toutes ces rêveries mystiques pythagoriciennes – à commencer par la valeur de ces satanés nombres – étaient manifestement très bien connues des élèves de Platon. »

    De fait, le doute ne semble pas permis sur la caution qu'en le critiquant, Aristote apporte à Platon, savoir : qu'il est de notoriété pythagoricienne que, lorsque les nombres de la nature deviennent solides : il ne faut pas donner naissance à des enfants.

    Il ne reste qu'à en tirer les conséquences logiques. Durant cette période où les nombres de la nature deviennent solides, le politique devra s'abstenir d'organiser des mariages, sous peine de donner naissance à une génération perverse ; il n'aura donc d'autre choix en matière de politique nataliste que d'attendre. Mais attendre quoi ? La réponse s'impose avec évidence : attendre que ce processus de solidification soit terminé.

    Ceci explique que le moment de « la sortie des hommes », le moment où ils ont déterminé de se préciter en masse dans le chemin de la mort, soit, une fois parvenu à son terme – lorsque le solide constitué de briques de temps est achevé et complet – le moment que choisissent les dieux pour s'incarner, mais aussi le moment que doivent de préférence choisir les sages pour donner naissance à une génération d'humains qui soient à l'image du divin, et marquée pour la suite de ce sceau de race « première », initiatrice d'un âge d'or.

    La tradition des réincarnations de Pythagore stipule bien que Pythagore attend, pour se réincarner, le retour cyclique du cube de 6. Et, dans ce cube : chaque brique correspond bien à une unité de temps : une année.

    La sagesse du Politique consistera donc à imiter, en tant que pasteur des hommes, le savoir des dieux, en sachant attendre, pour les faire naître, que le « suicide collectif » de la génération précédente ait été parfaitement consommé, que le temps des troubles et de la discorde soit parvenu au terme de son développement.

    Seulement voici. Ce temps d'attente et de décomposition, ce temps de solidification, durant lequel les hommes n'ont pas intérêt à se reproduire, correspond aussi, dans le champ politique, au temps de l'action révolutionnaire, qui est le temps d'action du législateur ; du moins, telle est bien la conviction de Platon.

    Autrement dit, l'homme d'Etat se reconnaît à ce que dans la période où toutes choses sont « en attente », suspendues et indécises, sa tâche propre doit plutôt consister à « se dépêcher d'agir », pendant que les circonstances sont favorables.

    Alors même que tout est en passe de finir de se solidifier, de se pétrifier dans la lenteur et dans la mort, alors, s'ouvre une brèche de temps où l'action politique peut avoir quelque chance de prospérer, où pourront se réaliser toutes les choses qui ne le pouvaient pas, avant que les temps ne soient mûrs, et presque consommés.

     

     

    Le paradigme de la construction d'autels

     

    Si nous considérons la « grande » ruche 60, la ruche synthétique dont chaque unité est un cube gnomonique de rang 6, et que nous la mettons en regard du cycle de l'année précessionnelle (ou plus précisément, comme on l'a vu, d'un semestre de cette année), nous remarquons que chaque atome, chaque brique de cet édifice correspond à une unité de temps qui est l'année. La ruche compte 12 960 briques, dont chacune correspond à une année du cycle de la demi-précession.

    Ce paradigme qui fait correspondre, biunivoquement, la construction d'un édifice à l'écoulement d'une période de temps se rencontre dans d'autres traditions, et nous avons évoqué ailleurs la cérémonie védique de l'agnichayana, qui consiste à ériger un autel parallélépipédique dont chaque brique correspond à une fraction du temps de l'année.

    La grande ruche isiaque peut donc être vue comme l'équivalent, pour l'année précessionnelle, de ce que représente l'autel d'Agni pour l'année terrestre.

    Fin connaisseur de la logique du gnomon, d'Arcy Thompson a découvert une application de ce genre en remarquant que 12 960 000 correspond au nombre de minutes contenues dans un cycle de 25 ans. Des critiques ont pensé le réfuter en lui faisant observer que les grecs ne connaissaient pas la minute ; mais leur argument n'est pas forcément pertinent, dans mesure où la minute à laquelle se réfère l'équation de d'Arcy n'est pas une notion d'usage culturel, mais simplement un nombre, résultant d'opérations d'arithmétiques simples sur d'autres divisions du temps (aussi bien naturelles que culturelles), qui elles, étaient pratiquées par les grecs.

     

     

     

    Le noeud platonicien : conjonction du temps politique de l'histoire, et du temps cyclique de la nature : le KAIROS

     

    Pour Platon, les réalisations civilisationnelles n'échappent pas aux lois vitales et cycliques qui président à tous les autres accomplissements de la nature ; mais, loin que cette sujétion doive conduire l'homme d'état à un quelconque fatalisme, elle l'oblige au contraire à une sagesse, à une lucidité supérieure, puisque son action devra se conformer à l'état de maturation dans lequel se trouve ladite civilisation. La qualité de l'homme d'Etat, c'est d'être capable de conduire l'Etat dans l'état où il est,

    Les réflexions platoniciennes sont aussi le reflet de ce que fut son expérience politique. Auteur de projets de constitutions idéales, il n'eut que de fugaces occasions d'espérer les expérimenter dans la pratique, toutes en dehors de sa patrie, et toutes avortées. La situation politique athénienne lui paraissant être dans un état où aucun espoir de réforme n'était en vue, il dut passer l'essentiel de sa vie à « attendre », à espérer que les choses atteignent le degré pourrissement, où une révolution serait possible.

