• Introduction à la doctrine pythagoricienne de

     

     

     

    La nature par les nombres

     

     

     

    par G. Denom

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     PREMIERE PARTIE : LE NOEUD LABDAïQUE

     

    LE NOEUD LABDAIQUE - LE NOMBRE LOGOS ET LIEN - L'UN ET LE NOMBRE - L'HENADE - LAMBDA DE PLATON ET LOGIQUE BITERNAIRE

     

     

     

     

     

    Prologue 

    Le noeud labdaïque : une version archaïque de la théorie des ensembles, ordonnée à la science de la Nature

     

     

    La forme du Lambda est habituellement considérée comme une exégèse du Timée, postérieure à Platon. Rien ne prouve qu'elle ne soit pas, en réalité, plus ancienne; ce qui importe peu pour l'essentiel. Son succès, en tous cas, semble avoir été décisif dans les principales branches de la tradition pythagoricienne tardive, puisqu'on la rencontre chez Calcidius, Proclus, ou Boèce, par des sources qui peuvent être différentes.

     

    Mais le plus important est que, pour ces auteurs, la forme ou la structure générale du noeud labdaïque semble avoir une valeur indépendante de l'application particulière à laquelle elle est soumise dans le Timée, aux proportions géométriques double et triple.

     

    Autrement dit  : plus important même que le système musi-cosmologique du Timée est la Forme ou le Schème nodal auquel il se conforme; qui possède une validité transcendante et universelle, en tant que schème de la nature.

     

    Le contenu mathématique du lambda de Platon peut, sans difficulté, être traduit dans le langage de la théorie des ensembles. Les deux jambes du Lambda correspondent à deux ensembles de nombres, les nombres doubles et triples, formés à partir du nombre 1, qui est le singleton commun à ces ensembles, et leur intersection.

     

    Il existe deux types de Lambdas pythagoriciens.

     

    Le lambda de Platon, qui se lit de haut en bas, est un Lambda de procession. Dans ce type de Lambdas, l'unité ou les petits nombres sont placés au sommet, tandis que leurs descendants se disposent le long des branches.

     

    D'autres types de lambdas, dont nous verrons des exemples dans la suite de cette étude, procèdent à l'inverse, et se lisent de bas en haut : les lambdas de conversion. Ils ont pour sommet des grands nombres qui sont des "points de rencontre", mais aussi d'arrêt ou de  retour, en ce qu'ils « reccueillent » ou « récapitulent » les processions conduites à partir de lambdas de type A.

    Les deux types de lambdas sont des "procès de symétrie", en ce qu'ils définissent un même référentiel, une même "ouverture de compas", pour les deux réalités qu'ils produisent "en vis à vis".

     

    Les deux types de lambdas sont ordonnés à la symétrie, en ce qu'ils se veulent les supports d'analyses et de développements plus fins, en terme de théorie des proportions, pour lesquels d'autres outils de symétrie pourront ensuite être convoqués.

     

    Une différence peut toutefois être remarquée entre les deux types. Tout principe de procession est par vocation "indéfini", même s'il peut être encadré, rythmé par des phases cyclique de clôture. A l'inverse, tout lambda de conversion est ordonné à une limite, une finitude essentielle, qui est celle d'un événement destiné à ne se produire qu'une fois (kaïros).

     

    Nous pouvons maintenant saisir de façon plus précise ce qu'est le noeud labdaïque.

     

    Ce qu'est la dyade indéterminée dans l'ordre de la métamathématique - qui est la science des conditions générales des objets et des réalités mathématique - à savoir : un principe d'ordinalité, opposé à la cardinalité de la monade.

     

    Ce qu'est l'hénade dans l'ordre de la métaphysique et de la science de l'Etre : un principe de procession et de conversion grâce auquel l'Etre émane de l'Un, pour retourner se fondre en lui.

     

    Le noeud labdaïque en est l'équivalent, ou la transposition dans le domaine de la science physique.

     

    La valeur ou la congruence scientifique du noeud labdaïque ne lui vient pas de ce qu'il est partiellement traductible dans le langage de la théorie des ensembles; sa valeur provient de ce que ce système formel est adapté, parce que conforme à un certain concept de la nature qui lui préexistait.

     

    Le noeud labdaIque résout un problème relatif à la nature, et le résout, à chaque fois, de la même façon.

     

    La logique du Tiers inclus qu'il met en oeuvre, s'y révèle, exemplairement, la logique du détachement des apparences, et de la reconduite au principe, non sensible, dont ces apparences procèdent.

     

    Ainsi, en posant que deux réalité, le Même et l'Autre, procèdent d'une troisième, indivise, qui n'est "ni même ni autre", le noeud labdaïque produit un modèle logique expliquant que la Nature ne soit ni le Féminin, ni le Masculin, mais une Tierce chose qui les contient, les ayant produits tous deux pour ses propres fins.

     

    La réalité visée par le noeud labdaïque est un "état" indéterminé d'être, antérieur à toute dualité, et insaisissable autrement que par l'esprit, qui est la biunité, ou la compossibilité, la conjonction principielle permettant que deux réalités oppositives quelconques puissent être.

     

    La réalité visée est celle des conditions de possibilité de la nature : soit un cadre conceptuel qui enveloppe tout ce que contient notre concept ordinaire de la physique.

     

     

     

     

     

    Au commencement était le logos

     

    Avec sa clairvoyance habituelle, Simone Weil a remarqué la déperdition de sens qu'entraînait la traduction du grec "logos" par le latin "verbus". Dans le monde intellectuel grec, auquel l'auteur de l'évangile de Jean n'est pas étranger, la notion de logos est profondément imprégnée de spéculations pythagoriciennes dans lesquelles ce concept désigne un "rapport rationnel" entre deux réalités, et singulièrement, entre deux nombres, qui peut être symbolisé par la barre de fraction moderne.

     

    « Au commencement était le Nombre » pourrait être, de ce point de vue, une traduction moins infidèle, bien qu'un peu sèche ; et Simone Weil propose : « Au commencement était la médiation », traduction fidèle à la conception pythagoricienne. En effet, l'idée de médiation suppose, outre la présence de 2 termes, entre lesquels une médiation s'effectue, l'existence positive d'un troisième être, l'opérateur, qui se place entre eux, et qui en outre, peut lui-même être considéré comme « un objet ou un nombre transformé », donc comme un individu de la même famille que les termes qu'il relie.

     

     

     

    En reconduisant la phrase « au commencement était le logos » à ses antécédents pythagoriciens, Simone Weil lui restitue sa valeur d'axiome de philosophie de la nature, et, pour le dire simplement, de science physique, qui en fait un parent étroit de la doctrine du Timée de Platon, dans laquelle ce qui est premier est le rapport, le lien, la médiation entre les réalités - comme entre les nombres.

     

     

     

     

     

    Au commencement étaient les nombres et leurs logoï – leurs rapports rationnels

     

    Traduit du point de vue de la théorie de la connaissance, cela signifie :

     

    « Ces outils intellectuels que sont les nombres, et leurs rapports rationnels, fournissent des analogies correctes du processus de la création ». Ou encore : « les réalités et les lois mathématiques sont des images fidèles des réalités et des lois physiques »

     

    Mais on peut à présent se demander : pourquoi les nombres et leurs logoï sont des analogies correctes des réalités naturelles ? Sur quel plan se situe cette « convenance » ?

     

    La réponse ne fait aucun doute. L'analogie se fonde sur la Forme au sens platonicien le plus élevé : les nombres et leurs logoï ne sont pas autre chose que les Idées-Formes universelles – ou plus exactement, ils sont les principes de ces formes.

     

    Et dans cette production de la Forme, le nombre monadique fournit la matière, la quantité pure, tandis que le logos, le rapport rationnel, fournit l'enveloppe et le lien selon lesquels se répartit cette matière.

     

    Tel est le sens profond des spéculations connues sous le nom de « théorie du nombre figuré », dans lesquelles domine l'aspect monadique, mais aussi, de la théorie du gnomon, dans laquelle l'aspect logique et formel est sensiblement plus développé.

     

    Charpentier observe que la racine du mot logos LG est parente du latin LiGere, lier, qu'on retrouve dans reLiGion. Et ce radical se retrouve dans des termes exprimant tout type de lien, à commencer par la lumière (Lux, venant de LuG-s, apparenté au nom de l'Apollon celtique Lug), qui relie tous les lieux (LoCa) de l'espace ; ou encore la racine LeG-s signifiant justice, droit.

     

    On admettra donc que, comparativement à sa descendante latine, la version grecque a l'avantage d'être scientifiquement beaucoup plus bavarde.

     

    Au commencement était le logos. Au commencement était la médiation. Au commencement était un rapport. Au commencement était un lien.

     

    Au commencement était le nombre ; en ayant à l'esprit que ce que l'on entend par cela : « le nombre », eh bien, ne désigne rien de plus que cela : « un rapport entre nombres ».

     

    Au commencement était la mesure.

     

    Au commencement était un ratio, une médiété, un rapport rationnel.

     

    Au commencement était une proportion.

     

    Au commencement était une harmonie...

     

     

     

    Les vertus du nombre

     

    Il est possible, d'après ces approches, de caractériser le nombre par un certain nombre de "vertus" ou de "puissances" qui lui soient bien propre, et le rendent capable d'imiter les opérations de la nature. En premier lieu : Le nombre est fécond, le nombre engendre. En second lieu, son développement est régi par un principe de procession, de déploiement ordonné et harmonieux, qui veut que les petits nombres soient les ancêtres des plus grands, et que leurs propriétés se conservent en eux.

     

    Le nombre n'est donc pas une matière inqualifiée ni neutre, auquel cas elle serait stérile; mais au contraire, une substance qualifiée de part en part, en chaque point de sa procession.

     

    Axiome de charpentier : les nombres ont une personnalité. Ils sont aussi typés que des personnes. Du fait qu les petits nombres sont les ancêtres des plus grands nombres, le style et la personnalité des aïeux se retrouve dans leurs descendants.

     

    Cependant, nous allons voir que ces vertus : généricité, procession, qui caractérisent à coup sûr le nombre, ne vont pas sans difficulté, et en particulier à l'origine toute première du processus, savoir : comment les nombres, qui sont le "multiple", peuvent-ils émaner de l'Un, qui est leur antagoniste, ou leur négation.

     

     

    Un n'est pas un nombre

     

    Dans la littérature pythagoricienne, l'Unité est souvent définie comme le principe des nombres, comme la réalité première à partir de laquelle tous les nombres sont engendrés. Or, ce qui est principe d'une autre chose n'est, habituellement, pas considéré comme de la même nature qu'elle.

     

    Si l'on considère comme de l'essence du nombre de croître, d'augmenter indéfiniment, alors on peut estimer que, là où existent des nombres, l'Unité a disparu ; la nature du nombre n'étant même, en quelque sorte, que la destruction incessante de l'unité.

     

    Bien sûr, les mathématiques font un usage quotidien du nombre 1, au même grade que les autres, indépendamment du fait que les nombres entiers peuvent eux mêmes être considérés comme constitués d'unités, d'êtres « complets » comptant pour 1.

     

    Mais ces unités dont la mathématique fait usage au même rang que les autres quantités ne sont pas l'unité, mais possèdent seulement l'unité, comme un prédicat. Ces unités sont toujours des réalités partitives, ou relatives, qui n'existent précisément que parce que d'autres individus coexistent avec elles, dans une même classe.

     

    Ces unités sont semblables aux réalités naturelles dont nous avons l'expérience. Une pomme, ou la planète Terre, ne « possèdent », au sens propre, l'unité, que parce que d'autres objets du même genre que ceux là peuvent, en théorie ou en pratique, être posés quelque part à côté d'eux, à l'extérieur d'eux ; autrement dit, chacun ne possède l'unité, que par la faculté qu'il a d'être distingué d'un autre, ou plusieurs, et comme « scindé », « soustrait » en même temps que ces autres d'une « réalité » supérieure, qui est celle du genre : « pomme »,« fruit », « planète », réalité qui seule EST véritablement l'unité, dont procèdent toutes ces réalités monadiques particulières, dont on reconnaît qu'elles ne peuvent avoir été créées que par un processus de division, de séparation de substances, correspondant toujours à la destruction d'une certaine « unité ».

     

    En conclusion, seul « ne possède pas » l'unité comme prédicat, mais EST véritablement l'Un et l'unité, l'être qui ne laisse aucune réalité en dehors de soi, c'est à dire le Tout, l'Infini métaphysique, ou la Possibilité universelle, vis à vis de quoi toutes les autres réalités exprimables apparaissent comme des divisions, ou des parties, et donc des monades d'ordre secondaire, qui ont toutes au dessus d'elle un « ensemble », un « ciel » auxquelles elles doivent d'exister.

     

     

     

     L'un et l'être selon le Parménide de Platon

     

     

    Dans les deux premières hypothèses de son Parménide, Platon considère les propriétés de l'Un selon les deux manières privilégiées dont on peut l'envisager, à savoir, selon que l'on considère que l'Un est un, ou selon qu'on considère que l'Un est.

     

    Si l'Un est un, s'il a pour attribut essentiel l'unité, s'il n'est en aucune manière multiple, ni plusieurs, alors, il est insaisissable. Ce terme possède ici une signification technique, dont la forme correspond à l'opérateur logique « ni... ni... ». Est insaisissable ce qui n'est, à chaque fois, ni ceci, ni cela, de sorte qu'on ne peut le qualifier en aucune façon. Ainsi, l'Un n'est ni identique, ni différent, ni en repos, ni en mouvement, etc, et en énumérant ces ni... ni... on parvient à la conclusion que, si l'Un est réellement un, il est au-dessus de l'Etre, il échappe complètement à l'emprise de l'Etre.

     

    Dans la deuxième hypothèse, on admet d'emblée que l'Un est. Et il en résulte rapidement que tout ce qui était nié de l'Un dans la première hypothèse, se trouve maintenant affirmé de lui dans la seconde. Les « ni... ni... » se transforment partout en « et » ; de sorte que si l'Un est, il est à la fois identique et différent, en repos et en mouvement, et ainsi de suite.

     

    Les deux hypothèses se conforment scrupuleusement à la logique du tiers exclu. Dans la seconde, l'Un s'avère « connaissable » ; quelque chose peut être asserté de lui. Mais la charge du connecteur « et » s'est progressivement alourdie jusqu'aux limites du paradoxe et de la logique « contradictoriale »... on peut dire que la logique du tiers exclu est parvenue ici à saturation, jusqu'à accoucher d'une sorte de suspension, dans laquelle on peut deviner en filigrane les caractères d'une logique alternative : la logique du tiers inclus dont nous aurons à reparler.

     

    Entre les deux hypothèses, on a glissé du « ni... ni... » signifiant l'insaisissable, un « ni... ni... » improductif, au « ni... ni... productif » des logiques trivalentes, dans lesquelles le fait de n'avoir ni la propriété a, ni la propriété b, correspond à une possibilité troisième qui, même si elle demeure inconnue ou indéfinie, est admise comme telle dans le système.

     

     

     

     

     

    Comment le Multiple sort-il de l'Un... et y retourne - Théorie des Hénades : procession et conversion

     

     

    A la suite de son maître Syrianus, Proclus tire toutes les conséquences de la dichotomie irréductible qui apparaît dans le Parménide entre le tout premier principe, l'Un imparticipable qui est l'objet de la première hypothèse, et le domaine de l'Etre dont relève la deuxième hypothèse qui, lui, peut être considéré comme coextensif à celui de la théologie puisque son objet ultime est « Dieu et les dieux ».

     

    Manifestement : « l'être, de par sa nature propre, est dissemblable par rapport à l'Un ; car l'essence, c'est-à-dire ce qui a besoin d'une unité qui lui vient d'ailleurs, ne peut être reliée à ce qui est au-delà de l'être, la toute première unité (= l'Un) et elle en est très éloignée. » (Proclus)

     

    En d'autres termes : « il n'est pas vrai que l'ensemble multiforme des Idées intelligibles vienne aussitôt après le bien (= l'Un) qui ne comporte absolument aucune trace de multiplicité ».

     

    C'est ainsi que Syrianus et Proclus en viennent à formuler la théorie des hénades. Si nous estimons que l'Un imparticipable est le principe de tous les êtres et de toutes les réalités intelligibles, alors, entre ces deux bornes de l'intelligibilité, il doit exister un principe de médiation, ou de procession, grâce auquel les seconds découlent du premier. Ces principes de médiation sont les hénades, que l'on peut assimiler à des opérateurs ou à des conduits grâce auxquels les « ni... ni... » se transforment en « et ».

     

     

     

     

     

    Nécessité logique de l'hénade

     

    Proclus :

    Si nous affirmons que l'Un est le principe de tous les êtres et de tous les non-êtres (puisque être unifié est pour tous les êtres un bien et même le plus grand des biens, tandis qu'être totalement séparé de l'un est un mal et même le mal suprême, car cette séparation est une cause de dissimilitude, de désaccord et de perte de l'état naturel), si donc nous affirmons que ce principe de tous les êtres, en tant qu'il est, pour tous, le pourvoyeur du plus grand des biens, est celui qui fait l'unité de toutes choses, et si, pour cette raison, nous le nommons 'un', il en résulte immédiatement que tout principe aussi, en tant qu'il possède cette dignité parmi les êtres, est selon nous, une certaine HENADE et ce qui, dans chaque ordre de réalités, est le plus un.

     

    Et d'abord, nous reconnaissons cette dignité de principe, non pas dans les parties, mais dans les touts ; non pas dans un être quelconque de la multitude, mais dans les monades qui maintiennent dans l'être la multiplicité.

     

    Ensuite, dans les monades aussi, nous considérons surtout cette dignité dans leurs sommets et dans ce qu'il y a en elles de plus un- les hénades - pour autant qu'elles sont unies à l'un, déifiées et inséparables de ce sublime premier principe. 

     

     

     

     

    Un moment crucial de la métaphysique occidentale

     

     

     

    La tradition « néoplatonicienne » estime que l'essentiel était dit dans les 2 premières hypothèses du Parménide. En effet, la suite du dialogue peut être considérée comme un tâtonnement de plus en plus serré à la recherche d'une troisième voie, sans que jamais cette dichotomie primordiale puisse être réduite, puisqu'elle joue le rôle de « principe », ou tout au moins de prémisse à cette recherche.

     

    Et de fait Proclus était profondément conscient d'avoir hérité de son maître Syrianus une solution véritablement géniale au problème de Platon.

     

    Dans le procès métaphysique entre l'Un et l'Etre, les hénades ont la charge de porter – et de réunir - ces deux solutions de transition fondamentales que sont la Procession et la Conversion. Autrement dit, le vecteur grâce auquel le multiple sort de l'Un, et y retourne.

     

    Nous verrons que cette définition des hénades est de nature, entre autre chose, à conférer une justification supérieure à le Forme ou à la structure du Lambda, (pour la visualisation de laquelle peut être utilisé notre accent circonflexe ^).

     

    Proclus ayant en vue une rationalisation complète de la théologie , à chaque hénade, chacune des « étapes » métaphysiques par lesquelles la multiplicité sort de l'un, correspond pour lui une catégorie théologique et à une classe de Dieux, etc ; toutefois, pour notre enquête sur la nature, cet aspect des choses peut être négligé.

     

     

     

    Forme, caractères, propriétés des hénades

     

    Les hénades sont identiques entre elles et a priori interchangeables.

     

     

     

    L'hénade Une, bine, et trine

     

    L'hénade doit être une en tant qu'expression de l'Un, bine en tant que vecteur de procession, ou de sortie du multiple hors de l'Un, et trine en tant que « réintégratrice », ou « restitutrice » à chacun des axes de la procession de la dignité de l'unité, qui lui assure de ne pas disparaître, de ne pas se « néantiser ». On voit que la forme du lambda est déjà posée sous nous yeux :

    ^

    L'hénade n'est rien d'autre qu'un lambda « indéterminé », inqualifié, sur lequel aucun nombre n'a été encore surimposé. L'hénade est la « forme » des trois premiers nombres, en tant qu'ils « n'existent pas », en tant qu'ils ne sont que des parties d'une seule et même chose, à laquelle une autre sorte de nom doit nécessairement être donné, que les noms de nombres qui peuvent être identifiés comme nommant ses parties, tels que : monade, dyade, triade.

     

     

    Monade est, de prime abord, l'objet « lambda », en tant qu'il se laisse compter pat le nombre « un », mais ce fait doit temporairement être oublié, pour considérer que :

     

    Monade est aussi, dans un autre sens, le sommet, l'origine ponctuelle du Lambda, à laquelle le nombre 1 est aussi assigné. Dyade la divergence, la distinction des deux premières réalités issues de l'Un, auxquelles correspondent les branches du Lambda. Triade, le décompte des sommets, des pôles ou des directions qui inscrivent le lambda dans un triangle. Ces trois choses sont bien différentes entre elles, mais différente encore d'elles trois et de chacune d'elles est la réunion, l'unité réelle de ces trois termes qui les révèle, en quelque sorte, comme des non-existants, comme des réalités qui n'ont d'existence que du fait que quelque chose d'autre et des plus « unitaire » qu'elles leur préexiste et se déploie à travers elles : telle est la fonction propre de l'hénade.

     

    L'hénade est la forme, le médium, qui met la monade en relation avec elle même, qui l' »électrise », si l'on peut dire, et détermine en elle une pulsion d'aller-retour. Qui ouvre en elle une brèche de temps.

     

    L'hénade est une, bine et trine, mais elle est tout cela de façon simple, pour ainsi dire « d'un seul tenant ».

     

    Car en effet, après ces allers-retours : Monade est toujours demeurée l'objet, le Lambda lui-même, dont la forme se laisse compter par le nombre 1. L'hénade n'a jamais contraint la monade a « sortir d'elle même » - ce qui est une impossibilité.

    Ainsi a-t-on pu caractériser la différence qui existe entre monade et hénade.

     

    A l'image de l'Un, la monade est « repliée sur elle-même »... et on peut dire qu'en elle une dualité est « abolie ». Ou encore : à l'endroit où deux droites se croisent, ces deux droites, ces deux objets n'existent réellement pas, car il n'y a résolument qu'une seule chose, un seul point. A contrario l'hénade souligne plus volontiers la manière dont d'un point unique, peut être « engendré quelque chose ».

     

    L'unicité de la monade est « abolition » de la dualité, tandis que l'unicité de l'hénade est comme une « puissance », ou une « grossesse » de l'unité, grâce à laquelle toute multiplicité peut se reconnaître comme provenant d'elle.

     

    Si elles sont identiques et interchangeables, les hénades, les « parties-moments » de l'Un (dont chacune porte pour ainsi dire en soi-même la « totalité » de l'Un), ne se distinguent entre elles que par leur ordre d'apparition, ou par la place qu'elles occupent dans une figure, une constellation qu'elles dessinent, qui les « charge » à titre individuel d'une éminence qu'elles ne doivent qu'à leur plus ou moins grande proximité de l'Un. (Nous retrouverons plus loin ces propriétés dans l'électron en tant que vecteur-constructeur uniforme de la forme atomique, conducteur unique des « oppositions » grâce auxquelles s'édifient, en un système canalisé de différences, ces briques élémentaires du monde matériel, que sont les atomes).

     

    Figure, constellation, qui doivent revêtir pour nous la fonction de « forme du monde », plan et déroulement de l'espace-temps ; fonction qui, dans le principe, est bien celle qui lui est attribuée dans le Timée.

     

    La procession des hénades, leur détachement gradué de l'Un, n'est autre que la « trame » rythmique et principielle à laquelle est assujettie la « musique des sphères », la série des rapports rationnels qui régissent la danse des astres et de leurs ascendants (les groupements unitaires formés par plusieurs astres) La procession métaphysique, est comme le rythme et la trame selon lesquels se joue la partition de l'univers physique. Sans quoi la forme du Lambda ne pourrait pas servir de support à l'un et à l'autre.

     

    L'hénade peut être dite : une dyade considérée en tant que monade, chose une ; ou bien une monade regardée comme principe et source de toute multiplicité.

     

    Chaque hénade procède immédiatement, et uniquement, de l'hénade supérieure. Ceci explique que la théorie des hénades réussisse, par exemple, là où échoue complètement la dialectique de Hegel. Cette dernière se veut un processus constamment arrimé à l'un, un véritable écarteur au moyen duquel l'Un se « déverse » directement dans son propre sein, par une relation directe à lui-même, par une sorte d 'hémorragie continue. Cette « sortie » artificielle fait que la dialectique de H n'interagit pratiquement en rien avec le monde des sciences.

     

    A l'inverse la théorie des hénades s'accorde tout naturellement avec les « changements d'échelle » de la physique. Son déploiement hiérarchisé en différents « plans de consistance », ou « niveaux de réalité ».

     

    De la même manière que la monade détachée, l'être individuel, n'a aucune commune mesure avec l'origine de la chaîne causale universelle dont dépend son existence, de même... à chaque niveau de la physique règnent des lois d'échelle spécifique...

     

    Une hénade n'est qu'une dyade déterminée, considérée en tant que monade. Aussi, les mêmes symboles graphiques qui ont pu, par leur propriétés formelles, être utilisés pour représenter la dyade, comme le lambda ou le cône, peuvent également servir à représenter la procession des hénades. Pour que l'analogie soit correcte, il conviendrait que la hénade la plus intérieure soit considérée comme la plus originaire.

     

    I. Le nœud labdaïque

     

     

     

     Les nombres 2 et 3 du Lambda de Platon

     

     

    Un n'étant pas un nombre, il n'est pas non plus un impair. Pour les anciens pythagoriciens, les catégories du Pair et de l'Impair apparaissent avec les nombres 2 et 3, tandis que le nombre 1 est classé dans une catégorie distincte, celle du Pair-Impair. En réalité, cette catégorie pourrait être nommée avec autant de raison « ni pair ni impair », car on a là affaire à un cas exemplaire de la logique du tiers inclus, dans laquelle tout ce qui compte est que soit ménagée, entre deux propriétés « oppositives », une position neutre, indifférenciée.

     

    Les nombres 2 et 3, et avec eux les catégories du Pair et de l'Impair, représentent donc, dans le lambda de Platon, les deux premières réalités « saisissables » issues de l'unité insaisissable. Dans toutes les sources anciennes, ces catégories arithmétiques sont associées, de façon quasi automatique, à celles du Féminin et du Masculin, qui elles, relèvent, dans leur sens le plus élevé, de la cosmologie et de la philosophie de la nature. On peut dire que les catégories Féminin-Masculin sont les équivalents, en philosophie de la nature, de ce que sont le pair et l'impair en arithmétique ; elles prétendent au plus haut rang des analogies correctes qui permettent, dans l'idéal pythagoricien, de considérer les mathématiques et la physique comme une seule et même science, sous laquelle varie seulement l'orientation du regard.

     

    A ces catégories arithmétique et cosmologique sont encore couplées, dans la tradition, les catégories logiques de l'Autre et du Même, de la Différence et de l'Identité. Et il est possible d'aller encore plus loin, en associant aux catégories du Pair et de l'Impair deux systèmes logiques complets et bien différenciés, qui sont respectivement la logique du tiers exclu, et celle du tiers inclus.

     

    Enfin, ces catégories ont aussi une signification proprement physique et énergétique, qui les associe aux forces de la nature. « Le Pair, note Charpentier, figure en effet toutes les forces centrifuges (ou de dispersion), qui ont leur origine dans la Substance universelle, le principe périphérique, alors que l'Impair manifeste l'attraction centrale de l'Essence Une. » Charpentier reconnaît cette dualité dans d'autres couples de complémentaires de toute provenance : Autre/Même, Yin/Yang, ou le Solve/Coagula alchimique ; et l'on en découvrira plus loin une forme récente, et très générale, dans les opérateurs de la logique de Lupasco : Hétérogénéisation/Homogénéisation).

     

     

     

     

     

    L'harmonie, vecteur d'union

     

    Le lambda de Platon développe, en deux séries parallèles, les premières puissances des nombres 2 et 3 : carrés et cubes. Dans le contexte cosmologique auquel la théorie est destinée, les principes féminin et masculin sont ainsi présentés comme des puissances « productives », des principes possédant chacun une généricité ou une vitalité propre, symbolisée par la puissance arithmétique. Mais cette productivité resterait anarchique, et en fin de compte stérile, si les deux principes n'étaient pas enchaînés l'un à l'autre par la médiation, le rapport proportionnel, qui est « le plus beau des liens », parce qu'il est vecteur d'unification.

     

    Rattacher les jambes du lambda au nombre 1, ou les harmoniser au moyen des 3 médiétés, relève en somme de la même démarche, qui consiste à « unifier ».

     

    Les nombres 2 et 3 ne deviennent « féconds » que lorsqu'ils sont entremêlés et subordonnés à l'unité. Telle est la signification du terme « harmoniser ». La nature est « harmonie » des « contraires », c'est à dire union. Ce caractère de hiérogamie de la doctrine pythagoricienne de la nature ne saurait être occulté.

     

     

     

     

     

    Le monde a été déclaré un Vivant doué d'âme et d'intellect

     

    Cet axiome dont nous empruntons la forme à Proclus est, sans conteste, fidèle à la fois à la pensée de Platon, à celle de sa source italienne, et à l'ensemble de la tradition dont elle procède : il appartient au fond commun de la doctrine pythagoricienne.

     

    Dans cette formulation, l'âme correspond au degré de l'animation et de la Vie, et l'intellect, au degré de la pensée.

     

    Pour les anciens pythagoriciens, le phénomène de la vie et de la pensée, qui apparaît à la fine pointe du processus de différenciation et de complexification de la matière, ce phénomène est au centre du tout, et le principe de son animation.

     

    Sur un plan qu'on qualifiera de cosmogonique, ou cosmogénétique, il existe deux façons différentes de comprendre cet axiome, dont l'une est sensiblement plus forte que l'autre.

     

    L'assertion peut d'abord être comprise sur le plan de la possibilité et de la logique pures. En effet, aucun physicien moderne ne pourra contester que la vie et la pensée existaient au moment du big bang, au moins sur le plan de la potentialité pure, comme une possibilité comprise dans les solutions de développement du système. Soutenir le contraire serait anti-scientifique : ce serait supposer que l'univers ait produit une possibilité qu'il ne possédait pas dans son état initial.

     

    Dans la logique que l'on suit ici, (nous verrons plus loin que la logique du tiers inclus permet de la doter d'une parfaite rigueur formelle), une potentialité n'est pas un « non-être », mais tout au contraire le germe d'un être, auquel des conditions convenables peuvent permettre de se développer.

     

    Mais une façon plus forte de comprendre l'axiome est d'affirmer que cette possibilité devait se réaliser, parce que, pour le dire ainsi, elle était au cœur du « projet » et comme sa finalité même. Et sous cette forme, la doctrine de Platon s'invite immédiatement dans les discussions et les controverses les plus actuelles touchant la théorie de l'Evolution.

     

    En effet, cette version forte de notre axiome cosmogonique se décompose en deux parties : non seulement la vie est une finalité de l'univers, mais la pensée est une finalité de la vie. La seconde partie implique un déterminisme de l'Evolution, et pour le dire simplement, une polarisation sur l'homme comme « flèche » ou poste avancé de celle-ci, qui est tout à fait contraire à l'interprétation habituelle de la théorie de Darwin, dans laquelle la dynamique du changement est assurée par des accidents et mutations aléatoires ; et où le seul facteur d'ordre est le milieu extérieur dans lequel apparaissent ces formes aléatoirement engendrées, qui permettra seulement à certaines d'entre elles de survivre.

     

    Ces deux points de vue correspondent, manifestement, à différentes façon de regarder l'univers, et d'orienter en lui notre vision ; et de ces deux visions on peut dire que la pythagoricienne est plus unitaire, qu'elle tend davantage vers l'unité.

     

    Dans la vision pythagoricienne, le phénomène « vie, pensée » qui se manifeste à la « fine pointe » de la complexification de la matière, est la meilleure image possible du centre, du cœur ou du moteur de ce monde, mais aussi de son « principe », de ce qu'il était « dès le début », mais encore de ce qu'il est à chaque instant en totalité.

     

    Tandis que dans la vision néodarwinienne et celles qui lui sont apparentées, cette fine pointe n'est qu'une terminaison des plus accidentelles, étroitement localisée dans le temps et l'espace, sans rapport avec le dynamisme universel qui régit le tout.

     

     

    Dons faits au monde par le Démiurge

     

    Après avoir défini le monde comme un Vivant doué d'âme et d'intellect, Proclus énumère 10 dons faits à ce monde par le démiurge-créateur, dont les deux premiers, qui renferment en quelque manière tous les autres, nous intéressent particulièrement ici.

     

    En premier lieu, le démiurge a donné au monde d'être accessible aux sens, et particulièrement à ces deux sens extrêmes que sont la vue et le toucher, autrement dit d'être visible et tangible. En second lieu, il lui a donné « le LIEN qui, grâce à la proportion, maintient ensemble les éléments du monde ».

     

    On remarque d'abord que la vue et le toucher se rapportent à des déterminités du monde qui ont un sens physique et cosmologique plus général que les autres. En effet, la tangibilité se rapporte aux propriétés de consistance et de pondéralité de la matière ; elle pointe donc vers une force telle que la gravitation ; tandis que la visibilité, elle, renvoie à la capacité du monde d'émettre de la lumière, et donc indirectement à la force électromagnétique. Dans le choix de ces deux sens « extrêmes », on peut voir la volonté d'indiquer que l'univers est perceptible « de fond en comble », ou de « part en part » c'est-à-dire « dans ses manifestations les plus antagonistes, ou les plus extrêmes ».

     

     

    Mais on doit par dessus tout remarquer que ce don de « perceptibilité » conféré au monde, est présenté ici comme « le premier de tous ». Autrement dit, le monde se définit avant tout comme un « être pour la connaissance », ou comme un « être pour être connu », ce qui implique comme conséquence concrète qu'il soit aussi un être-pour-la-vie.

     

    Et nous aurons plus loin à envisager une forme encore plus « dure » de ce présupposé dans le cadre de la théorie de l'évolution, où la production de « doigts » d'abord, et « d'yeux » ensuite, peut apparaître comme un projet obsessionnel et récurrent de la nature, comme un attracteur évolutionnel, attesté indépendamment sur des branches éloignées de l'arbre de la vie.

     

    En second lieu, le monde a reçu, don plus parfait que le précédent, le lien qui grâce à la proportion, maintient ensemble les éléments du monde. Pour expliquer que ce don soit décrit comme « plus parfait que le précédent », on peut d'abord remarquer qu'il peut apparaître comme une condition du premier.

     

     

    En effet, pour que l'Intellect ou la pensée qui est au principe du monde, parvienne, par le « moyen » de celui-ci, à donner naissance à un être « sentant et connaissant », donc à un intellect et une pensée « semblable à lui », il est nécessaire qu'entre ce principe et sa lointaine « créature » ou création consciente, subsiste un lien, une médiation, qui assure une forme de contact, de « contigüité » entre ces deux termes.

     

     

     

     

     

    Corps et Ame du monde

     

    Fidèle au texte de Platon, Proclus envisage le rôle de la proportion et du lien (deux notions qui se trouvent synthétisées dans celle de « médiété ») sur deux plans séparés. D'une part, comme principe de formation de la matière. L'ensemble des états et des variétés de la matière résultent de combinaisons diversement proportionnés des quatre éléments traditionnels : terre, eau, air, feu ; ce que la tradition appelle « le corps du monde ».

     

    D'autre part comme principe d'animation universel, qui régit à la fois la distribution des sphères sidérales, et donc la forme générale du cosmos, et les révolutions du temps : ce que la tradition appelle l'âme du monde.

     

    Cependant Platon comme Proclus insistent sur le fait que ces deux « strates » de réalité sont loin d'avoir la même importance ; et à vrai dire la première doit être envisagée comme une simple « condition matérielle » de la seconde, comme son support.

     

    Car, nous dit encore Proclus : la véritable médiété est la vie elle-même.

     

    En effet, le monde est un Vivant doté d'un corps, d'une âme et d'un intellect. Dans ce ternaire, le terme médian qui est l'âme, la vie, joue bien le rôle de médiation et de lien entre les deux termes extrêmes, qui sans cela n'aurait aucune communauté.

     

     

    En philosophie pythagoricienne de la nature, les termes : rapport, médiété, proportion, lien, sont utilisés par un côté où ils sont tous synonymes : leur plus haute destination étant de caractériser, sinon la vie, du moins les conditions de celle-ci, elles renferment quelque chose comme la description d'un « piège » pour capturer la vie.

     

     

     

    Le Lambda et les 3 médiétés, Proclus et Calcidius

     

    « Ainsi donc Platon, ayant commencé par la dyade en tant qu'apparentée à la génération, à la procession et à l'altérité, introduit dans les participants à la dyade, par le moyen du lien, l'unification et la communion fondée sur l'harmonie : c'est là le second don qu'il leur attribue de la part du Démiurge. » (Proclus) Dans cette phrase, la Dyade correspond aux deux jambes du lambda et à la première dualité qu'elles portent : jambe gauche, le féminin, le pair, jambe droite, le masculin, l'impair.

     

    Axiome :

    Entre deux termes qui se définissent comme des opposés, des antagonistes, il ne saurait y avoir union sans un troisième terme qui assure entre eux une médiation.

     

    Et Proclus remarque que ceux qui, contre cette assertion « prennent à témoin l'union de l'homme et de la femme, union qui n'a nul besoin, pour se constituer, d'un troisième terme ; ceux-là omettent le lien le plus puissant de tous, celui de l'Amour, qui excite à l'union et la vie psychique et la vie physique, toutes deux de façon différente. » La même remarque s'adresse à ceux qui allèguent l'union du corps et de l'âme ; car là aussi il y a une médiété, le lien qui résulte de l'animation. »

     

     

     

    S'agissant des polarités du Lambda, le « troisième terme », le médiateur qui unifie les antagonistes et joue ainsi le rôle de l'amour, c'est la proportion elle-même, qui établit entre eux un lien.

     

     

     

    Les deux polarités Pair et Impair, sont d'abord déployées à partir de l'un selon la proportion géométrique. La proportion est double pour la jambe gauche, triple pour la jambe droite. La médiété géométrique est donc celle à laquelle est dévolue la fonction de procession hors de l'unité, tandis que les deux autres médiétés, arithmétique et harmonique, ont pour fonction de coordonner, de lier, ou encore d'harmoniser entre eux les deux versants de cette procession.

     

     

     

    Pour Proclus, la fonction dévolue à ces trois médiétés n'a rien d'arbitraire. En effet, la médiété arithmétique a partie liée avec le pôle de l'Autre, la médiété harmonique avec celui du Même, tandis que la médiété géométrique occupe une position intermédiaire entre ces deux. La relation entre ces trois médiétés apparaît donc comme un redoublement de la relation entre les nombres 1, 2 et 3 qui occupent le sommet du Lambda ; on peut même parler d'une transformation par laquelle ce qui était « objet », dans les nombres, devient « opération », dans les médiétés. La médiété géométrique se distinguant de deux autres en tant qu'assumant la fonction spécifique de procession, qui est la fonction propre de l'hénade. Cette précision a toute son importance, et nous devrons nous en souvenir lorsque nous aurons à évoquer la médiété géométrique très particulière qu'est la proportion dorée.

     

    La figure du Lambda, comme son nom, sont absents du texte de Platon ; ils apparaissent chez Calcidius, puis chez Proclus, suivant des sources qui paraissent indépendantes. Calcidius en donne une version particulièrement développée, puisqu'elle se décline en trois lambdas successifs :

     

    Nous nous tairons ici sur les aspects du Lambda qui concernent la théorie musicale, et qui, du fait de leur technicité, exigeraient un long exposé, aussi bien que sur les applications que le Timée en donne à la cosmologie. En revanche, nous essaierons d'aller plus loin dans l'examen des attendus de la doctrine pythagoricienne de l'union des contraires, et nous nous demanderons, en particulier, quel est le cadre logique naturel dans lequel se déploie cette doctrine.

     

     

     

     

    Tiers exclu, tiers inclus

     

    La logique du tiers exclus, dans laquelle « il faut qu'une porte soit ouverte ou fermée » s'est imposée à l'âge moderne comme une condition indispensable de la science et de la mathématique. C'est elle qui préside à la méthode booléenne du calcul des énoncés, dans laquelle un énoncé n'a que 2 valeurs possibles : Vrai ou Faux, et où les relations logiques sont définies par une combinaison de ces valeurs de vérité ; c'est elle qui fournit la charpente du langage binaire de l'informatique, composé de 0 et de 1, exprimant symboliquement le fait que « le courant ne passe pas, ou passe ». Ces succès historiques nous ont accoutumés à considérer la logique du tiers exclu comme l'essence même de la logique. Pourtant, cette logique n'est qu'un cas particulier, et sa dénomination même renvoie implicitement à la possibilité d'une logique de type opposé : la logique du tiers inclus, dont la première serait en quelque sorte la jumelle, logique qui admet, entre deux possibilités « oppositives », une position neutre, indifférenciée.

     

    L'une est binaire, l'autre est ternaire, cette différence dans les axiomes de départ est une différence de Forme ; elle imprègne ensuite toute la structure des systèmes élaborés qui ont été bâtis sur leurs principes.

     

    Pour illustrer la différence entre ces deux logiques par un exemple emprunté à la modernité philosophique, il peut être tentant de rapprocher les logiques « binaire » et « ternaire » des moments 2 et 3 de la dialectique de Hegel. En effet, la vertu de la logique du tiers exclu est « d'éliminer », donc de nier ; elle n'affirme une qualité d'une chose, qu'en éliminant la qualité qu'elle n'a pas, tandis que la logique du tiers inclus nie l'opposition, la « négation » qu'est la détermination elle-même, pour considérer le principe synthétique et non duel qui est l'origine conjointe de toutes les déterminations particulières, et qu'on peut appeler leur compossibilité.

     

    Les deux formes de logique, en réalité, sont connues depuis les temps les plus anciens. Si la logique du tiers exclus a toujours été associée au tranchant de l'énoncé, de l'axiome, de la décision philosophique ou scientifique, la logique du tiers inclus, elle, est particulièrement appropriée à l'expression des vérités métaphysiques, où elle reflète l'indistinction du Principe, qui est « au delà de toute qualité, de toute détermination », puisqu'il correspond à la pure possibilité que ces qualités, ces déterminations soient.

     

    Dans la métaphysique orientale, et singulièrement dans le taoïsme et l'hindouïsme, la logique du tiers inclus est un exercice bien rôdé. Les dualités de la métaphysiques, et singulièrement les polarités sexuelles telles que yin/yang, ou purusha/prakriti, sont les principes de la manifestation universelle, autrement dit de tout ce qui a « nom et forme », et peut recevoir une qualité ; mais au delà de toute manifestation, et à leur source est un principe qui n'a ni qualité ni forme, ni polarité, et qui est non-dual : qu'on le nomme Brahman ou Tao.

     

    La conception des anciens pythagoriciens n'était probablement pas très différente, si l'on se fie au Lambda de Platon, dans lequel les polarités sexuelles de la cosmologie, symbolisées par des « brins » binaire et ternaire, sont rapportés à un point d'intersection, qui est leur commune origine, le point d'indistinction et d'unité insaisissable dont cette dualité procède.

     

    Un exemple tout aussi significatif est la morale stoïcienne, dans laquelle la logique du tiers inclus est utilisée avec une rigidité presque mécanique.

     

     

     

    (Exemples)

     

     

     

    Le stoïcisme est souvent considéré comme une réaction à certaines dérives des écoles athéniennes héritières de l'académie de Platon, souvent teintées d'aristotélisme, mais on oublie de rappeler que cette « réforme » se voulait souvent une restauration, un rétablissement des principes pythagoriciens originels qui avaient été dévoyés. C'est certainement le cas dans la morale, où le stoïcisme se distingue par son style si énergique et singulier ; les stoïciens romains surtout qui, du reste, se réclamaient volontiers de traditions orales italiennes remontant à Archytas, indépendantes des écoles grecques.

     

     

    On peut ajouter que la logique du tiers inclus est implicite dans certains aspects de la théologie chrétienne, là où elle se rapproche le plus de la métaphysique, c'est à dire lorsque l'idée de Dieu est définie comme un principe exempt de toute qualité, de toute détermination...

     

    On voit que les exemples d'utilisation de la logique du tiers inclus abondent, dans les domaines de la métaphysique, de la théologie, comme dans celui de la morale. Mais la conception du Timée demeure originale en ce que, dans celle-ci, la dualité fondamentale des cosmologies traditionnelles y est clairement présentée comme le fondement de la théorie physique, à laquelle elle doit permettre un développement formel rigoureux. Cette idée là, conforme au catéchisme pythagoricien ancien selon lequel la nature est « harmonie », union des contraires, a en revanche eu peu d'influence sur le développement de la science – du moins jusqu'à l'avènement de la science moderne, dans laquelle elle semble connaître un retour en grâce.