    A défaut de pouvoir provoquer ce moment politique, Platon pouvait se satifaire d'en connaître la forme, le principe théorique. Ce moment révolutionnaire consistait en une boucle de temps, un intervalle durant lequel le moment de l'action politique et celui de l'horloge naturelle, cosmologique, se trouvent étroitement noués et coordonnés, de telle sorte que l'homme ne soit plus, dans cet intervalle, en situation de subir les décrets de la nature, mais qu'il soit au contraire en puissance de les dominer.

    Dans son ouvrage « Platon protecteur de la vie », Hans Günther observe que Platon fut l'inventeur de l'idée de sélection, et de l'eugénisme. « Platon prônait que la pratique eugéniste, et elle seule, était en mesure de préserver et d'accroître la dignité humaine. » C'est difficilement contestable : la République de Platon a l'aspect général d'un Camp dans lequel sont créées, élevées et éduquées des races humaines artificielles, dévolues à différentes fonctions dans l'Etat, le tout dans un esprit collectiviste et hors de toute structure parentale. La « race d'or » de Platon est un sujet dont la nature, la substance et le projet sont d'ordre entièrement politique ; sujet à l'édification duquel la nature doit apporter son concours en se pliant à la volonté directrice du sage, du législateur.

    Pour en revenir au moment opportun, ce Kaïros, est en lui même remarquable, en tant qu'un temps d'une qualité différente des autres, marqué par l'accélération, la précipitation, la densité, une structure de vortex.

    Sur ce moment opportun, la littérature pythagoricienne n'est pas beaucoup plus éloquente que les autres. Elle considère qu'il est important, plus important même que l'action, puisqu'aucune action ne peut réussir sans lui ; mais que « le connaître est difficile ». La connexion entre le temps historique et le temps naturel n'est pas une réalité qui puisse apparaître avec certitude dans les choses extérieures, mais seulement dans le sujet, car seul le sujet pensant a la possibilité d'habiter cet espace-temps des possibles. Et lui-même ne peut s'en aviser qu'en avançant, tel Isis, c'est-à-dire en agissant concrètement sur les choses, pour voir si elles lui répondent.

     

     

     

    « Ces choses-là, je n'en ai jamais parlé »

     

    Les arguments de Matila Ghyka nous ont convaincu que la lettre 7 de Platon était authentique, - et à ce titre, l'un des documents les importants de l'antiquité,- et que ces paroles, notamment, étaient à prendre particulièrement au sérieux.

    « S'il se trouve quelqu'un pour écrire un livre dans lequel il prétendra exposer ma doctrine sur les points qui me tiennent le plus à cœur, qu'il croie les avoir appris de moi ou d'un autre, ou y être parvenu de par lui-même, sachez que cet homme ne comprend rien à la chose : car il n'existe pas d'écrit de moi traitant de ces points, et il n'en existera jamais. »

    Un essayiste comme Ernest G. Mc Cain répond exactement au profil de l'auteur sur lequel Platon a jeté par avance son anathème ; et son avis serait sûrement que Platon, malgré ses dénégations, a tout de même « parlé de ces choses-là », assez pour que l'on puisse enquêter dessus ; même s'il faut admettre qu'il l'a toujours fait en prenant certaines précautions, qui font que la recherche du Platon ésotériste et pythagoricien demeure aujourd'hui encore un casse-tête.

    La nature d'un secret veut qu'il possède un dedans, et un dehors. De sorte que, s'il est toujours possible de parler « extérieurement » de ce dont il s'agit, un tel discours doit néanmoins toujours s'appuyer sur un retranchement inexpugnable : qui est la chose que l'on a décidé de ne pas dire. Il peut s'avérer parfois délicat, pour un initié, de respecter ce principe, lorsqu'on est aussi écrivain... Les scrupules de ce genre, la peur d'en avoir « peut-être déjà trop dit » sont légion chez des auteurs tels qu'Hérodote, ou Plutarque... pour ne citer qu'eux.

    Pour un professionnel de l'écriture comme Platon, l'énigme - le retrait du nombre - pouvait donc être un bon moyen de s'assurer que son propos demeure toujours « hémiplégique », qu'il conserve cette part inviolable de retranchement.

     

     

    Références :

    Platon : La République, Livre VIII (546 b-c)

    Aristote : Politique, Livre V, ch. X.

    Plutarque : Isis et Osiris, 56

    Nicomaque de Gérase : Introduction arithmétique, II, 24

    Jamblique : In Nichomachi arithmeticam

    Proclus : Commentaire sur la République de Platon, II, 36

     …..

    Friedrich Hultsch : Die geometrische Zahl, 1882

    James Adam : The Nuptial Number of Plato, 1891

    Auguste Diès : Le nombre nuptial de Platon, 1933

    Marc Denkinger : L'énigme du nombre de Platon, 1955

    Hans Günther : Platon eugéniste et vitaliste, 1965

    Michael Paiow : Die mathematische Staatsstelle, 1971

    Georges Kayas : Le nombre géométrique de Platon, 1972

    Ernest G. Mc Cain : The pythagorean Plato, 1978

     

     

     

     

    CHAPITRE VI : LA CHAMBRE DU ROI

     

     

    LA NEF - Partie II

     

     

     

     

    La volonté de transmettre

     

    Aux yeux de l'observateur moderne, la pyramide de Khéops est sans doute l'exemple le plus impressionnant de la volonté de transmettre des civilisations anciennes, cette volonté s'attachant avec la même au force au contenant - un édifice conçu pour franchir des millénaires – qu'au contenu -un ensemble d'idées géométriques rendues bien lisibles par les mesures et les proportions « rondes » et « explicites » de l'édifice.

    Dans la logique de cette volonté, la première exigence était une condition de la seconde : pour que les idées géométriques puissent se conserver sans altération, il fallait que la structure de l'édifice le permette. La première chose à remarquer est que l'entreprise égyptienne est à cet égard un succès total, puisque, s'il existe d'innombrables débats touchant la « fonction » ou la signification même de la pyramide, en revanche, les dimensions en coudées égyptiennes de la pyramide et de la chambre du roi (pour nous limiter à ces deux données essentielles) font l'objet d'un accord unanime des égyptologues, académiques ou non.

    Malgré cette réussite de principe de l'entreprise égyptienne, convenons que les pyramides laissent subsister à peu près entières, dans la compréhension des modernes, les deux énigmes initiales du « comment » et du « quoi ».

    La première de ces énigmes concerne le niveau extraordinaire, mais mal connu, d'expertise technique, et de génie mécanique, requis pour la construction de tels édifices.

    La seconde concerne la signification profonde de cette idéologie géométrique, dont les proportions de la pyramide se veulent explicitement les supports.

    C'est évidemment à cette seconde énigme que se dédiera notre étude.

     

     

     

    Le paradigme de Khéops

     

     

    Comme le pied, la coudée est un étalon de mesure naturel, dont chacun dispose dans son corps.

    Il existe, dans le monde égyptien, des définitions variables de la coudée, qui en vertu de la nature ne s'éloignent jamais grandement du demi-mètre. Les musées conservent quelques exemples d'une « coudée royale » mesurant approximativement 52 centimètres.

    La pyramide de Khéops peut être qualifiée de témoin « paradigmatique », en ce que la mesure empirique de son tout aussi bien que celle de ses parties donne un résultat « aussi satisfaisant que possible » si l'on suppose que ses concepteurs ont utilisé une coudée royale de 52, 36 centimètres, précisément.

    Sur ce postulat, on obtient pour la pyramide et la chambre du roi les mesures en coudées égyptiennes qui sont les suivantes :

     

    Hauteur/Côté pyramide = 280/440 coudées royales de 52, 36 cm

    Plancher chambre du roi = 10x20 coudées royales de 52,36 cm

     

    Au sein de ce postulat le macrocosme (la pyramide) et le microcosme (la chambre du roi), se confirment et se soutiennent l'un l'autre de façon très convaincante. La chambre du roi est un volume de pierre en état de conservation parfait, dont les surfaces intérieures ont une précision comparable à celle qu'on pourrait aujourd'hui obtenir, avec l'aide d'un rayon laser ; de ce fait, même si les mesures empiriques du macrocosme – de la pyramide – ont pu être rendues précaires par l'érosion, cela n'a pas suffi à ce qu'un doute puisse survenir sur ce rapport 280/440, qui, en soi, s'impose comme un ratio porteur de « logos », comme une idée mathématique, grosse d'applications tant géométriques qu'arithmétiques.

    L'acceptation de ce paradigme (qui, rappelons-le, fait l'objet à ce jour d'un consensus universel), est la seule « condition de foi » à laquelle soit soumise la prétention de faire dire quelque chose à l'architecture de la pyramide de Khéops. Car cette condition, en rapportant les grandeurs mesurables de la pyramide à des nombres, et donc à des unités, suffit pour « réduire », ou reconduire, le plan de la pyramide à une construction géométrique, avec toute l'exactitude conceptuelle que cela suppose.

    Une fois délimité le consensus savant sur lequel s'appuie et auquel s'accorde notre étude, nous toucherons un mot, pour nous en débarrasser, des idées auxquelles elle ne s'accorde pas.

     

     

     

    Une coïncidence malheureuse

     

    Le rapport de la coudée royale égyptienne (ayant servi à l'architecte de Khéops) à notre mètre est de 0,5236

    Ce nombre se rapporte, par une parfaite coïncidence, à la valeur arithmétique du rapport doré, et cela par le biais du triangle aurigène, puisque, si l'on additionne les côtés de ce triangle on obtient un nombre irrationnel qui est :

     

    1+2+ 2,23606797 5,23606797

     

    Dans une seconde phase d'étonnement, on peut remarquer que ce nombre de 0,5236 qui est le dixième du périmètre du triangle aurigène, se trouve, à l'égard de π, dans le rapport approximatif assez acceptable de 1/6 puisque

    0,5236 x 6 = 3,1416

    On aboutit à cette équation, qui est la juxtaposition de 2 coïncidences :

    coudée/mètre = (1+2+rac5)/10

    = (3 + Φ + 1/Φ)/10

    = π/6

    Equation dans laquelle le rapport de la coudée au mètre semble renvoyer de façon singulièrement chanceuse, aux nombres Φ et π.