     

     

     

    Les dualités de la physique quantique.

     

    La physique moderne nous a accoutumés à l'idée que toute dualité réellement signifiante et opérante renvoyait à une « non dualité », qui en est la synthèse insaisissable.

     

    La particule quantique, le quanton, est une entité physique qui peut se manifester sous deux aspects, apparemment contradictoires : onde ou corpuscule. La « qualité » d'onde ou de corpuscule ne définit donc pas l'être de la particule, mais seulement l'un des aspects sous lesquels il peut se matérialiser, et par suite être observé.

     

    Dans le sillage de cette dualité première, la physique quantique voit, en son sein, des dualités se développer à chacun des degrés inférieurs ou intérieurs de son développement, comme un principe gigogne. Et même si dans la plupart des cas, la logique du tiers exclu peut sembler suffire à décrire les « effets » induits par ces dualités (une particule ne peut pas être onde et corpuscule à la fois) ; le moment du tiers inclus demeure logiquement nécessaire, en tant que condition conjointe et indivise de ces 2 possibilités, et donc en tant qu'unique être putatif, se cachant derrière la variété de ses « aspects ».

     

     

     

    La dualité point/droite de la géométrie projective

     

     

    Dans plusieurs de ses études, Gilles Gaston Granger a tenté d'exposer la légitimité d'un point de vue qu'il désigne sous le nom de métamathématique, et qui consiste à considérer

     

    un certain nombre de philosophèmes qui résultent de l'activité « spontanée » et artisanale de la mathématique.

     

    Il ne s'agit pas d'idées philosophiques plaquées arbitrairement sur les maths, mais d'idées mathématiques sous-jacentes à la pratique mathématique, bien qu'elles ne soient pas des « outils » ou des axiomes appartenant à son langage technique.

     

    Au premier rang de ces philosophèmes : la dualité.

     

    La geom projective se distingue par le fait qu'elle place la dualité au cœur de son projet... c'est une véritable révolution copernicienne

     

     

    La géométrie projective : une discipline mathématique entièrement fondée, régie et structurée par le principe de dualité.

     

    Mael Mathieu écrit :

     

    Cette discipline repose sur un principe de dualité qui est, en quelque sorte, l'expression mathématique la plus achevée possible de la dualité en général, de toute forme de dualité. Les rapports dialectique entre les idées métaphysiques d'unité et de dualité trouvent en elle et en elle seule leur formulation mathématique la plus adéquate.
    En deux dimensions, le principe de dualité projective affirme l'équivalence entre la structure algébrique des points d'un plan, et celle de ses droites. Le point représente l'être dans son état le plus primordial, contracté à l'extrême, un et indivisible, tandis que la droite représente l'horizon déployé des possibilités selon lesquelles l'être s'actualise ; il s'agit de deux états complémentaires et opposés, que relie un principe de dualité rigoureusement équivalent à la dualité point-droites en géométrie projective ; d'ailleurs la manifestation elle-même est traditionnellement décrite comme une projection - l'image, utilisée par René Guénon dans le Symbolisme de la Croix, du rayon existentiateur et du plan de réflexion n'exprime rien d'autre que cela, or la géométrie projective n'est justement rien d'autre que l'étude des propriétés générales des projections.

     

    Il n'est pas nécessaire d'être savant en mathématique pour comprendre que la dualité fondatrice de la GP est une notion extrêmement profonde, et d'une grande portée philosophique, même au niveau le plus élémentaire où elle peut être présentée.

     

    La géométrie projective naît de cette remarque, qui est un véritable trait de lumière, qu'il existe une relation, et même, une dualité, entre ces deux axiomes de la géométrie classique.

     

    Par deux points ne passe qu'une seule droite.

     

    Deux droites se croisent en un seul point.

     

    De cette intuition est née une nouvelle famille de théorèmes, qui associent chaque fois, au fait que telles droites soient concourantes, le fait que tels points soient alignés. Chaque théorème étant associé à un théorème dual, dans lequel points et droites sont intervertis, sans changement sur le résultat.

     

    Cette géométrie s'attaque donc aux objets fondamentaux de la géométrie, le point et la droite, pour constater, au fond, qu'ils sont interchangeables.

    Point et droite s'avèrent interchangeables en vertu d'une relation nouée "avant leur naissance".

     

    Dans la mesure où cette discipline est celle où s'exprime la forme la plus radicale de dualité, elle est peut être celle dans laquelle le tiers inclus est le moins apparent. Cependant, il semble impossible de l'éliminer du procès de cette science ; car comment deux branches d'une dualité, quelle qu'elle soit, comment deux réalités pourraient-elles avoir communication, sans un troisième terme, neutre, non polarisé, qui leur serve d'intermédiaire et d'interface ? L'argument de Proclus conserve toute sa valeur, ici comme ailleurs.

     

     

     

    Retour au tiers inclus

     

    Le tiers inclus peut donc apparaître comme la condition « secrète » de toute vraie dualité, sans quoi on aurait affaire à des réalités séparées.

     

    C'est une réflexion philosophique sur l'évolution de la physique, et en particulier sur les fondements de la physique quantique, qui a conduit Stéphane Lupasco à s'intéresser à la logique du Tiers inclus, à laquelle il a donné, dans toute son œuvre un développement technique considérable, comparable à ce que représente la logique booléenne pour le tiers exclu.

     

    Lupasco remarque que la logique du tiers exclu, la logique du Vrai et du Faux, est rigoureusement soumise au principe d'Identité ; et donc, en tant que représentation du réel, elle ne peut prétendre davantage que a) donner une description des choses à un instant t, ou bien b) placer les choses dans une « éternité » abstraite où elle ne sont pas susceptibles d'évolution. Autrement dit, cette logique nécessite de considérer des événements artificiellement « stabilisés », situés hors du temps. Mais cette logique est impuissante à décrire ce qui change, ce qui devient, ce qui est le fait d'un dynamisme ou d'une évolution quelconque.

     

    Or en physique, le principe de contradiction n'a pas le caractère d'une loi « intemporelle », qui se contente d'interdire certains événements, mais au contraire, la valeur d'un principe dynamique et productif, puisqu'il est un facteur de différenciation, de création.

     

    Lupasco a identifié un exemple particulièrement significatif de ce principe, dans les lois d'exclusion de Pauli.

     

    Lupasco :

    Ce principe énonce que tout électron – avec quelques autres types de particules – exclut, dans un atome, de son état quantique (défini par 4 nombres quantiques) tout autre électron. Une diversification, une hétérogénéité de l'énergie sont ainsi possibles – ce qui n'est pas le cas des photons ou grains de lumière, lesquels ne se soumettent pas à ce principe et peuvent, eux, s'accumuler aussi nombreux qu'on le veut dans le même état quantique. Aussi bien, est-ce aux électrons qu'incombe la réalisation complète de la structure atomique, c'est-à-dire de parties qui se distinguent les unes des autres pour former une structure, au moyen de ce principe d'exclusion quantique diversifiante et individualisatrice.

     

    Pourtant, ils sont postulés comme identiques, et vérifiés, comme tels, par ailleurs ; et l'on ne saurait comprendre, dans une conception non contradictoire des êtres et des choses, comment ils peuvent dès lors s'hétérogénéiser, engendrer des non-identités.

     

    La contradiction n'est pas, ici, un principe d'élimination, mais au contraire un vecteur de procession, de sortie du multiple hors de l'un.

     

    Le processus envisagé ici par Lupasco concerne la construction de la "forme atomique", la détermination des éléments et des principes constituants de la matière. Mais un processus assez ressemblant peut être reconnu dans les linéaments de la vie :

     

    Citer l'article tétractyque sur les 4 atomes primordiaux.

     

     

    C'est donc avant tout une attention pour la physique, pour les enjeux et les attendus de cette discipline, qui a conduit Lupasco à mettre en œuvre une logique dynamique du contradictoire, dans laquelle la réalisation, ou l'actualisation, d'un événement e, ne fait pas disparaître l'événement antagoniste non-e, mais se contente de le potentialiser.

     

    Dans cette logique : " A tout phénomène ou élément ou événement logique quelconque, et donc au jugement qui le pense, à la proposition qui l'exprime, au signe qui le symbolise : e, par exemple, doit toujours être associé, structurellement et fonctionnellement, un anti-phénomène ou anti-élément ou anti-événement logique, et donc un jugement, une proposition, un signe contradictoire : non-e... » (Lupasco) A ces événements s'appliquent des valeurs d'état : A pour « actualisation », P pour « potentialisation », qui occupent la place des valeurs « vrai » et « faux » de la logique classique. L'actualisation de e entraîne la potentialisation de non-e, mais sans le faire disparaître complètement ; et inversement, l'actualisation de non-e entraîne la potentialisation de e. En outre, le système admet un état T, (d'après : « tiers inclus »), défini comme « ni actuel ni potentiel ». Le tiers inclus de e est en même temps le tiers inclus de non-e, situation qui, comme l'a remarqué Nicolescu, lui confère un rôle de tiers unificateur : le tiers inclus unifie e et non-e.

     

    Le tiers inclus est le foyer d'unification qui confère à une contradiction, un antagonisme, la charge positive d'une dualité, d'un principe dont la fonction n'est pas d'éliminer, mais au contraire d'être fécond, d'engendrer.

     

    A la place de la table de vérité classique, qui formule les valeurs de vérité possibles d'un énoncé p :

    p non p
    V F
    F V

    On a une table qui décline les trois états possibles d'un événement e :

    e non e
    A P
    T T
    P A

    Parallèlement à cela, Lupasco a remarqué que les opérations de la logique classique se répartissaient par paires, en vertu d'une profonde analogie :

     

    affirmation / négation

     implication / exclusion

     conjonction / disjonction

     

    Toutes ces opérations peuvent être rapportées à une opération plus générale, qui ne concerne plus seulement des énoncés, mais tout événement, qui est : homogénésisation / hétérogénéisation. « En effet, affirmer c’est lier, introduire une certaine identité, nier, c’est délier, introduire une rupture, un lien négatif. » Lupasco utilise, pour symboliser ces deux opérations, le symbole logique de l'implication et son négatif : ⊃ (implique, homogénéise), -⊃ (contre implique, hétérogénéise).

     

    La combinaison de ces 5 symboles : A, P, T, ⊃, -⊃, permet d'établir une table de déduction de tous les dynamismes qui peuvent être définis par les relations entre ces trois états A, P, T. La table se développe par une arborescence ternaire d'opérateurs de plus en plus complexes, qui pourrait être poursuivie indéfiniment, dans laquelle on a, sur les premiers niveaux : 3, 9, 27 puis 81 opérateurs.

     

    Mais il semble licite de compléter cette table par un niveau 1, où figurerait le seul opérateur : ⊃ T, puisqu'en effet le tiers inclus est non seulement l'axe de symétrie naturel du système, mais tient lieu d'affirmation première et englobante qui, à elle seule, implique toutes les autres.

     

     

    De quoi est il question dans le Timée ?

     

    Lorsqu'on lit la dialectique du Même et de l'Autre du Timée, on a la conviction d'avoir affaire à un système de logique formelle, système qui est en outre de nature combinatoire, c'est à dire de la même espèce que le système booléen du calcul des énoncés, construit par une combinaison de Vrai et de Faux.

     

    A partir de cette intuition, on peut observer 2 choses :

     

    a) Dans la logique booléenne elle-même, les catégories du Vrai et du Faux peuvent apparaître, par une analyse fine, n'être que les dérivées d'une dualité plus générale qui est celle de l'Identité et de la Différence, où l'on reconnaît aisément les catégories même du Timée.

     

    a) Dans la logique du tiers inclus de Lupasco, les valeurs d'état « actualisation » et « potentialisation » se laissent elles aussi reconduire à des opérations d'un plus haut degré de généralité formelle : celles d'homogénéisation et d'hétérogénéisation, dans lesquelles on reconnaît à nouveau les catégories Même / Autre du Timée.

     

    Autrement dit, on est justifié à penser que le système de différenciation « biternaire » qui, dans le Lambda de Platon, s'exprime par des quantités numériques, des rapports proportionnels et des médiétés, est le même que celui qui est développé complémentairement par Boole et Lupasco sur le plan de la seule différence logico-formelle, et combinatoire.

     

    Dans cette correspondance, la logique booléenne, la logique binaire du tiers exclu correspond à la jambe gauche de Lambda ; même si, en réalité, pour être complètement développée, cette logique nécessiterait que l'on ajoute au Lambda un étage supplémentaire, puisqu'elle comporte une division binaire de plus, et se compose de 16 connecteurs.

     

    Néanmoins, il est relativement aisé de montrer que, dans la logique booléenne du calcul des énoncés, le processus gradué de la construction de la différence logique, avec ses niveaux caractéristiques, correspond bien au rythme de division binaire de la jambe gauche du Lambda.

     

    Pour la correspondance entre les connecteurs de la logique binaire, leurs tables de vérité, et leurs carrés logiques correspondants, nous ne pouvons faire mieux que de renvoyer à notre étude ; qu'il suffise ici de savoir que les couleurs « blanc » et « noir » du carré logique correspondent respectivement aux valeurs V et F des tables de vérité des connecteurs.

     

    Le niveau 2 correspond au niveau au niveau des connexions saturées, ou des non-connexions VVVV, FFFF, qui n'ont aucune signification logique.

     

    Le niveau 4 correspond au niveau des connexions « unaires », c'est à dire de connexions binaires encore « avortées », identité et négation, où la seule relation qui existe est celle d'un énoncé avec lui-même.

     

    Le niveau 8 correspond au niveau des connexions binaires, dans une situation où chaque connecteur est encore accouplé à son négatif.

     

    On voit qu'une ultime division binaire serait nécessaire pour compléter le processus de différenciation des connecteurs.

     

    De la même manière, on pourra associer la jambe droite du Lambda aux 4 premiers niveaux du développement de la logique de Lupasco.

     

     

    Les deux logiques sont complémentaires

     

    Tous ces développements techniques un peu fastidieux visaient à souligner un point particulièrement important : contrairement aux apparences , les deux logiques, tiers exclu booléen et tiers inclus lupascien, ne sont pas « contradictoires » entre elles, mais constituent une seule et même chose, sont les parties d'un tout.

     

    Après avoir complètement développé sa logique du tiers inclus, lupasco prend conscience d'une chose : cette logique respecte le principe de non-contradiction... autrement dit, respecte le principe du tiers exclu ! Cette constatation particulièrement étrange a pu résonner à l'oreille de certains comme un « paradoxe » ; toutefois, Nicolescu a montré avec justesse que l'apparence de paradoxe provenait de ce que l'on considérait sur un même plan des affirmations appartenant à différents « niveaux de réalité ».

     

    De la même manière, on peut remarquer que l'hypostase d'un tiers inclus est toujours concrètement, matériellement nécessaire à l'expression de la logique du tiers exclu, même si ce terme est « éliminé » du langage binaire en lui même, auquel il est censé ne pas appartenir. Dans le système du carré logique, ce tiers inclus est le cadre vide (incolore), qui peut être REMPLI par deux couleurs. Dans la logique des tables de vérité, l'utilisation des lettres V et F renvoie implicitement à l'existence d'un « cadre vide » qui est le statut « valeur de vérité », symbolisé par un symbole uniforme, la lettre. Ce statut pourrait être lui même symbolisée par une lettre, L, qui aurait à l'égard des valeurs particulières telles que V, F, le même statut que le signe « n » en arithmétique, à l'égard des nombres particuliers. Ce statut commun aux deux termes, partagé par eux, est logiquement nécessaire, même si son symbole n'appartient pas au langage considéré, parce qu'il est seul capable de doter ces deux termes d'une « ontologie » consistante.

     

    De la même manière que la table de Lupasco peut être complétée à son sommet par un opérateur « origine » : « implique T », l'arborescence binaire des différenciations de la logique booléenne pourrait être « subordonnée » à une « condition commune », correspondante au cadre vide du carré logique, ou encore au statut L « valeur de vérité ».

     

    Sur le plan de la signification logique, les niveaux 1 de chacun des systèmes, à savoir le cadre vide de la logique binaire, d'une part, et l'opérateur « implique T » qui asserte l'existence d'un tiers inclus, d'autre part, peuvent donc être considérés comme équivalents.

     

    Telle sera donc pour nous la leçon majeure du Lambda : les deux logiques ne sont pas comme deux routes divergentes, mais comme deux moitiés d'un même tout, ou comme deux manières de s'orienter au sein d'un même tout.

     

    Cependant grâce à cette logique, le statut de l'unité a bien changé. Celle-ci n'a plus rien d'insaisissable, mais correspond à un quantum bien réel, sur lequel se fondent toutes les transformations de la nature, le passage de la puissance à l'acte.

     

     

    Conclusions physiques et cosmologiques  : La nature est un Nombre. Le nombre 1 est le QUANTUM de la nature.

     

    L'unité n'est pas ici, seulement, une déterminité logique qui prend l'univers pour objet « quelconque », comme le feraient des énoncés tels que :« Il y a un univers », « l'univers est un », expressions dans lesquelles le nombre 1 joue encore largement le rôle d'article, porteur du principe d'identité, ou d'individualité.

     

    L'unité est bien le « poids » physique de l'univers, son quantum de matière-énergie, qui se conserve à travers ses transformations.

     

     

     


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  • DEUXIEME PARTIE : PENTAGONE ET HEXAGONE

     

     

     

     

    Après tout ce que nous venons de dire, j'ajouterai encore un mot qui sera sûrement entendu de Nicandre. Le sixième jour du premier mois, lorsqu'on introduit la pythie dans le Prytanée , le premier des trois sorts qu'on jette pour vous est tiré sur le nombre cinq, d'abord trois, ensuite deux. La chose ne se fait-elle pas ainsi ? « Oui, répondit Nicandre, mais il est défendu   d'en dire la raison aux étrangers. »

    Plutarque

     

     

     

     

     

     

    Pentagone et Hexagone

     

     

    Si les nombres 2 et 3 sont les « principes » de la doctrine de la nature, en ce que par eux débute le récit de la genèse du monde, les nombres 5 et 6 forment la suite du même récit, en ce qu'ils exhibent les deux plus proches finalités auxquelles sont conduits ces deux principes.

     

    2+3 = 5,

     

    2x3 = 6.

     

     

    Les nombres 5 et 6 peuvent donc être considérés comme les mariages des nombres 2 et 3, selon deux modalités distinctes ; (Charpentier qualifie les nombres 5 et 6 de « nombres conjonctifs »); toutefois, il semble qu'au nombre 5 seul convienne en propre le terme d'union. L'addition est la plus simple des unions, puisqu'elle absorbe deux termes en un seul, sans les faire disparaître. La seule chose qui a disparu étant précisément l'altérité, la séparation.

     

    La distinction de ces modalités, pentagonale et hexagonale, constitue pour ainsi dire l'essentiel de la philosophie de la nature.

     

    Fidèle à une tradition qui semble remonter à ..., Guénon associe le pentagone au microcosme et l'hexagone au macrocosme.

     

    Il y a deux façons d'entendre les concepts de macrocosme et microcosme; soit comme la relation abstraite du "tout" à l'une de ses parties quelconques, soit comme un nouage qui a lieu en tout point de l'Univers, entre intériorité et extériorité d'une réalité quelconque. Seule la seconde de ces conceptions est pertinente pour ce qui nous concerne.

     

     

    De ce point de vue toute monade à deux « cotés », deux « attaches » qui sont l'attache microcosmique à son plan propre, et  l'attache macrocosmique à un plan supérieur.

     

    Ainsi, le nouage qui, dans le Timée, associe les cercles du Même et de l'Autre aux plans respectifs de l'equateur et de l'écliptique, est parfaitement rigoureux ; il correspond au véritable nouage cosmologique de la terre (même si la distribution des termes « même » et « autre » peut être sujette à discussion) ; et conserve donc toute sa valeur, malgré l'obsolescence du modèle géocentrique auquel il donne lieu.

     

    Seule cette acception à la fois locale et universelle des notions de microcosme et de macrocosme est pertinente pour le sujet qui nous concerne.

     

    On peut donc, avec prudence, commencer par avancer que liaison ou l'association du pentagone et de l'hexagone a « quelque chose à voir » avec la constitution du cosmos. C'est en tout cas une idée récurrente dans la tradition pythagoricienne, où le couple formé par les nombres 5 et 6 se présente souvent comme un avatar, une reformulation du couple 2 et 3 du Lambda de Platon.

     

    « Comme de l'Un, premier connu, rayonnent le cinq et le six... » (Dante, Paradiso)

     

    Le contexte permettant d'identifier l'Un à Dieu, le 5 et le 6 sont présentés, dans ce vers, comme les deux premières réalités issues de l'Un, le degré de la « primauté » ayant reculé d'un degré, par rapport au Lambda de Platon. Guénon a montré que le nombre 11 avait, dans la comédie, une importance symbolique considérable (comparable à celle du nombre 9 de la vita nova) ; mais ce vers est le seul où nous est révélé quelque chose de la signification « génétique » de ce nombre.

     

    Le traducteur André Pézard, habituellement très discret sur les aspects ésotériques de l'oeuvre de Dante, est convaincu que ce vers doit être interprété à la lumière de la géométrie, et livre une étonnante construction, dont on peut regretter qu'il ne l'ait pas commentée davantage.

     

    Il s'agit de construire, à partir d'un cercle et de son rayon, l'hexagone et le pentagone inscrits dans ce même cercle, en ne recourant qu'à la méthode euclidienne de la règle et du compas. Du pentagone est déduit le pentagramme étoilé.

     

     

    Qu'est-ce que la nature ?

     

     

     

     

    Pézard identifie le cercle à l'Un-Dieu, et l'hexagone et le pentagramme, aux productions les plus immédiates du rayon de ce même cercle. Le rayon géométrique ayant clairement, ici, le sens symbolique de « rayonnement » divin.

     

     

     

    La construction de Pézard nous semble faire écho à un dessin de Dürer, dans lequel le pentagone et l'hexagone sont construits avec la même contrainte euclidienne, non à partir du Cercle, mais à partir du double cercle du Vesica piscis.

     

     

    Qu'est-ce que la nature ?

     

     

     

     

    Les deux constructions peuvent paraître complémentaires, la première affiliant le couple pentagone-hexagone à l'Un, la seconde, à la dualité première, dont le vesica piscis est le symbole. La première peut donc nous sembler relever de la métaphysique, tandis que la seconde relèverait plutôt de la cosmologie et de la science de la nature.

     

     

     

    Remarque : Pézard est muet sur les sources qui l'ont inspiré, mais on peut remarquer que son dessin reproduit exactement une construction d'Arturo Reghini (ref).

     

     

    Qu'est-ce que la nature ?

     

    Si de telles constructions peuvent être éloquentes sur la naturalité mathématique du nouage entre le pentagone et l'hexagone, elles sont malheureusement peu bavardes sur la différence qualitative entre ces deux figures. Si ces figures constituent un « couple » de la même nature que le couple pair-impair du lambda de platon, avec la même prétention à exprimer symboliquement le mariage, la hiérogamie de la création, de la nature universelle, alors, il doit exister entre ces deux figures des différences oppositives, dialectiques, aussi bien spécifiées que celles du couple Féminin-Masculin, qui est leur archétype.

     

     

    Le nombre 6 est un nombre circulaire

     

    Cette affirmation est associée à deux axiomes.

     

    A. Le rayon d'un cercle est égal au côté de l'hexagone inscrit dans ce même cercle.

     

    B. Si l'on empile autour d'un cercle des cercles de même diamètre, on constate qu'on peut disposer, en tout et pour tout, six cercles autour du premier, tous tangents entre eux et à ce cercle.

     

    Ces principes mathématiques expliquent que, dans la plupart des traditions, le nombre 6 soit associé aux idées de cyclicité, de retour du Même, de bouclage... toutes idées qui nous conduisent au pôle de l'Identité, qui est le pôle « ternaire », le pôle « mâle » de la manifestation universelle.

     

    A contrario, le nombre 5, comme ses « dérivés » géométriques les plus proches que sont le pentagone et le pentagramme étoilé, est associé au nombre d'or, lui-même considéré comme principe formel de la Vie, de la création, de la brisure de symétrie, ou encore de la non-périodicité... toutes indications qui pointent vers le pôle de l'Autre qui est, traditionnellement, considéré comme le pôle femelle de la manifestation universelle.

     

    Ainsi pouvons-nous retrouver, dans les nombres 5 et 6, une résurgence des polarités sexuelles du Lambda, bien que ces distinctions n'y soient plus aussi nettes, et perdent une partie de leur pertinence, dans la mesure où chacun de ces nombres est déjà une combinaison de masculin et de féminin. En outre, cette résurgence est liée à une inversion des relations initiales entre sexe et parité, puisque le féminin y est, cette fois, associé à l'impair, et le masculin au pair.

     

     

     

    Avant d'aller plus loin dans l'examen des réalités mathématiques, il sera utile de considérer ce que les traditions pythagoriciennes rapportent au sujet du nombre 5, et de ces figures associées que sont le pentagone et le pentagramme étoilé.

     

     

    Les arcanes traditionnels du nombre 5 – le pentagramme Ugieia

     

     

    Le pentagramme est considéré, selon la tradition, comme un signe de reconnaissance de la fraternité pythagoricienne.

     

    Et, avant d'aller plus loin, on notera que, dans l'histoire du pythagorisme, la fonction du « signe reconnaissance » est associée à la création et à l'élaboration du concept de symbole, que nous utilisons toujours.

     

    Et effet, le sumbolon, le symbole, était pour les pythagoriciens un signe de reconnaissance, qui consistait en une pièce de monnaie brisée à la séparation, en autant de morceaux que nécessaire, selon le nombres de frères. Le fragment conservé par chacun des frères le reliait, dès lors, physiquement, à l'instant de cette séparation, et lui était un gage infaillible sur l'authenticité de la retrouvaille. De même que seuls les vrais morceaux de la pièce originelle, auraient la possibilité de se rassembler, de même, seuls de vrais pythagoriciens, ou à défaut leurs représentants, pourraient être en possession de ces fragments de pièces. Le fragment, la partie, conservée par chacun des membres, porte en lui la marque du tout, de l'unité indivise constituée par la communauté des frères, selon une logique typiquement pythagoricienne à laquelle nous a longuement accoutumée la théorie du gnomon.

     

    Les termes « signe de reconnaissance » et « symbole » sont donc investis, en pythagorisme, d'une charge particulière, due à cette synonymie partielle.

     

    Un signe de reconnaissance doit nécessairement être un symbole, c'est à dire qu'il ne doit pas seulement « signaliser », « indiquer », (se réduire à la fonction du signe) mais incarner, produire lui-même la réalité dont il atteste ; et selon ce critère, il y a de bonnes raisons de penser que le pentagramme faisait office de « symbole suprême », ou de « symbole des symboles », d'un symbole capable de concentrer ou de conserver l'intégralité de la doctrine pythagoricienne.

     

    La tâche essentielle du présent ouvrage sera de tenter de comprendre pourquoi.

     

     

     

    Caractère liturgique

     

    Le pentagramme était associé à un geste, un tracé rituel.

     

    On relie par des segments 5 points de référence, correspondant à cinq parties du corps humain : nuque, épaules et hanches.

     

    Par ce geste, il est indiquée que ces 5 parties du corps sont nouées, c'est à dire, liées, rassemblées, mais aussi tenues, dirigées.

     

    Le pentagramme est un nœud.

     

    On commence par la hanche gauche et l'on poursuit ainsi :

     

    nuque, hanche droite, épaule gauche, épaule droite,

     

    Pour finalement conclure en aboutant la corde du tracé :

     

    hanche gauche.

     

    Ce symbolisme possède, à l'évidence, un aspect « mortel » et un aspect « vital », inséparables l'un de l'autre, auxquelles correspondent dans la conception vulgaire les deux connotations, « maléfique » et « bénéfique » du pentagramme, mais qui, dans le contexte de la pensée traditionnelle, renvoie au « mythe » du démembrement de l'homme primordial : le « sacrifice » primordial d'un Dieu qui aurait été la condition de la création du monde, mythe dans l'esprit duquel, bien évidemment, mort et vie sont indissolublement liées..

     

    Ce prétendu mythe n'est évidemment qu'un philosophème, qui veut que toute création soit, par définition, une division, et se nourrisse de la destruction d'une unité ontologique plus primordiale, d'une hénade, dans laquelle il est loisible à chaque tradition de reconnaître un de ses Dieux : qu'on l'appelle Osiris ou Dyonysos.

     

    L'acte de la mise à mort, de sacrifice et de démembrement qui se déroule du côté divin coïncide, sans aucun reste, avec l'acte de création, de liaison protectrice et de vitalisation dont le « miracle » s'accomplit à chaque instant, de notre côté. Ce qui est assez montrer que la mort du Dieu n'est qu'apparente.

     

    Comme les bris du sumbolon, les parties du corps du Dieu sont destinées (par la vertu même du rite) à se rassembler ; de sorte que la mort du Dieu ne contredit pas son immortalité, mais l'établit au contraire. Est immortel, non ce qui ne connaît pas la mort, mais ce qui la connaît au contraire assez intimement pour être capable de lui survivre : immortel est le dieu qui survit à sa propre mort.

     

     

     

    Geste et tracé

     

    C'est évidemment le côté bénéfique du symbole, celui qui gagne à la fin, qui est engagé dans le rituel pythagoricien, où ce geste, comparable au signe de croix des chrétiens, est synonyme de bénédiction et de salut. Et la vertu du geste se transportait, intacte, dans toute action de tracé, de dessin ou de gravure qui pouvait en conserver la teneur.

     

    Traditionnellement, le dessin du pentagramme était légendé , dans chacune de ses branches, par les

     

    5 lettres du mot UgiEIA qui signifie en grec « santé », et dont l'équivalent latin est « salus ».

     

     

    Tout personne qui emploie aujourd'hui pour saluer le mot : « salut ! », ou pour bénir le mot « santé ! » renouvelle, sans le savoir, un usage pythagoricien.

     

    Il convient, avant tout, de remarquer que ces termes nomment, dans l'antiquité, deux divinités de sexe féminin, l'une grecque, l'autre latine, qui sont dans leur panthéon respectif les déesses de la Santé, et que les théologies officielles ont donné pour « parèdre » ou pour « fille principale » (ce qui revient techniquement au même) soit au Dieu de la médecine Asclepios/Esculape, soit à Apollon, dont ce dieu médecin est souvent considéré comme le desservant, le substitut ou l'avatar.

     

    En réalité, il est certain que ces déesses ont une histoire locale beaucoup plus ancienne, totalement indépendante des dieux masculins indo-européens qui leur ont été donnés pour époux. Les mots « Ugieia » et « Salus » ne sont pas des noms originaux, puisqu'ils ne sont que des qualificatifs exprimant des fonctions de la déesse. La seule tradition qui ait conservé une dénomination plus ancienne est la tradition celtique, où la déesse Santé se nomme « Sirona ». Comme ses pareilles latine et grecque, Sirona fut mariée à divers dieux gaulois ; mais son nom conserve le souvenir d'attributions beaucoup plus primitives, antérieures à ces refontes théologiques tardives, puisqu'il signifie – ô surprise – « grande étoile ». « Sir » est un radical signifiant « étoile » (une extraordinaire étude étymologique a d'ailleurs montré que les deux mots dérivaient d'une source commune), tandis que le suffixe « ôn » est un augmentatif signifiant « grand », présent dans divers noms de nombreux dieux celtiques tels que Maponos, etc. - Sans ce témoin celte, il serait impossible d'expliquer les caractères nettement stellaires, comme le diadème (très rares chez les divinités gauloises) dont se parent aussi les équivalentes latine et grecque, Salus et Ugieia.

     

     

     

    Le tracé pythagoricien qui associe le nom de la déesse Ugieia à celui d'une étoile a donc bien le cartactère de restitution d'une donnée traditionnelle. A cette étoile mythologique correspondait, certainement, un astre du firmament, dont le souvenir n'a pas été conservé, mais pour lequel peuvent postuler plusieurs candidates : l'étoile polaire, Sirius, ou encore Vénus, avec pour cette dernière, cette coïncidence spectaculaire, que le tracé de sa révolution dans le ciel, correspond précisément à la figure d'un pentagramme.

     

    Mais quelle qu'ait pu être cette étoile, l'essentiel est qu'elle ait été investie, pour notre monde, d'une fonction de bienfaisance, d'équilibre et de santé ; et donc, qu'elle représente pour ce même monde une forme d'ancrage, de stabilité, condition de son salut.

     

    L'hypothèse d'une parenté étymologique entre notre déesse salutaire Sirona et Sirius n'a, en soi, rien d'invraisemblable; et Rémy Bayoud a même suggéré d'inclure dans ce procès les Sirènes de la tradition ésotérique pythagoricienne.

     

    Ces créatures mythologiques jouent en effet un rôle des plus éminent dans la tradition secrète du pythagorisme. En liaison avec les points de la tétractys, elle représentent l'éternité, l'invariance, ou encore l'immutabilité qui préside aux transformations de la nature; et leur domaine d'élection est parfois désigné comme une "couronne", qui peut évoquer le "cercle" ou le "sphaïros", l'éther invariant qui enveloppe le cosmos empédocléen dans une pellicule d'éternité.

    Par ce chemin, la déesse Sirona s'affranchit de la sphère étroitement médicale, pour s'élever au rang d'une déesse universelle, symbole de la condition, ou de la manifestation spatio-temporelle, et comparable à la déesse Isis.

     

    De nombreux commentateurs ont remarqué la ressemblance entre les conceptions pythagoriciennes relatives à la santé et à la médecine, avec les conceptions taoïstes. Dans ces deux doctrines, la santé résulte d'un équilibre entre les deux pôles de la manifestation universelle : yang et yin, masculin et féminin.

     

    Inversement, la maladie, le désordre, seront toujours la conséquence d'un déséquilibre entre ces deux pôles.

     

    Si la création et la vie nécessite la participation et l'union de ces deux principes, la santé, la conservation de la vie, nécessitera, quant elle, un harmonieux équilibre, une juste proportion, une parfaite composition entre ces deux principes.

     

    La tradition pythagoricienne attribue au nombre 5, entre autres qualifications, la propriété d'être un nombre nuptial, un nombre symbolisant le mariage, l'union.

     

    On aperçoit par là que le pentagramme, dont la fonction est d'accomplir l'union, la médiation entre les nombres 2 et 3, représentant le féminin et le masculin, est réellement un symbole approprié à ce qu'il symbolise ici : la santé, elle même définie comme un harmonieux équilibre entre ces deux principes. Par cet aspect, le pentagramme peut être considéré comme un symbole « équivalent » au symbole chinois du yin-yang.

     

    De la même manière qu'un certain équilibre est principe de Santé, un certain équilibre est principe de Justice. Souvenons-nous que la racine LeG-s, justice, est apparentée aux racines LoGos, LiGere, exprimant l'idée de lien.

     

    Aristote définit le principe de la justice au moyen des médiétés pythagoriciennes.

     

    Nos traditions occidentales montrent une confusion assez fréquente des symboles de la justice, comme celui de la balance, avec ceux de la médecine et de la pharmacie. Et Charpentier remarque à ce sujet :

     

    « La notion de Justice est pour les Pythagoriciens plus large que pour nous : elle désigne l'harmonie unissant l'Homme au Cosmos entier en un accord parfait, auquel conviendrait d'ailleurs mieux le nom de justesse. »

     

    Sans perdre les caractères originaux issus de ses origines pythagoriciennes, le symbolisme du pentagramme s'est conservé à travers toute l'histoire de l'ésotérisme chrétien, jusqu'à la franc-maçonnerie, dont l'étoile flamboyante est un des symboles majeurs.

     

    Après cet aperçu des données traditionnelles relatives au pentagramme, il nous sera possible d'aller un peu plus loin dans l'examen des réalités mathématiques.

     

    Dans un premier temps, on examinera les très nombreuses relations qui existent entre le nombre 5 et le nombre d'or.

     

    En second lieu, on approfondira la relation particulière qui existe entre le nombre d'or et la notion d'équilibre, relation qui éclaire, non seulement, le symbolisme du pentagramme et l'association de cette figure aux idées de Santé et de Justice, mais aussi, le fait que le nombre d'or ait toujours été crédité d'un potentiel de signification « physique » et cosmologique, qu'il passe pour un nombre apte à représenter l'équilibre des forces universelles.

     

    Si les nombres 5 et 6 peuvent tous deux être considérés comme des « mariages » des nombres 2 et 3, il semble qu'au nombre 5 seulement correspondent l'idée d'union. L'addition est une image parfaite de l'union de deux termes, en ce qu'elle ne supprime, de ces termes, absolument rien d'autre que la séparation, la dualité, en les réunissant en un seul.

     

    Et comme on a vu que, dans le lambda, la procession hors de l'un prend appui sur une dualité, (formée des 2 premières réalités issues de lui). On va voir que, dans le nombre d'or, la procession s'appuie sur une biunité, une dualité « réunifiée » (matérialisée par le nombre 5) ; de sorte que là où on avait une procession duale, on a maintenant une procession directe. D'autres arguments viendront étayer cette thèse que le nombre d'or représente, justement, ce principe de procession directe, avec cette précision technique de « la plus directe ».

     

     

     

    Remarque incidente le pentagone.

     

    Cette propriété « processionnelle » du nombre d'or peut être rapprochée d'une propriété mathématique spécifique du pentagone.

     

    Maël Mathieu, qui reconnaît dans le pentagramme un symbole de "l'homme transcendant", remarque au sujet du pentagone :

     

    La propriété géométrique essentielle et fondamentale de tout pentagone, qui explique (du moins en partie) son importance symbolique, est qu'il est toujours inscrit et circonscrit à une certaine conique et détermine univoquement ces deux coniques ; il est le seul polygone à posséder cette propriété. Or une conique, qui est l'équivalent projectif d'un cercle, est un symbole de la totalité manifestée. Le fait que le pentagone détermine univoquement sa conique circonscrite s'interprète donc comme : l'Homme transcendant détermine univoquement la totalité manifestée dont il est le centre. On remarquera à ce propos que le nombre cinq est le symbole traditionnel de l'Esprit.

     

    Il semble bien exister un rapport analogique entre la conique comme forme, et les principes de procession et de conversion qui sont les fonctions de l'hénade.

     

    Mael Mathieu remarque que chez Proclus, les notions de Procession et Conversion sont complétées par un troisième terme, la Manence, qui est en quelque manière la synthèse des deux premières, tout en formant une instance indépendante, et un "moment" dialectique, qui domine en alternance avec les autres. Il note :

     

    Ces trois "moments" sont à la fois unis et hiérarchisés, mais selon un ordre circulaire ; chacun d'eux est compris dans les deux autres, et a préséance sur eux sous un certain rapport.

     

    Quant à la manence :

     

    Il y a en elle un double aspect, qui peut être vue comme la synthèse finale de la procession et de la conversion, mais qui peut aussi précéder celles-ci d'une manière radicale et absolue. Et il y a aussi un double aspect dans la conversion, qui peut être vue comme le moment ultime de la procession, mais aussi comme sa condition, car seul ce qui est susceptible de se convertir - c'est-à-dire de faire retour au Principe - peut procéder.

     

    Chez Proclus, le concept de manence est intimement lié à celui de l'Éternité comme dénomination du Principe suprême.

     

    De fait, quelle peut bien être cette instance de "synthèse" entre les fonctions de procession et de conversion, sinon ce qui réalise entre elle un équilibre per-manent, un équilibre qui se maintient à travers l'alternance des trois principes?

     

    L'autonomie « ontologique » du pentagone, sa capacité autonome de procession, semble devoir être rapproché de la capacité du nombre d'or, de réaliser, justement, la procession géométrique « la plus directe ».

    En outre, le nombre d'or comme le pentagone, par cette parenté intime avec le principe procession lié au développement d'une conique, peuvent tout deux être rapprochés de la fonction de l'Hénade.

     

     

     

    Mais commençons par rappeler succintement les rapports entre nombre 5, pentagone et nombre d'or.

     

     

     

     

    Nombre 5 et nombre d'Or

     

     

     

    L'équation du nombre d'or s'écrit de nos jours conventionnellement :

     

    x = (√5+1)/2

     

    Et il existe bien d'autres définitions de phi faisant apparaître le nombre 5, dont celles-ci, relevées par l'auteur du site Harpakheredblog :

     

    Φ = 5 ^ 0,5 x 0,5 + 0,5

     

    Φ= √(( 5+√5) / (5-√5))

     

    Phi = e ^ asinh(0,5)

     

    Φ=2 cos (Π/5)

     

    Dans l'antiquité, le nombre d'or était conçu comme un problème géométrique relevant de la théorie des proportions, dans lequel il s'agit de diviser un segment en deux portions, de façon à ce que « la plus petite portion soit à l'égard de la plus grande, comme la plus grande est à l'égard du tout. »

     

    On a :

     

    c/b = b/a = Φ

     

    mais aussi

     

     

     

    a+b = c

     

     

     

    expression dont on sait qu'elle régit la suite de Fibonacci, et dont on peut déjà remarquer qu'elle correspond à une algébrisation de la relation entre les trois premiers nombres du Lambda, qui occupent le sommet de la figure

     

     

    1+2 = 3

     

    Dans le pentagramme, ce rapport apparaît entre le côté du pentagone intérieur, et celui d'une branche quelconque de l'étoile, chaque branche formant un « triangle d'or » aïgu, triangle isocèle dont les côtés inégaux sont dans le rapport phi.

     

    Deux autre triangles d'or, de tailles supérieures, peuvent être obtenus en prenant successivement pour base du grand côté les segments : a+b, puis b+a+b ; cet enchevêtrement de triangles d'or étant le principe générateur des pavages de Penrose.

     

    Après cet aperçu très rapide des relations entre le nombre 5, le pentagone et le nombre d'or, il est temps d'introduire un énoncé de science commune dont nous empruntons la forme à Schwaller de Lubicz :

     

    Le nombre d'or est le principe naturel des lois de l'équilibre.

     

    Du point de vue cosmologique, les lois de l'équilibre sont celles qui garantissent la cohésion de l'univers à travers toutes ses transformations, mais aussi, le contraignent à demeurer toujours égal au quantum « 1 ».

     

    Charpentier, qui reconnaît également dans le nombre d'or une expression mathématique du principe d'équilibre, invoque pour l'occasion un principe métaphysique supérieur, qu'il emprunte à Guénon, et qu'il érige au rang d'axiome de science pythagoricienne:

     

    « L'équilibre est le reflet dans l'existence de l'immutabilité du principe ».

     

    Autrement dit, l'équilibre des forces cosmiques n'est rien d'autre que la traduction de la présence et de l'action de l'Un, à travers tout le cycle de l'Existence et de la manifestation universelle.

     

    La question qui se pose à nous est : en quoi le nombre d'or est il particulièrement approprié à l'expression des lois de l'équilibre. C'est le fil que l'on suivra par la suite en passant en revue différentes approches du nombre d'or.

     

     

     

    le nombre d'or par la théorie des médiétés

     

    La proportion dorée est la seule proportion qui satisfasse à la fois la médiété Nicomaque 2 dite "géométrique", telle que :

     pour trois termes consécutifs :

      a<b<c

     On a :

     (b-a)/(c-b) = a/b = b/c

     médiété dans laquelle :

     ac = b2

     (Exemples de cette médiété les proportions "double" (1,2,4,8...) ou "triple" (1,3,9,27...) qui correspondent respectivement aux jambes gauche et droite du lambda de Platon.)

     

    Et la médiété Nicomaque 10 (de Fibonacci), telle que, pour trois termes consécutifs : a<b<c, on a :

     (c-b) / (c-a) = a/b

     médiété dans laquelle :

     a+b = c

     Exemple de cette médiété la suite de Fibonacci (0,1,1,2,3,5,8...)

     Autrement dit : la proportion dorée est la seule proportion "de Fibonacci" qui soit géométrique, et inversement.

     

    Ou plus exactement : en posant c/b = x et en égalant les médiétés N2 et N10, on retrouve l'équation x*x = x + 1 dont une des solutions est la proportion dorée.

     Exemple de proportion dorée, dans laquelle chaque terme est le phi-uple de son prédécesseur,  définie à partir de l'unité "1" :

     ( 1, phi, phi2,...)

    La proportion dorée est ainsi définie comme unique intersection de 2 ensembles bien définis, dont chacun est l'ensemble des solutions d'une médiété à 3 termes de Nicomaque – en l'occurrence les médiétés 2 et 10.