    Il convient de distinguer les deux parties dont se compose cette « constatation ». La seconde partie, qui revient à établir un rapport proportionnel entre Φ et π, rapport approximatif, et médié par le triangle aurigène, peut être considérée comme intéressante sur le plan des idées mathématiques, dans la mesure où ces nombres remarquables peuvent apparaître comme les opérateurs profonds d'une sorte de dialectique de la nature.

    Dialectique, où le nombre π serait l'opérateur de ce qui est courbe, et le rapport doré, en tant rapport des rapports, ou rapport absolu, l'opérateur suprême de ce qui est droit. On peut en effet qualifier le rapport doré de « rapport le plus simple à soi-même » qui puisse s'exprimer dans la division d'un segment de droite.

    On peut donc dire que le rapport de la coudée au mètre conduit par hasard à la considération d'un autre rapport, celui du nombre π au nombre Φ, qui peut sembler porteur d'une certaine consistance, d'un certain intérêt philosophique, d'ailleurs attesté et repérable dans la tradition pythagoricienne (comme nous le montrerons dans une autre étude).

    Cette seconde partie de l'équation peut se simplifier par exemple par la formule approximative :

     

    3 + Φ + 1/Φπ x 6/10

     

    En revanche, il convient de demeurer lucide sur la valeur de la « saisie initiale » sur laquelle s'appuie notre coïncidence , à savoir le rapport coudée/mètre, qui n'est, en soi, porteur de rien de plus que de l'idée totalement arbitraire de comparer ces deux étalons, séparés historiquement par des millénaires. Même si le rapport du mètre à la coudée avait été, (pour prendre une hypothèse encore plus frappante), directement égal au rapport π/Φ, et cela jusqu'à 15 chiffres après la virgule, il ne serait résulté, pour la compréhension des idées égyptiennes, rigoureusement rien d'intéressant d'une telle coincidence.

    A la précision près, - mais la précision ne change rien à l'affaire - une telle coïncidence ne contiendrait aucune idée plus intéressante que, par exemple, la constatation que 10 francs = 1,6 euros, qui est une valeur proche du nombre d'or.

    Dans le cas qui nous intéresse, tout ce qui est résulté d'une telle coïncidence, c'est l'occasion, pour beaucoup de gens, de s'en étonner, et ensuite, celle de supposer qu'il y avait derrière cette coïncidence un complot historique, dont la teneur est à peu près celle-ci : le mètre moderne est le plagiat inavoué d'un étalon de mesure universel qui aurait été connu de toutes les civilisations anciennes, étalon fondé sur une connaissance tantôt astronomique, (le méridien terrestre), tantôt micro-physique, (le diamètre de la goutte d'eau), mais toujours de style « moderne » : hypothèses aux allures légèrement paranoïaques, dont le tort principal aura été de détourner les esprits de réfléchir aux données mathématiques extraordinairement précises, et consensuelles, dont la pyramide est porteuse par ailleurs.

    Au final, on aura abouti à ce décevant prodige, qu'un procès historique caractérisé par sa clarté, par la réussite de la volonté de transmission, se présente maintenant pour beaucoup sous les dehors de « l'opacité », et de l'occultation historique.

    Il est donc grand temps de revenir à nos moutons.

     

     

     

    Anatomie de la chambre du roi

     

     

    LA NEF - Partie II

    L'aire du plancher, comme celle du plafond, est un carré long de 10 x 20 coudées.

     Tout le monde s'accorde pour penser que la hauteur de la chambre, approximativement égale à 11,172 coudées, est choisie pour que la diagonale (ab) du petit mur vertical soit égale à 15 coudées.

      On remarque que le triangle (abc) est un triangle isiaque de côtés (15, 20, 25), tandis que le triangle (bcd) est un triangle aurigène de côtés (10, 20, racine50). Les deux triangles, vert et orange, sont les éléments d'une nef, mais cette nef diffère de la nef classique, du fait que les valeurs des côtés du triangle isiaque ont été multipliées par 5, tandis que celles du triangle aurigène ont été multipliées par 10.

      Du fait de ces opérations, la proportion entre les aires des triangles se trouve modifiée. Dans la nef classique, le rapport entre les aires des triangles aurigène/isiaque est de 1/6, tandis que, dans la chambre du roi, la proportion est de 2/3. Ces nefs appartiennent à différents types, qu'on pourra qualifier, pour le premier, de nef « solaire », et pour le second, de nef « de quinte ». Cette typologie n'est pas arbitraire, car si l'on examine, pour une nef quelconque, quels peuvent être les rapports d'aires entiers possibles, par exemple, au sein des 10 nombres de la décade, on s'aperçoit que seuls les rapports : 1/6, 6/1, 2/3 et 3/2 sont possibles. Autrement dit, en plus des deux exemples que nous connaissons déjà, seuls sont autorisés les rapports inverses de ces cas.

     

     

     

    Prototype premier de la chambre du roi

     

    La nef classique est un objet géométrique premier, d'une part, parce que le triplet isiaque 3-4-5 est le premier des triplets pythagoriciens, d'autre part, parce que les nombres 1 et 2 sont les plus petits entiers au moyen desquels on puisse construire un triangle aurigène.