     

    De la même manière que, dans le Lambda, l'unité originaire correspond au croisement de deux progressions géométriques, l'une double, l'autre triple, de même, la proportion dorée correspond au croisement de deux médiétés : « géométrique » et de « Fibonacci . Nous allons voir que la plupart des approches du nombre d'or insistent particulièrement sur son rapport avec l'une de ces deux médiétés, au détriment parfois de l'autre ; et de fait, elle peut être obtenu à partir de chacune d'elles par saturation interne, sans le truchement de l'autre. Mais ici, on doit précisément avoir égard au fait que la proportion dorée représente un cas-limite pour les deux à la fois ; autrement dit que, pour chacune d'elles, elle incarne la présence du « même » dans un ensemble « autre »... cette dernière formulation devant faire sentir qu'elle répond au critère qu'une médiété doit posséder, pour être, selon le mot de Proclus, « ce plus puissant des liens » qui est le lien d'amour, que l'on peut schématiser par le fait, pour un être donné, d'avoir dans un autre être sa « raison d'être ».

     

    (Intégrer quelque part : Chaîne d'or des orphiques et lien d'amour. Dernier vers des buccoliques lu par Charpentier

     

    Omnia vincit amor, et nos cedamus.

     

    Vincit est une forme verbale commune à deux verbes différents : « vincere », vaincre, et « vincire », lier ; Virgile joue sur cette ambivalence pour transmettre un enseignement qui est le même que celui du dernier ver de la comédie de Dante.)

     

    Remarquons maintenant que la structure du Lambda possède pour nous des applications nouvelles, d'une généralité mathématique supérieure à celle qu'on lui connaît par l'exegèse du Timée.

     



     

    Lambda de Platon

     

    1 origine commune

     

    2 3 départs des médiétés géométriques « double » et « triple »



     

    Lambda de Proclus

     

    Médiété géométrique

     

    Médiété arithmétique Médiété harmonique

     

    (autre) (même)

     

    Lambda d'Or

     

    Proportion dorée (solution commune)

     

    Médiété de Fibonacci Médiété géométrique

     

    (ensemble des suites de F) (ensemble des suites géométriques)

     

     

     

    Charpentier et Reghini.

     

     

    Charpentier : « Pourquoi le pentagone est-il signe de vie ? Comme d'autres polygones, il peut se présenter sous deux formes ; il est soit convexe, soit étoilé... Et ces deux formes sont le résultat d'une alternance...

     

    « En effet, l'étoile, une fois engendrée par les diagonales du pentagone convexe, contient maintenant en son centre un nouveau pentagone convexe, d'orientation inverse et plus petit en quantité de surface que le premier, mais tout semblable à lui par la forme, qui manifeste une qualité inchangée. En effet chacun de ces pentagones est en relation dorée avec tous les autres, ce qui garantit le maintien de sa qualité à travers tous les changements quantitatifs.

      Cette alternance que les géomètres qualifient de « pulsante » est « le meilleur modèle de tous les rythmes vitaux ». Quant à « la loi qui rend possible cette alternance géométrique, c'est la même qui s'étend à tout le domaine de l'Existence, et qu'on a nommé « Nombre d'or » ou « divine proportion ».

     

    Charpentier remarque que, à l'image de la doctrine pythagoricienne, ce nombre a donné lieu à d'innombrables commentaires, sans que personne ait su dire de quoi il s'agit en fait.

     

    La réponse passe par cette question :

     

    « De quoi a besoin, pour rester en vie, une créature quelconque ? La réponse consiste en cette double condition : 1. Elle doit garder la forme qui répond à sa définition, sous peine de devenir « autre chose », en perdant son identité. 2. Mais il faut qu'elle garde, en même temps, la possibilité de se développer, c'est à dire de changer, en devenant « relativement autre ».

     

    Nous retrouvons donc ici les éléments caractéristiques de la dialectique du Timée.

     

    Charpentier remarque que la suite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8...), dans laquelle chaque terme est la somme des deux qui le précèdent, et qui est associée à la croissance « en spirale » de nombreuses formes naturelles : végétaux, coquillages, nébuleuses, manifeste précisément cette capacité à « maintenir une forme constante » à travers des états variables, son principe régulateur étant précisément la proportion dorée vers laquelle tend la suite de Fibonacci.

     

    Selon cette approche c'est donc la relation algébrique : a+b = c, caractéristique de la suite de Fibonacci, qui expliquerait l'universalité physique et cosmologique de la proportion dorée.

     

    Cette explication est assurément séduisante, à un détail près : elle omet que la proportion dorée est une proportion géométrique stricte, qualité que ne peut posséder aucune suite de type « Fibonacci », hormis celle qui a exactement pour matrice le nombre d'or, et qui constitue un cas limite.

     

    Charpentier estime, apparemment, qu'il est propre au principe des suites de Fibonacci de ne pouvoir produire qu'une approximation de plus en plus serrée du nombre d'or ; ce que l'on peut lui contester. En effet, si le principe de ces suites est défini de façon purement algébrique, comme dans la théorie des médiétés, alors, rien n'interdit de considérer la suite exacte du nombre d'or (1, phi, phi carré, …) comme un cas particulier de la médiété Nicomaque 10 (« de Fibonacci »), au même titre exactement que la suite (1,1, 2, 3, 5,...).

     

    Rappelons que la médiété Nicomaque 10 est une relation entre 3 termes a<b<c telle que

     

    (c-b)/(c-a) = a/b

     

    Or les deux suites susmentionnées satisfont bien cette condition.

     

    Charpentier, qui n'envisage pas cette éventualité, estime en conséquence que, pour obtenir une expression plus exacte du nombre d'or, il faut quitter le terrain de l'arithmétique, et emprunter celui de la géométrie.

     

    Pour ce faire, il recourt au théorème de Pythagore.

     

    L'hypoténuse d'un triangle rectangle de cathètes 1 et 2 vaut racine de 5.

     

    Si l'on rabat l'hypoténuse de valeur racine de 5 sur le même axe que le côté de valeur 1, on obtient un segment de valeur 1 + racine de 5, segment qui, divisé en deux (dans le contexte antique de la « corde à noeuds » cette opération peut se faire en repliant une fois sur elle-même la « corde » en question), on obtient un segment qui se trouve, à l'égard du côté de valeur 1, dans le rapport « phiuple », autrement dit : un segment de longueur phi.

     

    Par une voie plus directe, Reghini parvient à une conclusion assez semblable. Sa définition de la proportion dorée, d'un synthétisme remarquable, ne met en jeu que la proportion géométrique, et sa propriété principale  ac = b2 :

     

    On appelle section dorée d'un segment ou « section divine » cette partie du segment telle que le carré qui a ce segment pour côté équivaut au rectangle qui a pour côtés tout le segment et la partie restante.

     (...)

    Symétriquement à la définition qui qualifiait la proportion dorée de « seule proportion de Fibonacci qui soit aussi géométrique », on définit maintenant la proportion dorée comme « la seule proportion géométrique dans laquelle le troisième segment est égal à la somme des deux premiers »). Dans toutes les autres proportions géométriques, sans exception (inclus évidemment les proportions « double » et « triple » du lambda), le troisième segment ne peut pas être égal à la somme des deux qui le précèdent.

     

    La proportion dorée représente donc, à cet égard, une forme « épurée » du principe de progression géométrique, résultant d'un NOUAGE INTERNE.

     

    Si l'on admet que la médiété géométrique est en charge du principe de procession, la proportion dorée n'est pas autre chose qu'une médiété géométrique « réfléchie en elle-même ».

     

    Là où le Lambda représente une procession « duale », procession parallèle du pair et de l'impair, la proportion dorée représente en quelque sorte un principe de procession « directe » ou de procession « tout court ».

     

    Si l'on s'avise maintenant de traduire la définition de Reghini, définition géométrique reposant sur le rapport entre longueurs de segments, en termes arithmétiques, on obtient l'équation :

     

    1/phi x phi = 1 carré = 1

     

    Et cette équation nous rappelle immédiatement un axiome arithmétique des plus triviaux, qui veut que « le produit d'un nombre et de son inverse soit toujours égal à 1 ». Et c'est de cette manière, certainement, que la proportion dorée peut être définie de la manière la plus profonde : COMME UNE TAUTOLOGIE DIRECTEMENT EXPRIMEE DU NOMBRE UN, ou encore, comme le « ratio » minimal, ou « ratio de ratio », uniquement générateur du nombre 1.

     

    C'est cet aspect absolument RADICAL qui explique que, sur le plan de la réalité physique, la proportion dorée soit le ratio le plus propre à exprimer l'EQUILIBRE, notion dont a déjà vue qu'elle devait elle-même être définie comme la « conservation », la « permanence » ou le « reflet » de l'Un.

     

    Derrière ces deux approches de la proportion dorée par Charpentier et Reghini se profile le triangle rectangle (1,2, racine 5), et à sa suite, le triangle isiaque (3,4,5), dont nous avons montré ailleurs la complémentarité et les liens ; de sorte que le problème de la proportion dorée se trouve désormais placé sous le signe du théorème de Pythagore. C'est cette approche très importante, et riche, dont nous essaierons maintenant de développer quelques aspects particuliers.

     

     


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    TROISIEME PARTIE : LA NEF

     

    TRIANGLE ISIAQUE ET TRIANGLE AURIGENE. NOMBRE 9 ET NOMBRES PALINDROMES;

     

     

     

     

     

     

    Prologue

     

     

     

     La nef est une structure qui réunit le triangle isiaque (3,4,5), prototype de l'ensemble des triplets pythagoriciens, solutions entières du théorème de Pythagore, avec le triangle (1, 2, racine 5), générateur du nombre d'or.

     

    La nef

     

    La partie extérieure de la structure, en forme de U, est appelée carène. C'est une tétractys, mais elle est composée de 10 segments, au lieu de dix points. On voit bien que, si l'on s'arrêtait là, notre tétractys ne serait pas terminée, au sens mathématique le plus propre, puisque, si les séparations entre les nombres 1 et 2, d'une part, et 3 et 4, d'autre part, sont bien marquées par la forme même de la structure, la division entre les nombres 2 et 3, elle, n'est pas encore précisée. Pour pallier ce manque, la carène est donc dotée d'une structure en V appelée voilure.

     

    Dans cette représentation, les axes verticaux soutenant les nombres 1 et 4 correspondent à des états de plénitude ; tandis que l'axe horizontal correspond lui, davantage même qu'à la notion d'état, aux idées de d'opération et de « médiation » entre deux états.

     

    Si on associe les nombres 1 à 4 aux objets monadiques qui leur correspondent – point, segment, disque, boule - ces distinctions s'explicitent très bien. Le point et la boule correspondent bien en effet à deux états analogues de plénitude, le premier, à la plénitude « infinie » ou « puissancielle », et la seconde, à une plénitude partiellement « reconstituée » , relativement en tous cas à ces formes « intermédiaires » que sont le segment et le disque.

     

    La monade

     

    Comme il est naturel, le passage du nombre 1 au nombre 2, qui correspond à une perte de plénitude, s'effectue par une « descente », tandis que le passage de 3 à 4, qui correspond au recouvrement de la plénitude, s'effectue par une « remontée ».

    Dans son ouvrage La grande Triade, qui peut être lu comme une vaste méditation pythagoricienne sur le losange "vesica piscis", René Guénon assigne, de la même manière, les nombres 1 et 4 à l'axe vertical, et les nombres 2 et 3 à l'axe horizontal.

    La nef

     

     

    On voit que, dans la nef,  la zone intermédiaire entre les nombres 1 et 4 est toute entière gouvernée par le nombre 5. La médiation entre ces deux nombres se présente donc ici comme une « quinte essence », venant « couronner » les 4 essences premières portées par la tétractys.

     

    Les deux branches de la structure en V jouent l'une pour l'autre le rôle de miroir. A gauche, le nombre 5 à l'état de « puissanciation », à droite, à l'état d'entier « réalisé », tandis que la partie horizontale inférieure peut être envisagée comme exprimant ce même nombre 5 en tant que processus, en cours de réalisation.

     

    Notons que la disposition tétractyque de la nef fait que les angles sous le V sont dans le rapport d'octave, puisque : arctan (4/3) = 2 fois arctan (½).

     

     

     

     

    L'hypoténuse comme médiété

     

    Avant d'aller plus loin, il faut dire quelque mot des propriétés symboliques du triangle rectangle, qui ne sont qu'un décalque immédiat de ses propriétés mathématiques. En premier lieu, on remarque que l'hypoténuse joue dans ce triangle un rôle semblable à celui d'une médiété, ou d'une harmonisation, puisqu'il consiste à établir une moyenne, une « commune mesure » entre les deux termes qui correspondent à l'angle droit. Ainsi dans le triangle 3-4-5, remarque Charpentier, « l'hypoténuse 5 représente bien, dans l'ordre géométrique, une moyenne entre 3 et 4. »

     

     

    Dans cette structure, les segments de valeur 1, 2, 3, 4, qui constituent la carène, sont l'image de la complétude de la décade et de la tétractys ; tandis que les nombres racine 5 et 5 qui viennent les couronner symbolisent la « quinte essence », le passage de la puissance à l'acte.

     

    Les 2 parties, inférieure et supérieure, de la structure, symbolisent ensemble une situation de parfait équilibre, en ce que l'addition des chiffres qui entrent dans leur composition donne le même résultat :

     

    1+2+3+4 = 10

     

    5+5 = 10

     

    Nous aurons à nous souvenir de cela lorsque nous aurons à évoquer le symbolisme du nombre 55, dixième nombre triangulaire et valeur secrète de la tétractys, ainsi que celui du nombre 515, dans lequel la décade 10 a pris la place de « pivot » ou de moyen terme entre le macrocosme (500) et le microcosme (5).

     

    Du point de vue cosmologique, le triangle 1,2, racine 5 représente le principe « fécondant », le principe « activateur » qui permet à l'Un d'engendrer le Multiple sans sortir de lui même, par un simple « contact » interne, une électrisation. Tandis que le triangle isiaque 3,4,5 représente le champ, ou le plan récepteur de cette action électrisante (le principe « passif » de la manifestation universelle), qui n'est autre que sa condition, ou sa constitution spatio-temporelle.

     

    Ces deux principes pourraient, au premier abord, être assimilés aux principes « Masculin » et « Féminin » que l'on a déjà vus, chez maints commentateurs, associés au jambes du lambda de Platon ; mais il convient surtout de considérer qu'on est ici au cœur d'une hiérogamie, et d'une androgynie universelle, dans laquelle le féminin et le masculin circulent partout, libérés de leurs « chaines » par la perfection de leur composition, par l'harmonie qui les enroule autour de l'Un, dont ils procèdent.

     

    Le triangle d'Isis, symbole de la condition spatio temporelle

     

    Par une transformation convenable, les trois côtés du triangle isiaque se changent en trois polygones : le triangle, le carré et le pentagone, qui sont les trois premiers membres de la série indéfinie des polygones réguliers, et qui, à eux trois, fournissent tout le matériel nécessaire à la construction des polyèdres réguliers.

     

    Si ces polyèdres, au nombre de 5, constituaient pour les anciens un symbole légitime de la condition spatiale, c'est parce qu'ils réalisent de multiples façons, les idées de saturation, de complétude, de clôture d'un ensemble de possibilités mathématiques pures, définies par les prémisses qui sont leurs objets constituants : points, segments, polygones.

     

    Mais le problème est de comprendre comment les réalités géométriques exprimant, si l'on peut dire, « naturellement » la condition spatiale, ont pu, par une certaine transformation, devenir aussi les principes, les symboles constituants et élémentaires de la condition temporelle.

     

    Dans cette formulation, on a déjà tout l'énoncé du problème qui a donné naissance au système sexagésimal et qui est : projeter le temps sur un objet géométrique quelconque, de préférence très simple... tel que le cercle.

     

    Les travaux de Torres Heredia Julca ont labouré les innombrables manières dont peut être illustrée la « naturalité » du système sexagésimal ; mais il semble bien, sur ce sujet, la remarque la plus décisive soit due à Dom Néroman.

     

    Il fallait bien que le cercle fut divisible par 60, pour pouvoir être simultanément divisé par 3, par 4 et par 5, et donc pour pouvoir accueillir et inscrire au sein d'un même système de division angulaire : le triangle, le carré et le pentagone !

     

    En effet :

     

    3 x 4 x 5 = 60

     

    Sur cette base, le fameux théorème de pythagore, qui veut que le carré de côté 5 soit égal à la SOMME des carrés de côtés 3 et 4, se retrouve en parallélisme parfait avec une équation angulaire, qui veut que la somme des angles d'un pentagone (540°) soit égale à la somme des angles d'un triangle (180°) + la somme des angles d'un carré (360°)

     

    Dans ce contexte, il est possible de considérer la somme des angles du triangle (180) comme une « unité », dont le carré (360) et le pentagone (540) représenteraient respectivement les valeurs « double » et « triple » : selon un schéma qui reproduit ainsi scrupuleusement la structure du lambda de Platon.

     

    1 +

     

    2 = 3

     

    180 +

     

    360 = 540

     

    Ce point est d'autant plus à remarquer, que le Lambda se rappelle ici à nous par d'autres aspects. Ainsi le nombre 540 qui mesure les deux parties de l'équation, rappelle le nombre 54, qui est la somme des nombres du Lambda, tandis que le nombre 1080, qui correspond à la somme totale des angles des trois polygones, rappelle le nombre 108 qui, dans le Timée, est celui de l'Ame du Monde, obtenue par une division longitudinale de la bande du Lambda (54 x 2 = 108).

     

    Mais le système possède d'autres propriétés encore, qui incitent plutôt à considérer comme « unité » de référence l'angle droit, égal à 90 degrés.

     

    Retenons avant tout que le système sexagésimal RESULTE de cette simple nécessité, de transformer le théorème de pythagore en théorème angulaire, en un théorème sur les angles des différents polygones coordonnés à un même cercle. Nous devons admettre que, sur ce point, l'intuition de Dom Neroman nous semble extraordinairement puissante, et difficilement contestable.

     

    Dans ce système, la position médiane est occupée par le carré, dont la somme des angles est égale à celle du cercle de 360° ; les deux figures se trouvant au sens propre ajustées ; et dont l'angle de référence, égal à 90°, peut justement être considéré comme le quadrant, ou comme la coordonnée principale du système, puisqu'il est le diviseur des sommes angulaires des trois polygones. D'un point de vue mathématique, il n'est en rien exagéré de soutenir que la plus profonde des « quadratures du cercle », c'est le cercle 360.

     

    Nous pouvons ici donner une extension à la remarque de Dom Neroman. Non seulement le cercle devait avoir 60 divisions pour accueillir triangle, carré et pentagone, et par leur truchement les solides réguliers, mais en outre, la division du cercle devait intégrer des multiples supérieurs du nombre 60, comme le demi-cercle 180 et le cercle 360, pour intégrer, essentiellement le nombre 9.

     

    On doit en effet prendre acte du fait que le nombre 9 intervient, dans le système sexagésimal, de façon tout aussi essentielle que le nombre 60, en tant que diviseur commun des nombres 18, 36 et 54, associés aux sommes angulaires des trois polygones (le zéro qui multiplie toutes ces valeurs par 10 pouvant dans ce contexte être négligé) ; et il peut même apparaître comme le véritable « décodeur » du système, grâce auquel le théorème de pythagore finit de se transformer, pour se résoudre en une pure tautologie arithmétique :

     

    2x9 + 4x9 = 6x9

     

    Le nombre 9 n'est rien d'autre que l'unité secrète, le MODULE grâce auquel se déploie, à travers le système sexagésimal, la grande équation du théorème de Pythagore, sa version « généralisée », qui associe à l'équation sur les carrés des côtés, une équation sur les sommes angulaires des polygones correspondant à ces côtés.

     

    Par extension, on peut estimer que c'est la division du cercle en quarts de 90% qui est le principe essentiel de la « quadrature », en ce qu'il assimile le cercle au carré gnomonique.

     

    En s'avançant un peu, on pourra hasarder que le nombre 9 est le module qui aura permis de transformer le temps en espace. Car telle est bien en dernier ressort la finalité du système : intégrer dans un même cadre de référence les conditions de l'espace, et celles qui affèrent au Temps : les secondes, les minutes, les heures, les années.

     

    De ces propriétés essentielles du nombre 9, les poètes pythagoriciens de la branche Italique, Virgile et Dante étaient parfaitement instruits, comme l'ont abondamment montré les travaux de Maury, Guénon et Charpentier.

     

    Pour ces poètes, il ne fait pas de mystère que ce « décodeur » du système sexagésimal est bien véritablement le nombre d'Isis, autrement appelée la « Dame du domaine » ou la « Dame du champ », en tant qu'elle régit le principe de la condition spatio-temporelle, divinité dont les traits sont aisément reconnaissables sous les avatars de Didon et de Béatrice, et à laquelle il est permis, en pythagorisme, de prêter le nom de Dame Nature.

     

    Au chapitre historique, on peut aussi relever que l'oeuvre de Plotin, éditée par Proclus, se compose de 54 traités, divisés en 6 neuvaines, les Ennéades, selon un plan qui reproduit la solution de notre dernière équation, mais qui surtout perpétue, selon toute vraisemblance, une exegèse traditionnelle du Timée, qui ne devait pas différer grandement de celle que l'on s'efforce de reconstituer ici à partir des principes mathématiques.

     

     

     

    Les propriétés du nombre 9

     

    Les propriétés spéciales du nombre 9 sont trivialement connues ; toutefois, pour mettre en lumière leur signification symbolique véritable, il semble que l'important ne soit pas tant de les connaître, que de les disposer dans le bon ordre.

     

    La conservation de l'unité dans les multiples. L'ensemble des multiples du nombre neuf est soumis à une loi de composition qui est une loi de genre, une loi d' « hérédité ».

     

    Demandons nous maintenant comment se conserve cette unité dans les multiples. Les fonctions anagramme, « miroir », ou « palindrome ». On voit que chacune de ces relations est plus forte que la précédente. La fonction anagramme relie un multiple de 9 à l'ensemble défini par son paradigme combinatoire. La fonction « miroir », qui est une subdivision de la précédente, associe chaque nombre à un seul autre nombre, dans une sorte de relation de gemellité (les deux nombres formant les deux moitiés d'un palindrome). Enfin, la fonction palindrome, qui peut encore être regardée une subdivision de celle qui la précède, ne concerne que ceux, parmi ces nombres, qui sont les miroirs d'eux mêmes.

     

    Les palindromes font donc office de nœuds centraux ; si on les aligne sur un axe imaginaire, ils forment une colonne vertébrale autour de laquelle les autres nombres se développent par un mouvement tournant, un mouvement spiralé.

     

    Sur le plan mathématique, la fonction palindrome qui est à l'oeuvre dans les propriétés de permutation des nombres, peut apparaître comme un cas particulier d'un principe plus général, une fonction miroir pouvant, par extension, s'appliquer à « toute formule qui demeure inchangée par une rotation quelconque sur elle-même. » De cette manière, la fonction palindrome en vient à absorber bien d'autres opérations arithmétiques, que les seules permutations sur les nombres naturels en base 10. En tout premier lieu, peuvent être regardées comme des modalités de la fonction palindrome les puissances, telles que 6 x 6 x 6, les fractions telles que 6/6, ou encore les formules additives 6 + 6 + 6...

     

    Du nombre 9 premier « palindrome », au nombre 99, qui marque le retour de la fonction « palindrome », on voit qu'un cycle est accompli. Ce cycle comporte exactement 11 marches. 11 est lui même le plus simple des palindromes à plus d'un chiffre. En outre, il est au nombre 1 ce que le nombre 99 est au nombre 9.

     

    Les travaux de Charpentier sur Virgile et Dante ont montré que le nombre 99 représentait, pour ces deux auteurs, le « moteur immobile » de la nature. L'énéide compte 9900 vers, la divine comédie 99 chants (précédés d'un prologue) ; dans cette dernière œuvre les « modules » 11 et 33, qui sont les deux palindromes diviseurs de 99, jouent également un rôle déterminant.

     

    Charpentier évoque une tradition pythagoricienne dans laquelle l'année dure 99 mois ; nous n'avons pu en retrouver la trace.

     

    A présent, nous allons voir qu'il est particulièrement instructif de représenter le nombre 99 comme le sommet d'un lambda, où se rencontrent la série des multiples de 9 qui compte 11 marches, et celle des palindromes multiples de 11, qui en compte 9.

     

    A première vue, on n'a là qu'une illustration détaillée de la commutativité de la multiplication (9x11=11x9), mais une remarquable construction de Charpentier a montré qu'il existait, entre ces deux séries de nombres, une relation beaucoup plus profonde.

     

    On utilise le triangle « aurigène » 1-2-racine 5, que l'on affecte d'un facteur 33.

     

    On obtient un triangle de cathètes 33 et 66, dont l'hypothénuse est égale à racine de 5445. On remarque que les deux premiers nombres appartiennent à la série des palindromes multiples de 11, et équivalent à diviser le nombre 99 en trois parties égales, tandis que le troisième est un également un nombre palindrome, mais dont les composants se situent, quant à eux, « au milieu » de la série des multiples de neuf.

     

    Or on constate que

     

    33+66 = 45 + 54 = 99

     

    De sorte qu'on se trouve devant une illustration purement symbolique, numérologique, du théorème de Pythagore, où le rapport traditionnel entre les carrés adjacents aux côtés du triangle, se reflète dans le rapport entre l'addition des côtés de l'angle droit, et l'addition des parties du palindrome correspondant à l'hypoténuse.

     

    L'analogie avec le théorème de Pythagore est bien réelle ; mais alors que la version polygonale de ce théorème soumet le triangle rectangle à une loi de « développement » ou de déploiement, l'équation ci dessus l'assujettit plutôt à une contrainte de « résorption » ou d'involution.

     

    C'est sûrement là une explication très forte de la vénération que les pythagoriciens portaient au nombre 99. En le décomposant en 2 sommes : on retrouvait non seulement, sous une forme symboliquement frappante, le théorème de Pythagore, mais dans une version « paradigmatique » qui est celle du triangle « aurigène » (dont l'importance théorique n'est pas moindre que celle du triangle isiaque).

     

    Car en effet : racine 5445 n'est autre que 33 x racine 5, de sorte que :

     

    (racine 5445 + 33) / 66 = phi

     

    On obtient ainsi une définition du nombre d'or qui n'utilise que des parties du nombre 99.

     

    Conclusion, le nombre 9 joue un rôle assez analogue de décodeur, ou de développeur, pour chacun des deux triangles rectangles qui composent la nef ; et c'est pour cette raison qu'il peut apparaître comme le centre caché, ou comme l'interface entre ces deux structures.

     

    Si nous reprenons le triangle aurigène 33, 66, racine 5445, nous observons une relation symbolique, non seulement avec le triangle 1-2-racine 5 dont il est un développement, mais avec la nef dans son ensemble.

     

    En effet, il semble exister une relation entre le fait que dans le triangle aurigène, on a

     

    33 + 66 = 54+45

     

    et le fait que dans la nef on a

     

    1+2+3+4 = 5 + 5

     

    A gauche des équations on a les valeurs des cathètes, et à droite, celles des hypoténuses, dans lesquelles s'exprime, dans chaque cas, une fonction palindrome.

     

    Il est possible d'aller un peu plus loin dans l'examen des rapports naturels qui existent entre le triangle isiaque, le nombre 9, et la fonction palindrome.

     

    Si l'on développe, sur chaque côté du triangle isiaque, le cube gnomonique correspondant, on obtient pour ces trois cubes les valeurs 27, 64 et 125.

     

    Or :

     

    27 + 64 +125 = 216

     

    Le nombre 216 est lui-même un cube, puisqu'il n'est autre que le cube de 6, autrement dit le successeur naturel des trois qui le précèdent dans l'équation. On a donc le sentiment d'être en présence d'une extension du théorème de Pythagore, d'un prolongement hors de lui-même, qui ressaisit ensemble les trois côtés du triangle, pour les rapporter à un principe qui les « enveloppe ».

     

    Il ne semble pas illégitime de regarder la fonction « puissance » comme une modalité de la fonction palindrome. On se trouve alors devant une expression qui est celle-ci :

     

    (3x3x3) + (4x4x4) + (5x5x5) = (6x6x6)

     

    Et si l'on considère les 4 parties de l'expression comme formant un intervalle complet dans une progression continue, alors, on remarque que le « centre caché » de l'expression est le nombre 9, puisque ce nombre est à la fois la somme des extrêmes, et celle des nombres intermédiaires.

     

    3 + …......... + 6 = 9

     

    ….4 + 5...... = 9

     

    Lecture dans laquelle on peut trouver une sorte de résurgence du module 99.

     

    En vertu de cette parenté avec le nombre neuf, la formule, bien qu'elle soit dérivée du triangle isiaque, contient tout le matériel nécessaire à la composition d'une formule déjà connue, qui est celle du grand triangle aurigène.

     

    33+66 = 54+45

     

    Les mêmes éléments entrent en composition dans les deux formules, en fonction d'un point d'équilibre qui est toujours le nombre 9.

     

    Ce nombre joue donc, là encore, le rôle d'interface entre les deux triangles de la nef ; avec cette précision que, pour chacun de ces triangles, il représente, précisément, le nombre correspondant au point d'équilibre, ou encore, au centre caché de la structure.

     



     

    Le pentagramme modulo 9 et son centre 99. Le rayon céleste.

     

    Dans notre brève étude sur le solide de Dürer, et dans le prolongement des remarques d'André Charpentier, nous avons montré que les propriétés arithmétiques des multiples de 9 pouvaient être fusionnées avec celles, géométriques, du pentagramme, pour former une représentation synthétique, particulièrement riche.

     

    Qu'est-ce que la nature ?



     

    (résumer)

     

     

     

     

     

    L'équation de Charpentier sur le triangle aurigène. Ses variantes palindromiques. Sa réduction tétractyque.

     

     

    Les travaux d'André Charpentier ont montré le caractère fondamental du triangle aurigène (1, 2, rac5) – pour une compréhension pleinement pythagoricienne de la « doctrine » du nombre d'or.

     

    Charpentier observe qu'en affectant les côtés du triangle d'un facteur emprunté à la famille des nombres palindromes (en l'occurrence, le facteur 33), on fait ressortir entre ces trois côtés un principe de symétrie similaire à celui du théorème de Pythagore.

     

     



     

     

    Φ = ( 5445 + 33) / 66



    On observe en effet que

    33 + 66 = 99

    et

    54 + 45 = 99



    On a donc une définition du nombre d'or qui n'utilise que des « divisions bipartites » du nombre 99







    Et dans la formule 33+66 = 54+45, l'on pourrait en extrapoler une sorte de « formulation molle » du théorème de pythagore qui serait  « les côtés de l'angle droit  se reflètent dans l'hypothénuse »... mais au lieu que le théorème classique est un théorème de "développement" (construction de carrés sur les côtés du triangle rectangle) celui ci est un théorème de "résorption" ou d'involution.

     







    L'équation de Charpentier met en jeu 3 différentes propriétés des nombres.



    A. La fonction "palindrome" à l'oeuvre dans les nombres 33, 66, 5445

    B. Les propriétés auto-additives des multiples de 9

    C. La fonction synthétique "C" qui dans le cas 5445 réunit les fonctions A et B



    Précisons que ces 3 fonctions correspondent à des propriétés naturelles du nombre.

    En les actionnant charpentier ne fait répondre à l'appel de la symétrie.



    Ce sont là en tous cas des manipulations moins "équivoques" a priori que maintes opérations guématriques lettres-nombres, à notre escient. Et pythagoriquement plus orthodoxes.




    Observons les propriétés formelles sur lesquelles s'appuie l'équation de Charpentier :



    Côtés du triangle                       Carrés adjacents aux côtés                       Division des carrés par 99              



    33                                                1089                                                              1089/99   =   11                                                         



    66                                                4356                                                              4356/99    =   44



    racine 5445                                5445                                                               5445/99   =   55



    On en déduit au passage une première transformation de l'équation, dans laquelle l'unité commune aux trois côtés n'est pas le nombre 99, mais le nombre 11, principe des nombres palindromes :



    Φ = ((√55) + (√11)) / (√44)

     



    Mais on observe en outre cette propriété "formelle" des carrés adjacents, bien que seul le troisième soit palindrome.



    1089              10+89             = 99

    4356              43+56             = 99

    5445              54+45             = 99



    Propriété qui repose sur leur qualité de multiples de 9, mais qui ici se présente sous la forme d'un "complexe naturel"..









    Il est possible, du reste, de transformer l'équation de charpentier en faisant sortir partout le 99, et sans avoir à se livrer à des manipulations sur la racine 5445 :



    Φ = (√(99 × 55) + (99 ÷ 3)) ÷ ((99 ÷ 3) × 2)







     

    En tant qu'application du théorème de pythagore, l'équation est bien sujette à une contrainte d'involution, ou de résorption, puisque les 3 côtés du triangles y sont reconduits à un principe unique. Ou encore, pour chacun des 3 côtés, le nombre 99 joue le rôle de principe unitaire, semblable à l'unité-segment de valeur 1 qui paramètre les côtés d'un triangle rectangle de type (3,4,5).

    La fonction "principielle" du nombre 99 peut être assimilée à celle du segment-rayon de valeur 1 qui parcourt les côtés du triangle isiaque.

     

    Pour Charpentier, le nombre 99 présentait un intérêt bien particulier, en raison de sa fonction dans l'arithmologie pythagoricienne traditionnelle, où ce nombre représente le « rayon céleste », et « le centre du monde »



    En passant, sur les rapports entre pentagramme et nombre 99, se rappeler du pentagramme modulo 9 ou tous les segments se résorbent additivement dans le 'centre' 99.

    …...........

     

     

    On peut être étonné par la coïncidence qui veut que le nombre 99 soit aussi impliqué dans une célèbre équation relative au nombre Pi, due à Ramanujan





    9801 = 99 carré



    La définition de PI par ramanujan est donc fondée sur les valeurs : 99 carré (9801) au numérateur, et 99 au dénominateur.



    On retiendra, faute de mieux, le caractère géométrique de ces occurrences du nombre 99, qui pointent nettement vers le carré. En effet, en vue pythagoricienne, le numérateur ne désigne absolument pas autre chose qu'un carré gnomonique de 99 de coté, tandis qu'au dénominateur, les opérateur « x4 » et « puissance 4n » renvoient, eux aussi, à une symétrie quadrangulaire.



    Et nous assisterons plus loin à un autre croisement entre ces deux nombres vedettes de la mathématique, dans la tradition pythagoricienne.



    La doctrine des noms de Dieu

     

    Au sujet du nombre 99, nous tenons d'Aliboron cette cogitation gnostique dans « l’Evangile de vérité » où un développement associé à l’image du Pasteur nous parle du chiffre 99 tenu en main gauche, et de l’Un qui, une fois découvert et uni à 99, permet à l’ensemble de passer en main droite. Ce qui laisse supposer la référence à un moyen de comput digital. « Et ainsi le nombre devient 100. C’est le signe de ce qu’il y a dans leurs sons, c’est à dire le Père ». Bref, cet évangile développe une véritable théologie du Nom : « Le Nom du Père est le Fils ». Le caractère improférable du Nom, décliné à l’envie dans cette doctrine gnostique souligne la nature cachée de Dieu. Car par l’épithète d’AMEN (le Fidèle, le Véritable) qui lui est attribué dans l’Apocalypse, le Christ, selon les spéculations sur la valeur numérique des lettres grecques, s’apparente au nombre 99 (A+M+H+N = 1+40+8+50 = 99), peut être « enfermé » dans les cinq doigts de la main gauche. Pentagramme le mettant en relation avec Sirius, donc médiateur de vérité, nécessaire voie d’accès vers le 100eme nom, celui du « Caché », Amon... Car nul ne vient au Père que par moi » affirme Jésus (Jean, 14,6).

     



    ….

     

    Souvenons qu'entre ces deux formulations de l'équation de Charpentier, mettant en évidence le nombre 99

    Φ = ( 5445 + 33) / 66

    Φ = (√(99 × 55) + (99 ÷ 3)) ÷ ((99 ÷ 3) × 2)

    Nous avons rencontré une formulation intermédiaire qui est la suivante :



    Φ = ((√11) + (√55)) / (√44)



    Cette équation peut à son tour être transformée en deux temps, jusqu'à retrouver une expression pratiquement identique à l'équation-source « phi = (rac 5 +1) / 2 ».



    Dans un premier temps, on peut remplacer, dans toutes les parties de l'équation, les multiples de 11 par ce nombre qui est leur commun diviseur. Par cette équation, qui ramène la formule à son principe palindrome, on parcours "à rebours" le chemin accompli par Charpentier.



    Φ =     √(11)  + √(11+11+11+11+11)  

                     √(11+11+11+11)



    En outre, en répartissant différemment les sommes du second membre de l'équation, on peut déjà obtenir une formulation tétractyque de cette même expression :



    Φ =       (11) + √((11+11) + (11+11+11))
                     √(11+11+11+11)

     

     

    Il ne reste qu'un dernier pas à faire pour retrouver l'équation-source du nombre d'or : remplacer partout le nombre 11, principe des palindromes, par l'unité.

     

     



    Φ =       (1) + √((1+1) + (1+1+1))
                     √(1+1+1+1)

     

    ou

     

    Φ = ( √1 )+ √(2+3 ) 

                   √4





    A partir de ces expressions, on pourrait imaginer un langage mathématique simplifié, dans lequel les unités seraient représentés par des petits cercles, analogues aux points de la tétractys, et où l'opération « racine carrée » serait symbolisée par des parenthèses. On obtient alors l'expression :



    Φ = (o) + (oo+ooo)     

                (oooo)      





    dans laquelle les unités points de la tétractys se répartissent, de part en d'autre de la fraction principale, selon un rapport 6/4

     

    Ou encore cette formule en image, que nous ne mentionnons que pour le plaisir des pythagoriciens, mais dans laquelle on pourra trouver assez parlant d'associer les parties de la tétractys aux côtés du triangle aurigène qui, du coup, leur correspondent. Le sommet et la 4ème ligne correspondent aux côtés de l'angle droit (1 et 2) et la partie médiane à l'hypoténuse... ce qui est ajusté à la fonction "médiante", "moyennante" que Charpentier prête à l'hypoténuse.

     

    Qu'est-ce que la nature ?

     

    le Rapport du nombre d'Or peut alors apparaître comme une modalité du rapport "cosmologique"  3/2  qui correspond à

    la quinte

    aux nombres principes des "jambes" du Lambda

    au rapport des trois premiers étages (6) avec le quatrième (4) de la tétractys ; ou bien encore, dans cette même tétractys, au rapport de l'hexagone au trépied

    Et enfin au pentagone, qui est virtuellement engendré par la division d'un cercle selon ce rapport   3/2.

     

     



    Bref, il y a une convergence assez satisfaisante avec l'ensemble de ces "logoï" pythagoriciens



    Toutes ces dernières expressions sont très voisines de l'équation source phi = 1+ rac 5 / 2 et n'en distinguent pour ainsi dire que par un jeu d'écriture. Elles n'en exhibent pas moins en propre les caractères suivants.



    1. A la différence de l'équation-type, les éléments sont « homogénéisés », puisque l'expression ne contient plus que des racines carrées.

    2. En l'assimilant à la tétractys, ces équations font apparaître une homologie entre le triangle aurigène et l'ensemble de la nef (dont ce même triangle aurigène est une partie). Le triangle aurigène se présente dès lors comme une mini-nef qui développe, en mode puissanciel, les mêmes nombres que la nef développe en mode entier.





    En réalité, le fait de modifier "l'écriture" du triangle aurigène (1,2, racine 5), en exprimant tout en racines, (racine 1, racine 4, racine 5) permet de montrer que les trois côtés du triangle aurigène sont simplement les racines des trois côtés qui forment la carène de la nef.



    Autrement dit : la partie (mini-nef aurigène) contient le tout (nef) en mode puissanciel. 



    Noter : l'inversion du sens de lecture : anti horaire pour la nef, horaire pour la mini-nef... cette inversion entre micro et macrocosme est caractéristique de pas mal de structures pyth.





    Le triangle aurigène pourra donc être paramétré de deux manières différentes. Un paramétrage « interne » sous forme de racines carrées, et un paramètrage externe sous la forme de l'entier, qui marque son appartenance comme partie, à la structure générale entière de la nef.



     

     

     

    Il y a une relation certaine entre la relation min-nef/nef, et la relation graine/gnomon



    mini-nef peut apparaître comme un élargissement de l' endomorphisme du gnomon, dans une perspective inter-arithmétique plus large qui inclue les relations racines/entier.



    Noter qu'à l'état de "graine" (mini-nef), la nef est "repliée", ce qui semble bien naturel.



    On pourrait en gros voir dans la Nef, avec sa carène bien carrée, le monde du gnomon (au sens usuel), caractérisé par le segment-unité de valeur 1 qui paramètre sa structure : l'entier.



    Et dans la mininef le monde "théodorien", le monde puissanciel...

     

     

    En tant que QUATRIEME triangle de la spirale de Théodore, où il apparaît déjà dans sa forme "décadique" (1, racine 4, racine 5), le triangle aurigène correspond à la première clôture gnomonique, et donc il résonne avec le 16 eme triangle, le triangle (1, 4, racine 17) qui correspond à la seconde clôture. Ou le 5 répond bien nettement au 17.



     

    Relation d'octave entre le triangle aurigène (Théodore 4) et le triangle (1,4, rac 17) (Théodore 16)

     

     

     

    Les hypoténuses 5 et 17 correspondant aux "bords" de ces clôtures entretiennent une relation tout à fait signifiante.

     

    Aurigène a pour octave "Isiaque" pour les angles, et Théodore 16 pour l'aire (situation d'intersection – ou de nouage – "labdaïque").




    Importante remarque :

     

    Au sein du système géométrique de la nef, comme au sein du système gnomonique du rectangle de fibonacci, l'aire du triangle aurigène est égale à 1 ; c'est à dire qu'elle est égale au petit carré insécable de surface 1 qui est l'unité atomique du système.

     

    L'aire du triangle aurigène est égale à 1

     

    Il y a un rapport entre phi et 1, c'est bien connu, et qui n'est pas seulement ésotérique et secret, mais sans doute aussi mathématique.

    Cette "monalité" du nombre d'or apparaît même, à mes yeux, dans la simplicité du principe de la division du segment par "un certain rapport à lui-même".

    Le nombre 5 faisant aussi partie de ce procès "métamathématique" de l'unité. J'emploie ici ce mot de métamathématique au sens de math "profonde", pythagoricienne




    Au sein de la nef, aurigène et isiaque ont respectivement pour surface 1 et 6. la surface totale de la nef étant de 7. Cette relation évoque évidemment les pavages hexagonaux, où aurigène apparaît une nouvelle fois comme "intérieur", par rapport à isiaque "extérieur". En outre, le triangle aurigène a pour surface l'entier 1, c'est à dire que sa surface est égale à celle du carré atomique 1 (du système gnomonique dans lequel la nef s'inscrit). Unarité qui, liée à sa "décadité" interne (rac 1, rac 4, rac5), et sa 4ème place dans la spirale, ne laisse pas de faire réfléchir.

     

     

     

    Un passage du site harpakeredblog montre

    le rapport entre la coudée égyptienne, périmètre du triangle aurigène, avec π et le nombre 6. DONC, géométriquement, on peut "polygoner" un cercle de rayon de 5 en dépliant 6 triangles aurigènes

     

     

    L'extrait en question :

     

    L’Unité Pythagoricienne étant de 1, nous allons l’utiliser dans un rectangle, ce dernier aura pour largeur et pour longueur la Dyade Pythagoricienne 2 . Selon Pythagore, le carré de l’hypoténuse (gr ὑποτείνουσα : sous-tend, soutenir) est égal à la somme des carrés des côtés, soit notre hypoténuse dans ce cas-ci, est la racine carrée de 5 = 2,23606797. Si nous additionnons les côtés de notre triangle, 1+2+ 2,23606797 5,23606797 nous obtenons un nombre irrationnel qui correspond à la coudée égyptienne.  rectangle

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Il ne faut pas du tout hésiter, je pense, à multiplier la coudée égyptienne par 6/10   puisqu'en en effet ce ratio a un sens tétractyque.



    De la sorte on obtient réellement "pi" :




    (1 + 2 + √(5)) × (6 ÷ 10) = 3,1416407865

     

     

    Ce ratio a un sens tétractyque, mais en fait 3 sens en 1. Savoir :


    Il exprime :



    1.  le poids relatif de l'hexagone (approx : du "cercle") par rapport au tout-10.