      La nef égyptienne ne possède pas cette qualité de primarité, car il existe une solution de nef plus simple que celle de la chambre du roi, mathématiquement homologue, et qu'on appellera ici son prototype premier.

     

    LA NEF - Partie II

    Dans ce prototype premier, les valeurs du triangle isiaques sont les valeurs premières (3, 4, 5), tandis que les valeurs du triangle aurigène sont doubles des valeurs classiques (2, 4, racine20). Ce prototype peut être qualifiée de nef de quinte première, du seul fait de la primarité du triplet (3, 4, 5). En effet, pour qu'un rapport de quinte soit possible entre un triangle aurigène et un triangle isiaque « quelconques », il faut d'abord qu'un triangle isiaque soit possible ; il n'existe donc pas de nef de quinte plus petite que ce prototype.

      On comprend bien que, si l'architecte de la pyramide n'a pas adopté pour patron ce prototype premier, c'est parce que les dimensions de la chambre, en coudées égyptiennes, auraient été bien trop exigües, et plutôt appropriées à la confection d'un coffre.

      Dans la suite de ce chapitre, nous aurons alternativement à nous référer soit à la nef originale de Khéops, soit à son protoptype premier, qu'il est donc important de bien distinguer.

     

     

     

    Une propriété spéciale de la nef de quinte

     

      La nef de quinte possède une propriété unique, qui explique, très probablement, que l'architecte de Khéops l'ait choisie pour patron. Dans cette nef, en effet, le périmètre du triangle isiaque est égal à celui du carré long, formé de deux aurigènes jumeaux.

      Dans la chambre du roi, le périmètre du triangle isiaque, comme celui du carré long, est égal à 60 coudées.

      Tandis que, dans le prototype premier, les périmètres du triangle et du carré long valent 12.

      Nous avons déjà observé que, dans la tradition, le carré long et le triangle isiaque étaient identifiées l'un comme l'autre comme des figures matricielles de la géométrie sacrée, alors même que le triangle aurigène, lui-même, demeurait relativement inconnu. Et nous avons émis l'idée que ce manque de notoriété, ou de visibilité dans la tradition, pouvait se fonder aussi sur des raisons mathématiques.

      Dans la nef égyptienne, l'idéologie qui tend à mettre en exergue, à côté du triangle isiaque, le carré long formé de deux aurigènes jumeaux, trouve, précisément, la justification mathématique la plus immédiate, puisque la parenté des deux figures-symboles : le carré long et le triangle isiaque se traduit par une relation d'identité arithmétique : l'isopérimétrie.

      Et cette relation recèle encore quelque chose de plus profond.

      En effet, la relation d'isopérimétrie entre les deux figures a pour effet de les soumettre à un principe d'homologie, sinon d'identité ; par là, elle peut être comprise comme une relation de généricité, où l'une des figures est engendrée à partir d'une duplication (accompagnée d'une déformation) de l'autre.

     

    LA NEF - Partie II

    rapport d'aire des triangles

    2         /        3

     

      Ainsi, on peut imaginer que le carré long se soit formé à partir d'une duplirotation du triangle isiaque, mouvement qui aurait entraîné une déformation continue de la figure. Si l'on sait que, dans le contexte égyptien, l'usage de la corde à 13 nœuds était le b-a ba de la science de l'arpentage, on comprend que l'idée d'une telle transformation ait été naturelle à l'architecte de Khéops. Plus profondément encore, il est permis de voir dans cette transformation l'expression d'une « fonction isiaque », archétype d'une fonction d'arpentage sacré, caractéristique d'une famille de déesses architectes et bâtisseuses, telles que Mélusine.

      Dans la nef royale égyptienne, le rapport des aires des triangles est de 2/3 ; mais il est à noter que la quinte inverse, dans laquelle le triangle aurigène est plus gros que le triangle isiaque, possède des propriétés non moins intéressantes.

     En particulier, si l'on ajuste cette nef de quinte inverse au facteur 33 du triangle de Charpentier, on observe les propriétés suivantes.

     

    LA NEF - Partie II

    rapport d'aire des triangles

    3   /   2

     

      On se retrouve face à une nef de base 99, dont les segments entiers : 33, 44, 55, 66 ne sont autres que les valeurs du système k=11 de la cité isiaque, que nous avons rencontrées dans la première partie de cette étude.

     On observe d'abord ce rapport de commensurabilité généralisé entre les segments de la nef :

     

     3a = b+c = d+e =f2/e = 99

     

    Mais on observe également une proportionnalité entre l'hypoténuse du triangle aurigène, égale à racine de (363 x 15) et les aires des triangles de la nef, respectivement égales à 363 x 3 et 363 x 2

     

     

     

    Reprise de l'anatomie de la chambre : les trois rectangles et leurs prismes associés

     

    Pour cette partie de l'exposé, nous utiliserons le prototype premier de la chambre du roi, qui se recommande par sa simplicité, et donc par sa généralité supérieure ; en sachant que, chaque fois que le lecteur voudra savoir à quels nombres correspondent, dans la chambre de Khéops, les valeurs du prototype premier, il lui suffira de multiplier ces valeurs par 5.

      Nous avons vu que la diagonale du petit mur vertical était le premier terme d'un triplet pythagoricien qui, dans la chambre de Khéops, est le triplet (15,20,25), et, dans notre prototype premier, le triplet (3, 4, 5).

    LA NEF - Partie II

    Notre chambre est donc divisée diagonalement, du sol au plafond, par un rectangle isiaque de côtés 3x 4 : le rectangle orange ABCD, qui divise la chambre en deux prismes triangulaires, les prismes ABCDIJ et ABCDLK

      Nous savons que le sol et le plafond de la chambre sont des carrés longs de côtés 2x4. Mais en raisonnant par analogie avec le rectangle isiaque, il nous est loisible de choisir, pour objet de référence de ce carré long, le rectangle vert EFGH qui divise la chambre en deux prismes rectangulaires égaux : les prismes EFGHABJI et EFGHLKCD

     Une remarque s'impose alors : il existe une troisième manière de diviser la chambre en deux prismes jumeaux, au moyen d'un plan rectangulaire. Ce moyen nous est fourni par le rectangle bleu IBKD de côtés (rac20 x rac5), qui divise la chambre en deux prismes, IBKDJC, et IBKDAL

     

     

    Trois remarques

     

    A.

      A la différence des deux précédents, ce rectangle a la propriété de paramétrer la hauteur de la chambre. Il apporte donc un éclaircissement mathématique immédiat à la hauteur approximative de 11,172 coudées égyptiennes que les égyptologues relèvent empiriquement dans la chambre du roi.

      En effet 11,172 / 5 = 2,2344

     à comparer avec :

     rac5 = 2,2360...

      A l'échelle de la chambre, le désaccord entre les deux valeurs est de l'ordre du millimètre. Il est donc raisonnable de supposer que la hauteur théorique de la chambre du roi, qui est en l'occurrence la valeur réelle qu'avait dans l'esprit l'architecte de Khéops, n'est pas 11,172 mais plus probablement 11,1803398875... = racine125

      Comme les valeurs du plancher aurigène et du plan diagonal isiaque, la hauteur de la chambre est une valeur simple qui, dans notre prototype premier, est la valeur racine 5, et dans la chambre de Khéops, la valeur racine 125.

     La valeur racine 5, comme on sait, peut être comprise comme un avatar de Φ ; c'est en tous cas de cette manière que Mattila Ghyka la traite dans son étude magistrale sur le nombre d'or.

     

     

    B.

      Le rectangle bleu est un carré long puisque rac5/rac20 = ½

      La chambre du roi n'est pas l'harmonisation de deux rectangles, mais de trois, dont l'un est isiaque, tandis que les deux autres sont des carrés longs. Et il y a mieux, puisque les aires de ces trois rectangles s'harmonisent en une proportion continue :

      rectangle vert : 8

     rectangle bleu : 10

     rectangle orange : 12

     

      Dans la pyramide de Khéops, les aires des trois rectangles sont respectivement de 200, 250 et 300 coudées carrées. Pour passer du prototype à la chambre des égyptologues, il faut multiplier les valeurs par 5 x 5 = 25

      Soit :

      8 x 25 = 200 

    10 x 25 = 250

     12 x 25 = 300

     

    C.

      Nous rencontrons ici une redondance de l'idéologie qui, dans la tradition, tend à mettre en correspondance, à un objet isiaque, deux objets aurigènes.

      Et, au sein de cette trinité, la fonction de la hauteur de la chambre, et du rectangle bleu, (paramétrés par un avatar du nombre d'or) nous apparaît plus nettement aussi, comme une fonction d'intermédiation entre les principes hiérogamiques de la nef, représentés par les rectangles vert et orange, en rapport de quinte.

      Cette trinité de rectangles présente un air de famille avec le diagramme de Barazzetti, qui définit une réalité volumique en fonction de trois plans de coupe rectangulaires. Avec ces différences toutefois : que le diagramme de Barazzetti est fondé sur l'homologie des plans, là où notre triade articule une différence ; qu'il développe « principiellement » le principe d'orthogonalité, alors que ce principe est moins fondamental dans notre triade.

     

     

     

    Du microcosme au macrocosme : la remarque de Grimault

     

    Pour cette partie de l'exposé, nous quitterons temporairement le prototype premier de la chambre du roi, pour revenir au domaine des valeurs classiques de la pyramide, en coudées égyptiennes, - cela, dans le souci exclusif de ne pas rendre plus difficile la tâche du lecteur qui voudrait se reporter aux travaux de Grimault - en rappelant audit lecteur que, chaque fois qu'il voudra connaître la valeur des choses dans le prototype, il n'aura qu'à diviser les nombres par 5.

      Jacques Grimault remarque que, dans la chambre du roi :

     

    LA NEF - Partie II

     

    rectangle (isiaque) ABCD  = 70 coudées = 1/4 de la hauteur de la pyramide (280)

      rectangle  ABFE = 55 coudées =  1/4 de la demi-base de la pyramide (220)

      Il nous reste à comprendre la signification de cette correspondance.