    2. Le poids des 3 premières lignes, par rapport au tout-10

    3.  Une troisième chose, (distincte des 2 premières puisqu'elle est leur conjonction) qui est précisément la relation d'égalité entre 1. et 2. au sein de la tétractys. Il semble donc intéressant que l'équation pi = f(phi) "passe" par la tétractys... avec en plus l'avantage de l'exactitude.



     

     

    Sur l'hypoténuse du triangle aurigène (racine 5).



    Pour charpentier l'hypoténuse est une moyenne entre les côtés de l'angle droit. Racine 5 correspond donc à la moyenne entre 1 et 2. Et en même temps racine 5 est "l'addition de phi et de son inverse". D'où en zappant la copule intermédiaire "rac 5"



    La moyenne entre 1 et 2

    est l'addition de phi et de son inverse



    Autre formulation :

     

    √(5) = 1 + (2 × (1 /ϕ))

    …................................



    Lorsqu'on considère le carré long (formé de deux triangles aurigène) comme la matrice du rectangle de Fibonacci



    Ce qui est beau à remarquer est que le rapport doré exact, que tend vainement de rejoindre le rectangle dans sa croissance folle, se trouve enfermé sous forme parfaitement pure, calmement replié, dans sa "demi-graine".

     

     

     

     

     

    Le nombre 216

     

    Relativement au développement gnomonique tridimensionnel du triangle isiaque 3-4-5, le nombre 216 (=6x6x6) joue le rôle de principe englobant, ou enveloppant.

     

    Par sa fonction géométrique, comme par sa forme hexagonale, ce nombre exprime la cyclicité, la complétude, le retour du Même.

     

    Ce nombre est bien connu de la tradition ésotérique pythagoricienne, puisqu'il correspond au cycle des réincarnations de Pythagore, ou du moins au demi-cycle.

     

    La situation exceptionnelle de ce nombre s'explique par le fait qu'il est l'aboutissement de deux processus, d'une égale importance théorique, - situation que l'on peut à nouveau représenter à l'aide d'un Lambda.

     

                                216 (33+43+53)

     

                108                            50 (32 + 42 + 52)

     

    54                                                     12 (3 + 4 + 5)

     

    Jambe gauche, le nombre 216 prolonge la série des nombres vitaux impliqués dans l'harmonie musicale et dans la construction de l'âme du monde ; jambe droite, il correspond au développement complet du triangle isiaque, du segment à la surface, et de la surface au volume.

     

    La jambe gauche correspond au principe de l'animation, de la vie, du souffle, de l'harmonie vibratoire et de la durée. La jambe droite, au principe de la condition spatio-temporelle, au sens du développement complet, pour une réalité quelconque, d'un nombre limité de possibilités, défini par les « constituants » ou les prémisses qui la fondent.

     

    De cette manière, il semble envelopper dans un même tout le principe de la vie et celui des conditions qui la gouvernent.

     

    Du point de vue astronomique, les nombres de la jambe gauche sont impliqués dans le cycle de la précession des équinoxes, qui joue un rôle central dans de nombreux calendriers traditionnels, babyloniens, indiens ou chinois, et intervient souvent dans le calcul de la « grande année ».

     

    Relativement à un tel cycle, le nombre 216, associé à la manifestation de l'âme et de la vie humaine, correspond à une division inférieure, qu'on pourrait qualifier de « moyenne année », et qu'on pourrait assimiler analogiquement à un « mois » ou une « semaine » de la grande année.

     

    En tant que nombre de Pythagore, multiple de 6 et de 12, et donc, nombre cyclique ou circulaire, ce nombre a un aspect nettement « solaire ».

     

    Néanmoins, c'est bien le nombre 9 qui joue le rôle le plus important dans l'exégèse symbolique de ce nombre, puisqu'il est déterminant de part et d'autre de la procession figurée par notre lambda.

     

    Jambe gauche, le nombre 216 illustre la loi de genre, la loi de famille des multiples de 9, qui exige que l'unité principielle soit conservée dans tous les multiples, - loi dont on sent qu'elle est déjà dans son principe une loi d'enveloppement. Du côté de la jambe droite, on se rappelle que le nombre 9 correspond au « centre caché », au principe d'équilibre qui régit, non seulement le développement du triangle isiaque, mais aussi celui du triangle aurigène, dans lequel les mêmes nombres interviennent dans une composition différente.

     

    Enfin, la division de 216 par 9 donne 24, ce qui suggère la possibilité d'une projection analogique, endomorphique, entre la « moyenne année » régissant les vies de Pythagore, et le cycle de la journée terrestre.

     

    Un dernier prolongement des équations de Pythagore.

     

    On a vu qu'il existait une relation de parallélisme entre l'équation de Pythagore qui régit le triangle isiaque :

     

    32 + 42 = 52

     

    Et l'équation régissant les sommes angulaires respectives des polygones de 3, 4 et 5 côtés.

     

    180 + 360 = 540

     

    On a vu en outre que la grande équation relative aux cubes adjacents aux côtés du triangle isiaque :

     

    3x3x3 + 4x4x4 + 5x5x5 = 6x6x6

     

    pouvait être considérée comme un développement « externe » de l'équation de Pythagore, un prolongement hors d'elle même, dans laquelle les trois côtés du triangle isiaque sont ressaisis tous ensemble, pour être coordonnés à un principe qui les « enveloppe ».

     

    La question sera : existe-t-il une version « angulaire » de cette extension ; existe-t-il un équivalent, pour les sommes angulaires des polygones, qui ressaisit les 3 termes de l'équation angulaire primitive, pour les coordonner ensemble à un quatrième. La réponse est oui.

     

    180 + 360 + 540 = 1080

     

    1080 correspond bien à la somme angulaire d'un polygone existant : l'octogone. L'octogone compte 8 angles de 135 degrés, dont le total donne 1080 degrés. La version étendue de l'équation se lit donc :

     

    somme des angles du triangle + somme des angles du carré + somme des angles du pentagone = somme des angles de l'octogone.

     

     

    Le nombre 1080, le helek et le nouage luni-solaire de la Terre

     

    Ce nombre 1080, qui correspond à la somme angulaire des trois polygones, offre une dernière confirmation, et sans doute la plus éclatante, de l'intuition de Dom Neroman selon laquelle la division du cercle et le système sexagésimal avaient leur source dans la nécessité d'intégrer dans le cercle une mesure commune pour ces trois polygones.

     

    En effet ce nombre occupe une place très significative dans la spéculation calendaire mésopotamienne, puisque le helek hébreu, emprunté au she babylonien, était une division de temps égale à 3 secondes 1/3, telle que :

    1 heure = 1080 halakim

    ou encore :

    1 minute = 18 halakim

    Relativement à la seconde, on voit que le helek favorise la division par 9.

    Le nombre 1080, à l'image du nombre 60, possède un nombre impressionnant de diviseurs, puisque, dans les petits nombres, il est divisible par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 et 10.

     

    Les hébreux utilisaient en particulier le helek pour la mesure des phases lunaires; et ils estimaient la durée d'une lunaison à 29 jours, 12 heures et 793 halakim, avec une précision de l'ordre de la demi-seconde.

     

    On ne sera pas surpris de voir associés, sur le plan symbolique, le problème des phases de lune à celui, arithmétique, de la division par 9, tant la nature féminine, isiaque et lunaire de ce nombre est bien attestée par la tradition.

     

    Cependant, chez les babyloniens, c'est bien la journée terrestre qui est le cadre de la définition du she, puisque celui correspond au 72 ème d'un degré du cercle journalier, qui assimile la durée d'une journée à une révolution du cercle 360.

    Du fait de cette double pertinence, à la fois lunaire et terri-solaire, on peut estimer que le helek était investi d'une valeur très particulière, et pouvait prétendre à être quelque chose comme "un quantum naturel de temps".

    La coïncidence des cycles lunaire et terri-solaire a toujours représenté un horizon - en même temps qu'un "vortex" - de la spéculation calendaire, dans toutes les civilisations existantes, parce qu'elle consiste à placer la Terre dans une position intermédiaire entre le "macrocosme" solaire dont la Terre est dépendante, et le "microcosme" lunaire qui dépend immédiatement d'elle : la Terre étant, gravitationnellement à la lune, ce que le soleil est à la terre. Lune et soleil équivalent à définir la terre comme intermédiaire, comme un être de transition de doté deux "côtés" principaux, l'un vers le microcosme, l'autre vers le macrocosme.

     

    Cette forme de "nouage cosmologique de proximité" qui définit le "temps de la terre" comme le produit naturel (la solution commune) entre le temps solaire et le temps lunaire, présente une analogie évidente avec les "nouages" pythagoriciens typiques dont on a vu, ici, se déployer les formes variées, à partir du lambda de Platon.

    Nous ignorons si les pythagoriciens faisaient usage du she babylonien, mais, dans un registre apparenté, on peut se rappeler que Charpentier se réfère à plusieurs reprises, sans citer ses sources, à une tradition selon laquelle l'année pythagoricienne durerait 99 mois.

    Il s'agit très probablement, là aussi, d'un calendrier luni-solaire, selon ce que nous suggère Rémy Bayoud :

    avec une lunaison de 29,5 jours et une année de 365,25 jours,  On a 12 lunaisons = 354 jours, et 1 année = 12 lunaisons + 1 reste de 11,25 jours En regroupant 8 années solaires, on monte à 96 lunaisons + 1 reste de 88,75 jours Ce reste est très proche de 3 lunaisons. Autrement dit 8 années = 99 lunes
    Mais je ne fais finalement que retrouver le cycle dit octaétérique du calendrier attique.

     

    Les 99 mois lunaires se rangeraient alors dans une "grande année" solaire de forme octogonale.

    Et l'on peut se souvenir que la somme des angles de l'octogone est de 1080 degrés, qu'elle correspond à la somme des angles des 3 premiers polygones, mais aussi au développement "externe" des équations de Pythagore relatives au triangle isiaque.

     

     

     

     


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    IV. LA TRADITION DU NOMBRE 515 (a) :

     

     DANTE, DÜRER, JORGE ALFONSO

     

     

     

    Au 33e chant de son purgatoire, Dante place dans la bouche de Béatrice la prophétie suivante :

     

    « car je vois à coup sûr – et si, l'annonce -

     tels astres, francs d'achoppail et encombre,

     proches déjà de nous donner bon temps,

     où mû par Dieu un cinq cent dix et cinq

     viendra occire enfin la larronnesse

     et le géant qui fornique avec elle. »

     

    Cette prophétie conclut un long récit symbolique commencé au chant 32, où Dante, conduit par Béatrice et plongé dans un état léthargique, est saisi d'une série de visions touchant le destin de l'église, et sa lutte avec la puissance temporelle de l'Empire.

     

    La prophétie reprend, en la précisant, une prédiction formulée par Virgile dès le premier chant de l'enfer, qui donne d'autres indications sur la nature de cet « envoyé de Dieu » auquel s'identifie le 515.

     

    Harcelé par une Louve, symbole traditionnel de l'avarice qui, dans la comédie, symbolise la Rome des papes, cause des malheurs du poète, Dante demande protection à Virgile contre les assauts de cette bête, et ce dernier lui répond :

     

    … cette bête ici, pour quoi tu cries,

     ne laisse homme passer par ses chemins,

     mais si fort le guerroie qu'elle le tue ;

     et sa nature est si mauvaise et felle

     que jamais ne s'emplit sa convoitise,

     et repue elle a faim plus que devant.

     A vingt et trente mâles elle s'accouple ;

     ains, plus seront, tant que vienne le Vautre

     qui la fera mourir à grand douleur.

     Cil ne paîtra ni terraile ni peautre,

     mais sapience et amour et vertu,

    et sera né entremi fautre et fautre.

     De l'humble Ytaille il sera le salut

     pour qui mourut Camille la pucelle,

     Nisus, Turnus et Euryal navrés.

     Cestui la chassera par toute ville

     atant qu'il l'ait remise dans l'enfer

     là d'où Envie jadis la débûcha. »

     

    Avant même que cette hypothèse ne soit confirmée par un examen du texte de Dante, le nombre 515 associé à la figure du l'envoyé de Dieu, a été rapproché du nombre 666, qui dans l'apocalypse, désigne la « bête », annonciatrice du règne de l'antéchrist. Et de fait, toute la vision du chant 32 du purgatoire apparaît comme une reprise, ou comme un prolongement de la prophétie Johannique.

     

    Dans la vision de Dante, le char de l'église, d'abord conduit par Béatrice (représentant ici la grâce divine), est attaché à un arbre - qui fleurit - avant de subir les assauts d'un aigle, d'un renard et d'un dragon. L'aigle représente la puissance impériale. En attaquant le char, l'aigle lui laisse « des plumes » de sa puissance ; le char se transforme en un monstrueux char-à-plumes ; une putain et un géant en prennent possession et l'emportent.

     

    Cette vision semble calquée sur l'apocalypse où, comme l'a remarqué Auberlen, la femme du chapitre 12, symbole de l'Eglise, reparaît au chapitre 17 comme prostituée, parce que l'Eglise est devenue infidèle à son Epoux en s'alliant au pouvoir civil.

     

    Et de même manière que l'arrière plan historique de l'apocalypse concerne, très généralement, la persécution des chrétiens et l'annonce, à vocation consolatrice, de la chute et de la destruction de l'Empire romain, la vision du chant 32 du purgatoire narre les tribulations de l'Eglise confrontée à l'empire romain-germanique, auxquelles doit mettre fin la venue du Lévrier justicier « envoyé de Dieu ».

     

    Ces parallèles assez transparents en eux-mêmes, ont été confirmés de manière éclatante par les recherches philologiques de Rodolfo Benini, qui remarque :

     

    « Dante a imaginé de régler les intervalles entre les prophéties et autres traits saillants du poème, de manière que ceux-ci se répondissent l'un à l'autre après des nombres déterminés de vers, choisis naturellement parmi les nombres symboliques. (…) Et voici apparaître les fameux 515 et 666 dont la trilogie est pleine: 666 vers séparent la prophétie de Ciacco de celle de Virgile, 515 la prophétie de Farinata de celle de Ciacco ; 666 s'interposent de nouveau entre la prophétie de Brunet Latin et celle de Farinata, et encore 515 entre la prophétie de Nicolas III et celle de messire Brunet. »

     

    On retiendra de ces remarques que le nombre 515 se présente comme opposant bénéfique au nombre maléfique 666 ; l'alternance de ces nombres dans le poème pouvant symboliser le déroulement d'une lutte apocalyptique dans laquelle les deux principes dominent à tour de rôle, jusqu'à la victoire finale du principe du bien.

     

    Mais avant d'aller plus loin dans l'examen des prophéties de Dante et du mystérieux élu qui en est l'objet, il sera bon de revenir au texte de l'Apocalypse, qui est sa principale source d'inspiration.

     



     

    La bête de l'Apocalypse

     

    On omet souvent de remarquer que, dans l'Apocalypse, la venue de la Bête est saluée comme un événement favorable, qui doit permettre la survenue d'un événement heureux. Les deux événements sont liés dans les versets 9 et 10 du chapitre XII.

     

    9 Il a été jeté le grand dragon, l'antique serpent qu'on appelle le diable et le Satan, lui qui égare tout le séjour, il a été jeté sur la terre et ses anges ont été jetés avec lui.

     

    10 Et j'ai entendu une grande voix dans le ciel, elle disait : C'est maintenant le salut, la puissance et le règne de notre Dieu et le pouvoir de son Christ, car il a été jeté l'accusateur de vos frères qui les accusait jour et nuit devant notre Dieu.

     

    De la même manière exactement, la révélation du « chiffre de la bête » au dernier verset du chapitre XIII, est immédiatement suivi par la vision de l'Agneau debout sur le mont Sion au premier verset du chapitre XIV :

     

    XIII, 18 Ici est la sagesse : Que l'intelligent calcule le chiffre de la bête car c'est un chiffre d'homme et ce chiffre est six cent soixante-six.

     

    XIV, 1 Et j'ai vu, et voici l'agneau debout sur le mont Sion et avec lui cent quarante-quatre mille qui ont son nom et le nom de son Père écrits sur leur front.

     

    Non seulement le parallélisme est confirmé entre la venue de la bête et l'établissement du règne du Christ, mais le nombre maléfique 666 se voit clairement opposé un nombre « bénéfique » : les 144 « myriades » qui composent l'armée des élus du Christ.

     

    Le nombre 144 est considéré comme symbolisant la plénitude, en ce qu'il est le carré de 12

     

    144 = 12 x 12

     

    Le nombre 12 se réfère aux 12 tribus d'Israël dont sont extraits les élus ; mais il peut aussi se référer aux 12 apôtres du Christ. Le produit 12 x 12 pouvant dès lors exprimer l'union de l'ancien et du nouveau testament, et l'accomplissement complet de la prophétie.

     

    Sur le plan mathématique, on peut remarquer que 144 est également le 12ème nombre de Fibonacci.

     

    Il peut donc être représenté comme le sommet d'un lambda à 12 étages, dont les jambes seraient respectivement formés par la série des nombres carrés, et celle des nombres de Fibonacci.

     

    Cette remarque prendra tout son intérêt plus loin, lorsque nous aurons à évoquer le nombre 55.

     

    Mais en attendant, on peut remarquer que le nombre 144 peut s'exprimer de la manière suivante :

     

    (6 + 6) x (6 + 6)

     

    Sous cette forme, on admettra que ce nombre bénéfique présente un troublant air de ressemblance avec le nombre « maléfique » qui est celui de la bête. Les deux nombres semblent plutôt des complémentaires, exprimant l'un comme l'autre l'alignement des planètes, ou la complétude des temps. Le second nombre étant le correspondant « dans l'ordre supérieur » (L'agneau debout sur le mont Sion, représentant symboliquement « le point le plus élevé de la terre ») de l'événement advenu dans l'ordre inférieur (le serpent jeté « sur la terre »).

     

     

    Nombre des élus (6 + 6) x (6 + 6)

     

    Nombre de la bête 6 6 6

     

    Mais nous allons voir à présent que cette apparence de complémentarité sur le plan symbolique peut être doublée par une réelle complémentarité mathématique, extrêmement précise et signifiante.

     

    On a remarqué en d'autres occasions que les nombres palindromes pouvaient être vus comme des exemples particuliers d'une fonction palindromique plus générale, qui concerne elle « toute formule arithmétique qui demeure inchangée pour une rotation de 180 degrés sur elle même », ou encore, qui possède dans sa structure la symétrie du miroir.

     

    De cette manière, un nombre palindrome peut être envisagé comme un « formulaire » qui peut être décliné de plusieurs manières, autres que le seul agencement décimal des chiffres arabes ; la formule 666 pouvant par exemple être interpretée comme :

     

    6 + 6 + 6

    ou

    6 x 6 x 6

     

     

    En adoptant pour le texte de l'Apocalypse cette dernière option, la complémentarité du nombre de la Bête et du nombre de l'Agneau devient beaucoup plus bavarde.

     

    En effet 6 x 6 x 6 = 216

     

    Nombre dont on a vu qu'il correspondait au cycle des réincarnations de Pyhagore, d'une part, mais aussi au développement gnomonique tridimensionnel des trois cubes adjacents au triangle Isiaque, formule qui correspond à un développement externe des équations de Pythagore où d'une part

     

    33 + 43 = 53

     

    mais en outre :

     

    33 + 43 + 53 = 63 = 216

     

    En adoptant pour nombre de la bête le nombre 216, on remarque immédiatement que :

     

    216 + 144 = 360

     

    Les nombres 144 et 216 deviennent ainsi des valeurs angulaires, et le nombre 216 correspond très exactement à « ce qui manque à l'angle 144, pour compléter le cercle 360 ».

     

    Si l'on définit dans un cerle, à partir de son centre, un angle dont les mesures, intérieure et extérieure, sont égales à 144 et 216 degrés, on obtient une division de la circonférence selon le rapport 2/3, à partir de laquelle il est aisé, en comblant les intervalles, de retrouver les trois sommets complémentaires du pentagone régulier. Ces trois sommets complémentaires, reliés entre eux, forment un triangle d'or aigu.

     

    Ces valeurs angulaires 144 et 216 sont d'ailleurs loin d'être des inconnues, puisqu'on dérive d'elles toute la symétrie du pentagone, comme celle du nombre d'or et des pavages de Penrose.

     

    On les retrouve en particulier dans le rhombe de penrose, qui est un losange d'or décomposable en 2 pièces, la paire « kite and dart » (fléchette cerf-volant) permettant de construire de nombreux pavages de Penrose, ou encore en 4 pièces – fléchette et cerf-volant se décomposant à leur tout en 4 petits triangles d'or, aigu et obtus.

     

    Poursuivons.

     

    Le rapport 144 / 216 est égal au rapport 2/3. Autrement dit, au rapport générateur du Lambda de Platon, qui met en relation « les deux premières réalités issues de l'un ». Aussi étrange que cela puisse paraître, la lutte de la Bête et de l'Agneau apparaît ainsi comme un renouvellement de la hiérogamie de la création.

     

    Poursuivons.

     

    Dans l'apocalypse, les 144 000 élus sont encadrés par 4 animaux qui tout au long de l'Apocalypse, symbolisent « Les 4 directions, les 4 vents, etc » Autrement dit le partage d'une aire quelconque en quatre quartiers divisionnaires. Cette image suggère immédiatement de diviser en 4 la procession des élus.

     

    144 / 4 = 36

     

    Les élus se répartissent donc en 4 cohortes, dont chacune correspond à une division décimale du cercle 360.

     

    Si l'on assimile la plénitude du cercle 360 à la plénitude de la tétractys, alors, le nombre 144, nombre de l'Agneau, peut être associé au trépied de la tétractys, qui est pour ainsi dire sa colonne vertébrale, son axe majeur, et le nombre 216, nombre de la bête, à l'hexagone tournant autour de ce trépied.

     

    Dans cette tétractys, tout est hexagonal au premier regard. La répartition des points du plan est hexagonal, et les valeurs des éléments (36) et du tout (360) empruntées au système sexagésimal.

     

    Cependant le rapport numérique entre les deux éléments constituants, trépied et hexagone, 4/6 (égal à 2/3), est lui, comme on l'a vu, virtuellement pentagonal. On a là une illustration particulièrement importante d'un principe qu'on rencontre ailleurs sous d'autres formes est qui peut s'énoncer « la présence du pentagonal au cœur de l'hexagonal ».

     

    On remarque que le rapport 2/3 est omniprésent dans les pavages de Penrose dont il est un trait caractéristique. Exemples, le rhombe de Penrose constitué de 4 obtus, 6 aigus (qui est un analogue strict de la répartitition trépied hexagone de la tétractys) ou encore cette très belle construction appelée « soleil », composée de 100 pièces : 60 kites et 40 darts.

     

    Qu'est-ce que la nature ?

     

    On remarque enfin que les Nombres 144, 216 et 360 sont tous multiples de 9. Donc, en plus d'induire la division du cercle 360 en 5 parties, correspondant aux sommets d'un pentagone, ils sont placés sous la puissance « unificatrice » du nombre 9 (associée à la conservation de l'unité dans les multiples), ce qui les rend apte a exprimer les caractères généraux de la condition spatio-temporelle.

     

    On voit bien que, dans cette conception le drame historique de l'apocalypse n'est qu'un prolongement du drame de la nature. Son déroulement est régi par les mêmes nombres, les mêmes figures et les mêmes lois.

     

     

     

    Les autres nombres clés de la Comédie

     

    Selon Benini, il y aurait pour Dante trois couples de nombres ayant une valeur symbolique par excellence : ce sont 3 et 9, 7 et 22, 515 et 666.

     

    René Guénon tombe d'accord avec analyse, et ne s'en écarte que pour le nombre 22, qui ne lui semble important qu'en tant que multiple du nombre 11, plus essentiel, et dont d'autres multiples (33 et 99) jouent dans l'oeuvre un rôle tout aussi important que le nombre 22.

     

    Même si nous suivons Guénon, on peut remarquer en faveur de Benini que le nombre 22 s'inscrit dans la droite ligne de la tradition apocalyptique, les 22 chapitres de l'Apocalypse n'étant pas plus arbitraires que les 99 chants de la comédie ; d'autant plus que (cette fois-ci en faveur de Guénon), l'oeuvre comporte une division binaire nettement marquée, qui fait apparaître, dans son plan en 22 chapitres, une division 11+11. Ces 22 chapîtres pouvant, bien évidemment, être rapprochés des 22 lettres de l'alphabet hébreu...

     

    Mais revenons à Guénon qui précise :

     

    La vérité, c'est que le nombre 11 jouait un rôle considérable dans le symbolisme de certaines organisations initiatiques... En dehors des significations diverses qui peuvent s'attacher à lui, l'emploi qu'en fait Dante constituait un véritable « signe de reconnaissance », au sens le plus strict de cette expression.

     

    Il est aujourd'hui accepté que Dante était rattaché à diverses organisations initiatiques de filiation templières, comme la fede santa et les fidèles d'amour, dans lesquelles le nombre 11, comme le pentagramme, constituait un signe de reconnaissance.

     



     



     

    Approches du nombre 515 : les nombres 11 et 55

     

    11

     

    Si nous nous arrêtons au nombre 11, c'est qu'il constitue la clé d'une première lecture du nombre 515, fondée sur l'addition de ses éléments constituants.

     

    5+1+5 = 11

     

    Dans cette interprétation, la dizaine formée par les nombres 5+5 peut être assimilée aux 10 points de la tétractys, ou encore aux 10 sephirot, tandis que le nombre 1 situé au milieu (correspondant lui aussi à une dizaine), peut être assimilée, à la onzième sephira, ou encore au « tout » de la tétractys, à la totalité unitaire et indivise dont ses parties procèdent.

     

    De telles interprétations semblent autorisées par la tradition ; et l'on relève notamment dans le sepher yesirah cette formule qui semble évoquer matériellement le 515 :

     

    « …. »

     

    55

     

    On peut remarquer maintenant que le nombre 55, outre que la somme de ses chiffres donne 10, présente une relation bien plus profonde avec le nombre 10, puisque 55 est à la fois le 10ème nombre triangulaire et le 10ème nombre de Fibonacci. 55 est donc le sommet d'un Lambda à dix étages dont les deux jambes correspondent respectivement à la série des nombres triangulaires et à celle des nombres de fibonacci.

     

    On s'aperçoit que ce Lambda est le complémentaire, ou encore le symétrique de celui que l'on a vu tout à l'heure, qui coordonne les nombres de fibonacci aux nombres carrés, cette fois, de part et d'autre du sommet 144. Les deux lambdas peuvent être disposés l'un vis à vis de l'autre, les nombres « triangles » et « carrés » se déployant de part et d'autre d'un axe vertébral, formé par les nombres de Fibonacci.

     

    Qu'est-ce que la nature ?

     

    En plus des rapports de symétrie « bilatérale » entre configurations gnomoniques (triangle / carré), on doit remarquer une symétrie entre le centre et les bords de la structure, symétrie qui concerne la forme même des fonctions mathématiques associées à ces suites.

     

    Loi A. « Deux nombres triangles successifs donnent un nombre carré » Axiome dont la réciproque est « tout nombre carré supérieur à 1 est la somme de deux nombres triangles successifs ».

     

    Loi B. « Deux nombres de Fibonacci successifs donnent un nombre de Fibonacci ».

     

    Alors que les suites des nombres triangles et carrés peuvent être regardées comme « coengendrées », en ce que chacune peut être engendrée par une relation avec l'autre, la suite des nombres de Fibonacci est elle « auto-engendrée », particularité qui correspond à sa situation « axiale ».

     

    D'autres structures mathématiques pourraient, complémentairement, être greffées sur la jambe gauche, puisque les nombres carrés sont les principes des équations de pythagore basées sur des triplets de nombres entiers, - équations qui, elles mêmes, sont susceptible d'opération d'exhaustion tridimensionnelle (gnomoniques), d'une part, mais en outre, de développement ou d'extension externes, dans lesquelles les 3 côtés du triangle sont ressaisis ensemble pour être rapportées à une réalité de dimension supérieure, qui les enveloppe. On voit donc que ce « lambda gnomonique » constitue un véritable paradigme, et comme un point d'ancrage pour le développement de ces appareils plus sophistiqués de la mathématique pthagoricienne que sont : la théorie du gnomon, et les équations de Pyhagore, à travers les deux triangles paradigmatiques de la nef.

     

    On aperçoit déjà par ce chemin que le nombre 55 peut être considéré comme un « remplaçant » naturel du nompbre 144, en tant que principe bénéfique opposé à la Bête. Le nombre 144 se rattache au nombre 12, le nombre 55 au nombre 10 ; les nombres 10 et 12 exprimant chacun une forme différente de complétude, leur couple pouvant être vu comme le développement, ou l'avatar du nouage 5/6, pentagone / hexagone dont on a déjà envisagé diverses modalités.

     

    Il nous reste à comprendre en quoi le nombre 515 constituait un meilleur candidat encore que le nombre 55.

     

     

    Le 515 : saturation de la fonction miroir

     

    Lima de Freitas a consacré au symbolisme de nombre 515 une importante étude, dans laquelle il reconstitue, à travers l'histoire de l'art et de la littérature, une partie de la tradition ésotérique associée ce nombre.

     

    Il a d'emblée placé son étude sous l'angle adéquat, qui consiste à mettre au premier plan la nature palindromique de ce nombre, qui en fait une illustration parfaite de la fonction symbolique du miroir.

     

    La fonction du miroir possède une relation évidente avec la connaissance, la science, qu'elle soit entendue au sens usuel ou au sens religieux et mystique. De Freitas illustre cela par ces citations en exergue de son livre, qu'il nous est agréable de citer in extenso, dans la mesure où elles ne sont pas seulement, pour celui qui en use, des illustrations, mais plutôt des attestations ou des preuves d'un chemin parcouru.

     

    Cette connaissance intuitive qui est la plus haute des connaissances, celle des mystiques et des Fidèles d'Amour, ne peut se comprendre que lorsque l'on a postulé ce monde intermédiaire, ce lieu du miroir où s'expérimente la réalité imaginale. (G. Durand)

     

    Dieu est ton miroir, c'est-à-dire le miroir dans lequel tu te contemples toi-même, et toi, tu es son miroir, c'est-à-dire le miroir dans lequel il contemple les Noms divins. (Ibn 'Arabi)

     

     

    Le nombre 515 peut être regardé comme une saturation ou une mise en abime de la fonction du miroir.

     

    On peut poser qu'un palindrome doit posséder 3 termes au moins (mais il n'a pas besoin d'en avoir d'avantage) pour exprimer la fonction du miroir dans toutes ses potentialités, à savoir, il doit comporter un être, son reflet, et un « milieu » qui est le pivot immobile, et qui, de par sa situation axiale et intermédiaire, peut être assimilé à la surface du miroir lui même.

     

    Mais on comprend bien que lorsque ce milieu est l'unité, la force ce cette analogie est renforcée, puisque la fonction du miroir peut alors être assimilée à un objet ponctuel, minimal, et sans épaisseur, la forme même du chiffre 1 qui est celle d'un axe vertical, constituant un redoublement de cette analogie. La fonction d'axe et de pivot qui est celle du centre du palindrome, répond à la nature « ponctuelle » du nombre 1.

     

    En second lieu, on peut remarquer que dans le nombre 515, non seulement la partie gauche se reflète dans la partie droite, et inversement, mais en outre, ces deux parties, ensemble, se reflètent dans l'unité qui est au centre (dont on doit se souvenir qu'elle correspond à une dizaine) ; ou inversement, c'est l'unité centrale et intérieure qui se reflète dans ces deux parties extérieures, qui peuvent apparaître comme l'expression, comme l' extériorisation des potentialités que cette unité recèle.

     

    On voit que ce symbole prend immédiatement une dimension cosmique, dans laquelle l'unité centrale représente, l'axe du monde, le moteur immobile, le principe ponctuel infini de la manifestation universelle, et les deux 5, la dualité première, le macrocosme et le macrocosme, ou encore les spires de la manifestation universelle. Le nombre 5 avait souvent au moyen âge la même graphie que la lettre S, et l'on verra tout à l'heure que ce symbolisme graphique venant en soutien du symbolisme mathématique sera utilisé par des artistes comme Durer et Jorge Alfonso, tous deux représentants de la tradition ésotérique du 515, et affiliés à des organisations héritières de celle de Dante.

     

    En tant que symbole cosmologique universel, le 515 peut être rapproché de deux autres symboles empruntés à la tradition pythagoricienne.

     

    Analogie avec pentagramme. On peut paramétrer un pentagramme où les 5 points du pentagone extérieur (macrocosme) sont affectés de la valeur 100, les 5 points du pentagone intérieur (microcosme) de la valeur 1, tandis que le point central, qui est le centre des deux figures (de la même manière que la dizaine occupe une position « médiane » entre les centaines et les unités) est affectée de la valeur 10. De cette manière on obtient pour le pentagramme la valeur 515.

     

    Analogie avec la nef. Dans la nef, on a, schématiquement, un « petit 5 », un « grand 5 », et en troisième lieu « la dizaine qui les sous tend », dizaine qui a, schématiquement, la forme d'un arc auquel les deux segments de valeur 5 sont rattachés par leurs extrémités. Où l'on peut voir à nouveau une analogie frappante avec le 515 ; toutefois, cette dernière analogie recèle une signification mathématique qui demande être développée de façon plus précise.

     

     

    Le 515 et les équations de Pythagore

     

     

    Une remarque mathématique de Lima de Freitas, relative au sujet même qui nous occupe, revêt une importance non moindre que celle qui concerne la fonction du miroir.

     

    De Freitas semble avoir eu dès le départ l'intuition que le sens profond du 515 devait être recherché dans le théorème de pythagore et le triangle isiaque.

     

    Il remarque :

     

    Si l'on inscrit (le triangle isiaque 3-4-5) dans un cercle, on s'aperçoit aussitôt qu'il est possible d'en inscrire un deuxième, mais qu'il n'y a de place que pour deux triangles. Cette duplication entraîne la superposition des hypoténuses, c'est-à-dire de côtés de valeur 5 des deux triangles. Nous avons donc, dans ce schéma, un diamètre de la circonférence où les deux hypoténuses coïncident ou se confondent, c'est-à-dire dont la valeur devient double, soit 2 x 5 = 10, l'équivalent de l'unité. Tout ceci a été expliqué par Jean Tourniac (…) mais ce que Tourniac n'a pas vu, c'est l'émergence, à partir du triangle doublé, du nombre du Messo di Dio 515. En effet si nous poursuivons la mise au carré des côtés 3 et 4 des triangles inscrits, nous obtenons le nombre 25 de chaque côté de l'hypoténuse commune ; l'extraction de la racine carrée de ces trois nombres : 25, 1 et 25 fournit 5, 1 et 5, autrement dit, le chiffre de l'envoyé de Dieu : 515.

     

    Qu'est-ce que la nature ?

     

    Nous n'émettons de réserve que sur la manière dont de Freitas procède pour rapporter l'hypoténuse diamétrale de valeur cinq à l'unité, en supposant que les deux hypoténuse s'additionnent pour former le nombre 10, lui-même réductible à l'unité.

     

    Même si le fait de considérer le 1 central du nombre 515 comme à la fois équivalent à la dizaine ou à l'unité est légitime dans l'exegèse symbolique de ce nombre, elle nous semble indue dans cette application particulière au théorème de pythagore.

     

    En effet, nous pensons que, dans ce type d'exégèse, une opération arithmétique doit toujours être associée à l'opération géométrique qui lui est réellement analogue. Ainsi de la même manière que l'opération « construire un carré » sur un côté du triangle rectangle, équivaut rigoureusement à l'opération d'élever au carré le nombre correspondant à ce côté, de même, il nous semble que l'opération de mise en contact des deux hypoténuse de valeur 5 est l'analogue naturel, non pas de l'addition de ces longueurs, mais de leur mise en rapport rationnel, analogue à l'expression arithmétique 5/5. Cela ne change rien au résultat, qui demeure égal à 1 ; mais cette manière de l'interpréter ne nous semble pas seulement plus naturelle, mais elle revêt de bien plus importantes conséquences mathématiques.

     

    En effet, s'il avait appliqué au triangle aurigène 1-2-racine5 le même traitement que celui qu'il applique au triangle isiaque, De Freitas se serait aperçu qu'on obtient, cette fois, non pas des nombres « dont les racines composent le nombre 515 », mais tout bonnement le nombre 515 lui-même.

     

    Le théorème de pythagore se revèle alors être le medium, ou le module, grâce auquel la nef se transforme en un char doté de 2 roues, dont l'une, la roue aurigène de valeur 5-1-5, correspond à la RACINE de l'autre, la roue isiaque, de valeur 25-1-25. Et l'on peut remarquer parallèlement que, d'un point de vue angulaire, le triangle aurigène peut être également regardé comme la « racine » ou la « matrice » du triangle isiaque, puisque leurs angles respectifs par rapport à l'axe horizontal sont dans le rapport « double », ou « d'octave ».

     

    Sous cet éclairage, l'appareil forme réellement un tout. En effet le triangle isiaque est déjà « premier » eu égard à son statut dans la série des triplets pythagoriciens, mais ici il est coordonné à un jumeau, un double, né avant lui, qui peut lui même être entièrement caractérisé par la qualification de « racine », ou de « matrice » du « premier ».

     

    Il nous semble impossible d'aller plus loin dans l'exégèse mathématique du nombre 515.

     



     

    L'arrière plan historique et spirituel de la prophétie

     

    Suite aux découvertes de Benini, les travaux de René Guénon, Louis Barmont et Lima de Freitas ont mis en lumière l'arrière plan historique et spirituel qui permet de comprendre les attributs et la mission de l'Envoyé de Dieu. Deux événements sont à mettre en relief.

     La destruction de l'ordre du temple dans les années 1310-1314. La fonction de guide spirituel dévolue à Saint Bernard dans la comédie montre assez la dévotion que Dante témoignait à ce personnage. Il ne fait pas de doute que, à travers toute l'Europe, pour de nombreux initiés d'obédience templière, la disparition de l'Ordre a dû résonner comme un événement apocalyptique. La catastrophe de l'ordre étant contemporaine de la rédaction de la comédie, elle a conduit Dante à porter des retouches à son texte, pour apporter une réponse prophétique aux événements les plus récents.

    En arrière plan de ces événements dramatique, la prédication de Joachim de Fiore, encore très vivace dans les mémoires, sa théorie des trois âges de l'humanité et son annonce de l'instauration prochaine de l'Empire du Saint Esprit.

     

    Ces circonstances historiques constituaient un climat propice à l'apparition de nouveaux messianismes.

     

    La situation historique et psychologique de Dante était, au fond, très comparable à celle qui se dégage de l'apocalypse, d'après les lettres que Jean adresse aux fidèles des sept eglises. La visée de ces deux prophétie est avant tout consolatrice, et répond à une situation d'adversité et de détresse exceptionnelle.

     

    Dante avait une conception toute personnelle de l'Empire, exposée notamment dans sa monarchie, dont les racines plongent dans la tradition italique, l'ancien pythagorisme romain et l'oeuvre de Virgile.

     

    Le qualificatif de « lévrier » - à l'époque un chien de chasse – dévolu au 515, sa mission de Justicier et de redresseur de tort, (« sauveur d'Italie ») lui confèrent des attributs « martiaux » qui pourraient faire penser à ceux d'un « condottierre » ; tous ces caractères s'inscrivent, naturellement, dans cette conception de l'Empire.

     

    Mais d'autre part, comme l'a remarqué de Freitas, le combat dont il s'agit est essentiellement spirituel. Le « redressement » historique symbolisé par la venue du 515 doit donc se situer principalement sur ce plan là, conférant à l'envoyé de Dieu une mission de conversion à l'Esprit Saint. Le 515 a donc aussi des caractères de prêtrise : ceux d'un « redresseur » et un « convertisseur », capable de « retourner les coeurs » vers Dieu.

     

    Deux œuvres d'art exceptionnelles témoignent de la survivance de la tradition ésotérique du 515, deux siècles après l'époque de Dante.

     



     

     

    La Melencolia de Dürer

     

     

    IV. La tradition du nombre 515 (a) : Dante, Dürer, Jorge Alfonso

     

    De nombreuses études ont été consacrées au célèbre burin de Dürer. Parmi celles-ci, l'étude de Louis Barmont se distingue par certain caractère d'autorité, comme par son style étonnamment sacramentel, qui semble imiter celui de la gravure, et se nourrir de connaissances initiatiques directes, comparables à celles dont disposait Dürer.

     

    En préambule, Barmont commence par fixer deux points qui étaient sujets à controverse.

     

    L'astre qu'on voit voit dans le ciel n'est ni un « soleil noir », ni une planète, mais une comète observée dans le ciel de l'Europe entre 1513 et 1514.

     

    Les objets représentés en haut à droite, balance, sablier, évoquent l'accomplissement des temps et la fin d'un cycle. Pour Barmont, la melancolia, « humeur noire », qui est le quatrième tempérament de la médecine grecque, renvoie implicitement à « l'âge sombre », autrement dit à l'âge de Fer ou au Kali-Yuga qui, dans les doctrines traditionnelles, est le quatrième âge de l'humanité. Mais la date de 1514 figurant dans le carré magique associe cette vision de la fin des temps à la commémoration d'événements tragiques qui en apparaissent comme les précurseurs : en effet, c'est en 1314 qu'eut lieu « le dernier acte de la tragédie templière ».

     

    L'animal couché au pied du grand ange n'est pas un mouton, mais un lévrier ; et « nous ajouterons sans plus tarder que ce lévrier n'est autre que le Veltro dantesque, le Cinq-Cent-dix-et-cinq attendant l'heure de la lutte suprême contre la Louve antéchristique, assimilée au Six-cent-soixante-et-six du Théologien. » Barmont effectue une série de rapprochements entre la fonction du Veltro, telle que décrite par Dante, et diverses figures messianiques, empruntées à différentes traditions ; et il remarque que la fonction de cet envoyé de Dieu est double : d'une part, la conversion, la soumission volontaire des cœurs à la volonté divine, et d'autre part, la conduite de la lutte finale des orthodoxes contre les hétérodoxes... selon un scenario semblable à celui de l'Apocalypse. La fonction du 515 est donc à la fois martiale et sacerdotale.

     

    Penchons-nous à présent sur la gravure. On peut remarquer qu'elle se laisse décomposer en trois parties, assez nettement distinctes. A droite, deux anges, entourés de toutes parts par une multitude d'objets aux connotations symboliques puissantes. A gauche, trois éléments de dimensions plus importantes que les objets de la partie droite, le solide, le lévrier et la sphère, qui semblent liés entre eux par une relation spécifique. Enfin, en haut à gauche, un événement astral effrayant, qui semble se dérouler dans l'espace-temps « ordinaire. » Cette disposition rappelle la doctrine des « trois mondes » ; et à ce sujet nous mentionnerons ces remarques, que nous devons à notre ami Walter Grimm

     

    Je me demande si la séquence (astre lumineux - arc-en-ciel - chauve-souris) ne doit pas être rapportée à un plan différent de la première (solide – chien – sphère), symétrique, mais plus extérieur.

    Dans ce cas là, on aurait :

    Dans le monde informel : Les causes réelles et immuables de l’événement, occupant toute la partie droite de la gravure (anges, balance, sablier, carré magique, clochette).

    Dans le monde subtil ou intermédiaire : L'opération adéquate autorisant l'actualisation de l'événement. C'est-à-dire, principalement la séquence [solide - chien – sphère].

    Dans le monde extérieur : L'effet de l'opération : la séquence [ astre lumineux - arc-en-ciel - chauve-souris

     

    L'astre est bien évidemment lumineux et c'est lui qui agit de manière apparemment désagréable sur la chauve-souris mélancolique, contrairement à ce que suggère l'article wikipedia dont nous avons déjà parlé, avec l'appellation singulièrement inapproprié de satellite sombre.

    Entre ces trois plans, une échelle à 7 barreaux...

     
    Si l'on raisonne en terme de degrés d'intériorité, ou d'imbrication : 1 < 2 < 3 (ce que l'environnement des symboles semble prouver suffisamment)

     

    Suivant cette interprétation, on remarque que les « causes subtiles » jouent un rôle de médiation entre les causes informelles et les causes grossières, exprimant les conditions de leur actualisation ; tandis que, à l'intérieur même de ces causes subtiles, le lévrier joue lui même un rôle semblable de médiation entre deux états ; par là il devient le véritable centre de l'ensemble des « opérations » décrites par la gravure, conformément à la fonction du 515.

     

    Dans un série de commentaires rédigés au début des années 2010, Aliboron remarquait au sujet du chien :

     

    Une simple assonance, en langue arabe, entre Kalb (chien) et Qalb (coeur)...  m'a mis la puce à l'oreille.