      En premier lieu, le macrocosme, la pyramide, est caractérisée par un ratio, qui est celui de la hauteur sur le côté – ou le demi-côté – de la base carrée de la pyramide, soit :

     280/440

     ou

     280/220

      mais ces valeurs ayant essentiellement fonction de ratios, il est évident qu'elles gagnent en intellectivité à être simplifiées, et sur cette base on admet que le ratio générateur d'une pyramide est le ratio 14/22 pour le rapport de la hauteur au côté de la base carrée, et 14/11 pour le rapport de la hauteur au demi côté de cette même base.

      Le ratio 14/11 (pour choisir l'expression la plus simple des deux) se présente donc à nous sous les apparences imposantes de ratio générateur de la pyramide de Khéops.

      Grimault remarque que le rapport 280/220 de la pyramide est formé des valeurs quadruples de celles du périmètre du rectangle isiaque de la chambre du roi (70), et du périmètre du rectangle qui est la moitié de ce rectangle isiaque (55). En divisant ces dernières valeurs par 5, on obtient celles du prototype premier

      70/5 = 14

     55/5 = 11

      En simplifiant le rapport 280/220 en 14/11, nous avons fait la même opération mathématique que celle qui consiste à convertir les valeur de la chambre du roi en celles du protoptype premier. Il n'est donc pas surprenant que nous retrouvions dans ce rapport 14/11, générateur de la pyramide, des valeurs qui sont, respectivement, celle du périmètre du rectangle isiaque, et celle du périmètre de sa moitié.

     

    LA NEF - Partie II

      On voit que, dans l'application de Grimault, la transposition du microcosme au macrocosme se fait uniquement par le biais du rectangle isiaque, du rectangle orange de la chambre du roi, les carrés longs vert et bleu ne jouant aucun rôle. Il convient donc de reconnaître à ce rectangle un caractère hégémonique sur la pyramide, qui s'explique suffisamment par le fait de sa primarité : à la différence du rectangle isiaque, les carrés longs bleu et vert ne sont ni l'un ni l'autre premiers, mais correspondent à des ajustements optimaux du « principe » du carré long aux valeurs premières du rectangle isiaque. Ce caractère hégémonique est donc conforme à la nature des choses.

      Nous en savons d'avantage, toutefois, sur la signification du ratio 11/14 qui commande à la fois les proportions de la pyramide, et celles de la chambre du roi. En effet, dans la géométrie du rectangle isiaque, ce ratio correspond au rapport du périmètre du rectangle à celui de sa moitié, concept auquel on peut attribuer toute la valeur d'un symbole marital où le polygone 11 serait l'Eve, le féminin, la moitié détachée du côté de l'Adam 14. Sous ce regard, le ratio 11/14 paraît donc lui-même chargé d'une signification hiérogamique.

     

     

    Palindromes et doctrine « templière » du Temple

     

    Les nombres 440 et 220 qui mesurent, respectivement, le côté et le demi-côté de la base carrée de la pyramide, sont des palindromes généralisés. Rappelons qu'un palindrome généralisé est un nombre qui est palindrome lorsqu'on l'ampute de ses zéros terminaux. Cette propriété est coextensive au fait qu'ils sont, l'un comme l'autre, des multiples du palindrome 11.

      Pour l'architecte égyptien, la « fonction palindrome », la fonction du 11, est donc celle qui est naturellement conforme à la dimension horizontale de la pyramide - le côté de sa base -, tandis que la « fonction 14 », la fonction « adamique », est celle qui est conforme à la dimension verticale de la pyramide - sa hauteur.

      Or, nous pouvons trouver un équivalent très exact de ces conceptions dans le dessin de la Jérusalem Céleste de l'église templière de Montsaunès.

    LA NEF - Partie II

     

    Sur ce dessin, on remarque en effet que la hauteur du temple de la Jérusalem Céleste est indiquée par deux frises latérales de petits carrés, alternativement noir et blanc : 14 petits carrés.

     Aucune indication n'est donnée sur la dimension horizontale si l'on ne regarde que l'intérieur du dessin de la Jérusalem, mais en prêtant attention au dessin qui le surmonte, on s'aperçoit que cette grandeur est clairement indiquée : la longueur horizontale du rectangle de la Jérusalem correspond précisément aux onze douzièmes de celle du dessin du chrisme, qui le surplombe. Cette longueur horizontale est donc bien délimitée par 11 petits carrés – sans insister sur le fait que la totalité du dessin est gouvernée horizontalement par la symétrie du palindrome.

      Il nous reste à constater que l'architecte de Khéops et le peintre de Montsaunès, partageaient les mêmes conceptions sur les proportions idéales d'un temple. Mais aussi, que ces conceptions sont étonnamment en accord avec l'idéologie développée par Plutarque au sujet du triangle isiaque, idéologie qui attribue à Osiris la dimension verticale : - à cet égard la norme 14 commune à la pyramide et au temple de Montsaunès fera immanquablement penser aux 14 morceaux d'Osiris-lune - ; et à Isis, la dimension horizontale, qui est une dimension de déroulement et de développement, que sa nature propre assimile très naturellement à la fonction palindromique que nous rencontrons, aussi bien dans les valeurs horizontales de Montsaunès (11) que dans celles de la pyramide Khéops. (220)

     

     

    microcosme/macrocosme : le rapport de l'être à sa moitié

     

    Nous avons admis le principe que, dans la pyramide de Khéops, c'est le rectangle isiaque qui est le conducteur, ou l'hegemon, de la relation du microcosme-chambre au macrocosme-pyramide. Mais cette constatation ne nous empêche pas de nous demander à quoi peut ressembler « la relation du polygone à sa moitié » lorsqu'on l'applique, non plus au rectangle isiaque, mais au carré long.