     

    (...) dans le même champ sémantique et sémitique, en arabe coranique la racine trilitère QLB, qui donne le mot qalb-coeur, signifie retourner. Et Dieu est dit être « Celui qui retourne les coeurs ». 

     

    Et il mentionne à ce sujet une doctrine cabalistique :

     

    « Le Leb, le Coeur : L'Univers tout entier se compose donc de trois régions: le Téli en haut, de forme cubique; le galgal en bas, de forme sphérique; et, constituant un plan de démarcation entre les deux, le Leb, zone intermédiaire qui tient à la fois du carré et du cercle.

     

    Cette interprétation permet, manifestement, d'assimiler la fonction du lévrier à celle du triangle cordial, comme élément nécessaire du retournement préalable à la circulature du quadrant.

     

    Chacun sait qu'un chien, avant d'adopter cette position caractéristique de repos au pied de son maître, accomplit bien souvent plusieurs tours sur lui-même ; le comportement naturel du chien venant ainsi à l'appui de sa fonction symbolique.

     

    Ces diverses annotations vont dans le sens de l'idée de Barmont, et permettent d'apporter plus de précisions à la fonction du Lévrier. L'action de « conversion » du Lévrier peut donc être précisée.

     

    Elle implique une action de « redressement » analogue au Tiqqun cabalistique. Les remarques mathématiques de Freitas sur le 515 l'amènent précisément à le définir comme un agent « redresseur ». L'envoyé de Dieu intervient dans une situation où toute chose a été « déviée » de sa vérité et de sa nature.

     

    Cette action de redressement a pour conséquence « le rétablissement de la plénitude ». Dans l'ordre des opérations géométriques, qui correspondent, ici, au degré de la manifestation subtile, le Veltro est l'agent de la médiation entre l'état de « troncature » du solide, et la « plénitude » de la sphère.

     

    La fin d'un cycle, l'accomplissement des temps, marque toujours le départ d'un nouveau cycle. L'époque de la consommation des temps est donc aussi celle aussi ont réunies, reccueillies ou rétablies « dans leur intégrité », et donc leur complétude, en un certain point du monde, les conditions, les « germes » d'un nouveau départ et d'un nouveau cycle.

     

    Dans cet ordre idées, on peut noter que si l'assimilation par Barmont de l'astre maléfique à une comète a pour elle de bons arguments, celle, également traditionnelle, qui l'assimile à Saturne apparait également très cohérente au point de vue du symbolisme. En effet, le symbolisme de cette planète, comme celui des racines SAT-STA auquel il s'apparente, est associée à la fois à l'idée de fin de cycle (le jour de Saturne saturday marquant la fin d'un cycle sénaire), à sa « SATuration », mais également à l'établissement ou l'inSTAllation d'un cycle nouveau. Samedi précédant, en effet, le jour de repos, ou de « stase » qui conditionne le départ d'un cycle nouveau.

     

     

     

    La banderole

     

     

    IV. La tradition du nombre 515 (a) : Dante, Dürer, Jorge Alfonso

     

    Barmont développe une série de remarques extrêmement pénétrantes au sujet du « phylactère » qui porte le titre de la gravure. L'écriteau est brandi par une chauve-souris, symbole des puissances obscures, en même temps qu'il peut correspondre à la découpe de ses ailes.

     

    Selon Barmont, Dürer a volontairement dessiné son titre de façon qu'il puisse être lu comme une formule de 11 ou 12 lettres.

     

    Dans le premier cas, on doit lire : Melencolia – signe « paragraphe » - I. Le signe I pouvant à son tout être interprété de deux manières, soit comme la forme romaine du chiffre 1, soit comme la lettre I, pouvant signifier ici l'Illusion, ou encore l'Ignorance propre à l'âge sombre.

     

    (Précisons toutefois que c'est nous, ici et par la suite, qui assimilons le symbole « intermédiaire » au caractère d'imprimerie « paragraphe », Barmont n'y voyant qu'un symbole graphique indéterminé, qui ne serait ni une lettre, ni un chiffre).

     

    Dans le second cas, la formule doit être lue : Melencolia S. I, les deux dernières lettres se référant alors au latin : Sanct Imperium.

     

    On sait que Durer était originaire de Frankfort, où étaient conservées les reliques du Saint-Empire. La formule Melencolia Sanct Imperium pourra donc s'interpréter à nouveau selon deux ententes, ou bien comme exprimant la nostalgie du Saint Empire romain germanique, ou bien comme exprimant l'attente eschatologique de l'établissement de l'empire du Saint-Esprit, ces deux possibilités n'étant d'ailleurs pas contradictoires.

     

    Barmont remarque en outre que, « par leur forme même, les deux lettres S. I. suggèrent le passage de l'errance indéfinie dans les spires successives de la manifestation (S) à la simultanéité et à la fixité axiale de l' « invariable Milieu » (I).

     

    Quelles que soient les riches possibilités offertes par cette lecture, nous ne cachons pas notre préférence (ne serait-ce que d'un point de vue visuel) pour la première interprétation, selon laquelle la formule compte 10 + 1 lettres, séparées – ou reliées - par le symbole « paragraphe ».

     

    De prime abord, les 11 lettres de la formule peuvent évoquer le 515, dont les éléments additionnés donnent aussi le nombre 11. En outre, l'étymologie du mot Melan/colia (noire-humeur) introduit dans ce mot une division naturelle en 5+5.

     

    Quant au symbole d'imprimerie « paragraphe », qui ne devait pas être très ancien à l'époque de Dürer, il est dérivé du latin « signum sectionnis » - « signe de séparation ». Il se compose de deux S entrelacés. Or à l'époque de Dürer, le nombre 5 et la lettres S avaient souvent la même graphie. Ce symbole peut donc être compris comme contenant deux fois le nombre 5. Remarquons donc, en faveur des précédentes remarques de Barmont, que la formule S. I. contient, au point de vue graphique, tous les éléments nécessaires à la réalisation du nombre 515.

     

    Barmont remarque en outre que Dürer a inscrit un point dans la zone intermédiaire et centrale du symbole « paragraphe ». Ce point peut donc figurer le 1 qui, dans le nombre 515, tient le milieu entre les deux chiffres 5.

     

    Le symbole paragraphe, avec son point central, ne serait donc qu'un équivalent synthétique, ou une expression figurale des mêmes idées qui sont déployées dans la formule « contenante » Melen /colia-I

     

    Les deux pouvant se résumer dans la formule :

     

    5+5+1

     

    Barmont remarque que, dans sa gravure Adam et Eve datée de 1504, « le cartouche suspendu à l'arbre de Vie porte la signature « Albert Dürer », suivi d'un signe qu'on serait tenté d'assimiler à un point d'interrogation ; à y regarder de plus près, on constate qu'il s'agit d'une spirale. »

     

    IV. La tradition du nombre 515 (a) : Dante, Dürer, Jorge Alfonso

     

    Barmont considère ce signe comme se référant au lituus, insigne des augures qu'on retrouve dans la crosse des évéques ; ce signe attesterait ici de l'initiation de Dürer.

     

    A propos de ce symbole, il note : « La forme du lituus, qui fut un des insignes du pouvoir des Pharaons avant de devenir celui des augures, symbolise, soit le « déroulement », le développement total d'un cycle ou d'un état, soit au contraire l' « enroulement », la résorption de ceux-ci dans leur centre principiel, selon le principe évolutif ou involutif du mouvement de rotation de la spirale. »

     

    En suivant ce chemin, le signe « paragraphe » de la melencolia serait l'équivalent du double-lituus, et symboliserait ici la probable double initiation de Dürer, aux « petits » et aux « grands » mystères.

     

    Très curieusement, Barmont omet de remarquer que, dans ce même cartouche de la gravure « Adam et Eve », on ne trouve pas seulement la spirale, mais, en bas à droite, un signe tout à fait identique à celui de la melencolia, et donc composé d'une « double spirale » à ceci près qu'il s'y présente en sens inverse.

     

    Il nous semble que ce changement d'orientation est une indication extrêmement précise de la fonction du 515. La gravure Adam et Eve représente l'état du monde à l'époque de la consommation du « péché originel », autrement dit à l'origine de son état d'altération, ou de déviation. Dans la melencolia, le signe se retrouve « inversé », c'est-à-dire « redressé », sous l'action bénéfique du 515.

     

    Barmont remarque enfin que, dans le signe « paragraphe » de la melencolia, les deux spirales se réunissent de manière à former, à leur jonction, un « losange curviligne marqué d'un point central ».

     

    Et l'on peut remarquer que le losange, si on le considère comme la réunion de deux lambdas inverses l'un de l'autre, peut lui-même être considéré comme un symbole équivalent de celui de la double spirale, puisqu'il représente les deux fonctions essentielles de l'hénade que sont procession et conversion.

     

    Le minuscule symbole situé au centre du symbole « paragraphe », le losange avec un point au centre, peut donc être vu comme une ultime expression synthétique de l'ensemble de la gravure, qui se déploierait à travers celle-ci comme par des cercles concentriques.

     

    Losange avec un point au centre < symbole paragraphe / double lituus / 515 < formule « Melancolia – I » < ensemble de la gravure.

     

    Etonnamment, cet ultime symbole présente une relation mathématique profonde avec le solide de Durer, dans sa formulation gnomonique. En effet, des six éléments qui occupent le centre géométrique de ce solide, quatre se répartissent sur un plan horizontal en forme de losange de 60/120 degrés, tandis que les deux autres s'ajustent le long d'un segment vertical, qui traverse ce losange en plein centre. L'axe vertical correspond à l'axe d'étirement du solide, (qui est son axe de symétrie majeur), et le plan horizontal, à son plan de symétrie bilatérale principal. Voir à ce sujet notre étude gnomonique sur le solide de Durer.

     

    Si l'on reprend les idées associées par Barmont à la double orientation de la spirale, on saisit que le symbole paragraphe pourrait lui-même symboliser l'équilibre des forces universelles. Et à l'appui de cela (pour ceux qui douteraient encore que les principes du symbolisme obéissent à certaines règles) on peut remarquer que, dans plusieurs pays d'Europe de l'Est et du Nord, le symbole « paragraphe » est couramment utilisé comme un symbole de la Justice (ou parfois de la Police), autrement dit comme un équivalent de la balance.

     

    IV. La tradition du nombre 515 (a) : Dante, Dürer, Jorge Alfonso

     

     

    Le rapprochement des deux gravures de Dürer permet de saisir le lien profond qui relie la Melencolia à l'oeuvre de Jorge Alfonso.

     

     

     

     

     

    L'apparition du Christ à la vièrge, de Jorge Alfonso

     

     

    IV. La tradition du nombre 515 (a) : Dante, Dürer, Jorge Alfonso

     

    De Freitas a raconté le destin extraordinaire de ce tableau, d'abord maquillé, puis débité en morceaux afin d'en faire disparaître la partie centrale, avant d'être reconstitué.

     

    L'écusson au centre du tableau portait originellement le nombre 515. Le 1 initial a été ajouté après coup, pour faire croire à une date. De Freitas prend à notre goût trop de précaution à écarter la thèse qu'il soit authentique, tout en apportant de nombreux arguments qui en montrent l'incongruïté. D'abord le tracé du chiffre 1 est d'une main plus maladroite que les trois autres. L'axe de l'écusson passe tout près du 1 central du nombre 515, et l'ajout du 1 initial introduit un déséquilibre dans la composition qui est invraisemblable de la part d'un maître d'une telle excellence.

     

    Ce tableau est donc le seul « document » historique où apparaisse directement le nombre 515, en dehors de l'oeuvre de Dante. De Freitas apporte les précisions historiques qui permettent de comprendre cette filiation. Alors que les organisations templières étaient pourchassées dans presque toute l'Europe, le Portugal est l'un des seuls pays qui ait été relativement épargné par ces persécutions. Certaines s'y sont donc maintenues plus longtemps qu'ailleurs, dans une relative tranquillité. Cependant, avec le progrès de l'inquisition au cours du XVIe siècle, la doctrine ésotérique associée à ce tableau était devenue indésirable. Le tableau fut d'abord maquillé pat l'ajout d'un chiffre 1 qui en masquait la signification. Mais cette mesure n'ayant pas suffi à « éteindre le scandale », il fut ensuite débité en planches, afin d'en faire disparaître la partie centrale. Les morceaux manquants furent miraculeusement retrouvés au début du XXe siècle, et le tableau rétabli dans son intégrité.

     

    Remarquons d'abord que la conception du tableau semble entièrement dominée par le thème du miroir. L'action de la partie gauche : le rachat d'Adam et Eve, est en effet la conséquence directe, et comme le reflet de l'action qui a lieu droite, l'apparition du Christ, attestant de sa résurrection. Entre ces deux parties, l'écusson porteur du 515 joue bien le rôle d'interface, ou de médiation, conforme au symbolisme de ce nombre.

     

    Mais on peut déjà relever que thème de l'Apparition, en lui-même, est déjà apparenté avec celui du miroir. Le miroir est un cadre d'apparition.Toute réalité qui apparaît, apparaît à quelqu'un ; et donc, toute apparition est comparution. Miroir et apparition peuvent, l'un comme l'autre, signifier la connaissance, en tant qu'ils définissent les conditions de celle-ci. Il faut qu'une réalité apparaisse, pour être connue.

     

    Divers rapprochements peuvent être établis avec la Melencolia de Dürer.

     

    Dans la partie gauche, la seule action qui ait lieu, c'est Adam qui présente la pomme restaurée dans son intégrité. Ce fruit miraculeusement reconstitué tient donc un rôle analogue à la sphère de la gravure de Dürer ; l'un comme l'autre expriment à la fois « l'action principale » de l'oeuvre qui les contient, et la fonction essentielle du 515 qui est le rétablissement de la plénitude.

     

    Le lituus présent dans la banderole de la Melencolia, dont Barmont a rappelé la signification initiatique, est présent dans les chapiteaux des colonnes du Temple où se tiennent le christ et la vièrge.

     

    Enfin on peut remarquer l'étonnante similitude entre la chauve-souris porteuse de l'inscription « melencolia I » et l'angelot porteur du 515. Ces deux êtres ailés, l'un maléfique, l'autre bénéfique, ont tous deux pour fonction d'éclairer la signification de l'oeuvre, et semblent témoigner d'un même événement, le premier « en amont », du point de vue de l'achèvement d'un cycle, le second en aval, du point de vue d'une réalité restaurée, marquant le commencement d'un nouveau cycle.

     

    IV. La tradition du nombre 515 (a) : Dante, Dürer, Jorge Alfonso

     

    Une remarque mathématique de Lima de Freitas mérite d'être soulignée. Si l'on prolonge le trait noir - anormalement accusé - de l'escalier de gauche, jusqu'à ce qu'il rencontre le labarum tenu par le Christ, on obtient un angle de 54 degrés. L'angle complémentaire est de 126 degrés ; et les deux sont dans le rapport 3/7, qui est un rapport tétractique. Dans une tétractys de valeur 180, où chaque point vaut 18, l'angle de 54 degrés correspond au triangle, et l'angle de 126 degrés au septénaire central.

     

    IV. La tradition du nombre 515 (a) : Dante, Dürer, Jorge Alfonso

     

    Cette tétractys rappelle la tétractys 360 dont on a parlé précédement. Ses points valent 18 eu lieu de 36, ce qui est parfaitement congrü en l'occurence, puisqu'elle correspond à l'angle plat, et donc au demi cercle de 180 degrés, tandis que la première correspond au cercle complet.

     

     

     


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    V. LA TRADITION DU NOMBRE 515 (b)

     

     

     

    La peinture du pignon occidental de

     

    l'église templière de Montsaunès

     

     

     par G. Denom et R. Bayou

     

     

     

     

    Considérez comment croissent les lis: ils ne travaillent ni ne filent; cependant je vous dis que Salomon même, dans toute sa gloire, n'a pas été vêtu comme l'un d'eux. Mathieu, VI, 28.

     

     

     

     

     

    0. LA SCENE PRINCIPALE : LA PORTE DES DIEUX

     

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     Le Sagittaire fléchant le Capricorne

     

     

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

    Le carré du centaure

    Une composition en 4 parties qui se lit en sens "horaire", à partir du coin en haut à droite : 1. Lancer de flèche. 2. Le rectangle de Fibonacci. 3. La Jérusalem céleste. 4. Le chrisme.

     

     

     

    La scène principale représente le Sagittaire fléchant le Capricorne, symbole zodiacal qui désigne la période du solstice d'hiver, et du passage à la nouvelle année.

     

    Le symbolisme des portes solsticiales est l'un de ceux dont René Guénon a le mieux démontré le caractère universel. Pour reprendre son vocabulaire, ce thème se situe à la jonction de deux catégories de symbolisme, l'un temporel, celui de la manifestation cyclique, et l'autre spatial, celui de la forme cosmique ; les deux catégories se trouvant ici coordonnées l'une à l'autre, et reconduites à un principe qui les précède, ou les sous-tend, puisqu'à une certaine division de temps, un tour d'horloge, qui est celui de l'année, est associée une révolution du ciel, qui suppose un parcours complet de celui-ci en tant que forme.

     

    Dans de nombreuses traditions, les solstices d'été et d'hiver sont considérés comme des pôles de l'année, auxquels correspondent, à chaque extrémité de la voie lactée, les divisions du zodiaque dans lesquelles pénètre le soleil à ces époques de l'année, chacun de ces pôles constituant une porte du ciel par laquelle les âmes, respectivement, « descendent » dans la génération et la manifestation individuelle, ou « remontent », pour celles qui y sont appelées, hors du monde manifesté. Au solstice d'été, lorsque le soleil entre dans le signe du Cancer, est la porte des hommes, qui est celle de l'entrée dans la caverne cosmique, par laquelle les âmes descendent dans la manifestation ; tandis qu'au solstice d'hiver, lorsque le soleil entre dans le signe du Capricorne, est la porte des dieux, qui est celle de la « sortie » ou de la remontée des âmes vers l'éther supra-cosmique.

     

    Au symbolisme de la porte s'associe très naturellement, dans certains cas, celui de la clef et de l'ouverture ; et dans cet ordre d'idées, René Guénon a relevé les nombreuses concordances qui existent entre le symbolisme de Janus, dieu de l'année, détenteur des « clés du temps », et la doctrine védique du vêda-loka et du pitri-loka, relative aux portes solsticiales.

     

    Mais il constate aussi que ce symbolisme rencontre, en de nombreux endroits, un ensemble de traditions d'origine pythagoricienne, dont le témoin le plus éloquent est L'Antre des Nymphes de Porphyre.

     

    Dans cet écrit extraordinaire, témoin d'un âge bien plus ancien de la tradition pythagoricienne, pour lequel les œuvres d'Homère et d'Hésiode jouaient le rôle d'ancien testament, Porphyre analyse le mythe homérique de la « caverne d'Ithaque », ou Antre des Nymphes, sanctuaire ou caverne initiatique dans laquelle des naïades se livrent à d'énigmatiques travaux.

     

    « Les anciens, nous dit Porphyre, consacraient avec raison les antres et les cavernes au monde pris dans sa totalité ou dans ses parties. » Mais il remarque aussi que, chez les Perses comme ailleurs, les cavernes étaient souvent des lieux d'initiation ; le même sanctuaire pouvant avoir en même temps la fonction de symbole du monde sensible, et de lieu consacré aux rites initiatiques. A ces données persanes, explicites dans le culte de Mithra, Porphyre associe un ensemble important de traditions pythagoriciennes, dans lesquelles le zodiaque occupe une place centrale, pour lesquelles ses principaux témoins sont les écrits de Numénius et de Cronius.

     

    «  Ces deux auteurs disent qu'il y a dans le ciel deux points extrêmes... Le point estival est sur le signe du Cancer, le point hivernal sur le signe du Capricorne... On dit que le Cancer est la porte par laquelle descendent les âmes et le Capricorne celle par laquelle elles remontent... Mais c'est à juste titre que dans le récit d'Homère la région dans laquelle se situe la première porte est attribuée à la descente des hommes, tandis que celle où se situe la deuxième est attribuée non aux dieux, mais à ceux qui montent vers les dieux. Pour cette raison le poète ne dit pas : le chemin des dieux, mais des immortels, expression qui convient aussi aux âmes qui par elles-mêmes ou par essence sont immortelles. »

     

      

    La flèche du centaure

     

    Dans la riche tradition dont on a pris ici un aperçu, le solstice d'hiver constitue le pôle de l'année, en tant que point de suture, ou de nouage de l'ancienne ancienne année avec la nouvelle, d'une part, mais aussi, dans l'ordre spatial, en tant que période de retour du soleil dans un intervalle précis, entre deux divisions du zodiaque, après une révolution qui l'a vu accomplir un tour complet de la circonférence du ciel.

     

    Mais l'essentiel se situe encore dans une troisième chose, qui est la conjonction ou la coïncidence de ces deux événements, et qui n'est, de soi, ni temporel, ni spatial, ni un « instant » particulier de l'année, ni un « point » particulier de la bande du zodiaque, mais précisément la coïncidence de ces deux réalités, qui peut apparaître comme la signature de leur commune origine, du principe indivis dont procèdent ces deux dimensions de la réalité que sont pour nous l'espace et le temps.

     

    Et il faut convenir que la condition empirique de l'homme ne permet jamais de les séparer complètement l'une de l'autre. Au déploiement ou à la création d'un certain univers-espace, de dimension définie, correspondra, nécessairement, la « dépense » d'un certain quantum de temps, qui pourra, en dernière analyse, servir de référence pour l'un comme pour l'autre. Tout espace s'avérant ainsi lié, dès avant sa création, au stade de sa virtualité même, au temps minimum nécessaire à son déploiement.

     

    Le symbolisme de la manifestation cyclique associe ces deux dimensions, temporelle et spatiale, sous l'angle de la complétude. Le soleil ne parcourt l'espace, ou le tour complet de la bande du ciel, que lorsque le temps de l'année est lui même écoulé.

     

    C'est bien une telle opération de jonction, de réunion, qui est symbolisée par la sagittation du Capricorne par le Sagittaire. Le « sujet » de la peinture de Montsaunès est donc un nouage, un agrafage, dont la forme et la fonction sont parentes de celles du nœud labdaïque.

     

    Le Sagittaire a trois flèches dans son carquois et la quatrième bandée, à son arc. En considérant la flèche bandée comme la flèche du solstice d'hiver, inaugurant le premier trimestre de l'année, les trois autres peuvent correspondre aux trois trimestres suivants de l'année à venir, et donc aux trois autres fêtes que sont les équinoxes et le solstice d'été. En outre, ces quatre flèches entrent nettement en résonance avec la structure de la peinture elle-même, qui est celle d'un carré divisé en quatre parties, dont le Sagittaire flécheur occupe la première, en haut à droite.

     

    De l'autre côté du mur, une cinquième flèche est fichée dans le cou du Capricorne. Cette flèche peut être vue comme la même que celle qui est bandée par le centaure, ayant atteint sa cible quelques instants plus tard ; mais aussi, dans un autre sens, comme une « quinte » essence résultant de l'accomplissement du quaternaire qui l'a précédé, de son plein achèvement.

     

    Une ancienne photo en noir en blanc révèle que la chèvre qui symbolise ici le Capricorne, aujourd'hui très détériorée, arborait sur son dos un « 4 de chiffre », ce qui appelle plusieurs commentaires. D'une part, ce symbole peut être vu comme un équivalent du chrisme qui occupe la dernière case de l'ensemble carré auquel appartient le centaure ; il peut donc comme ce symbole lui-même exprimer la plénitude, l'accomplissement de l'année, associée à la sagittation du capricorne.

      

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

    Mais d'autre part, cette chèvre n'est pas n'importe quelle chèvre, et l'on doit remarquer que la stylisation de ses cornes, dotées de 5 cors chacune, obéit à une convention particulière de la peinture médiévale, relative à la représentation de certains animaux « surnaturels » ou symboliques, tels que le cerf.

     

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     Une flèche traverse le cou de la chèvre-capricorne

     

    Dans une légende commune à plusieurs vies de Saints (Hubert, Eustache), un jeune seigneur est tellement épris de chasse, qu'il ne peut s'abstenir de chasser le jour du Vendredi Saint. « Et comme il commençait à chasser, un cerf dix-cors, entièrement blanc, d'une taille extraordinaire, bondit et s'élança devant lui, l'entraînant dans les profondeurs de la forêt. Après plusieurs heures, le cerf ne montrait toujours aucune fatigue alors qu'Hubert était rompu. Soudain, le cerf s'arrêta net ! Dans une vision de lumière, Hubert vit le cerf blanc avec entre ses bois l'image d'une croix étincelante et il entendit une voix qui lui disait: "Hubert ! Hubert! Jusqu'à quand poursuivras-tu les bêtes dans les forêts ? Jusqu'à quand cette vaine passion te fera-t-elle oublier le salut de ton âme ?" ».

     

    On voit que ce cerf crucifère à 10 cors est avant tout un symbole du Christ sacrifié, et de la passion, à l'image de l'agneau mystique de l'Apocalypse.

     

    Le même cervidé apparaît dans la légende de Saint Eustache, à laquelle Dürer a consacré l'estampe ci-dessous.

     

     

     

     

    Le Capricorne et le 515

     

    Compte tenu de la nature nettement messianique de ce cervidé, Lima de Freitas n'hésite pas à le rapprocher de la tradition dantesque du 515, dans un symbolisme où les deux 5 correspondraient aux bois du cerf et le 1 au crucifix qui s'élève au milieu de son front : assimilation renforcée par le fait que la croix est considérée partout comme un symbole « axial ».

     

    On comprend dès lors qu'une assimilation très naturelle ait pu s'effectuer, d'un point de vue ésotérique, entre le « temps messianique » symbolisé par le cerf 10 cors et le 515, qui est un temps d'accomplissement, de « remplissement » de la prophétie, et le temps cosmologique de « la porte des dieux », associé lui aussi à des conditions de « plénitude » et d'accomplissement d'une période donnée qui est l'année. Et de fait, chrisme, 4 de chiffre et crucifix peuvent être considérés comme trois variantes d'un seul et même symbole archétypal, qui est celui de la croix.

     

    Sous ce regard, la chèvre-capricorne pourra donc être vue comme aspect particulier de la puissance du 515, s'exerçant non dans le temps historique de la messianité, mais dans le temps cyclique qui est celui du cosmos.

     

     

     

    Sagittation du Capricorne : la "flèche du Parthe" dans la tradition astrologique

     

    Le thème zodiacal du Sagittaire lançant sa flèche sur le Capricorne est illustré dans cette enluminure (extraite des Très riches heures du duc de Berry), où le Capricorne est représenté sortant d'un coquillage, à droite de la frise « vesicatoire ».

     

    Anatomical Man.jpg

     

    Dans son étude sur le symbolisme du cerf et du centaure (à lire ici) Jean Bavet remarque que  "le centaure sagittaire visait soit le Scorpion, soit le Capricorne... mais de règle, lorsqu'il se retourne pour tirer (cas de la miniature du duc de Berry) c'est le Capricorne qu'il vise..." Et plus loin il constate que "le Capricorne est souvent représenté par un bouc ou une chèvre.... ".

     

     

     

    Un symbolisme corroboré par la situation de la peinture

     

    La scène peinte sur le mur se déploie sur un axe horizontal qui, relativement à l'axe de la nef (est-ouest) est orthogonal, donc un axe sud-nord.

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

    On voit que l'intégration de la peinture dans l'espace de l'église ne doit rien au hasard. L'action de sagittation du Capricorne par le centaure se déploie bien sur l'axe Sud-Nord qui est celui des solstices ; et la situation de la peinture sur le mur d'Occident conduit à une assimilation naturelle entre le couchant du jour – l'Ouest – et le couchant de l'année qui est le solstice d'hiver.

     

    Les deux fêtes de St Jean, associées aux solstices d'hiver et d'été, étaient associées au feu et à la lumière. Et c'est ce qu'on doit avoir à l'esprit en remarquant, à Montsaunès, la dimension extraordinaire de la fenêtre d'Occident, chargée de recueillir le maximum de la lumière du soleil à l'instant même où il se couche et meurt, - fenêtre sous laquelle la fresque du solstice fait l'effet, par la modestie de ses dimensions, d'un commentaire en bas de page, ou d'une légende.

     



    Le chasseur chassé : la doctrine du sacrifice

      

    Il resterait à expliquer comment le 515, plutôt "chasseur" chez Dante (... qui occira la larronnesse et le géant qui fornique avec elle) se mue en chassé (chèvre) dans la présente circonstance.

     

    Paradoxe qu'il semble impossible d'expliquer, sans une compréhension des doctrines métaphysiques du sacrifice, en vertu desquelles toute création, (et donc, toute création d'univers, toute manifestation), est le fruit d'un rite sacrificiel primordial dans lequel le sacrifiant, le sacrifié, l'autel, et le couteau, ne sont qu'un seul même officiant. Sur ce sujet nous ne pouvons faire mieux que de renvoyer aux travaux de Coomaraswamy.

     

    D'une manière assez analogue, nous avions remarqué la ressemblance, l'étrange air de famille qui existait entre le « nombre de la bête » (666) et celui des élus rassemblés autour de l'Agneau du sacrifice (6 + 6) x (6 + 6). Parenté qu'on doit interpréter comme la marque du fait qu'ils ne sont fondamentalement qu'un.

     



     

    I. LANCER DE FLECHE – LE CENTAURE CHIRON, DISCIPLE D'APOLLON – ASPECTS DE LA RELIGION DE PYTHAGORE

     

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

     

    En préambule aux remarques de ce chapitre, nous devons avoir à l'esprit le fait qu'au sein du premier cercle des disciples de Pythagore, Pythagore n'était pas seulement considéré comme « un prêtre du soleil », mais bien réellement comme un avatar d'Apollon Hyperboréen, actif et présent dans la vie de tout homme, chaque fois qu'il sort de son lit.

     

    La religion d'Apollon et celle de Pythagore ne sont donc, véritablement, qu'une seule et même chose.

     

     

    « Apportez moi mon arc et ma lyre » 

     

    Le cri poussé par Apollon à sa naissance, après avoir rejeté les vêtements-limitations dont on l'avait affublé, annonce qu'il possédait de toute éternité ces instruments à corde, capables de délivrer :

    - pour l'un, la vérité (la lyre étant le support de sa prophétie, de sa parole oraculaire),

    - et pour l'autre, la mort (le déchaînement de la vengeance d'Ulysse sur les prétendants, entièrement orchestré par Apollon, dont on célèbre ce jour-là la fête, est inauguré par un examen rituel de son arc, explicitement semblable au rituel d'accordage d'un instrument, pratiqué par tout musicien).

     

    Or, nous savons que l'univers est né d'une tension. Et une tension ne présuppose que deux choses : d'une part, une corde, et d'autre part un support, un châssis, capable de supporter la tension de cette corde : l'arc ou la lyre.

     

    « Apportez-moi mon arc et ma lyre » (Hymne homérique à Apollon)  

     

    Il est essentiel de comprendre que l'arc et la lyre d'Apollon existaient, sinon, avant la naissance d'Apollon, du moins « en même temps » que lui comme une excroissance gémellaire. Et les victoires d'Apollon attesteront, d'une certaine manière, qu'il est impossible de jouer correctement de ces instrument, si vous n'en étiez pas doté au moment même de votre naissance.  

     

    Dans les instruments d'Apollon se remarque, toutefois, une tension de type bien particulier, qui est la tension du retour, ou du retournement, et que l'on retrouve dans divers mots formés à partir de la racine grecque « palin », « retourner ». L'arc et la lyre appartiennent à une même famille d'instruments, qui peuvent être palintones - par le jeu de tensions opposées entre main d'arc et main de corde - ou palintropes, pour l'arc composite, dont la forme bandée inverse la forme au repos.

     

    Et on se rappellera qu'il est courant, dans l'art médiéval, de voir le Sagittaire flécher le Capricorne en se retournant, même si ce n'est pas le cas sur notre peinture.

     

    En physique pythagoricienne, la « tension du retour » porte le nom de tension de conversion. Etant de nature « centripète », elle ne peut survenir qu'au sein d'une réalité parvenue à un instant critique de son développement, qui est l'aboutissement d'une certaine procession. Mais d'autre part, comme le rappelle justement Maël Mathieu : « seul peut procéder ce qui est capable de se convertir ». Autrement dit, la fin est la condition du commencement.

     

    Le thème du retournement, en tant qu'il découle de la science apollinienne de l'archer, établit un lien entre l'action du centaure et le thème du palindrome, retournement mathématique qui sera développé, dans toute sa richesse métaphysique, dans la troisième division du « carré du centaure », représentant la Jérusalem Céleste.

     

     

    Le centaure Chiron, jonction entre le pythagorisme et la médecine

     

    Les centaures sont, dans la mythologie grecque, des créatures plus remarquables par leur brutalité que par leur sagesse. A une exception près toutefois : le centaure Chiron, disciple ou fils adoptif d'Apollon.

     

    Apollon a tué (par le feu) la mère de Chiron, avant de sauver l'enfant des flammes. Il en a ensuite fait l'éducateur de son fils Asclépios, dieu fondateur de la médecine. La tradition précise assez souvent que "le savoir d'Asclépios" est le savoir de Chiron.

     

    Le centaure Chiron est donc le medium mythologique qui forme la jonction entre la science d'Apollon, et la tradition de la médecine grecque, (que d'aucuns, comme Jean-Luc Périllié, n'hésitent pas à qualifier de pythagoricienne), se revendiquant de son fondateur mythologique : Asclépios.

     

    Rappelons qu'Hippocrate, rédacteur du serment prononcé aujourd'hui encore par tous les médecins, était lui-même un asclépiade et conservait la généalogie de son ascendance jusqu'à Asclépios et Apollon.

     

    André Charpentier considère le serment d'Hippocrate comme un document chiffré pythagoricien régi par le nombre 666 (voir son étude ici). Le serment se fait par Apollon, Asclépios, Hygie et Panacée, qui constituent une famille divine pythagoricienne - le  serment serait équivalent aussi au serment par "la sainte tétractys". On remarquera que le dernier membre de la lignée : Panacée, contient la racine « pan », « tout », qui correspond à l'état de « complétude » de la tétractys.

     

    Chiron occupe donc une place de médiateur, ou d'intercesseur entre les deux premiers personnages de cette lignée divine pythagoricienne.

     

    La piste du centaure peut même être poursuivie au delà du seul champ hellénique et de la religion apollinienne, puisqu'on en trouve la trace, dans un plus large champ indo-européen, dans différents mythes relatifs à la fois au cheval et aux origines de la médecine. Une étude bien documentée nous apprend en particulier que, selon Dumézil, le mot "Kentauros" pourrait être un équivalent du sanscrit "Gandharva". (Valérie Gitton-Ripoll : Chiron, le cheval-médecin ou pourquoi Hippocrate s'appelle Hippocrate)

     

    Ces éléments mythologiques ne doivent en rien occulter la dimension zodiacale et calendaire qui reste fondamentale, dans le contexte pythagoricien.

     

    Ce n'est pas sans doute pas sans motif que le centaure a donné naissance, non à une constellation, mais à deux, le Sagittaire et le Centaure, qui font de cette créature mythologique un acteur familier de la machine du ciel.

     

    Quant à la fonction de flécheur qui est attribuée au centaure dans le symbolisme du solstice, elle s'accorde assez bien avec l'étymologie, qui fait dériver son nom (Kentauros) d'une fonction primitive de « piqueur » de bétail (kentôr).

     

     

    Chi-ron le cent-aure, la tentation du jeu de mot

     

    Une assonance entre Chiron et le chi-rô du chrisme, établit une connexion entre le début et le terme de la séquence du « carré du centaure », entre l'alpha et l'oméga. En ayant à l'esprit que cette connexion entre la fin (de l'année) et le début (de la suivante) est – bien qu'en sens inverse - le sujet même de la peinture du solstice.

     

    En second lieu, on peut s'arrêter à la connotation arithmétique du nom du CENTaure. En effet, en fixant à 66 « l'ouverture de la mandorle » - pour des raisons autant symboliques (démiurgisme), qu'architecturales (mesures du panthéon de Rome) - André Charpentier associe le nombre 99 au « rayon céleste » qui embrasse cette figure, et le nombre 100 à ce rayon complété par son « pôle ».

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

    Si l'on relève en passant que : 100 / 66 = 1,515151515... on voit que ce chemin ne nous éloigne pas du 515.

     

    Ce nombre cent que les peintres templiers, sans l'avoir recherché, entendaient vraisemblablement dans le nom du centaure, semble donc résonner de façon très heureuse avec la fonction du rayon dardé par le Sagittaire, ainsi qu'avec sa position de porte, ou de pôle, pour l'axe du monde.

     

    Nous allons voir que cette fonction du Sagittaire peut encore être illustrée sur un autre plan,  qui est celui de la tradition alchimique.

     

     

    Point de vue opératif

     

    D'un point de vue alchimique opératif, Aliboron explicite le symbolisme du Sagittaire selon deux perspectives complémentaires :

    - Comme une des « saisons » de l’Oeuvre, donc comme métaphore convenue sans rapport direct avec l’astrosophie, il se situe à la fin du Solve, volatilisation du Fixe. Phase dite de Jupiter (qui trône en Sagittaire et Poissons) succédant à la saturnienne. Entre Nigredo et Albedo (noire puis blanche) on lui attribue du... gris, virant au verdâtre car le Dauphin nouveau-né (Saturnie végétable) y vire au Vert léonin.

    - D’un autre coté, si l’on en croit l’astrobiologie selon Rabelais, il se trouve qu’entre Scorpion et Sagittaire, précisément, se présente une « fenêtre » cosmique propice à la « descente » du Spiritus Mundi...

     

     

    La chasse spirituelle : René Alleau, à propos des lévriers et autres chiens pythagoriciens

     

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

      

    Dans la première partie de cette étude sur la tradition du nombre 515, nous avons abordé la question des liens entre le veltro dantesque et le chien couché de la Melencolia de Dürer, en nous bornant, pour l'essentiel, à résumer les travaux de Louis Barmont et Lima de Freitas sur le sujet.

    Dans ses Enigmes et symboles du Mont Saint-Michel,  René Alleau offre des remarques sur le lévrier, se rapportant à une miniature de Jean Fouquet illustrant la fondation de l'ordre de Saint-Michel (XVs) - remarques que nous reproduisons en intégralité, en raison de leur intérêt pour notre étude.

    En plus de l'éclairage hermétique qu'elles apportent au thème médiéval de la chasse spirituelle, ces remarques peuvent nous questionner à un autre titre, du fait que l'on sait, aujourd'hui, que la légende de Saint Michel a eu pour fonction de "recouvrir", en le christianisant (aussi bien du point de vue mythologique que géographique), un ancien culte païen de type nettement apollinien, dont le Mont Saint-Michel constituait sans doute l'un des hauts lieux, comme le Monte Gargano en Italie. Ce rapport de continuité, ou plutôt de relève théologique assumée permet de voir dans la victoire de l'Archange Saint Michel sur le dragon, inspirée de l'Apocalypse, une quasi réplique de celle d'Apollon sur Python.

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     Frontispice du manuscrit enluminé 

    « Statuts de l'ordre de Saint-Michel »

     

     

    « Aussi doit-on déchiffrer les moindres détails allégoriques de la miniature illustrant la fondation de l’Ordre car on ne laissait à l’artiste aucune liberté dans le choix d’emblèmes qui revêtaient alors une grande importance héraldique et politique.

    On trouve deux chiens analogues au château du Plessis-Bourré, dans la « demeure philosophale » du trésorier de l’Ordre de saint Michel. C’est à Eugène Canseliet que l’on doit d’avoir signalé, en effet, dans son ouvrage : Deux Logis alchimiques la signification hermétique des caissons peints de la salle de garde du château, dans le Maine-et-Loire. Deux interprétations du thème du « chien blanc » figurant sur les miniatures peuvent être proposées. Selon l’une, on aurait évoqué par ces « armes parlantes », le mot « Lévrier », attesté, au XIIe siècle, déjà dans Enéas, et qui signifie, proprement, « chien qui chasse le lièvre ». Au XIVe siècle, Nicolas Oresme le nomme « Levron » et, pour la femelle « Levronne ». Il est probable que l’on prononçait alors « Levrier » sans accent.

    Si l’on admet cette hypothèse, l’allégorie héraldique du Levrier joue sur l’homophone L’Oeuvre y est. On peut aussi « blasonner » sur Oeuvrons aile en chef, devise des travaux mystiques des chevaliers de l’Ordre sous la haute protection de l’Archange. Rappelons, en effet, avec Grasset d’Orcet, que l’on pouvait aussi « blasonner » en « assonnant sur la lettre L », selon des règles trop compliquées pour être examinées ici.

    Selon la seconde hypothèse, plus probable, à notre avis, il ne faudrait pas voir ici un lévrier mais plutôt un chien courant blanc que nos anciens auteurs nommaient "baud", chien-cerf, ou chien muet. Jean Nicot, dans son Thrésor de la langue françoyse, précise : "D'aucuns les nomment chiens muets, d'autant que, venant le cerf au change, ne disent mot jusqu'à ce qu'il soit hors". Et Nicot rajoute qu'à cause de leur silence, ces chiens étaient nommés pythagoriciens.

     


    Selon cette hypothèse, ce chien blanc ferait allusion au silence imposé expressément par les statuts de l’Ordre aux chevaliers de Saint-Michel sur tout ce qui concernait leurs délibérations. Mais on peut aussi y voir une image de la “quête initiatique” et de la “chasse spirituelle” dans laquelle l’intuition joue un rôle aussi déterminant que le flair dans la chasse matérielle. La comparaison entre le cerf “aux bois rayonnants” et Jésus qui mène l’âme altérée aux “sources de l’éternelle sapience” se retrouve dans la plupart des allégories mystiques du XVe siècle. 

     

    Afin de préciser qu’il s’agit en effet d’une quête des vérités supérieures ou “célestes”, Jean Fouquet a situé au même niveau que celui du tableau du combat de saint Michel, remarquable par le ciel étoilé qui sert de fond à la composition, une lucarne ouverte en haut du mur, laquelle, à première vue, ne présente aucun intérêt ornemental car ce détail étrange déséquilibre au contraire, la perspective rigoureusement ordonnée du tableau. En fait, il s’agit là d’un exemple de la cabale phonétique, chère aux disciples d’Hermès, et qu’il faut connaître si l’on désire entendre leur enseignement secret, tel que l’expriment, allégoriquement, de nombreuses oeuvres d’art médiéval. » Dont l’ “héraldique sacerdotale” est condensée dans la “Légende Dorée” de Voragine.... voir par ex, les étymologies “fantaisistes” qui la parsèment.

     

    « On doit savoir, d’abord, comme le rappelle A. Dauzat, dans son dictionnaire étymologique, que le mot “lucarne” dérive de la lucanne (XIVe siècle) emprunté au provençal lucana, “lucarne”. Ce mot jouait ainsi homophoniquement sur “lucarne”, nom d’un coléoptère vulgairement appelé “cerf-volant”, insecte caractérisé par les dimensions considérables de ses mandibules, dentées et saillantes, analogues aux bois des Cervidés. L’allusion héraldique au thème du “cerf-volant” ou du “cerf-ailé” confirme ainsi celle qui se rapporte au “chien-cerf”, au premier plan de la miniature. (...) Rappelons que le “Cerf-volant” était l’emblème de Charles VI et de Charles VII, “peut-être en raison de la prophétie fameuse à laquelle fait allusion Christine de Pisan dans le poème où elle célèbre les exploits de Jeanne d’Arc :



    « Car un roi de France doit être
    Charles, fils de Charles nommé
    Qui sur tous rois sera grand maître
    Prophéties l’ont surnommé Le cerf volant... »

     

    Bref, “la lucarne” ouverte du coté du ciel et de saint Michel, tel qu’il est figuré sur le tableau central, évoquerait ainsi la protection accordée au “Cerf-volant” de France par le Roi du Ciel. Ce serait là un rappel des victoires miraculeuses de Jeanne d’Arc et de la légitimité divine du pouvoir royal, depuis le sacre de Reims.”

      

    Le lucane et l'axe des nœuds lunaires

     

    Reprenons les précisions entomologiques de René Alleau. Dans le monde des insectes, le lucane est effectivement un cervidé.

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

     

    Dans ses Métamorphoses, le grammairien Antoninus Liberalis fournit à son propos des informations qui intéressent notre enquête : la tête du lucane « ressemble, avec ses cornes, à la lyre que l'on fait à la carapace de tortue ».

     

    En examinant l'Hymne homérique à Hermès, nous pouvons voir que le thème du retournement est au cœur de l'invention de la lyre. La tortue est en effet un animal bien singulier, qui « pourvue d'une peau de pierre » selon Plutarque, et même si elle est capable d'émettre un petit sifflement, est présentée comme muette (anaudos) par les grecs. Nous dirions aujourd'hui « muette comme une tombe », et précisément, la tortue trouvera une voix (phônê) après sa mort lorsqu'elle sera transformée en lyre. Cette transformation sera l'œuvre du jeune dieu Hermès, qui, trouvant une tortue devant la grotte du mont Cyllène où il vient de naître, l'amène à l'intérieur après l'avoir retournée sur le dos

     

    Mais les grecs avaient aussi observé l'affinité de la tortue avec le monde souterrain, le monde chamanique « des envers ». En s'enterrant dans le sol pour hiberner, elle en fait autant que ses petits, puisqu'elle se sert de la terre pour retourner dans le monde des vivants. L'étymologie latine tartaruca (bête du Tartare) renvoie-t-elle à cette représentation grecque de la tortue ?

     

    Un dernier aspect du retournement est offert par le concours musical opposant Apollon et Marsyas. Rappelons que le dieu ruse en imposant cette condition à son adversaire : « Je te défie de faire sur ton instrument ce que je fais: tourne-le à l'envers ». Nous avons déjà mentionné la qualité intrinsèquement palintonique de la lyre, mais Apollon en exploite ici une propriété extensive, celle de jouer en la retournant dans l'espace. Propriété que ne possède pas la flûte, et qui valut à Marsyas d'être écorché vif... John Scheid commente : « car si la lyre est l'instrument grâce auquel les âmes peuvent remonter à la lumière, une lyre inversée devient l'instrument grâce auquel elles sont renvoyées dans l'obscurité de la mort ».

     

    Cette topologie des lyres, à l'endroit et à l'envers, nous a frappé par sa ressemblance avec les emblèmes des nœuds lunaires qu'a conservé la tradition astrologique indienne. Rappelons que ce sont des points virtuels associés astronomiquement aux éclipses, et décrits mythologiquement comme la tête et la queue du dragon.

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

    Il nous semble possible de superposer (ici encore, en un sens convenu et non astrosophique) l'axe des nœuds, c'est-à-dire l'axe du dragon, à l'axe des solstices  : la tête du dragon - ou lyre à l'envers - représente la descente des âmes associée à la porte du Cancer, alors que la queue du dragon - ou lyre à l'endroit - représente leur remontée dans le Capricorne. Correspondance qui s'accorde avec les données de la tradition indienne, qui fait de Rahu (tête du dragon, dépourvu de corps) une puissance de matérialisation et de Ketu (queue du dragon, dépourvu de tête) une puissance mystique de renoncement. (note 1)

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

     

     

     

    II. LE RECTANGLE DE FIBONACCI.

     

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

     

    Il s'agit d'un rectangle quadrillé de côtés 5 et 8, dont toutes les cases sont hachurées par une diagonale, à l'exception d'une zone de 9 cases située en bas à gauche, où les cases sont hachurées par deux diagonales, formant une croix, et où les divisions horizontales sont absentes. Cette différenciation est suffisante pour identifier immédiatement un rectangle de Fibonacci de rang 5, mais aussi, pour reconstituer toutes les autres parties du rectangle, dans leur développement en spirale.

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

    Dans tout rectangle de Fibonacci, l'avant dernier carré joue le rôle de médiateur, (ou de « médian », au sens défini par les médiétés pythagoriciennes à trois termes), puisqu'il occupe une position intermédiaire entre "ce qui conclut", et "tout ce qui précède".

     

    Dans le rectangle de Fibonacci de rang 5, et de côtés 5 et 8, le médiateur est bien le carré 3, intermédiaire entre ce qui conclut (le carré 5), et "tout ce qui précède"  (l'addition des côtés des carrés 1 et 2 qui donne 3). Le hachurage de ce carré 3x3 au sein du rectangle revient donc à mettre en évidence, dans celui-ci, cet élément médiateur.

     

    Il existe plusieurs méthodes, également légitimes, pour paramétrer le départ de la série des nombres de Fibonacci dans le rectangle du même nom, dont l'une, la dernière que nous mentionnerons, peut être regardée comme plus « pythagoricienne » que les autres.

     

    • La première consiste à décomposer le carré long, ci-dessus distingué par un pavage « mosaïque » comme en regorge l'église de Montsaunès (pavages dédiés aux Muses, et non à Moïse...) en deux petit carrés « atomiques » de 1x1. Dans ce cas la suite de Fibonacci sera représentée par les « incréments » carrés successifs qui s'agglomèrent à cette matrice (1, 1, 2, 3, 5....)

     

    • Une autre manière consiste à paramétrer les états successifs du rectangle global. Dans ce cas les nombres de Fibonacci se développeront par paires « conjointes », correspondant aux côtés du rectangle, donc chacune mesure un nouvel « état » de ce rectangle ; et la série pourra même alors débuter au stade « zéro », stade où le rectangle n'est encore qu'un segment de largeur 0 et de longueur 1. La série prendra alors la forme (0,1), (1,1), (1,2), (2,3), (3,5)...

     

    • Enfin une troisième méthode consiste à écarter les deux premiers éléments de la série précédente, en considérant que ni le segment (0,1), ni le carré de 1x1, ne sont véritablement des rectangles, et que le premier « vrai » rectangle de Fibonacci est le « carré long » de 1x2.

     

    Cette dernière solution est, sur le plan logique, la plus conforme à l'esprit de la mathématique pythagoricienne.

     

    En effet, en mathématique pythagoricienne, la catégorie géométrique des « quadrilatères » n'est pas pertinente, du fait que le carré et le rectangle sont subordonnés à deux catégories logiques rigoureusement distinctes, dont le première est la catégorie du Même, et la seconde celle de l'Autre. Dans cette optique, le premier « vrai » rectangle de Fibonacci, qui joue pour la série des suivants le rôle de graine, ne peut être que le carré long de 1x2. C'est seulement dans cet objet qu'est « libérée » au sens logique la catégorie de l'Autre, par la duplication d'un objet (le carré atomique) qui relève lui-même de la catégorie « antérieure », et plus primitive du Même.

     

    On voit que, dans cette logique profonde, la catégorie de l'Autre n'est complètement libérée qu'au terme d'un processus de développement qui, à partir du point, compte 4 étapes : point, segment, carré, double carré, et qui n'est pas sans analogie avec celui de la tétractys.

     

    Mais une autre raison, plus profonde encore, rend cette façon de voir préférable, d'un point de vue pythagoricien. Le rectangle de Fibonacci est un rectangle se développant par incréments successifs de carrés, dont le rapport des côtés tend vers la valeur : φ.

     

    Or cette valeur φ, vers laquelle le rectangle tend dans sa croissance indéfinie sans jamais pouvoir l'atteindre, se trouve enfermée, sous forme rigoureusement exacte, dans les mesures du carré long qui est sa matrice, ou sa graine.

     

    On a vu qu'il était possible de l'extraire de deux manières différentes. Soit par le rapport des côtés du triangle rectangle qui forme le demi carré long.

     

    (√5 + 1 ) / 2 =  φ

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

    Le carré long

     

    Soit en considérant seulement l'hypoténuse de ce même triangle, qui est donc la diagonale du carré long, dont la valeur est égale à √5, en sachant que :

     

    √5  =  φ + 1/φ

     

    Le rapport doré exact se trouve en effet enfermé dans la diagonale du carré long, sous la forme d'un couple gémellaire, formé de l'addition du nombre d'or et de son inverse. Cette diagonale-hypoténuse apparaît donc comme la « corde » primitive, porteuse du rapport doré, dont la « résonance » ordonne la croissance et le développement de l'univers « manifesté », que figure, ici, le rectangle de Fibonacci.

     

    De ce point de vue, qui compte le carré long comme étape « un », le grand rectangle de valeur 40 se constitue en 4 pas.

     

    La production du nombre 40 semble donc correspondre, dans l'esprit des auteurs de la peinture, à un état de développement du rectangle faisant apparaître une forme de « complétude », ou du moins de « développement suffisant ».

     

    Et l'on peut remarquer au passage que, si on attribue la valeur "1" au carré long, en tant qu'originaire, ou élément supposé insécable (premier "vrai rectangle" de Fibonacci), alors la structure qui s'ordonne autour de lui peut évoquer (en vue certes un peu formelle, et « cursive ») le 515 :

     

    (2+3) (1) (5)

     

    Cette supposée complétude du rectangle de valeur 40 nous permet d'induire (au moins à titre d'hypothèse) que la relation que nos templiers percevaient entre le carré long, rectangle matriciel, et le rectangle 40, présentait une certaine analogie avec la relation graine – gnomon (plus précisément : graine / polygone gnomonique de rang immédiatement supérieur) à laquelle nos études nous ont familiarisés. Et de la même manière, on peut penser que le rectangle-source, le carré long, pouvait être perçu comme un élément détachable de la structure, comme un « patron » ou une pierre d'achoppement, ou encore comme un « vide » créateur... de la même manière qu'une graine peut être détachée de son gnomon.

     

    Le rapport doré enfermé dans le carré long matriciel étant aussi le conduit, le principe « attracteur » ou directeur, de la croissance du rectangle, nous sentons que la métaphore de la graine, de la croissance végétale ou biologique, est ici particulièrement pertinente.

     

    Nous sommes bel et bien ici au cœur de la doctrine pythagoricienne de la Nature, au sein de laquelle le rapport doré joue le rôle de « fil d'Ariane », permettant « la sortie du labyrinthe », permettant que ce qui, dans une supposée « graine d'univers », serait enfermé à titre de pure virtualité ou de germe, puisse, de proche en proche, par une suite de rapports immédiats et processionnels à « soi-même », advenir dans le monde de la « manifestation », sous la forme spatio-temporelle que nous connaissons, qui est celle d'un processus, d'un développement naturel.

     

     

    La pulsation alternante du 5

     

    Remarquons que le carré long, figure la plus simple contenant la dynamique du 5, est coextensif à la mandorle :

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

    Dans son étude sur L'œuf du monde, André Charpentier attribue à la puissance du 5 la propriété de mise en abîme alternée,  qui permet de construire une mandorle yin (horizontale) au sein d'une mandorle yang (verticale). Processus qui peut se poursuivre indéfiniment, et qui dévoile, selon sa belle expression, l'œil qui voit tout :

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

    Mais, continue l'auteur, la figure la plus évidente de cette loi universelle est le Pentagramme pythagoricien, qui fait alterner, et donc vibrer ou flamboyer, les deux formes du pentagone, convexe et étoilé :  « propriété unique dans toute la géométrie, qui fait de l'Etoile flamboyante le meilleur symbole de la vie universelle ».

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

     

    LUX et carrés magiques

     

    Avant même de nous demander quelles idées les templiers pouvaient associer au rectangle de Fibonacci, nous devons avoir à l'esprit qu'une figure se définissant comme un « système de carrés » possédait en elle-même, pour un initié de ce temps, un riche contenu herméneutique, associé aux valeurs possibles des carrés magiques que l'on pouvait former sur ces matrices.

     

    La somme des aires des petits carrés vaut 13, tandis que l’aire du grand carré vaut 25 : valeurs qui correspondent aux centres des carrés magiques de Mars et Vénus (dans la Talismanie de Cornelius Agrippa), qui ont curieusement un rapport de moitié (13 / 25).

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

          

    La symbolisme des amours de Mars et de Vénus, dont l'union adultère et clandestine, découverte par les olympiens, fut la cause du « rire inextinguible des dieux » pourrait sembler, - en raison de sa « trivialité » même, être un bon candidat à l'expression d'un « mystère » qui est celui de la Nature. Rappelons nous que, selon Empédocle, la nature universelle est bien conduite par cette force, autrement appelée Amour, qui, agissant entre eux comme un véritable tiers (bien qu'inapparent), « précipite » follement les sexes l'un contre l'autre.

     

    Le couple adultère, surpris, est emprisonné dans un filet par Vulcain. Or, les carrés gnomoniques, qui forment la trame du rectangle de Fibonacci, sont classiquement qualifiés de "filets", pièges à poissons.

     

    En ouvrant le carré de 5x5 (en vert dans le diagramme reproduit un peu plus bas) du côté où le rectangle est « sectionné », (en tant que structure susceptible de poursuivre sa croissance indéfinie), on peut reconnaître une forme qui évoque le symbole hermétique du LUX symbolisme d'une richesse telle que nous ne pouvons l'aborder ici (note 2)

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

    Le symbole hermétique du LUX

    éclaire la position de l'ange de la Melencolia de Dürer :

    le bras droit en L, le bras gauche en U et les jambes croisées en X

      

    Ces formes renvoient bien aux positions masculine et féminine : le L est anguleux et double (comme la raison masculine) et le U courbe et unaire (comme la jouissance féminine). Equerre et compas, qui résonnent avec les symboles hiérogamiques de la tradition hermétique chinoise, où le X est figuré par l'enlacement des "tentacules" serpentiformes. Ces remarques peuvent appuyer l'idée de différencier les 5 du 515 de Dante : en mâle et femelle, monade et dyade, intérieur et extérieur, ou autant de distinctions que l'on voudra (note 3).

     

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

    Ajoutons enfin cette contribution poétique moderne à la tradition secrète du 515 : dans son roman Ulysses, James Joyce écrit ce palindrome en 11 lettres (5+1+5) :

     

    Madam, I'm Adam

     

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

      Le X forme la copule entre les lettres L et U, 

    indiquée ici par le croisement du VAV et du palindrome.

    La réalisation de ce X sera le sujet des deux chapitres suivants.

     

     

     

      

    III. LA JERUSALEM CELESTE - MONDE DU PALINDROME, DU RETOURNEMENT ET DU MIROIR - LE JARDIN D'EDEN - LA RELIGION DU LYS - YAKINTOS, AUTRE DISCIPLE D'APOLLON - LA DEESSE IRIS ET L'ARC EN CIEL

     

     

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès



     

     

    La Jérusalem Céleste

     

    Plusieurs commentateurs ont identifié dans la troisième division du carré du Centaure, avec raison croyons-nous, le thème de la Jérusalem Céleste.

     

    Dans l'Apocalypse, la Jérusalem Céleste est une cité éternelle descendue du ciel pour accueillir la communauté des élus du christ, ces 144 000 que l'on voit rassemblés, selon une répartition quadrangulaire, autour de l'Agneau du sacrifice, trônant au sommet du mont Sion.

     

    En préambule, on pourra remarquer que le symbole ésotérique de la Jérusalem Céleste est, dans son essence même, placé sous le signe du miroir, et du retournement ; qui explique que, dans l'iconographie, sa représentation soit souvent caractérisée par une symétrie bilatérale, par la symétrie même du palindrome.

     

    En effet, la Jérusalem Céleste est le reflet ou le miroir de la cité terrestre. Avec cette précision toutefois que, selon le principe « de Borella », qui veut que dans un symbole, ce soit toujours l'inférieur qui symbolise le supérieur, nous devons penser que, dans l'esprit des Templiers aussi, la Jérusalem terrestre n'était que le reflet ou la manifestation temporelle d'une cité éternelle, gouvernée par le christ, dont l'existence avait en réalité infiniment plus d'importance

     

    Ceci ne devant, en rien, occulter le fait que le sort de cette Jérusalem terrestre était, non seulement, la préoccupation majeure et quotidienne de l'ordre Templier, mais aussi sa raison d'être historique.

     

    Dans la logique de cet engagement, il semble vraisemblable que nos templiers, en tant que moines-soldats dévolus à la défense de la Jérusalem temporelle, se sentaient appelés, par leur vocation même, à prendre place, au ciel, dans cette autre armée, éternelle, qui était celle des élus du Christ.

     

    Le champ symbolique de la Jérusalem Céleste correspondait donc pour eux à ce qu'on entend par « le côté intérieur de la guerre ».

     
     

     

    Plan carré de la cité, nombres 12 et 144

     

    « La ville brillait d'un éclat semblable à celui d'une pierre précieuse, d'une pierre de jaspe transparente comme du cristal. Elle avait une très haute muraille, avec douze portes, et douze anges gardaient les portes. Sur les portes étaient inscrits les noms des douze tribus d'Israël. Il y avait trois portes de chaque côté : trois à l'est, trois au nord, trois au sud et trois à l'ouest. La muraille de la ville reposait sur douze pierres de fondation, sur lesquelles étaient inscrits les noms des douze apôtres de l'Agneau. »

     

    « L'ange qui me parlait tenait une mesure, un roseau d'or, pour mesurer la ville, ses portes et sa muraille. La ville était carrée, sa longueur était égale à sa largeur. L'ange mesura la ville avec son roseau : douze mille unités de distance, elle était aussi large et haute que longue. Il mesura aussi la muraille : cent quarante-quatre coudées de hauteur, selon la mesure ordinaire qu'il utilisait. La muraille était construite en jaspe, et la ville elle-même était d'or pur, aussi clair que du verre. Les fondations de la muraille de la ville étaient ornées de toutes sortes de pierres précieuses: la première fondation était de jaspe, la deuxième de saphir, la troisième de calcédoine, la quatrième d'émeraude, la cinquième de sardonyx (onyx), la sixième de sardoine (cornaline) la septième de chrysolithe (peridot), la huitième de béryl (aigue-marine), la neuvième de topaze, la dixième de chrysoprase, la onzième d'hyacinthe (zircon brun) et la douzième d'améthyste. Les douze portes étaient douze perles; chaque porte était faite d'une seule perle. La place de la ville était d'or pur, transparent comme du verre. »

     

    Dans ces lignes sont contenus les quelques éléments, rares, mais précis, qui gouvernent les représentations médiévales de la Jérusalem céleste. La ville est habituellement représentée suivant un plan carré et symétrique, avec 3 portes de chaque côté. Mais les portes peuvent être aussi des tours.

     

    A Montsaunès, nous rencontrons une interprétation un peu différente, où à première vue il peut même paraître difficile de reconnaître les canons du genre.

     

    Au lieu de 12 portes disposées le long de quatre murs, nous avons 4 fleurs de lys, disposées dans les quatre angles d'un carré, et porteuses de 12 pétales.

     

    Nous nous demanderons plus loin quelle est la signification précise de ce symbole floral, mais, en préambule, on peut observer que cette symbolisation « végétale » pourra, dès l'abord, apparaître conforme à une autre tradition relative à la Jérusalem Céleste (non plus seulement chrétienne, mais aussi hébraïque), qui identifie précisément la Jérusalem Céleste au jardin d'Eden ; et cela, en vertu d'un principe assez universel du symbolisme ésotérique, selon lequel la fin (la Jérusalem Céleste), coïncide avec le commencement (le jardin d'Eden) ; l'omega avec l'alpha ; mais aussi la Terre (le jardin) avec le Ciel (la cité). Notons que dans ces traditions, le jardin d'Eden est décrit selon un plan qui a lui aussi la forme d'un carré, arrosé par quatre fleuves, etc.

     

    La représentation de Montsaunès constitue donc une adaptation du genre, qui lui permet, dans le contexte, de porter des strates de signification supplémentaires. Ainsi, en situant les 12 « portes » (les 12 pétales) dans les angles du carré plutôt que sur les côtés, le plan de la cité adopte la structure du carré gnomonique, qui est non seulement celle du grand dessin le contenant (le carré du Centaure, dont il « réplique » ainsi endomorphiquement la séquence), mais qui est aussi le principe constructif du rectangle de Fibonacci, sujet de l'étape précédente.

     

    Enfin, cette réinterprétation vise, selon nous, à une autre fin, plus importante encore. En polarisant une structure carrée sur ses angles, plutôt que sur ses côtés (sans même nous attarder à la tradition ésotérique bien nourrie qui identifie les « angles » aux « anges »), on attire l'attention sur une « cinquième » essence, coïncidant avec son centre, et que diverses traditions (dont la maçonnique) désignent comme le « mystère », ou « le 5 au centre du 4 ».

     

    Dans l'Apocalypse, le plan carré de la cité céleste est bien polarisé autour d'un centre qui est le mont Sion, et l'Agneau du sacrifice ; tandis que, dans d'autres représentations de la cité, (comme à Montsaunès) ce centre peut être représenté par le Temple ou le tabernacle, sans incidence sur la signification profonde du symbole.

     


     

    La fonction du retournement

     

    Nous venons de voir que le dessin de la Jérusalem Céleste comportait de nombreux éléments de « reprise » ou de « récapitulation » des deux étapes qui le précèdent ; raison pour laquelle, pour nous aussi, une première récapitulation sera bienvenue.

     

    La première étape - le lancer de flèche – symbolise le Fiat Lux, l'acte créateur qui donne le branle à un monde, et qui peut équivaloir à la production d'un « germe » ou d'une « graine » d'univers, susceptible de développement.

     

    La deuxième étape, le rectangle de Fibonacci représente le développement indéfini d'un univers à partir de sa graine, et dans un rapport de rapprochement constant avec le principe pur (le nombre d'or) enfermé dans sa matrice.

     

    Autrement dit le principe simple de croissance ou de procession.

     

    La troisième étape représente « le retournement », ce rendez d'un univers avec lui même, qui fait que son expansion ne le conduit pas à se « dissiper » dans l'infini, mais comporte, dès le principe, une limite, au delà de laquelle il sera soumis à une contrainte inverse, une contrainte devant le reconduire à la simplicité, à l'unité de son principe.

     

    La Jérusalem céleste et le monde du palindrome représentent donc l'instance de la « conversion », ou la loi du retour, car pour revenir au lieu d'où l'on provient, il est nécessaire de se retourner.

     

    En n'oubliant pas là encore, le « principe de Mathieu » voulant que : « seul peut procéder ce qui est capable de se convertir ». Autrement dit « La Jérusalem Céleste » précède le rectangle de Fibonacci sur le plan de la conditionnalité.

     

    Aux 12 portes de la cité correspondent explicitement, dans le texte de l'apocalypse, le 12 tribus d'Israël et les 12 disciples du Christ, autrement dit la synthèse de l'Ancien et du Nouveau testaments, et l'accomplissement complet de la prophétie. Mais le contexte cosmologique et zodiacal de notre peinture permet aussi, bien évidemment, d'associer à ces symboles de complétude, celui de l'achèvement des 12 mois de l'année.

     

    Dans l'imaginaire templier, cette cité renvoie immanquablement à la mesure, par l'Ange, de sa muraille : « 144 coudées de hauteur ». Le nombre 144 étant le carré de 12, il amplifie, dans la dimension de la puissance, l'idée de plénitude déjà associée au nombre 12, en la réfléchissant en elle même, (opération qui peut être vue comme analogue à celle du miroir, du palindrome).

     

    Mais il y a mieux. Le nombre 144 n'est pas seulement le 12ème nombre carré, pour parler en langue pythagoricienne, mais aussi le 12ème nombre de Fibonacci. Autrement dit, il correspond à une phase du développement du rectangle de Fibonacci, ultérieure à celle du rectangle vu précédemment (5x8), dans laquelle le plus grand côté est formé de deux carrés de, respectivement, 55 et 89 de coté. 

     

    On peut donc penser que ce rectangle correspond à une seconde phase de plénitude, ou de complétude. Sur le plan symbolique, cette assimilation a pour effet d'énoncer clairement que « le rectangle de Fibonacci » et la « Jérusalem céleste » ne sont fondamentalement qu'une même réalité, envisagée à deux moments différents de son développement, comme l'illustre leur quadrature de phase.

     

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

     

    Les nombres 8 et 144, qui correspondent aux longueurs de ces deux rectangles, sont respectivement les 6ème et 12ème nombres de Fibonacci, ce qui les place ordinalement dans un rapport d'octave.

     

     

     

    Le 5 alternant et le 9 conservant

     

    A présent, observons que cette Jérusalem Céleste est bordée, à droite et à gauche, par une frise de pavés mosaïques dont la hauteur totale est de 14 pavés, répartis en 9 + 5 (note 4).

    14 évoque naturellement une mi-temps du mois lunaire, pleine ou nouvelle lune (le cycle par excellence en raison de la netteté de ses phases) ; de la même manière que les solstices délimitent les mi-temps de l'année.
    C'est aussi un nombre que la tradition chrétienne associe aux souffrances du Christ, puisqu'il définit la lune pascale, et les quatorze stations du chemin de croix.

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

    Si l'on décompose la « hauteur » totale en deux parties, haute et basse, correspondant aux cellules abritant les lys, on obtient pour ces pavés mosaïques le décompte suivant :

     

        5                5

    (9 & 9)     (9 & 9)

     

    Dans le registre supérieur, on peut lire une référence à la sacralité du nombre 5, dont on a décrit précédemment la qualité « alternante » fondamentale (principe de l'Autre).

    Dans le registre inférieur, l'accent est mis sur la sacralité du nombre 9, qui représente le principe féminin de « conservation » (principe du Même), qui est sur le plan métaphysique la conservation de l'origine.

    Eu égard aux neuf symboles primitifs par lesquels se manifeste la Décade, ces deux nombres reflètent l'adage hermétique qui veut que « tout s'oppose par les milieux (5) et se rejoigne par les extrêmes (9) ».

    Y a-t-il un rapport avec le carré de la Jérusalem ?

    Si l'on fait la somme de chaque ligne, on obtient :

            5   +   5           =   10

    (9 + 9)   +  (9 + 9)  =   36

    D'un point de vue pythagoricien, ces nombres entretiennent des rapports étroits, puisque :

    • 10 et 36 sont respectivement les 4ème et 8ème nombres triangulaires.
    • le premier est appelé tétractys : 1+2+3+4 ; et le second double tétractys : (1+3+5+7) + (2+4+6+8)
    • 4 est le premier carré (2²) et 8 est le premier cube (2³). Ces deux nombres étant en outre dans le rapport d'octave, homologue au rapport Mars/Vénus.

    On pourrait alors, assez naturellement, représenter les registres inférieur et supérieur par deux triangles, dont les polarités seraient inverses l'une de l'autre.

     

    10

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

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    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

    36

     

    Idée dont on trouve une illustration dans Les Dialogues avec l'Ange :

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

    « Deux triangles s’approchant l’un de l’autre dans une attraction mutuelle irrésistible.

    Ils étaient reliés par un jaillissement d’éclairs jusqu’à ce que leur union soit totale. »

     

    Ces pavages latéraux indiqueraient ainsi une « formation »  de la Jérusalem, par union des triangles (point qui sera repris plus loin), en accord avec l'enseignement des loges compagnonniques, qui tiennent le triangle pour un intermédiaire obligé dans la résolution graphique de la quadrature du cercle.

     

    Si l'on interprète le triangle supérieur dans sa fonction de tétrade, on remarque que 4 x 36 = 144 (opération qui reproduit la partition quadrangulaire de "l'armée des élus"); si on l'interprète comme décade, on note que 10 x 36 = 360. Un autre aspect de la qualité théophanique du nombre 144 peut être illustré à partir de la séquence harmonique 6-8-9-12 à laquelle Nicomaque de Gérase prête les qualificatifs de médiété parfaite et d'harmonie, du fait qu'elle renferme les rapports des 3 médiétés, puisqu'en effet 144 = 6x12 + 8x9.

     

    Souvenons-nous enfin que la mesure des 144 coudées avait mis en évidence la séquence de Fibonacci 55-89-144. Or, de même que le 144 croise la série de Fibonacci avec celle des nombres carrés, le nombre 55 croise cette série avec celle des nombres triangles... faisant écho à cette alliance entre le triangle et le carré. (note 5). 

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

    On peut d'abord voir une illustration très générale du principe qui nous occupe ici dans la relation mathématique liant les deux branches latérales de cette structure, en vertu de laquelle : "Tout nombre carré supérieur à 1 est la somme de deux nombres triangulaires successifs".

     

    Le nombre 55, palindrome lisible à même la peinture, souligne quant à lui la présence du nombre 11 et de ses multiples, au premier rang desquels le 99 en vertu des remarques précédentes ("le dernier est encore le premier") (note 6)

     

    Les nombres 11 et 99 représentent l'instance du centre qui est précisément celle qui « retourne en conservant », ou « conserve en retournant »... et dont la nécessité logique est au fond analogue à celle contenue dans le principe de Mathieu : « Seul peut procéder ce qui est capable de se convertir ».

     

     

     

    La religion du lys : Cantique des cantiques

     

    Au terme de ces considérations sur la composition de la Jérusalem Céleste et son symbolisme arithmétique, il est temps de nous interroger sur la signification du lys, qui en est d'une certaine manière l'élément principal, dans la symbolique templière.

     

    Que représentent ces fleurs de lys? Que savons-nous au juste de ce symbole?

     

    Le cantique des cantiques est considéré comme un chant spirituel qui exploite, jusqu'aux limites de l'indécision et du vertige, l'analogie entre l'union charnelle de l'homme et de la femme, et l'union spirituelle de l'âme avec Dieu. Toutefois, une attention superficielle à la composante romanesque de ce chant fait apparaître un autre sujet principal, omniprésent, envahissant, qui est la ville de Jérusalem, qui fournit le cadre à la fois « anecdotique » (l'errance alternée des amants en quête l'un de l'autre dans la ville, leurs points de « rendez vous » en différents lieux de la cité), et en quelque sorte « métaphysique », dans la mesure où le personnage de « la bien-aimée » est constamment présenté comme la quintessenciation d'une entité plus large, et qui l'accompagne partout, et qui est celle des « filles de Jérusalem ». La bien-aimée est une fleur au milieu du « champ de fleurs » que forment les filles de Jérusalem.

     

    Je suis noire, mais belle,

    filles de Jérusalem,

    comme les tentes de Cédar,

    comme les pavillons de Salomon

     

    et plus loin :

     

    Je suis le narcisse de Saron,

    le lis des vallées -

    Tel un lis parmi les épines,

    telle ma compagne parmi les filles

     

    Et dans cette errance, dans ce tâtonnement aveugle des amants en quête l'un de l'autre dans le labyrinthe de la Ville, on remarque ceci :

     

    Sur ma couche, durant les nuits,

     j'ai cherché l'aimé de mon âme,

     je l'ai cherché et ne l'ai point trouvé !

     

    Les amants du Cantique se poursuivent, ou se cherchent, sur deux champs différents et parallèles, mais qui coïncident d'une certaine manière, qui sont le champ de la ville et le champ du Lit, sanctuaire de l'union amoureuse.

     

    Et la bien aimée, qui est le lis, l'ornement de la ville, est aussi l'ornement du lit.

     

    Mon bien aimé est descendu à son jardin

    vers les parterres des baumiers,

    pour mener paître parmi les jardins

    et pour cueillir des lis.

    Moi, je suis à mon bien-aimé

    et mon bien aimé est à moi,

    lui qui mène paître parmi les lis.

     

    Sans occulter en aucune façon la crudité sexuelle de la formule : « Mon bien-aimé est descendu dans son jardin », nous voyons ainsi coïncider, par transitivité, « la Jérusalem » et « le lit » qui forment le double cadre symbolique du cantique des cantiques, avec un « jardin » qui rappelle, là encore, l'éternité de la condition édénique et du paradis terrestre.

     

    Plus loin encore, la nature nettement « territoriale » de cette quête tâtonnante, de cette exploration par l'amant des mystères du jardin, en quête de lis, se précise encore un peu plus :

     

    Les contours de tes hanches

    sont comme des colliers

    œuvre des mains d'un artiste ;

    ton nombril est un calice arrondi

    où ne manque pas le vin épicé,

    ton ventre est un tas de froment entouré de lis

     

    Alors qu'un peu plus tôt, la bien-aimée elle-même disait de son bien aimé :

     

    Ses lèvres sont des lis.

     

    Nous constatons ainsi que, dans l'Ancien testament, la religion du lis est avant tout une religion du lit, de l'union amoureuse, qui a pour cadre la ville de Jérusalem, et célèbre un mystère qui, pour le contenu, ne diffère pas grandement de celui des noces de Mars et de Vénus, que l'on a vu se développer dans le symbolisme arithmétique du rectangle de Fibonacci.

     

    Ce contexte identifie clairement la force d'Amour comme étant, essentiellement, identique à la puissance du « retournement », ou de la « conversion » que symbolisent, dans le contexte de notre peinture : la Jérusalem céleste et son principe « palindrome » (note 7)

     

      

    La religion du lis : Saint Bernard

     

    On sait que Bernard, qui prêcha à Vézelay la deuxième croisade, assuma aussi, une bonne partie de sa vie, le rôle de pasteur et de guide spirituel de l'église templière.

     

    Bernard est aussi l'auteur d'un cycle de 86 sermons sur le Cantique des cantiques, dont la rédaction s'étend sur la majeure partie de sa vie pastorale, et qui forment quantitativement aussi la partie la plus importante de son œuvre spirituelle.

     

    Dans la conduite de son commentaire, Bernard privilégie l'interprétation traditionnelle qui voit, dans l'union de l'amant et de l'aimée, la transposition du lien entre le christ et l'église, ou entre l'âme et Dieu.

     

    Le thème et l'action du Cantique des cantiques sont donc repris chez lui dans une perspective résolument chrétienne, (qui sera reprise par Dante dans son exégèse prophétique de l'Apocalypse), dans laquelle la « fiancée », la femme, représente l'Eglise, épouse du Christ ; perspective dans laquelle, par voie de conséquence, le contexte symbolique de « La Jérusalem » se confond, eschatologiquement, avec celui de l'église chrétienne.

     

    Précisons que, d'un point de vue chrétien, cette transposition semble parfaitement légitime et fondée, puisqu'elle s'appuie continuellement, chez l'un comme l'autre de ces auteurs, sur le texte de l'Apocalypse.

     

    Une surprise nous attend néanmoins au début de son sermon 47ème, où Bernard attribue, - au rebours de ce que semble être la lecture habituelle - à l'Epoux, et non à l'Epouse la parole :  Je suis la fleur des champs et le lis des vallées. Il y voit une réplique de l'Epoux à la prétention formulée plus tôt par l'Epouse, selon laquelle : « Ma couche est semée de fleurs » Là où déjà, on pouvait se contenter de lire « ma couche est un tapis de verdure ». « Pour qu'elle ne s'attribue pas, écrit Bernard, les fleurs qui paraient son lit et sa chambre, l'Epoux dit qu'il est lui-même la fleur des champs. »

     

    Bernard semble par ce forçage vouloir imposer un ultime « retournement » à « la force de retournement » elle-même ; en vertu duquel « même les fleurs des champs ne naissent que par la vertu de Dieu ». Et dans ces conditions, le fidèle auquel s'adresse son sermon, n'est pas invité à s'identifier au bien-aimé, à l'Epoux, mais à la bien-aimée qui est sa fiancée, l'âme, ou encore, l'Eglise, dont il est un membre et une partie, à la manière de l'une d'entre les « filles de Jérusalem ».

     

    *

     

    Un auteur très estimé considère l'art (folklorique) des allemands de Pennsylvanie comme la survivance d'une tradition mystique remontant à Saint Bernard et Dante (John Joseph Stoudt, Consider the lilies how they grow)

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès   V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès   V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

    L'élément frappant dans ces œuvres, outre l'omniprésence de symboles comme le lis, la colombe, le cœur, ou l'arbre de vie, est bien-sûr la symétrie bilatérale, symétrie en « palindrome » qui gouverne la composition de la plupart.

     

    Le terme « lis » a une extension assez large qui ne saurait prétendre à la précision botanique. Ainsi, si les lis de Montsaunès ressemblent bien à des lis ou des iris « ordinaires », le lis des vallées de Saint Bernard désignerait plutôt en principe le muguet (autrefois classé dans les liliacées), tandis que les lis de Pennsylvanie seraient plutôt des tulipes (qui elles appartiennent bien aux liliacées).

     

     

     

    Hyacinthe, un autre disciple d'Apollon

      

    Hyacinthe était le fils d'un roi de Sparte, aimé en même temps d'Apollon, et d'un vent, Zéphyr ou Borée. Apollon lui apprend à lancer le disque, mais le vent jaloux lui fait revenir dans la tempe, et de son sang naissent des fleurs qu'on appelle, d'après le nom du jeune homme, des huákinthoi, dont les pétales portent l'initiale du jeune homme, Y, ou selon une autre version, le mot ΑΙ, cri de lamentation d'Apollon.

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

    La mort d'Hyacinthe

    Jean Broc (1801)

     

    On apprend sur Wikipédia que ces fleurs « ne sont probablement pas des jacinthes, mais plutôt des iris (...) Déjà considéré comme sacré par les Égyptiens, l'iris est devenu, sous le nom héraldique de fleur de lys, le symbole de la royauté en France ».

     

    Et l'on peut s'informer plus loin que le nom fleur de lys « apparaît sous le règne de Louis VII, dans Érec et Énide, peu après 1160, et que ce terme est phonétiquement identique, en tout cas très proche de 'Flor de Loys' (fleur du roi Louis) ». Louis VII avait en fait adopté l'iris des marais pour blason, mais l'assonance entre 'Flor de Loys' (l'iris) et 'Flor de Lys' a perpétué une équivoque historique.

     

    Une vingtaine d'années séparent la construction de l'église de Montsaunès, de la rédaction d'Erec et Enide. On surprend donc ici l'émergence historique, dans l'iconographie, puis dans la littérature, d'un symbole appelé à désigner, plus qu'aucun autre, la sacralité de la royauté française.

     

    Si nous reprenons maintenant la séquence du Centaure sous l'angle de la religion de Pythagore, nous remarquons une relation d'opposition diagonale entre le Centaure Chiron, piqueur ou flécheur d'Apollon, et Yakintos, l'homme lys, jeune homme aimé d'Apollon qui sera la victime sacrificielle de cet amour. Les figures de Chiron et de Yakintos se disposent autour d'Apollon dans ces rôles antagonistes, qui sont ceux du sacrificateur et du sacrifié, et qui, transposés sur le plan de la philosophie de la nature, pourraient aussi être compris comme ceux de « l'agent » et du « patient », de « l'actionneur » et de « l'actionné » 

     

      

     

    La déesse Iris et l'arc en ciel

     

    Une tradition fait du vent Zéphyr, possible meurtrier de Yakintos, l'époux de la déesse Iris (note 8) messagère des dieux, qui est une sorte de pendant féminin d'Hermès, attachée à Héra comme Hermès l'est à Zeus.

     

    On la représente sous la figure d'une gracieuse jeune fille, avec des ailes brillantes de toutes les couleurs réunies. Les poètes prétendaient que l'arc-en-ciel était la trace du pied d'Iris descendant rapidement de l'Olympe vers la terre pour porter un message ; c'est pourquoi on la représente le plus souvent avec un arc-en-ciel. C'est la déesse de l'arc-en-ciel.

     

    Dans le dessin de la Jérusalem Céleste, le centre de la composition est occupé par une arche, qui semble former la "copule", le lien qui scelle son caractère palindromique. La voûte est divisée en plusieurs tronçons, qui peuvent évoquer la division des couleurs de l'arc en ciel (note 9)

     

    Le symbolisme de l'arc en ciel fusionne donc ici avec celui de la porte. Le sujet principal de la peinture étant la porte du solstice, on comprend qu'une assimilation naturelle s'effectue entre cette porte cosmologique et temporelle, et la porte "spatiale" du Temple de Jérusalem, donnant accès à son "centre", à son "saint des saints".

     

    Sur le plan symbolique enfin, nous verrons plus loin que le thème de l'irisation, du déploiement des couleurs de l'arc en ciel, (traditionnellement associées au nombre 7), prépare un thème qui sera complètement développé dans la dernière partie du carré du centaure, qui est celui de l'Illumination et de l'Ignition, symbolisé par le chrisme, et associé cette fois au déploiement des directions de l'espace, qui sont elles aussi au nombre de 7.

     

     

     

    Le symbole pythagoricien du Y

     

    "Les pétales de la fleur portent l'initiale du jeune homme, Υ"

     

    Dans le mythe d'Hyacinthe, la lettre Y, en plus d'imposer une représentation ternaire de la fleur de lys qui restera "canonique", représente l'initiale du héros dont le sang a donné naissance à la fleur.

    Or, indépendamment de ces données mythologiques, le Y est symbole très bien connu, dont l'origine est donnée partout comme pythagoricienne, bien que sa fortune ait été beaucoup plus large, et qui signifie "la croisée des chemins". Dans la version commune et popularisée, ce symbole revêt principalement une connotation morale, et représente "la voie droite et la voie gauche", ou encore "les voies du Bien et du Mal"; mais on peut penser que ce symbole avait à l'origine une extension moins limitée.

     

    En effet, d'un point de vue géométrique, le Y est analogue au trépied joignant les trois sommets de la tétractys à son centre. Pour obtenir les 6 autres points de la tétractys, le trépied doit être complété par un hexagone de même centre. Et relativement à cet hexagone, figure traditionnellement assimilée au cercle, le trépied fait figure de structure "axiale", sinon même "polaire", en ce qu'elle émane entièrement d'une partie d'elle-même, qui est son centre de géométrie.

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

     

     

    « La onzième était d'hyacinthe »

     

    Si le mythe grec d'Hyacinthe est bien associé à l'étymologie d'un nom de fleur, l'hyacinthe de la Jérusalem céleste désigne, dans l'Apocalypse, une pierre précieuse, dont on pourra malgré tout s'étonner qu'elle fournisse le matériau de la onzième pierre de fondation de la cité céleste : autrement dit la pierre du palindrome.

     

     

     

    Le retournement du cœur

     

    Si l'on s'en tient à la famille des iris, la représentation commune de la fleur de lis correspond à une réalité botanique, au moins schématique, puisque de nombreux iris présentent une composition hexagonale, formée de 3 + 3 pétales, disposés en "sceau de Salomon".

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

    Il est impossible, ici, de ne pas évoquer au moins brièvement un symbolisme assez universel, abordé notamment par René Guénon, qui fait du triangle inversé (pointe en bas)

    - d'une part, un symbole du cœur, - la symbolisation la plus courante du cœur pouvant aisément être inscrite ou circonscrite à la figure d'un triangle pointe en bas ;

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

    - d'autre part un symbole de la caverne initiatique. "La caverne du cœur" étant une expression traditionnelle qui renvoie expressément à l'équivalence, ou à la coïncidence de ces deux aspects d'un même symbole

    Les deux ententes possibles de ce symbole sont elles-mêmes reliées par des liens complexes ; puisque chacune se rattache, de façon indépendante, au symbolisme plus général du centre : le cœur représentant dans cette conception le centre de l'individualité humaine, tandis que la caverne initiatique représente, quant à elle, le centre du monde.

     

    Ce symbolisme donne lieu à des développements qui ne peuvent qu'être effleurés ici. Dans l'un d'eux, le symbole de la caverne initiatique se combine avec celui de la montagne, elle même comprise comme une expression symbolique de "l'axe du monde". Ici le triangle inversé représentant la caverne demeure enfermé dans les limites du grand triangle "pointe en haut", qui représente la montagne. La caverne se situe au cœur de la montagne, et son entrée sur le flanc de celle-ci.

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

    Dans une autre application de ce symbolisme, le triangle du cœur se combine avec un triangle inverse pour former la figure bien connue du "sceau de Salomon", mais selon une interprétation bien précise où ces deux triangles n'ont pas exactement la même valeur, puisque l'un deux, "le triangle du cœur" (qui correspond dans le symbolisme précédent au triangle "intérieur") est donné comme antérieur à l'autre. La figure du sceau de Salomon ne représente pas, alors, une réalité statique, mais bien une opération, qui est celle du retournement du cœur, expression que l'on peut considérer comme équivalente à la notion de "conversion".

     

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    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

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    Il est permis de voir là une illustration particulièrement frappante de l'accord des doctrines traditionnelles, ou si l'on préfère, de la consistance et de la cohérence intrinsèque des conceptions métaphysiques sur lesquelles repose la science des symboles.

     

    En effet, notre enquête nous a montré que le symbole de la Jérusalem céleste était relié par des liens multiples à l'instance du cœur, d'une part, mais aussi à l'opération particulière de la conversion.

    Au sein de ce contexte biblique, le symbole du lys a pu d'abord nous apparaître comme un intrus, un invité surprise, bien que chargé d'un très riche héritage traditionnel, aussi bien dans la mythologie que dans les écritures saintes.

    Or, rétrospectivement, une attention simple à la géométrie hexagonale de la fleur de lis permet de constater que ce symbole pouvait  lui-même renvoyer directement - sans le secours d'aucun autre - aux mêmes idées.

     

     

     

    INTERMEDE : LE RAPPORT 11/12 - VERS LA PLENITUDE

     

     

    Il convient de s'arrêter sur un détail de notre peinture, dont la netteté et la précision excluent toute possibilité qu'il puisse être hasardeux.

     

    A la jonction du quadrilatère de la Jérusalem Céleste et de celui du chrisme, une frise mosaïque permet de définir rigoureusement le rapport arithmétique entre les côtés de ces figures : 11/12

     

    Un registre supérieur de longueur 12 surplombe un registre inférieur de longueur 11.