      Et l'on observe ceci :

     

    LA NEF - Partie II

     

    Appliqué au carré long, le schème qui associe le périmètre du rectangle à celui de sa moitié correspond au ratio 5/6 qui, dans la tradition, symbolise, précisément, le rapport du microcosme au macrocosme.

      Par généralisation, les deux ratios, 5/6 et 11/14 peuvent être compris comme des opérateurs symboliques de la plus haute généralité, exprimant l'un comme l'autre, sous des modalités différentes, le rapport du microcosme au macrocosme, ou celui de l' Adam primordial à sa moitié.

     

     

     

     

    EPILOGUE : LA GRANDE TETRACTYS

     

     

    Au terme de notre enquête égyptienne, nous avons observé que le ratio 11/14 qui fait le lien entre le microcosme-chambre et le macrocosme pyramide, correspondait, dans le rectangle isiaque, à la formule périmétrique d'hémi-partition de cette figure ; l'équivalent de ce ratio pour le carré long étant le rapport 5/6.

      Ces ratios ont assurément, relativement aux rectangles, un caractère profondément formel, en ce qu'ils "font dire" à ces figure quelque chose d'intime et précis concernant leur constitution interne ; et nous avons pensé pouvoir identifier dans ces ratios deux syzygies, deux couples primordiaux, dont le premier (5/6) représenterait le principe incitateur, ou animateur de la manifestation universelle, et le second (11/14), son principe récepteur, ou mondain.

     A présent, nous allons voir que ces deux ratios peuvent être considérés comme une redistribution de la grande tétractys 36, dont les deux jambes, quant à elles, sont constituées des pôles Impair et Pair.

     

     

    GRANDE TETRACTYS                                                ENDOCOSME-EXOCOSME

     

     

      IMPAIRS                                 PAIRS

     

          1                                                     2                                                                         Eve     5

    (endocosme)

         3                                                 4                                                                           Adam  6 

     

      5 ......liaison endocosmique .....6                                                                        Eve       11

    (exocosme)

     7                                                      8                                                                        Adam 14

     

      (16)                 Totaux                     (20)

     

     

     Le total des impairs (16)  correspond à celui des Eve (5+11)

     Le total des pairs (20) correspond à celui des Adam (6+14)

     

    LA NEF - Partie II 

    Au sein de la grande tétractys, les valeurs du 3ème rang (5 et 6) forment l'endocosme aurigène, tandis que les valeurs des rangs 1, 2 et 4, sont des triplets qui additionnés, produisent l'exocosme isiaque (1+3+7) = 11 et (2+4+8) = 14                   

      La division catégorielle Impair-Pair de la grande tétractys se redistribue en principe "endocosmologique" (5-6) d'une part, et principe "exocosmologique" (11-14) d'autre part ; l'intéressant étant qu'en physique pythagoricienne, cette redistribution correspond exactement au concept timéen de mélange – ici mélange de Pair et d'Impair.

      On a vu dans la première partie de cette étude que ce rapport endo-exo s'illustrait de façon simple en terme de pavage, la spirale rythmant le chemin qui va de "l'état" (5/6) - le carré long central originaire, à l'état 11/14 - son "encadrement" isiaque.

    Mais on pourrait également penser à une relation gnomonique, où comme il se doit, Isis "accueille" la graine aurigène.

     

     

    LA NEF - Partie II

     

    Et, dans cette logique, il paraît évidemment intéressant de considérer le produit croisé de ces rapports :

    (6/5) / (14/11) = 66/70 = 33/35

      Etonnamment, nos deux rectangles apparaissent ici comme deux jumeaux impairs, fort proches l'un de l'autre.

      Le rapport de ces ratios (6/5) et (14/11) se simplifie en 33/35, qui fait apparaître nos rectangles comme un couple gémellaire.  Ces mêmes ratios se résolvent exhaustivement (additivement) dans la tétractys 36

      Mais ce produit croisé 33/35 peut également faire apparaître le nombre 34, cher à Albrecht Dürer comme "membrane" ou interface de la nef, ce qui semble bien intéressant. On peut qualifier le 34 de gnomon de la structure nefique 33/35, en prenant le terme gnomon au sens "le plus nu" de vide séparateur.

     

      Et l'on se retrouve face à cette vision :

     

      Carré long                Nombre médiateur            Rectangle Isiaque            Nombre exhausteur

     

      33                                        34                                       35                                        36

     

      Situation dans laquelle on pourrait voir une résurgence de la formule des générations humaine et divine :

      3-4-5                   6

     

    Le nombre 36 étant, comme chacun sait, le 8ème nombre triangulaire, à l'octave de la tétractys, cette fonction d'exhaustion aurait en outre pour effet colatéral de caractériser les valeurs des deux rectangles, 33 et 35, comme relatives, respectivement, à 3 et 2. Lorsque le triangle est rempli jusqu'au rang 3, on a 33, jusqu'au rang 2, on a 35.

     

    LA NEF - Partie II

     

     

    (17 mars – 25 avril 2020)

     

     

     

     

     


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