     

    Ce rapport est marqué avec une insistance telle qu'il ne peut pas être fortuit, compte tenu du déséquilibre gratuit qu'il introduit dans la composition.

     

    En première analyse, ce rapport est susceptible d'une interprétation zodiacale. Dans une représentation « capri-axée » de la roue zodiacale, où le Capricorne occuperait la douzième heure du cadran, et le sagittaire la onzième, le rapport de « conjonction » entre les mois 11 et 12 évoque précisément l'événement qui fait le sujet de notre peinture : le solstice d'hiver.

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès 

    Mais le rapport 11/12 est aussi le rapport qu'entretient, du point de vue gnomonique, le solide de Dürer à son rhomboèdre associé. (22 éléments pour le solide, 24 pour le rhomboèdre) En rappelant, pour mémoire, qu'un solide de Dürer est un rhomboèdre tronqué.

     

    Ce rapport 11/12 est très typique et personnalisé, autant que l'octave ou la quinte. Quand on l'a vu une fois, (dans le solide de Dürer) on ne peut plus l'oublier ; et il signifie clairement le rapport (qui peut évidemment être dynamique) entre un état "tronqué" et un état de plénitude. (note 10)

     

     

    IV. CHRISME : LE MONDE DE LA PLENITUDE – LE TEMPS DE L'ACCOMPLISSEMENT – LA LIBERATION DU POINT OU DU FEU CENTRAL

     

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

     

    Le chrisme est l'élément principal de la dernière partie du carré du Centaure.

     

    Même si ce symbole est loin d'être un inconnu, il ne sera peut-être pas inutile d'en reprendre brièvement l'analyse d'un point de vue qui est à la fois pythagoricien et chrétien, puisque l'apôtre Paul, qui en est l'exégète, s'y affirme ici sans équivoque en disciple de Pythagore.

     

    La figure du chrisme tridimensionnel représente le déploiement des 6 directions de l'espace à partir du point central dont elles émanent, et qui les contient toutes en puissance. Les directions ou « rayons » sont parfois comptées comme 7 , lorsque le point central est considéré comme une « direction » ou une « polarité » distincte des six autres. Sous cette forme pour ainsi dire synthétique ou « squelettique », le symbole du chrisme exprime déjà la complétude des dimensions de l'espace, puisque chacun des trois « brins » dont il se compose correspond à l'une de ces dimensions.

     

    Du point de vue topologique, le chrisme est analogue à la monade pythagoricienne, dont la fonction, quant à elle, est de représenter sous forme synthétique les quatre différents états possibles de la monade, correspondant aux quatre objets élémentaires de la géométrie que sont : le point, le segment, le disque et la boule.

     

    Or nous sommes bien contraints de constater que, dans la doctrine paulinienne du plérôme (de la plénitude) c'est bien la lecture pythagoricienne, la lecture quaternaire de ce symbole qui est favorisée, et non la lecture « ternaire » ou « trinitaire » qu'on pourrait facilement attendre ici, associée aux trois dimensions et aux trois « brins » du chrisme.

     

    "Ainsi, vous recevrez la force de comprendre, avec tous les saints, ce qu'est la Largeur, la Longueur, la Hauteur et la Profondeur, vous connaîtrez l'amour du Christ qui surpasse toute connaissance, et vous entrerez par votre plénitude dans toute la Plénitude de Dieu." (Éphésiens, III, 19)

     

    Enfin, du point de vue pythagoricien que nous avons tenté de développer dans ces lignes, on admettra que la situation du chrisme, symbole de la plénitude, sur la quatrième case du carré gnomonique du centaure, apparaîtra totalement légitime et fondée.

     

     

     

    Correspondance symbolique avec le 515

     

    On a vu, dans le cadre du symbolisme de la chasse spirituelle et du cerf dix cors, que la figure messianique du 515 se présentait souvent comme « réplication » de celle du Christ.

     

    Ces deux figures communiquent aussi sur le plan du symbole. Lima de Freitas remarque que, par un jeu sur la graphie romaine des chiffres - 5,1,5 (VIV) - ces trois nombres peuvent s'assembler pour former un chrisme que les touches du clavier permettent de représenter :

     

    >l<

     

     

     

    Réapparition du nombre 40

     

    Le nombre de pavés entourant le chrisme est de 40, répartis en 20 blancs et 20 noirs !

     

    D'un point de vue symbolique, le nombre 40 qui, dans le rectangle de Fibonnaci correspondait à l'aire, et donc à « l'intérieur » du rectangle, se retrouve « à l'extérieur », puisqu'il correspond maintenant à son périmètre.

     

    Ce rapport nous indique qu'entre les deux situations, la réalité s'est « retournée » ou plus exactement « retroussée », de telle manière que « le dedans est passé au dehors et le dehors au dedans » ; ce qui cohérent avec l'opération qui a eu lieu dans l'intervalle, et la traversée du monde du palindrome, dont la fonction est précisément d'opérer un « retournement ».

     

    Examinons à présent le dallage situé sous le chrisme.

     

    Si on considère, dans le rectangle de Fibonacci, le seul pavé de 3x3, et la manière dont il est "hachuré", on constate que sa structure est analogue à celle du pavage en losange situé sous le chrisme. Ce carré de 3x3 pourrait être colorisé avec des triangles noirs sur les bords, pour renforcer l'analogie. (note 11)

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

      

    C'est la même structure, sauf que celle qui est sous le chrisme correspondrait à un carré gnomonique de rang 4, et non de rang 3. De ce point de vue précis le passage de "Fibonacci" à "chrisme" se traduit par un "développement" de 3 à 4 (note 12)

     

    A partir d'un carré de 4x4, le pavage du chrisme devient entièrement paramétrable et "discrétisable", la décomposition la plus complète aboutissant à 64 triangles. Sur la base de cette "réduction à l'atome", on peut faire différents comptages, les triangles-atomes de la zone blanche pouvant de différentes manières s'assembler en carrés, mais on connait déjà le poids total. Chacun des 16 carrés se divisant en 4 triangles, on a une décomposition atomistique complète qui permet d'attribuer aux petits triangles noirs la valeur 1.

     

    La zone noire vaut alors 12 x 1 = 12

    Tandis que la zone blanche vaut 64 - 12 = 52

     

    On peut se demander pourquoi cette division en 52 blancs et 12 noirs.

     

    Le noir pourrait être interprété comme le négatif du blanc. En attribuant aux triangles de la zone blanche la valeur 1, et à ceux de la zone noire la valeur -1, on obtient la soustraction :

     

    52 - 12 = 40

     

    Soit une troisième façon d'engendrer le nombre 40, après le rectangle de Fibonacci (5x8), et la frise du chrisme, où le chemin à 40 dalles est engendré par croisement du 10 et du 12.

     

    Nous avons déjà remarqué qu'un sujet récurrent de la peinture, concerne la sacralité du nombre 40 ; les considérations calendaires formulées par Aliboron sur des bases à la fois celtiques et pythagoriciennes, pourraient montrer que ce nombre n'est pas sans rapport avec le sujet central de la peinture, qui est le décompte ou « l'achèvement » des jours de l'année.


    Mais une autre méthode d'interprétation de cette division 52 - 12 du pavage pourrait, quant à elle, s'accorder de façon encore plus directe avec le thème local de la plénitude de l'année, puisqu'en effet :

     

    Un an = 12 mois ou 52 semaines

     

    Nous verrons plus loin, par la comparaison avec les autels de l'Agnichayana, dans lesquels la construction du pavage équivaut au "remplissement" du temps de l'année, qu'une telle hypothèse n'a rien d'invraisemblable.


    Dernière remarque, la répartition des pavés noirs et blancs dessine une croix de Saint André, dont on doit remarquer qu'elle comporte une asymétrie – asymétrie qui ne peut passer pour une inattention puisqu'elle est reproduite, identiquement, dans une autre partie de l'église. Pour que la symétrie soit rigoureusement respectée, l'un des pavés blancs « surnuméraires » qui occupent les angles du carré - celui en bas à gauche - aurait dû être placé à l'inverse de ce que l'on voit.

     

    Une telle anomalie vise à marquer, au sein de la tétrade des « rayons » de la tétractys, une asymétrie 1- 3, une différence qualitative entre le « point central » de la monade, ou le point origine de la tétractys, et les « rayons » correspondants aux dimensions euclidiennes de l'espace.

     

    Et on peut voir là la répétition d'un motif qui était déjà explicite dans la répartition des flèches du centaure : 3 flèches rangées dans son carquois, et la quatrième bandée à son arc ; ou encore, dans les 4 fleurs de lys de la Jérusalem Céleste, dont l'une, en haut et à droite, arbore des "volutes" que n'ont pas les trois autres.

     

     

     

     

    V. LE CARRE GNOMONIQUE, LE MYSTERE AU CENTRE DU QUATRE, L'AUTEL D'AGNI

     

    Nos remarques nous ont convaincu que nous avions affaire, dans le carré du centaure, à une séquence temporellement ordonnée, dans laquelle les rapports entre étapes sont indiqués de façon très appuyée. Les sabots arrières du centaure détachent l'axe de division du rectangle Mars/Venus ; un trait excessivement marqué jointe par le bas ce rectangle au "carré" de la Jérusalem, temple du palindrome ; enfin le rapport 11/12 qualifie le rapport final "d'accession à la complétude".

     

    Il est temps de nous demander : quel peut être le sens de tout cela ?

     

    Y a-t-il, dans le fait d'assembler un ensemble aussi considérable de symboles dans une machine, un système symbolique contenant, au sein duquel ils se répondent et s'éclairent les uns les autres (système en lui-même remarquable par sa simplicité) – y a-t-il dans un tel ouvrage une dimension de réalisation pratique et rituelle ?

     

    Dans son ouvrage : Gnomon, une enquête sur le nombre, Paolo Zellini a relevé avec beaucoup de pertinence l'analogie qui existe entre la structure du carré gnomonique et la construction de l'autel d'Agni, dans le rituel de l'Agnichayana. (note 13)

     

    Et nous ne pouvons pas, ici, manquer de nous souvenir qu'une étymologie très ancienne, validée par René Guénon, apparente la racine sanskrite du nom Agni, non seulement au latin Agnus (agneau), mais aussi à la racine latine Ignis, qui signifie le feu.

     

    Rappelons-nous que, dans le contexte de l'Apocalypse, la répartition en carré de l'armée des élus (qui se disposent dans l'espace selon les 4 directions ou les 4 vents), n'a pas d'autre fonction que de servir de « support » ou de soutènement au « mystère » qui s'accomplit au centre du carré, dans le sacrifice de l'Agneau mystique.

     

    L'Agneau qui, dans notre représentation de la Jérusalem Céleste, est l'élément manquant (par rapport aux représentations traditionnelles), remplacé une Arche symbolisant l'entrée du "Temple" ; pourrait bien ainsi, par une sorte de procédé elliptique, être désigné comme l'élément ou le personnage principal de la quatrième partie du carré du centaure (ce qui au point de vue théologique ne souffre d'aucune contestation, puisque le chrisme et l'Agneau sont bel et bien l'un comme l'autre des symboles du Christ).

     

    Le développement final du chrisme, associée à la « matérialisation » ou à la libération de son point central, peut également être compris comme l'accomplissement, ou la réussite, d'un processus d'Ignition, ou d'illumination.

     

    Ce qui viendrait également au soutien au fait que les fêtes solsticiales associées aux deux Saint Jean soient, l'une comme l'autre, dans les traditions folkloriques, associées au feu et à la lumière.

     

    D'un point de vue pythagoricien, nous n'avons jamais eu trop de doute sur le fait que le carré gnomonique, dans lequel se trouve enfermée, sous la forme la plus simple et évidente, la relation logique du gnomon, n'ait été le support d'exercices rituels, du même genre que ceux que l'on a pu identifier pour la tétractys, le pentagramme ou le 4 de chiffre.

     

     

     

    La cérémonie védique de l'Agnichayana

     

    Une des plus importantes cérémonies du védisme en ce qui concerne le culte du feu, l'Agnichayana, consiste à construire religieusement l'autel pour le feu.

     

    Les principes "architectoniques" régissant les autels sont les mêmes que ceux qui régissent la construction des maisons, ou des temples. Tous sont très explicitement des représentations du monde, du cosmos, comme la grotte d'Ithaque. Quant au rituel de construction de l'autel, qui dure 12 jours, il consiste, selon ses pratiquants, à "reproduire à l'identique le processus de la création du monde".

    Il existe de multiples modèles d'autels. L'un des plus pratiqués nécessite exactement 10800 briques.

    Il y une double assimilation de l'autel au cosmos, d'une part, et à l'année de l'autre : dualité dans laquelle on retrouve exactement la valeur spatio-temporelle du "rendez-vous solsticial". L'année et le cosmos, dans le rituel, se "complètent" ou se remplissent donc "en même temps".

     

    Ainsi les 10800 briques correspondent à une division de l'année égale à 48 minutes (muhurta), en se basant sur une année de 360 jours. (48 x 10800 min = 360 jours) (note 14)

     

    Règle : tous les autels sans exception ont 5 étages de hauteur, et le 5 est prépondérant ailleurs dans les proportions.

     

    La composition des pavages est bien identique à celle de Montsaunès, savoir :

    - des carrés

    - des triangles rectangles qui sont des demis carrés

    - des triangles rectangles qui sont des quarts de carrés

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

    Ancient geometry. Boys working on model of bird-shaped fire altar in an Agnicayana ritual.

     

    D'un point de vue pythagoricien, cette caractéristique est intéressante en ce que toute surface sera convertible en "carré" et quantifiable comme du gnomon pur. Par exemple : si le carré vaut 4, le grand triangle vaut 2 (ou un carré long) et le petit triangle vaut "atome" ou graine de valeur 1.

     

    Si la plupart des autels adoptent les formes d'animaux (oiseaux, tortues), il existe des autels de forme carrée. Sans nous hasarder à des hypothèses d'antériorité, on peut penser que ces autels carrés représentaient une forme "épurée" ou "matricielle", relativement aux formes plus figuratives.

     

    L'un de ces autels carrés, appelé Caturascit, se présente ainsi : 

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès


    A comparer avec le pavage en croix sous le chrisme, à Montsaunès.

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès



     

    Alors que le pavage de Montsaunès a pour base un carré gnomonique de rang 4, le Caturascit a pour base un carré gnomonique de rang 10.

     

    Enfin, sur le fond des choses, le concept de rayonnement peut gloser, de façon assez juste, l'opération du chrisme, le caractère opératoire de ce symbole; mais le concept d'ignition nous semble l'exprimer de façon tout aussi profonde, d'autant qu'Agni, lui aussi, est porteur de sept rayons.

     

    Jean Herbert : « Le nombre 7 a une grande importance pour Agni qui a sept flammes, 7 langues, 7 rayons, 7 pieds de même qu'il y a 7 feux, 7 sacrificateurs, 7 porteurs d'holocaustes et 7 hotracas qui font naître. »

     

    Le chrisme est posé sur le pavage - comme le feu est allumé sur l'autel d'Agni.

     

    Enfin - ô surprise - la cérémonie de l'Agnichayana se concluait autrefois par le sacrifice sanglant, non d'un agneau - mais d'une chèvre.

     

    Ces remarques laissent pour l'instant entière la question de savoir pourquoi, ou comment, un ordre de chevalerie religieux du XIIe siècle pouvait détenir des conceptions doctrinales, et peut-être liturgiques, similaires à celles de Brahmanes du 2ème millénaire avant notre ère.

     

    Une hypothèse serait que la tradition chrétienne soit elle-même dépositaire, ou récipiendaire, de traditions beaucoup plus anciennes, dans lesquelles les principes de ces conceptions antiques auraient été conservées.

     

    On sait que le symbolisme chrétien des portes solsticiales, associé aux fêtes des deux Saint Jean, (et folkloriquement associées au feu et à la lumière), est l'héritier du culte latin du dieu Janus.

     

    Or dans une remarquable étude sur les anciennes divinités du feu, où la mythologie comparée est constamment soutenue par l'étymologie indo-européenne, Jean Haudry a relevé une impressionnante série de correspondances entre les formes les plus archaïques du dieu Janus (originellement dieu-feu), et l'Agni védique.

     

    Ces deux dieux ont notamment en commun trois traits bien caractéristiques, qui les qualifie comme "dieux des commencements", "dieux des dieux", et "non-dieux", ce paradoxe s'expliquant par le fait que leur essence est, d'un certain point de vue, réellement identique au feu matériel.

     

    Par d'autres caractères, cette famille de dieux se trouve apparentée à celle des divinités du foyer, comme la déesse grecque Hestia, qui, dans la tradition pythagoricienne, représente spécifiquement le feu ou le point central.

     

    A partir de ces constatations, deux hypothèses semblent envisageables.

     

    La première serait que, d'un fond archaïque indo-européen au culte latin de Janus, et de ce dernier aux conceptions chrétiennes du moyen âge, la transmission des principes ait eu lieu à chaque fois de façon "régulière", et suffisamment complète pour que la doctrine ait conservé, à travers ses formes successives, un caractère opératoire réellement universel, lui assurant de "produire toujours les mêmes résultats".

     

    La seconde serait, encore plus simplement que, par le biais de la continuité de la tradition italique, bien mise en évidence par André Charpentier, "De Pythagore à Virgile et de Virgile à Dante, le fil de la tradition n'ait jamais été rompu", pour reprendre la formule de René Guénon. 

     

     

     

    VI. EPILOGUE : RECAPITULATION GEOMETRIQUE ET ALCHIMIQUE

     

     

    Notre enquête nous a conduit jusqu'à un dieu-principe, dieu-feu, dont "l'existence" est bien balisée dans la mythologie indo-européenne.



    On peut poser la question : ce feu divin, ce feu mythologique, peut-il être ressaisi sur un plan ésotérologique différent (et ordonné à la science de la nature) qui est celui de la doctrine des éléments ?


    Nous proposons de ressaisir l'ensemble de la peinture dans une perspective alchimique dessinée par Guy-René Doumayrou, s'appuyant sur les cinq polyèdres réguliers et les correspondances élémentales suggérées par Platon.

     

     

    1. Le centaure et le capricorne

     

    Derrière cette scène de chasse transparaît le « combat des deux natures », que notre hermétiste associe aux éléments de l'air et du feu, soit géométriquement l'octaèdre et le tétraèdre. (note 15)

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

     

    Remarquons que ces deux figures apparaissent comme complémentaires dans la construction du gnomon du tétraèdre, qui permet de remplir l'espace.

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

     


    2. Le rectangle

     

    L'icosaèdre, qui est donné dans le Timée comme la forme propre de l'élément eau, reflète adéquatement le thème du filet métallique que fabriqua Vulcain (note 16) :

     

    « Dans l'optique de la genèse il ne peut s’agir que de l’eau amniotique. Cet adjectif dérive du grec "amnos" qui signifie "agneau" c’est à dire "jeune bélier", pour nous dire que cette eau apporte un feu (dont le bélier est l’emblème), feu singulier qui lave l’embryon d’or dans son bain substantiel, comme la toison où les anciens orpailleurs retenaient les paillettes métalliques, ou comme un tamis. De la même toison était fait l’agrenon, ce mystérieux filet de laine nouée (la laine figure par ses mèches ondoyantes la flamme du bélier) qui enveloppait l’omphalos de Delphes. L’agrenon, conducteur du feu, est un filet d’étoiles qui élève l’embryon plus haut que les tempêtes. »  
     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

    Le nombre 515

    reflété par les faces de l'icosaèdre

     

     

    Quant à la description de l'icosaèdre gnomonique d'Edimbourg par Fulcanelli, elle ne peut que rappeler les origines chthoniennes de cet artifice propre à condenser l'énergie solaire :

     

    « Ainsi cet icosaèdre étrange représente pour nous une œuvre de double gnomonique. Le mot grec γνώμων, qui s’est intégralement transmis aux langues latine et française (gnomon), possède un autre sens que celui de l’aiguille chargée d’indiquer, par l’ombre projetée sur un plan, la marche du soleil.

     

    La racine grecque d’où proviennent γνώμων et γνῶσις, a également formé γνώμη, correspondant à notre mot gnome, avec la signification d’esprit, d’intelligence (...) La tradition nous les dépeint comme étant fort laids et de très petite stature ; en revanche, leur naturel est doux, leur caractère bienfaisant, leur commerce extrêmement favorable ».

     

     

    3. La Jérusalem

     

    La tradition décrit la Cité céleste comme un cube, puisque « la longueur, la largeur et la hauteur en étaient égales ». Cette forme, que Platon associe à l'élément terre, symbolise pour nous la mort initiatique ou « lyse d'amour », qui fixe dans l’arche cubique toutes les potentialités du monde, réduites en un nouveau chaos.

      

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

    4. Le chrisme

     

    Le « feu nouveau », en forme de X, signant l'accomplissement du sacrifice au centre de la Jérusalem, authentifie une mise au diapason avec la force animatrice de l'Univers, cet « amour qui meut le soleil et les autres étoiles », que Platon illustrait par le dodécaèdre.

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

    Ou encore, selon Guy-René Doumayrou, « l’élévation du cube, retournement de la quadrature du cercle, annonce l’assomption des forces de la nature au delà de leurs propres limites. Le dodécaèdre représente le dynamisme vital (cinq) activé au delà de sa puissance naturelle par l’ordre solaire (douze). C’est l’emblème de la Quintessence ».

     

    Notons, enfin, que la relation de dualité géométrique entre l'icosaèdre et le dodécaèdre fait écho, dans le domaine élémental, à celle entre l'eau "ignée" et le feu "nouveau", comme le dodécaèdre conserve, en partie, la symétrie de l'icosaèdre et la signature du nombre 515.  (note 17)

      

     

     24.09.2018

     

     

     

     

     

     

    NOTES DE BAS DE PAGE

     

    note 1 : Les enfants grecs, précise Antoninus Liberalis, ont coutume de couper la tête du lucane, et de la porter ensuite autour du cou comme un pendentif lyriforme.

    note 2 :  Associé au symbolisme du nombre 55, valeur en latin de l'expression numérale LVX, même si elle s'écrit ordinairement LV, mais aussi indirectement au 515, si l'on considère l'expression : cinquante (L) dix (X) et cinq (V) comme une variante du dantesque : cinq cent dix et cinq.

    note 3 : Les sabots arrière du centaure entérinent la division du rectangle selon un rapport de symétrie gauche/droite. Le point situé entre les sabots correspond à l'axe du vav et de la séparation Mars/Venus.

    note 4 : Ce nombre pourra, en première lecture, apparaître comme une expression « arrondie » de la hauteur de la muraille de Sion. 

    note 5 : Le rapport entre ces deux points de jonction, 55 et 144, se laisse reconduire au rapport 10 – 12, et même, ultimement, au rapport générique entre pentagone et hexagone.

    note 6 : On peut aussi lire, en miroir, 14 14 comme une écriture décimale de √2, mesure des 12 diagonales des faces d'un cube d'arête 1 ; quant aux 4 diagonales intérieures, elles mesurent √3, hauteur de l'hexagone de côté 1 et du triangle équilatéral de côté 2 : on pourra ainsi interpréter ce nombre comme un symbole du chrisme ou de l'ignition accomplie (c'est le rapport numérique qui apparaît dans le tracé du 4 de chiffre, entre la grande ligne et les deux plus petites). 

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

    note 7 : Dans le champ sémitique, la racine trilitère QLB, qui donne le mot coeur (qalb) signifie aussi retourner. Aussi Dieu est appelé Celui qui retourne les cœurs.

    note 8 : En français, la déesse a donné son nom à la fleur de lys (iris), mais aussi au verbe iriser et à ses dérivés (irisation, iridescent) qui signifie : scintiller de mille couleurs, comme la fleur de lys ou l'arc en ciel. 

    note 9 : La partition de l'arche indique que le "catalyseur" de la chimie palindromique possède lui-même cette structure.

    note 10 : De plus, à la jonction des 2 registres (vecteurs horizontaux) on a  le rapport

    11 + 12 = 23

    Tandis que sur les parties latérales, on a (vecteurs verticaux)

    9 + 14 = 23

    Il s'établit donc une relation d' "équilibre" ou de commune mesure entre le rapport "ascendant" de la Jérusalem Céleste vers un état de complétude (11-12), et le rapport qui qualifie ses proportions internes (9-14).

    note 11 : La différence c'est que la croix de Saint André se divise en rangées 2-4-4-2 au lieu de 2-4-6-6-4-2.

    note 12 : Le fait que ce soit un carré gnomonique de rang 4 est concordant avec l'idée que cette zone est "le domaine de la plénitude". Ce carré, c'est le "filet" que la vesica piscis fixe en phase losange, au point intermédiaire de la "transformation du triangle en carré", c'est à dire à "l'instant X" de la physique pythagoricienne. Et cette grille est aussi celle du carré magique de Dürer.

    note 13 : Notons en outre qu'à la fin de son exposé, Zellini hasarde un rapprochement avec certains aspects de la religion apollinienne, révélés notamment par Plutarque.

    note 14 : Le nombre 10800 (= 1 année) rappelle le 1080 du helek hébraïque (= 1 heure), de la même manière que les 144 coudées de la muraille de Jérusalem rappellent les 1440 minutes d'une journée.

    note 15 : La sagittation est un "forçage", un coup douloureux qui contraint les éléments à s'abouter en un point quelconque, violence rendue nécessaire par le fait qu'à l'image du Même et de l'Autre, ces éléments sont "rebelles au mélange".

    note 16 : Le thème du filet renvoie naturellement à l'élément eau, comme l'illustrent les deux paraboles ésotériques, étrangement ressemblantes, relatant les pêches miraculeuses de Pythagore et du Christ. Le nombre de 153 poissons mentionné dans l'Evangile de Jean permet en outre d'établir un lien précis entre ces récits et le polygone gnomonique, puisque c'est par le rapport 265/153 qu'Archimède approche la mesure de la hauteur  de la Vesica Piscis, "mesure du Poisson", égale à √3, qui correspond à la grande diagonale du losange gnomonique évoqué dans la note 12.

    Vesica Piscis

    Dans une vision sommaire en phase avec la focale hermétique de Doumayrou, on pourrait voir  le « combat des éléments » (sagittation) comme un conflit cosmogonique nécessitant d'être « luthé » dans le filet gnomonique; - filet qui peut indiquer aussi bien des proportions que le fait de réduire ou ajointer deux principes dans un « rectangle » unique, qui serait par exemple le lit nuptial ou le « cocon ». Alors la phase suivante signifierait plus proprement la hiérogamie, la « lyse » de Mars et Vénus permettant l’échange des spermes ou des codons ADN, et la création du nouvel être, « sel alchimique » (grain cubique) ou « papillon » (psyché)... qui se libère dans la phase du chrisme (« quintessence »).

    Le filet joue deux rôles : amener les principes sur un terrain d’entente, et les dissoudre.

     

    note 17 : En effet, si l'on pose un dodécaèdre sur l'une de ses faces, on a :

    - une face pentagonale en haut (5)

    - une face pentagonale en bas (5)

    - et, formant une médiation entre ces deux pôles, 10 faces qui ne sont "ni en haut ni en bas" (10)

     

     

     

     

     

     

    BIBLIOGRAPHIE ET LIENS UTILES

     

     

    Sur les templiers, Saint Bernard et la religion du lys :

     

    Cantique des cantiques

    Les fils de la vallée - site de recherche sur la tradition templière

    Saint Bernard : sermon 47 sur le Cantique des cantiques

    John Joseph Stoudt : Consider the lilies how they grow

     

     

    Sur la religion apollinienne et le centaure :

     

    Homère : Hymnes homériques à Apollon et à Hermès

    Marcel Détienne : Apollon le couteau à la main

    Philippe Monbrun : Les voix d'Apollon

    Georges Dumézil : Apollon sonore

    André Charpentier : Le serment d'Hippocrate

    Valérie Gitton-Ripoll : Chiron, le cheval-médecin ou pourquoi Hippocrate s'appelle Hippocrate

    Jean Bavet : Le symbolisme du cerf et du centaure à la Porte Rouge de Notre-Dame de Paris

    Plutarque : Que signifie le mot EI gravé sur la porte du temple de Delphes?

     

     

     

    Sur le symbolisme des portes solsticiales, Janus, Agni

     

    René Guénon : symboles de la science sacrée

    Porphyre : l'antre des nymphes

    Homère : L'odyssée

    Jean Haudry : Le feu dans la tradition indo-européenne

    Paolo Zellini : Gnomon, una indagine sull' numero

    Ananda Coomaraswamy : La porte du ciel

     

     

     

     

    V. La tradition du nombre 515 (b) : L'église templière de Montsaunès

     

     

     


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  • SOLIDE DE DÜRER ET PAVAGES GNOMONIQUES

     

     

     

    par Guillaume DENOM

     

     

     

     

    Solide de Dürer et pavages gnomoniques

     

     

     

     

     

     

     Chapitre 1

     

    SOLIDE DE DÜRER ET RHOMBOEDRE ASSOCIE

     

     

     

     

     

    Le solide de Dürer (pour les puristes : le trapèzoèdre triangulaire tronqué) est un rhomboèdre tronqué. Un rhomboèdre est un cube étiré sur l'une de ses grandes diagonales.

     

    Solide de Dürer et pavages gnomoniques

    Les faces du rhomboèdre sont simplement des losanges au lieu d'être des carrés, mais le cube lui-même peut parfaitement être considéré comme un cas limite de rhomboèdre.

     

    On peut construire un solide de Dürer à partir de n'importe quel rhomboèdre, en tronquant précisément les deux sommets opposés sur lesquels il est étiré. La forme du solide de Dürer dépendra donc de l'angle choisi pour le losange correspondant à la face du rhomboèdre. Certains cas sont particulièrement intéressants, en ce que le rapport des angles du losange s'exprime par de petits entiers. On peut en citer trois.

     

    Le cube, pour lequel le rapport des angles du losange est de 90°/90° = 1/1 = 1.

     

    Le rhomboèdre gnomonique, dans lequel le rapport des angles est de 60°/120° = ½

     

    Le rhomboèdre d'or, dans lequel le rapport des angles est égal à 72°/108° = 2/3. Le solide de Dürer associé à ce rhomboèdre correspond à une situation d'équilibre parfait entre 2 possibilités d'orientation de l'angle du losange, l'une dans le sens obtus, vers le carré 1/1, l'autre dans le sens aigü, vers le losange 1/2, perfection qui se traduit par le fait que ses sommets sont inscriptibles dans une sphère; - le nombre d'or correspondant d'ailleurs généralement, dans l'ordre physique, à une semblable situation d'équilibre entre deux forces ou tendances antagonistes.

     

    Les pythagoriciens fidèles à leur nonchaloir auront reconnu, dans ces trois cas particuliers, les trois rapports musicaux que sont l'unisson (1/1), l'octave (2/1) et la quinte (3/2), qui correspondent au développement en procession des trois premiers étages de la tétractys; ce ternaire constituant en l'espèce une structure fermée.

     

    Solide de Dürer et pavages gnomoniques  

     

    Notons que le solide représenté par Dürer dans sa gravure Melencolia ne se rapproche bien nettement d'aucun de ces trois types, puisque son angle apparent se situe aux environs de 79 ou 80°.

     

     

     

    Le rhomboèdre gnomonique

     

    On s'intéressera ici principalement au rhomboèdre gnomonique, d'angle 60°/120°, et à son solide de Dürer associé.

     

     

    Solide de Dürer et pavages gnomoniques

     Solide de Dürer gnomonique

     

     

    Le solide ci-dessus se compose de 3 éléments, un octaèdre au centre, et deux tétraèdres tronqués, en haut et en bas. Il est naturellement plus étiré que celui de Dürer, mais on retrouve bien nos 6 faces pentagonales et nos deux faces triangulaires. Pour obtenir une expression gnomonique entière, il suffit de considérer les 3 éléments qui le composent comme des polyèdres gnomoniques de rang 2, semblables à ceux-ci :

     

     

    Solide de Dürer et pavages gnomoniques

    Tétraèdre et octaèdre gnomoniques de rang 2

     

     

    Les tétraèdres gnomoniques devront simplement être diminués d'un petit tétraèdre, par exemple le rouge situé ici au sommet.

     

    L'octaèdre central du solide de Dürer se décompose alors en 6 petits octaèdres + 8 tétraèdres, et les deux tétraèdres tronqués, pour chacun, en 1 octaèdre + 3 tétraèdres. Le solide de Dürer complet se composera donc de 8 octaèdres + 14 tétraèdres, soit 22 éléments en tout. Pour compléter ensuite le grand rhomboèdre, il faut encore ajouter un tétraèdre à chacun des sommets tronqués, de sorte que ce rhomboèdre présentera lui une composition bien équilibrée de 8 octaèdres pour 16 tétraèdres, soit 24 éléments en tout.

     

    A la simple vue des polyèdres gnomoniques dont il se compose, on comprend que le solide de Dürer peut être construit à partir d'un patron composé uniquement de triangles équilatéraux. Chaque face pentagonale se décompose en effet en sept triangles équilatéraux; les six pentagones se subdivisent donc en 6x7=42 triangles équilatéraux, auxquels s'ajoutent 2 triangles pour fermer les troncatures ; soit au total 44 triangles équilatéraux. On remarque que ce nombre est le double de celui des petits solides utilisés pour la construction gnomonique du même polyèdre (22), où l'on découvre donc une nouvelle expression du rapport ½ qui traverse toute la structure.

     

     

    La relation du solide de Dürer à son dual : une auto-dualité contractée

     

    Le dual du solide de Dürer est un rhomboèdre semblable au grand rhomboèdre de départ, avant sa troncature, bien qu'évidemment d'une échelle différente. Il s'agit là d'une propriété très singulière, car, en raison de la "coplanarité" de certaines de ses faces (c'est à dire de leur appartenance à un même plan), le dual du solide de Dürer a la propriété spéciale de posséder moins de faces que le solide de Dürer n'a de sommets, précisément deux fois moins. En effet, l'ensemble de ces faces, triangulaires, fusionnent deux à deux pour former des losanges.

     

    Dans les nomenclatures, le dual du solide de Dürer est référencé sous le nom de bipyramide triangulaire gyroallongée, et, en tant que dual d'un polyèdre à 12 sommets, il est fréquemment présenté comme un dodécaèdre. Toutefois, cette façon de le qualifier tient uniquement à la rigidité des définitions mathématiques, car, en réalité, ce n'est bel et bien qu'un banal rhomboèdre, doté de 6 faces seulement. Et on n'en trouvera sans doute pas de meilleure preuve que le fait qu'il soit exclu de la liste des solides de Johnson (avec ici des explications à l'appui) pour la raison précisément que ses faces - des losanges - ne sont pas des polygones réguliers.

     

     

    Solide de Dürer et pavages gnomoniques

    Solide de Dürer et rhomboèdre dual inscrit

     

    Il existe donc une forme d'auto-dualité entre le solide de Dürer et son rhomboèdre dual, mais une auto-dualité très particulière, qu'on pourra qualifier de "contractée". En effet, il existe une homothétie qui projette les sommets du rhomboèdre dual sur ceux du solide de Dürer, mais à l'exclusion de certains points. Autrement dit,  le solide de Dürer peut être vu comme une contraction de son dual, résultant de la projection de ce dual sur une partie de lui-même.

    Cette opération de contraction est toutefois justiciable d'une définition mathématique très précise, en géométrie projective notamment, où elle constitue un groupe spécifique de transformations.

     

    Le rhomboèdre dual inscrit pourra, naturellement, se décomposer en trois éléments semblables à ceux du grand rhomboèdre : un octaèdre et deux tétraèdres, évidemment non tronqués.

    Pour le solide de Dürer gnomonique, la dimension du rhomboèdre inscrit est très facile à déterminer. En effet, pour construire le solide de Dürer, le grand rhomboèdre de départ a été tronqué d'un tiers de sa hauteur, (mesurée sur l'axe d'étirement commun au solide et à son dual, comme dans l'illustration ci-dessus).

    Le rhomboèdre dual inscrit aura donc une hauteur égale à 2/3 de ce grand rhomboèdre. Par conséquent, si, par exemple, pour le grand rhomboèdre, on a utilisé un octaèdre et deux tétraèdres de 6 cm d'arête, alors, pour le dual inscrit, on devra utiliser un octaèdre et deux tétraèdres de 4 cm d'arête.

     

     

    Une quadruple identité très remarquable

     

    On a ici une quadruple identité très remarquable entre :

    Le rapport des angles du losange (60°/120°) = la composition gnomonique du polyèdre dual (1 octaèdre / 2 tétraèdres) = la composition gnomonique du grand rhomboèdre détronqué (8 octaèdres / 16 tétraèdres) = enfin le rapport entre la composition du solide, et celle de la surface (22 éléments pour le solide / 44 triangles équilatéraux pour la surface), - ce dernier rapport se conservant d'ailleurs pour le grand rhomboèdre, où l'on a 24 solides pour une surface de 48 triangles. Tous ces rapports sont en effet égaux à 1/2.

     

    On saisit par là que le gnomon est un certain rapport d'identité, particulièrement profond, entre nombres et figures. Même si certains, avec quelque raison peut-être, préfèreront n'y voir qu'une vaste tautologie.

     

    Cette relation généralisée permet de conjecturer que, pour le rhomboèdre d'or d'angle 72°/108° et son solide de Dürer associé, le rapport 2/3 qui est celui des angles du losange, devra se retrouver dans la composition interne du rhomboèdre, aussi bien que dans la division de ses faces ; et que, selon toute vraisemblance, la solution de ce problème devra revêtir la forme d'un pavage de Penrose en trois dimensions.

     

     

     

     

     

    Chapitre 2

    NOMBRES GNOMONIQUES ET NOMBRES MIROIRS

     

     

     

    On peut remarquer que les nombres 8 et 14, qui apparaissent dans la composition du solide de Dürer, ne sont pas des inconnus, puisqu'on les retrouve dans la nomenclature des polyèdres gnomoniques de rang 2.  Nomenclature où l'on retrouve aussi, par induction, les nombres 27 et 54, intervenant quant à eux dans le lambda de Platon, qui correspondent si l'on peut dire au "centre caché" de cette structure d'objets. En demandant grâces pour la trivialité de ces calculs, qui n'ont d'autre fin que de mettre en lumière cet aspect structurel des rapports arithmétiques.

     

    POLYEDRES GNOMONIQUES DE RANG 2

    Solide de Dürer et pavages gnomoniques

     

    Tétraèdre            Cube             Octaèdre                                  Icosaèdre               Total

    5                           8                    14                                           81                       108

    5               +          8          +        14    =     27

                                                                      27     =    54/2    =    81/3        =          108/4

     

    La seconde équation pouvant être vue comme une tétractys, dont les 10 unités-points seraient des cubes gnomoniques de rang 3, de valeur 27.

     

    Solide de Dürer et pavages gnomoniques

     

    On peut encore noter que les propriétés des multiples de 9 - très appréciées de Dante - permettent de développer, à partir du nombre 108, une série continue de rapports proportionnels alternés entre nombres miroirs. Ainsi 18 est à l'égard de 108 dans le rapport 1/6, tandis que son "miroir" 81 est à l'égard de 108 dans le rapport 3/4. 27 est à l'égard de 108 dans le rapport 1/4, tandis que son miroir 72 est à l'égard de 108 dans le rapport 2/3. 36 est à l'égard de 108 dans le rapport 1/3, tandis que son miroir 63 est à l'égard de 108 dans le rapport 7/12. Enfin 45 est à l'égard de 108 dans le rapport 5/12, tandis que son miroir 54 est à l'égard de 108 dans le rapport 1/2. Accolés à leur complément, les nombres miroirs forment des nombres palindromes, eux mêmes dotés de propriétés spéciales. Aux extrémités de ce cycle se trouvent le nombre 9 (108 x 1/12), diviseur de tous les autres, qui, lorsqu'on l'exprime sous la forme 09, est le miroir de 90 (108 x 5/6), et enfin le nombre 99 (108 x 11/12), sous l'égide duquel Virgile et Dante ont tous deux placé leur oeuvre majeure, comme l'a montré André Charpentier. Ce nombre "terminal" est exclu du mouvement tournant qui entraîne tous les précédents, en ce qu'il est miroir de lui-même, et donc déjà palindrome. Sous ce regard, il peut donc apparaître comme le point de "fixation" autour duquel gravitent tous les autres, ce qui explique que ces poètes pythagoriciens aient vu en lui l'image du "moteur immobile" de la manifestation universelle.

    Ceci se comprend encore mieux si l'on dispose tous ces nombres autour d'un pentagramme, de la manière indiquée ci-dessous, puisqu'on s'aperçoit alors que tous les segments reliant entre eux deux nombres miroirs convergent naturellement au centre 99, qui correspond à chaque fois à leur somme.

    Solide de Dürer et pavages gnomoniques  

    Si l'on adopte pour le pentagone intérieur une disposition "horaire", alors le pentagone extérieur se disposera lui-même de façon "anti-horaire". Les nombres correspondent donc ici exactement aux propriétés de la figure, symbole traditionnel de l'analogie inversée du microcosme et du macrocosme, mais aussi de l'alternance universelle des rythmes cosmiques.

    Si l'on relie tous ces points par un tracé continu suivant l'ordre croissant des nombres qui leur correspondent, et si l'on joint le dernier (99) au premier (9), on obtient une figure appelée noeud vital, qui s'apparente à plusieurs symboles connus, tels que le symbole de l'infini, le noeud trèfle ou l'éperluette, tout en se distinguant nettement de chacun d'eux.

     

    Solide de Dürer et pavages gnomoniques

     

    Compte tenu de la logique interne du pentagramme, où les milieux des différents segments convergeant vers le centre 99 sont supposés équivaloir à la somme des nombres associés à leurs extrémités - et ceci indéfiniment, - l'action de joindre, par un dernier segment, le nombre 99 au nombre 9, peut être comprise comme équivalant à intégrer dans le pentagramme le nombre 108, en tant que milieu virtuel de ce dernier segment.

    Et pour clore ce chapitre de transition, on pourra relever que le rapport de 99 à 108 est identique à celui du solide de Dürer à son rhomboèdre associé (11/12).

     

     

     

     

     

     

     Chapitre 3

     ISOMORPHISME DU PENTAGRAMME ET DU SOLIDE DE DÜRER

     

     

     

    Le rapport entre le pentagramme "modulo 9" et le solide de Dürer n'est pas seulement proportionnel, mais d'octave (11 points pour le pentagramme avec son centre / 22 petits solides pour le solide de Dürer) ; et, dans ce dernier chapitre, nous allons voir qu'il existe une application qui projette les 11 points du pentagramme sur les onze segments reliant deux à deux les centres des 22 petits solides du solide de Dürer, (plus exactement, l'application se fait sur les milieux de ces segments), et réciproquement, - application dans laquelle sont conservées toutes les relations de symétrie, mais aussi de polarité du pentagramme, et grâce à laquelle le solide de Dürer s'intègre naturellement dans ce pentagramme.

     

    Dans la représentation ci dessous, les boules blanches correspondent donc aux centres des 22 petits solides du solide de Dürer, solides dont la nature, tétraèdre ou octaèdre, est précisée sur la boule. Ces 22 boules blanches sont assemblées par paires et forment 11 segments. Les onze petites boules noires qui sont les centres de ces segments, correspondent aux 11 points du pentagramme (avec son centre 99).

     

    Solide de Dürer et pavages gnomoniques

    La structure se divise en trois parties : inférieure, supérieure et médiane. Dans la partie inférieure, les segments 18, 27 et 36, forment les arêtes verticales d'un prisme à base triangulaire, avec le segment 9 pour axe polaire principal.

    Les segments 63, 72 et 81 forment un prisme identique au premier, avec le segment 90 pour axe polaire; ces deux prismes sont disposés l'un au dessus de l'autre en « sceau de Salomon ». 

    Ces huit segments verticaux, occupant les parties inférieure et supérieure du solide, ont tous la même composition : un octaèdre et un tétraèdre; tandis que les trois segments occupant la partie médiane sont composés, eux, de 2 tétraèdres chacun.

     

    La structure médiane forme également un sceau de Salomon, composé, non de 2 prismes, mais de 2 simples triangles. Ici on a favorisé une présentation permettant de distinguer plus aisément les 3 segments, mais pour que la figure soit géométriquement exacte, il conviendrait que les 2 triangles indiqués en pointillé, inférieur et supérieur, soient positionnés exactement l'un au dessus de l'autre. Les segments 45 et 54 sont tous deux horizontaux, mais situés à des hauteurs différentes, le 45 plus bas, le 54 plus haut. Quant au segment 99, il possède un point sur le même plan horizontal que le segment 45, et l'autre sur le même plan horizontal que le segment 54. Les segments 45 et 54 sont bien parallèles, comme l'indique la figure ; en revanche, le segment 99 est perpendiculaire au plan formé par ces segments. En joignant par deux segments complémentaires les segments 45 et 54, on obtient un parallélogramme (un losange "vesica piscis" d'angle 60/120°) ; le segment 99 traverse ce losange en plein centre, perpendiculairement.

    Ces trois segments forment véritablement le coeur de la structure. Le plan formé par les segments 45 et 54 est incliné de 45° par rapport au plan horizontal, et se situe donc à mi distance angulaire entre le plan horizontal et l'axe vertical; tandis que le segment 99, orthogonal à ce plan 45, 54, est - relativement au même axe vertical - incliné de 45° en sens contraire.

     

     

    Symétries et polarités 

     

    Ce qui est intérieur dans le pentagramme (les points 9, 18, 27 et 36) correspond à ce qui est inférieur dans le solide de Dürer (les segments 9, 18, 27 et 36).

     

    Ce qui est extérieur dans le pentagramme (les points 63 à 90), correspond à ce qui est supérieur dans le solide (les segments 63 à 90).

     

    Ce qui est intermédiaire dans la séquence du pentagramme (les points 45, 99 et 54), correspond à ce qui est médian dans le solide, (les segments 45, 99 et 54).

    Enfin, ce qui est au centre dans le pentagramme, le point 99, correspond à ce qui est au centre dans le solide de Dürer; puisqu'en effet le centre du segment 99 correspond au fameux "point vert" évoqué ailleurs sur ce site, qui est le barycentre du solide de Dürer.

    Toutes les relations de polarité entre 2 points opposés du pentagramme par rapport au centre 99, se retrouvent dans le solide de Dürer. Ainsi, dans le solide de Dürer, le segment 18 est, polairement, antagoniste du segment 81, le segment 27 du segment 72, le segment 36 du segment 63, le segment 45 du segment 54, et le segment 9 du segment 90. Tandis que le segment 99, comme il se doit, est antagoniste de lui-même. Et il y a mieux encore : si l'on joint par leurs centres toutes ces paires de segments antagonistes du solide de Dürer, on constate que toutes les droites joignant ces segments par leurs milieux passent par le centre du segment 99.

     

    Ce qui est polaire dans le solide de Dürer, (en considérant comme axe polaire principal, l'axe vertical haut / bas qui est l'axe d'étirement du solide), à savoir les segments 9 et 90, correspond, dans le pentagramme, au « début » et à la « fin » de la séquence; - car dans le pentagramme aussi la séquence naturelle commence à 9 et finit à 90, puisque le point 99 a été installé à son juste « moment », entre les points 45 et 54.

     

    Enfin, l'orientation alternée du sens de la construction ; d'abord « horaire » de 9 à 45, puis anti-horaire de 54 à 90, est également respectée. Le segment 99 correspond au plan de symétrie de part et d'autre duquel se divisent, en s'inversant, ces deux mouvements, le premier « dextrogyre », le second « lévogyre ». Les deux structures ont pour squelette commun une double spirale, bidimensionnelle pour le pentagramme, tridimensionnelle pour le solide de Dürer, où elle se développe en double hélice - spirales dont la première est centripète et dextrogyre, et dont la seconde est centrifuge et lévogyre.

    La structure sous-jacente aux deux figures peut être schématisée par l'illustration ci dessous :

     

    Solide de Dürer et pavages gnomoniques

     

     

     

     

    Du pentagramme au nid d'abeilles

     

    Le solide de Dürer peut donc n'apparaître que comme un développement en trois dimensions de la structure bidimensionnelle qui est celle du pentagramme. Cependant, alors que le pentagramme est une structure de symétrie pentagonale, associée au nombre d'or et aux pavages de Penrose, le solide de Dürer – placé tout entier sous le signe du sceau de Salomon – relève, quant à lui, de la symétrie du "nid d'abeille" tétra-octaédrique, propre à sa constitution gnomonique, symétrie résultant d'un pavage continu de l'espace par des tétraèdres et des octaèdres, comparable à celui que l'on peut obtenir avec des cubes. L'intégration du solide de Dürer dans le pentagramme fait donc apparaître une supersymétrie – ou encore une super dualité – entre ces deux types de symétrie.

     

                                Solide de Dürer et pavages gnomoniques                Solide de Dürer et pavages gnomoniques

                                             pentagramme                   nid d'abeille tétra-octaédrique

     

     

    Or, on remarque que dans notre solide de Dürer, la symétrie pentagonale est celle qui régit les « milieux » des objets appartenant à la seconde, à la symétrie du nid d'abeille. La première se présente ainsi comme étant « au coeur » de la seconde, comme son principe de mouvement, ou de développement ; ou encore, la première semble correspondre à l'aspect « intérieur » d'une réalité, dont la seconde représenterait l'aspect « extérieur ».

     

     

     

    Remarque ponctuelle

     

    On a fait le choix, pour cette étude, de référencer les solides par les points qui sont leurs centres, afin de mettre en évidence ensuite les "milieux" des segments joignant ces centres, mais il convient de préciser que, dans la logique du gnomon, les petits solides, qui ont le statut d'atomes et la valeur discrète de monades, peuvent parfaitement être considérés eux-mêmes comme des points, de sorte que nos boules blanches auraient tout aussi bien pu désigner ces solides eux-mêmes. On aurait alors eu 11 segments composés uniquement de 2 points; à la réserve que, dans ce cas de figure, les lignes joignant ces boules auraient été superflues, puisque, pour tous ces segments, les deux solides sont tangents, soit par une face (pour les segments tétraèdre-octaèdre), soit par un sommet (pour les segments tétraèdre-tétraèdre). Les centres des segments auraient donc coïncidé avec des lieux intersticiels purement virtuel et de valeur nulle, autrement dit avec des points "euclidiens", lesquels, dans leur compréhension juste, ne peuvent représenter que des lieux vides d'objet. De ce point de vue, la symétrie pentagonale peut donc apparaître, tout aussi légitimement, comme la symétrie régissant les vides intersticiels de la structure du nid d'abeille.

     

     

    Le symbolisme du pentagramme

     

    En laissant de côté toute considération liturgique, il est possible, en conclusion, de toucher ici un mot du symbolisme du pentagramme.

     

    Dans sa représentation classique sous forme de noeud à 5 sommets, le pentagramme est un noeud mortel, qui se rapporte au démembrement de "l'homme primordial" et dont les points de référence (situés au centre des 5 petits triangles - branches de l'étoile) sont en réalité des "points de casse", qui correspondent dans le corps humain à : nuque, épaules, et hanches. Ce noeud agit donc de façon "constrictrice", comme mû d'une énergie "auto-serrante".

     

    En passant par le point central, on a, comme pendant de ce noeud mortel, le noeud vital... dont la chose la plus importante à remarquer, sans doute, est qu'il n'est pas un noeud. En effet, si on le saisit par un coin, il se délace et se résout en une simple corde circulaire, de sorte que son aspect "nodal" s'avère finalement n'être qu'une illusion.

     

     Le 18.04.2017

     

     

                                                     

     


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  • LA DOCTRINE SECRETE DU DODECAEDRE

     

     

     

     

    Le 11.04.2018 par Christophe Mercadier

     

     

    Platon sur le dodécadèdre :



    traduction site Remacle :

    ....

    Et comme il restait une cinquième combinaison, Dieu s'en servit pour tracer le plan de l'univers.



    traduction Léon Robin (en général il est plus dans le "mot à mot") :



    Il restait encore une combinaison, la cinquième; c'est à l'Univers que le Dieu en fit application, pour en dessiner l'épure.



    ....

    Tu avoueras que le ton est pour le moins énimgmatique. Surtout que les 4 précédents ont été soigneusement décrits : faces, arêtes, angles; cela revient presque à dire au "lecteur", si tu ne le connais pas (le 5eme) cherche le toi-même!



    Il semble y avoir un autre propos sur le dodécaèdre dans le Phédon, où ce solide est associé au "Tout", par opposition aux 4 autres associés aux éléments, mais je n'arrive pas à le retrouver.

     

     

    ..

     

    Je pense que ce n'est pas extrapolation, mais lecture attentive : la phrase sur le dodécaèdre est bien un TROU ésotérique du Timée.



    Je m'explique.



    Le Timée est un ouvrage assez centralement consacré à la question précise du "plan de l'Univers"

    Où pas une fois on entend parler de ce solide

    hormis dans cette phrase, qui énonce "en passant" que le plan de l'univers est un dodécaèdre.



    Ce qui est marqué là, c'est bien une limite entre "ce dont on peut parler", et "ce qu'on doit taire"

    Il est impossible de ne pas comprendre que cette seconde catégorie relève de "quelque chose de plus élevé"



    Et pourquoi le solide n'est-il pas décrit?

    plutarque



    Pourquoi, entre les différents corps composés les uns de lignes droites et les autres de lignes circulaires, assigne-t-il (Platon) pour principes des corps composés de lignes droites le triangle isocèle et  [1003c] le triangle scalène, dont le premier a formé le cube, qui est l'élément de la terre, et le second la pyramide, l'octaèdre et l'icosaèdre, dont l'une est le principe du feu, l'autre de l'air, et le troisième de l'eau? Pourquoi omet-il absolument les corps circulaires, quoiqu'il ait fait mention du sphéroïde et qu'il ait dit que chacune des figures ci-dessus nommées peut diviser une circonférence en parties égales ?

    Est-ce, comme quelques uns l'imaginent, parce qu'il assigne au sphéroïde le dodécaèdre, lorsqu'il dit que Dieu employa cette figure pour la formation de l'univers? Car la multitude des éléments [1003d] du dodécaèdre et la grande ouverture de ses angles font que, s'éloignant beaucoup de la ligne droite, il se courbe facilement, et son périmètre, comme dans les sphères composées de douze pièces réunies, approche davantage de la forme circulaire et contient un très grand espace. Il y a vingt angles solides, dont chacun est renfermé dans trois angles plans et obtus qui contiennent chacun un angle droit et la cinquième partie de cet angle. D'ailleurs le dodécaèdre est formé de douze pentagones, dont les côtés et les angles sont égaux, et composés chacun des trente premiers triangles scalènes. Il semble donc être une image du zodiaque et de l'année, puisque ses divisions sont égales à l'un et à l'autre.

    Euh oui je pense qu'on peut gloser la remarque de plutarque assez facilement.



    L'angle du dodécaèdre égale "un angle droit et la cinquième partie de cet angle", soit 108 degrés.



    Le nombre 108 rappelle bien évidemment l'Ame du monde, et la division longitudinale de la bande du lambda, formant l'équateur et l'écliptique.



    Plutarque estime donc que le dodécaèdre constituait une "extension angulaire" du nombre magique 108 de l'ame du monde.



    Je pense que c'est en soi une thèse très originale sur Platon  (la correspondance entre lambda et dodécaèdre,   mais aussi par extension entre médiétés  et solides, nombres du lambda et angles, etc) et à mon avis bien sentie.



    Je te mets le lien vers les questions platoniques de plutarque. Le dodec est l'objet de la question IV.



    Ce que je trouve pour le moins surprenant (d'où l'envoi) c'est que la réflexion sur le dodécaèdre s'inscrit dans une réflexion générale sur la courbure.



    La ligne est elle plus originaire que le cercle?

    Le dodec est-il le solide le plus proche de la sphère? etc



    Comme s'il voulait t'insinuer dans l'esprit que l'angle 108 correspondrait en quelque manière à la "courbure" de l'univers.



    Je n'extrapole pas je pense, même si le relent "einsteinien" de sa cogitation ne peut raisonnablement être considéré que comme "fortuit", mais l'approche par la courbure me semble néanmois intéressante parce que "peu naturelle" et assez "spéculative" dans ce contexte.

     

    (à suivre)

     

     

     


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  • DISCUSSION SUR LE PENTAGRAMME ET LE NOMBRE D'OR

    AVEC LYSANDRE

     

     

    La discussion débute par une remarque sur cette construction due à Yvo Jacquier, qui illustre l'article Vesica Piscis

     

     

     

     

    Le 15/02/2017 par Lysandre

     

    Intéressante, la construction avec le pentagramme. Si on l'interprète en géométrie projective, cette figure possède une signification bien précise, puisqu'elle équivaut à démontrer que l'on peut construire la polarité associée aux cinq sommets d'un pentagone quelconque. Démonstration belle comme du Bach, que je viens justement d'achever cette nuit...

     

    Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre

     

     

    Le 15/02 par Dylan G.

     

    Ah oui ? Bravo ! En tous cas, on sent que cette figure doit gagner beaucoup à être interprétée projectivement, car il y a là une densité vraiment suspecte de "droites concourantes" et de "points alignés".

    Je remarque que l'on a 10 points, comme dans la configuration de Desargues, et comme dans la tétractys. Sur ces dix points, 4 sont incidents au vesica piscis "intérieur", 4 autres au vesica "extérieur", les 2 derniers, les points AA', donnant l'axe de symétrie du même vesica. Au centre, on a le triangle d'or de Penrose avec la première étape de sa division : 1 obtus (en jaune, dans le dessin de Jacquier), 2 aigüs (en rose). Dans votre figure, il suffit, pour avoir ces trois pavés, de joindre C' à B', et B à E.

     

     

     

    Le 15/02 par Raymond B.

     

    Ah oui c'est bien intéressant.

    Vu comme ça le théorème de Desargues m'a évoqué l'ennéagramme, où le "point de fuite" des deux triangles jouerait le rôle de centre caché qui règle le déploiement des 6 points en araignée 1/7 = 0.142857 pendant que les 3 points alignés sont imagés par le triangle 3-6-9. 

     

    Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre

     

    Compte tenu de cette remarque, et par analogie avec Desargues, j'aurais eu tendance à voir, dans votre figure, deux lignes de 3 points concourir au point A (point rouge) pendant que les 2 épingles fichées dans les paumes de l'étoile, "s'alignent" au point A' en tant que formant un obtus "3-6-9". Les deux lignes forment un lambda avec le point A pour aiguille.

     

     

     

    Le 15/02 par Raymond B.

     

    Un peu dans le même "esprit", je voyais ceci chez Ouspensky le fidèle de Gurdjieff.

    Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre

    L'élément intéressant étant bien sûr la représentation avec 2 lignes parallèles. Parce que "projectivement" ça fait le joint entre les polygones et le point, ce dernier étant à l'infini (ce qui serait une manière élégante de concilier la mystique du Point avec celle... de son retrait). La ligne double pouvant à la limite être envisagée comme une figure fermée ; d'autre part, elle évoque ainsi "les eaux" ou protomatière des cosmogonies.

     

     

     

     

    Le 17/02 par Lysandre

     

    Mes démonstrations sont fondamentalement simples, elles consistent à "voir" projectivement la figure, par exemple, et tout s'éclaire de soi, sans recourir à de lourds appareillages algébriques. C'est magique, dans le bon sens du terme.

    La GP est en soi une discipline très facile, qui permet de fonder toute la géométrie à partir de rien (trois axiomes ! pour toutes les géométries, euclidienne, comme non-euclidiennes, et même la géométrie différentielle, finalement... enfin), et tout le monde en principe peut l'apprendre, c'est sa simplicité même qui est désarmante. Mais elle n'est plus enseignée nulle part ! les matheux même ne la comprennent plus, ou plus assez... vous n'avez pas idée.

    Bien sûr, il peut résulter de là des adaptations importantes pour les problèmes de pavages, etc. un pavage du plan projectif, c'est quelque chose de possible, et on en déduira forcément plusieurs pavages possibles du plan affin/euclidien, selon où l'on place la droite de l'infini, etc.

    Ce sont des perspectives magnifiques, mais on ne peut progresser là-dedans qu'à petits pas.

     

     

     

    Le 17/02 par Lysandre

     

    Comme vous me paraissez capable de comprendre ces choses, que j'étudie avec émerveillement, je ne vois pas pourquoi je ne vous ferais pas profiter d'un petit exercice auquel je me suis livré sur deux figures intimement liées : je vous poste donc, ci-dessous, les deux, à savoir le diagramme de Petersen, que je me suis amusé à colorer avant de nommer ses points par des lettres, et la configuration de Pappus, dont j'ai nommé les points et droites de façon qu'ils correspondent au diagramme : en rouge, les points, en bleu les droites, et une boule rouge reliée à une boule bleue signifie : ce point appartient à cette droite. On obtient ainsi la configuration désirée, comme vous vous en apercevrez si vous essayez par vous-même, et de la façon dont je l'ai dessinée, on voit bien à quoi elle correspond : si la configuration "marche" ("holds" comme ils disent en anglais), alors deux perspectivités de mêmes centre et axe commutent, et donc le corps (des coordonnées, qui sous-tend le plan), est commutatif.

    C'est la clef de toute la géométrie plane commutative, la "bonne" géométrie, bien ordonnée, que nous connaissons... elle tient toute entier dans le diagramme de P, figure bien plus symétrique et élégante que la configuration elle-même... mais il faut aimer ce qui est simple, et pouvoir apprécier l'esthétique des maths.

    J'affirme de plus, ce qui est original, que le point au centre a une signification : si on le colore en une troisième couleur, vert par exemple, il correspond au plan lui-même, et signifie alors que si trois droites non concourantes/trois points non alignés, appartiennent à un même plan, alors toute la configuration est plane.

           Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre    Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre

     

     

     

    Le 17/02 par Dylan G.

     

    Grand merci, Lysandre. Nous apprécions beaucoup cette gnose. En plus de la beauté de ces figures, l'exercice qui consiste à passer du diagramme à la configuration, et inversement, est particulièrement plaisant pour l'esprit.

    Je remarque simplement, au passage, que si on introduit un "chrisme" au centre du graphe associé au solide de Dürer, on retrouve votre graphe de Petersen-Pappus. Autrement dit : Dürer + chrisme = Petersen.

     

         Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre  +     Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre    =    Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre

     

     

     

     

    Le 18/02 par Raymond B.

     

    Y'a quand même une question que je me pose, peut être pas sans rapport avec la remarque sur le point vert... 

    Lysandre parle de la "géométrie plane commutative" comme étant la "bonne géométrie" que nous connaissons. Cette adéquation tient probablement plus pour lui à la notion de commutativité. Cependant, je me demande si "bonne géométrie" n'implique pas également planéité. L'idée, rapidement, serait que la géométrie solide "concrétise" ou développe (disons "une fois pour toute") la pellicule des figures 2D ; tandis qu'inversement, les figures planes sont des "abstractions" ou projections des volumes (mathématiquement : la projection est "surjective" ?), avec un statut quelque peu idéal et matriciel. Si la GP avait bien ce statut d'incontournable, alors dans le cadre de "l'espace naturel" RxRxR on se placerait naturellement dans un plan projectif, n'est ce pas ?

    De manière un peu plus claire : l'opération de projection d'un volume sur une surface (comme notre rétine) est "surjective" c'est à dire que plusieurs corps peuvent "s'abstraire" d'un même "patron" plan. On pourrait alors dire que la figure plane est surdéterminée, et que c'est une forme d'interprétation ("réduction du paquet d'ondes") qui donne corps au volume. Pour parler comme Lacan, préserver cette équivocité serait alors nécessaire pour que la géométrie reste un lieu de dialogue avec l'inconscient, qui ignore le langage univoque de la logique aristotélicienne. La géométrie solide, sans être inutile à titre d'illustration ou de choix interprétatif particulier, ne possèderait pas les mêmes vertus "initiatiques" ou universelles que la géométrie plane. Hypothèses, bien entendu.

     

     

     

    Le 18/02 par Lysandre

     

    En n'oubliant pas, tout de même, qu'on peut faire de la géométrie projective en 3D, en 4D ou plus... il y a de la GP en toutes sortes de dimensions. Simplement, on commence par l'étude du plan parce qu'elle est plus "simple", tout en recelant la possibilité de géométries plus bizarres, "non-arguésiennes", donc nécessairement planes, mais les "plans" en questions sont en fait des structures très "exotiques"...
    Par ailleurs, quand on étudie la géométrie dans l'espace (GP en 3D), il est naturel de se référer constamment à l'étude du plan, comme dans le plan on se réfère à l'étude de la droite... ainsi, quand j'étudie une quadrique en 3D, je vais le faire par le biais de ses sections planes : je vais la "découper en tranches" planes, étudier ces tranches, puis la réassembler en quelque sorte... et c'est comme ça que j'aurai une vision d'ensemble de la forme.

    On peut certes penser aussi aux "niveaux du langage" comme à des "plans de coupe"... l'opération de "couper par un plan" est fondamentale en GP de l'espace, et on peut sans doute y voir une analogie avec d'autres disciplines.
    En maniant toutefois les termes et les analogies avec prudence...

     

     

     

    Le 18/02 par Dylan G.

     

    La linguistique guillaumienne (héritière de Gustave Guillaume) définit toutes les structures profondes du langage au moyen de coupes transversales successives, effectuées le long d'un processus spatio-temporel, une sorte de psychomécanisme, ou de "geste" linguistique fondamental, qui lui reste toujours le même.

     

    Emoustillé par ces histoires de pentagramme, je viens de relire avec bonheur la belle étude que Charpentier a consacrée au Vesica piscis (l'oeuf du monde, à lire ici). Dans la partie mathématique (pages 19-26), il évoque en particulier les constructions de Dürer avec le pentagramme, avec des considérations très intéressantes, puisqu'il associe cette construction avec les idées de vibration, de pulsation, de flamboiement, d'une part ; et corrélativement, avec des considérations "rétiniennes" (l'oeil qui voit tout), idées qui me semblent résonner avec tes propos, Raymond.

    En supposant une dualité entre "flamme" et "rétine", entre "production" et "réception" de la lumière.

    ...

    Tes remarques sur la planéité m'ont fait penser à une autre chose encore, dont personne ne parle jamais, mais qui m'a toujours plongé dans une profonde perplexité.

    Sur le plan cosmologique, les groupements significatifs ne sont pas des sphères, mais des disques : des plans. L'écliptique est un plan, la voie lactée est un plan. Et en suivant ce chemin, on constate qu'à chaque fois, l'opération qui consiste à reconduire un objet (lui donner ses coordonnées) dans le groupe "monadique" supérieur auquel il appartient revient à le ramener sur un plan. Le processus étant "itératif" dans le sens du macrocosme, que se passe-t-il si on suppose que la dernière opération (celle reconduisant les parties au tout) est identique à toutes celles qui l'ont précédé? Il se passe que l'univers aurait essentiellement la structure d'un plan, duquel déborderaient au mieux quelque cloques monadiques originelles, matrices de toutes les monades inférieures. Et en poussant le vice un peu plus loin, on peut se demander si la procédure "d'exhaustion" qui conduit à faire disparaître "l'illusion" de la profondeur dans le sens du macrocosme, ne produirait pas un résultat semblable en sens inverse, dans une enquête sur les microcosmes, contraignant ces cloques mêmes à se résorber sur leur "équateur", et l'univers entier à se révéler n'être qu'une crêpe intégrale, dans laquelle rien n'aurait jamais connu la troisième dimension...

     

     

     

    Le 20/02 par Raymond B.

     

    "Soufflante" ta remarque sur la crêpe cosmique.

    Ces réflexions sur le plan m'ont fait penser à un autre problème, qui concerne lui l'organisation de la science.

    Parallèlement à l'entreprise scientifique de réduction, justifiée jusqu'à un certain point, chaque échelle possède un "plan de consistance" propre, avec un vocabulaire opératoire taillé sur mesure. Ce qui rend la biologie en partie rebelle à la chimie, elle même en excès sur la physique, etc...

    Voilà la préface d'un cours de thermodynamique, que je rends en résumé, et qui pose des mots sur ce "changement d'échelle" créateur, qui serait peut être analogue à un "interdit de l'inceste" épistémologique, un partage des eaux entre conscient et inconscient, ou entre niveaux de réalité à la Nicolescu.

     

    " Les concepts de chaleur, énergie interne, entropie, sens privilégié d’évolution, apparaissent à chaque fois que pour un système mécanique, l’on fait une division entre deux niveaux d’échelle, et un partage de notre connaissance (et de notre ignorance) entre ces deux niveaux. Le passage d’une échelle à l’autre ne peut en général faire l’économie d’hypothèses de nature statistiques supplémentaires par rapport à l’axiomatique du niveau mécanique de départ.

    Au niveau de ce que l’on appelle mécanique, on manipule des points matériels, des forces, de l’énergie, etc... On envisage ensuite des ensembles constitués d’un grand nombre de ces points et l’on souhaite traiter ces ensembles en utilisant les mêmes concepts qu’au premier niveau. On appelle thermodynamique cette théorie de deuxième niveau.

    C’est dire que selon nous, la thermodynamique est avant tout la science du changement d’échelle, et non seulement la science des transformations de l’énergie. La mécanique rationnelle montre déjà des transformations d’énergie (...) Quand une réaction chimique dégage de la chaleur il s’agit du même phénomène, un peu plus caché, où une énergie potentielle électromagnétique est en partie transformée en énergie cinétique d’agitation des molécules du système (...) Cette distinction d’échelle permet d’établir toutes les notions originales à la thermodynamique par rapport à la mécanique et éclaire aussi les questions relatives au temps et à son irréversibilité, au hasard, etc..."



     

     

    Le 20/02 par Lysandre

     

    Merveilleuse, votre trouvaille sur le solide de Dürer! 

    Vérification faite, le solide de Dürer et la configuration de Pappus ont effectivement le même graphe. Cela veut dire que le solide de Dürer lui-même peut être vu comme un graphe de Pappus en trois dimensions ; et pour retrouver les 3 lignes manquantes (chrisme), il suffit de joindre les milieux des arêtes opposées des deux faces triangulaires que comporte le solide.

    Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre

     

     

    Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre

     

    Le graphe correspond au solide vu en projection. On distingue bien les deux faces triangulaires et les six faces pentagonales.

    J'y vois tout de suite diverses interprétations possibles... S'il existe une configuration non planaire qui correspond au même graphe, évidemment, il doit y avoir un lien entre le solide et la configuration, du coup... je note qu'on a dans ce solide des pentagones inscrits à une même quadrique (qu'on l'appelle "sphère" ou autrement, peu importe), donc inscrits aussi aux coniques selon lesquelles leurs plans coupent la sphère... et vous savez qu'un pentagone détermine entièrement sa conique inscrite, donc il y a là quelque chose...

    NB. Si, comme je le pense, il y a bien une signification au point central de Petersen - le plan - alors cela porte le nombre des sommets du  graphe à 19... nombre qui n'est pas indifférent, eu égard à certaines considérations ésotériques...



     

    Le 21/02 par Dylan G.

    Je remarque que votre 19 semble induire une récurrence de forme : 1+6xn entre

    A. Plan de Fano. 1+6x1

    B. Plan à 13 points. 1+6x2

    et donc

    C. Pappus. 1+6x3

    Comme si les principales configurations auto-duales de la GP s'enchâssaient l'une sur l'autre, sur fond de nombre hexagonal centré. « Desargues » faisant exception à cet égard.






    Le 21/02 par Lysandre

     

    Oui, bien sûr, j'avais déjà relié cela à la série des nombres hexagonaux centrés. Cela me paraît la base de tout, du point de vue des développements herméneutiques possibles en tout cas.

     

     

     

    Le 22/02 par Dylan G.

     

    J'ai comme l'impression que les deux sujets qui vous occupent en ce moment : le pentagone, et la configuration de Petersen-Pappus, sont intimement liés l'un à l'autre. Et ceci me ramène au polyèdre de Dürer, dans sa fameuse version "dorée" construite à partir d'un angle de 72°, sur lequel j'ai glané une petite documentation complémentaire, sur le site que Yvo Jacquier a consacré à ce solide (à visiter ici).

    Admis que le polyèdre de Dürer pouvait être vu comme un graphe de Pappus en 3 D, je trouve intéressant que le pentagramme étoilé apparaissent dans cette formulation tridimensionnelle, et décliné harmoniquement sur 3 degrés. Les deux réalités, pentagramme et polyèdre de Dürer, sont intimement entrelacées dans leur structure... au point que ce caillou de Dürer vous a comme un petit air de pierre philosophale.

    Le dossier d'images que j'ai réuni comprend. Figure 1 : Le solide - un rhomboèdre, qui est un cube étiré sur l'une de ses diagonales - dont il faut partir pour obtenir le polyèdre de Dürer par troncature de deux petits tétraèdres aux sommets. La face du rhomboèdre est un losange d'angles 72° et 108°, qui peut être regardé comme une variante du losange "vesica piscis", d'angles 60° et 120°; par où on saisit une certaine continuité dans les idées de Dürer.  Figures 2, 3 et 4 : trois représentations de la structure du même rhomboèdre, dans lesquelles apparaissent 3 différents pentagrammes étoilés, dont les segments de référence ont respectivement pour valeur : Phi, 1, et 1/Phi : ces trois mesures déterminant un maillage continu. Je suppose que ces trois valeurs correspondent à trois échelles successives du triangle d'or de Penrose, mais il est intéressant que ce que l'on connaissait comme un problème de "pavage" se présente ici plutôt comme un problème de "maillage". Et je pense qu'il doit être plus intéressant encore d'envisager cela avec vos méthodes projectives, en terme de coniques, etc.

     

    Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre     Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec LysandreDiscussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre  Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre

     

    PS : Du coup, le "point vert" est le barycentre du solide de Dürer?

     

     

     

    Le 22/02 par Lysandre

     

    100% d'accord avec vous; je n'ai rien à ajouter... sinon qu'il est fort possible qu'une partie au moins du travail ait été fait, mais se trouve actuellement dans des ouvrages inaccessibles, anciens, épuisés, conservés dans de lointaines bibliothèques... parfois on gagne du temps à refaire les choses par soi-même, au lieu de chercher des ouvrages de référence à peu près introuvables, et il en existe tant... c'est une donnée avec laquelle j'ai appris à faire. Mais d'un autre côté, je m'aperçois que même dans les ouvrages de référence, les choses ne sont pas toujours aussi bien "faites" que quand je les fais ; de très bons auteurs présentent parfois des démonstrations boiteuses, selon les critères actuels ou ceux qu'on m'a appris... même chez mon maître, l'immense Buekenhout, j'ai réussi à trouver une démonstration qui ne me satisfait pas, et j'en ai imaginé une plus "projective" si l'on veut, encore que rien ne dit qu'il n'y avait pas pensé lui-même, mais il avait peut-être ses raisons qui m'échappent...

     

    Le "nombre d'or" est un rapport. Mon intention est bien de le "traiter" un jour en termes de birapport, etc. Toujours reconduire le rapport au birapport, comme à ce qui l'engendre, voilà ma règle. C'est vers là que je me dirige, mais je me suis rendu compte qu'il y avait bien des étapes à franchir. Au moins, je commence à voir parfaitement ce que la classe des pentagones dits "réguliers" a de "spécial" au point de vue projectif (cinq rotations identiques, cela n'est pas donné a priori), c'est un bon début, je pense. Lentement mais sûrement...

     

    NB rapport/birapport, la façon "simple" de voir le "rapport" c'est de se dire : deux points A, B sur une droite, un 3e point C quelconque peut toujours être vu comme le "milieu" de AB, selon la position d'un 4e point, conjugué harmonique de C par rapport à AB. Si ce 4e est le "point à l'infini", alors C est le "milieu" de AB. La notion de milieu, de médiane, etc. est donc ainsi ramenée à celle de conjugué harmonique, qui est fondamentale. On voit comment le nombre 4 est producteur d'harmonie.

    Pour faire court, "conjugué harmonique" se traduit par "birapport = -1"

     

     

     

    Le 24/02 par Dylan G.

     

    Au sujet de la configuration de Desargues, je me suis fait une remarque un peu du même genre que celle qui consiste à "voir" dans le solide de Dürer un graphe de Pappus. Dans les deux cas, il s'agit d'interpréter une configuration planaire de la GP en fonction d'une formulation tridimensionnelle particulière.

    On part de cette magnifique représentation du théorème de Desargues construite sur un tétraèdre, due semble-t-il à Burkard Polster, dans laquelle 4 points correspondent aux sommets du tétraèdre, et les 6 autres aux arêtes du même tétraèdre, tenues "par les milieux". On constate que ces 6 points correspondent aux sommets d'un octaèdre inscrit dans le tétraèdre.

     


    Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre

     

    Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre  

     

    Toutes ces relations se retrouvent dans un tétraèdre gnomonique de rang 2, composé d'un octaèdre (ci-dessus en blanc, au centre) et de 4 tétraèdres (ici trois gris et un rouge). L'octaèdre possède bien sûr 8 faces triangulaires, dont 4 sont cachées dans la structure du solide, et 4 visibles à la surface, qui correspondent aux quatre cercles de la configuration de Desargues.

    Sous ce regard, on peut m'accorder que le tétraèdre gnomonique de rang 2  est une configuration de Desargues en 3D?

    Je trouve que cette représentation tétraédrique de la configuration de Desargues est aussi la plus pertinente pour coordonner Desargues avec la tétractys. En effet les 4 "points-sommets" du tétraèdre peuvent être assimilés au "trépied" de la tétractys; tandis que les 6 autres points, les points-arêtes, ont un rôle de médiation qui permet, au moins symboliquement, de les associer aux six points de l'hexagone.





    Le 25/02 par Lysandre

     

    C'est "à peu près" ça, sauf que dans la configuration de Desargues en 3D, si 45 est le centre de la perspective, les points 15, 35, 26 respectivement les images des points 14, 34, 24, alors les trois derniers points sont, par exemple, le point x, intersection des droites 15.35 et 14.34.

    Le point 13, donné sur l'image, est le conjugué harmonique de x par rapport à 14 et 34. La donnée de l'un permet de retrouver l'autre. C'est comme si on avait combiné une perspective de Desargues avec une réflexion dans le plan 14, 34, 24, pour remettre tous les points "à l'intérieur" du tétragramme.

    Sinon, l'octaèdre existerait de toute façon, mais il aurait une forme moins "régulière"...

    Cette figure contient donc toute l'"information" nécessaire pour retrouver la configuration de Desargues, mais ce n'est pas exactement ce qu'elle est ; (à moins encore qu'on ne considère les cercles 15, 35, 13 etc. comme des "droites", alors bien sûr...). On a voulu y mettre autre chose en plus, cf. Petersen - Pappus.

    Il faudrait que je trouve le temps d'analyser davantage cette figure.

     

     

     

    Le 25/02 par Dylan G.

     

    Vous écrivez : "... à moins qu'on ne considère les cercles 15, 35, 13 etc. comme des "droites", alors bien sûr..."

    Pour moi, c'était une évidence, sans quoi ce que je vous écrivais n'a pas de sens. La configuration doit impérativement compter 10 points et 10 droites, sans quoi le tétraèdre n'aurait pas de pertinence.

    Le but de ma remarque n'était pas de faire de la géométrie, mais d'établir une correspondance idéelle, entre Desargues et les points de la tétractys, - ce que permet à mon sens cette formulation tétraédrique (via le tétraèdre gnomonique de rang 2).

    Mais je pense que mes explications manquaient de clarté et ça ira sans doute plus facilement avec 3 petits dessins.

     

    Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre

    Figure 2. Dans la tétractys, je nomme "points majeurs" les points ABCD reliés par un trépied, correspondant aux arètes d'un grand tétraèdre vu de haut, et "points mineurs" les points u, v, w, x, y, z  qui parcourent l'hexagone "tournant" sur le même centre que le trépied. Et je constate que rien n'interdit de considérer cet hexagone comme un octaèdre, doté de 4 faces sombres (les droites-cercles de la configuration de Desargues = faces visibles de l'octaèdre, dans notre tétraèdre gnomonique), et de 4 faces claires (les faces cachées de l'octaèdre), que l'on visualise mieux en les nommant. Faces sombres : (uvz), (vwx), (xyz), (uwy). Faces claires :  (uvw), (wxy), (yzu), (vxz). Une fois notre octaèdre défini, on supprime le trépied reliant les points ABCD et on considère ces points comme flottant sur une sphère circonscrite à l'octaèdre. On comprend que ces 4 points doivent être les sommets de 4 petits tétraèdres dont les bases sont les faces "blanches", les faces "négatives" de l'octaèdre. Pour le point A la solution est évidente. Figure 3 : le point A  est le sommet d'un petit tétraèdre dont la base est le triangle clair (zvx). Mais on saisit que la solution est essentiellement  la même pour les trois autres points. En l'occurrence : le point B est le sommet d'un "tétraèdre" dont la base est le triangle clair (uvw), le point C, le sommet d'un tétraèdre dont la base est le triangle clair (wxy) et le point D, le sommet d'un tétraèdre dont la base est le triangle clair (yzu).

    Bien sûr, cette tétractys n'est pas "représentable" en 2 dimensions (ou alors de manière paradoxale) cependant j'estime qu'elle "existe" sur un plan purement idéel. On peut donc coordonner de la sorte les points de la tétractys avec ceux de la configuration de Desargues (Figure 4). Si l'on ajuste le point A au point 45, les 3 autres points majeurs BCD s'ajustent, par exemple, aux points 24, 34 et 14, et les 6 points mineurs, sommets de l'ocatèdre, s'ajustent en conséquence selon la règle : une face sombre de l'octaèdre correspond à une droite-cercle de la configuration de Desargues.



      

    Le 25/02 par Lysandre



    merci pour ces passionnantes réflexions.

     

    J'avais en effet compris que "votre" interprétation du tétraèdre-Desargues supposait de considérer les cercles sur chaque face comme des "droites", mais je remarque juste que cela revient à considérer chaque face comme un plan de Fano ; lequel n'est pas généralisable en trois dimensions, mais comme diagramme 3D de la configuration de Desargues, cela fonctionne tout de même, avec en plus le fait qu'on peut considérer les points 15, 12, 23 comme conjugués harmoniques des points de fuite, de sorte que le théorème s'énonce simplement en disant que les conjugués harmoniques de ces points sont alignés.

    C'est une représentation intéressante, à laquelle je n'aurais certes pas pensé, mais qui vaut d'y réfléchir. Je vous l'accorde volontiers.

    Oui, on pourrait même se demander si, ayant quatre coniques tangentes deux à deux, comme cela, sur les faces d'un tétraèdre, le fait d'exiger l'alignement des conjugués harmoniques équivaut à Desargues... il y a un rapport entre Desargues et les coniques/polarités à la base : supposer un plan arguésien équivaut à peu près à supposer l'existence de polarités/coniques, ce n'est pas trivial à voir mais c'est clair. On peut donc creuser la réflexion longtemps avec cette figure. Je vais sans doute un jour ou l'autre l'inclure dans mon travail, mais si je disposais des articles de Polster et de Coxeter - auxquels se réfère la planche avec les sommets du tétraèdre numérotés - cela m'aiderait.

    Sinon, j'avance avec les pentagones, plus vite que je ne craignais. Ayant extrait les conditions de symétrie - et il est assez beau de voir que tout pentagone ayant deux axes/centres de réflexion en a forcément 5 et est donc "régulier" par rapport à "sa" conique - je m'essaie maintenant à donner des coordonnées à tous les points/droites de la figure, A, B, C, D, E, A', B', C'... etc. Après, ce sera un jeu d'enfant de calculer tous les birapports possibles et imaginables.

    J'ai remarqué, au passage, que, dire qu'un point (X, Y) d'une droite a pour coordonnée X/Y (coordonnée affine) le nombre d'or, équivaut à dire que l'involution (X, Y) --> (X + Y, X - Y) (cette application définit bien une involution de la droite, facile à vérifier) laisse invariante, pour ce point, la "forme quadratique" XY. En effet, cette assertion équivaut à l'équation (X + Y)(X - Y) = XY, ou X^2 - Y^2 - XY = 0, où l'on reconnaît facilement l'équation du nombre d'or.

    Je devrais donc, à un moment, pouvoir exprimer cela en termes d'une involution qui commute avec une forme quadratique, pour un certain ensemble de points.

     

    NB. Mes parents ont l'habitude de mettre des pommes en vrac dans un seau d'eau, pour les laver. Elles se mettent alors à flotter, et adoptent spontanément une disposition très parlante : une au centre, et six autres autour, tangentes deux à deux... le diamètre du seau équivalant juste à trois pommes à peu près. Je m'émerveille à chaque fois de constater à quel point la division hexagonale du "cycle" est naturelle, et le fait qu'on la retrouve partout... Dans mes développements sur la question, le passage où j'explique Petersen et Pappus, les dix-neuf points (et le rapport avec la racine de 361 etc.), je cite cette "expérience", pour bien faire comprendre au lecteur l'absence (ou quasi ?) d'arbitraire dans tout cela... En tout cas, ça me réjouit toujours de voir ces pommes flotter comme ça, alors que personne ne l'a fait exprès : elles "connaissent" spontanément l'empilement maximal de leur plan !

    Sur ce, je retourne à mes pentagones.





    Le 25/02 par Lysandre

     

    Chers amis, eh bien! victoire, je crois que c'est le mot...

    Sur la figure que je vous poste, vous pouvez voir comment le nombre d'or "apparaît" naturellement sur un pentagone ayant deux axes/centres de réflexion :

     

    Discussion sur le pentagramme et le nombre d'or avec Lysandre

    commençons par construire le quadrilatère complet O, I, I', I'' ; pour que le pentagone ait au moins un axe de réflexion (KM, avec pour centre J), nous prendrons le 5e point A sur KM. AI' coupera alors OI en D. Pour que le pentagone ait un 2e axe de réflexion, disons I''D (avec pour centre N), il faut que l'on ait (N L A O) = - 1.

    Dans le repère (O, J, K, I), il en résulte (après quelques calculs très simples que je vous passe) que A aura pour coordonnées (X, Y, 1) avec X/Y = (3 - √5)/2. On en déduit alors, par quelques calculs supplémentaires, que le birapport (N B C A) vaut (1 + √5)/2 en valeur absolue, et si l'on suppose que la droite de l'infini passe par N, alors ce birapport se réduit au rapport AB/BC.

    Vous voyez, c'est aussi simple que ça... deux axes de symétrie, et on a le nombre d'or, comme birapport de quatre points bien choisis.

    Pas besoin de considérations métriques ni rien... nous avons officiellement "réintégré" le dit nombre d'or dans la GP. Ces petites choses illuminent ma journée.

     

    NB. Une précision quand même (rappel au cas où) : le birapport de quatre points P1, P2, P3, P4, bien sûr, se calcule sur la base de leurs coordonnées homogènes selon la formule :

    (P1 P2 P3 P4) = (X3Y1 - X1Y3)(X4Y2 - X2Y4)/(X3Y2 - X2Y3)(X4Y1 - X1Y4)

    on peut aussi utiliser les coordonnées X, Z ou Y, Z à la place de X, Y, du moment qu'aucun des facteurs ne s'annule, car un birapport n'est pas censé valoir 0 ou l'infini (si les quatre points sont distincts). C'est plus élégant écrit à l'aide de déterminants, mais ça va plus vite comme ça... important quand même, car il ne faudrait surtout pas essayer, dans ce contexte, de calculer le birapport comme un rapport de rapports de "longueurs de segments" ou distances entre points, comme dans le plan euclidien... c'est évident quand on a l'habitude, mais il faut penser aux autres aussi...

     



    Le 26/02 par Dylan G.



    Bravo Lysandre, pour ce résultat, comme pour sa présentation très pédagogique! Même si vous le jugez simple, il me paraît d'utilité publique, particulièrement dans les affaires pythagoriciennes.

    La boucle est bouclée, d'une certaine façon. Je trouve que cela mérite une petite coupe de champagne.




     

    Le 26/02 par Raymond B.

     

    Merci, ça fait du bien en effet !

     

     

     

    Le 26/02 par Lysandre

     

    Eh bien, à votre santé ! J'espère que c'est un bon millésime :).







    DECOUVRIR LA GEOMETRIE PROJECTIVE AVEC LYSANDRE :



    BERESHIT

    OU LES PASSIONNANTES AVENTURES

    DU PLAN PROJECTIF ARGUESIEN

     

     

    POUR APPROFONDIR LE THEME DE LA DISCUSSION :

     

    PENTAGONE ET GEOMETRIE PROJECTIVE

    PAR LYSANDRE

     

     

     

     

    Ressources documentaires et crédits images :

    Yvo Jacquier : Etude géométrique du polyèdre de Dürer dans sa gravure Melencolia, chap. 2

    André Charpentier : L'oeuf du monde, pp 19-26

    Harold Scott MacDonald Coxeter : Self-dual configurations and regular graphs, Bulletin of the American Mathematical Society, n°56. 1950, pp 434-435

    Burkard Polster : A Geometrical Picture Book, Springer, 1998.

     

     

     


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